Нам уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр.
Это фундаментальное положение теории сигналов можно установить в общем виде на основе преобразования Фурье
Рассмотрим поведение каждого из интегралов при увеличении Ω.
В соответствии и леммой Римана, утверждающей, что если функция s(t) абсолютно интегрируема на промежутке то
Геометрический смысл этого утверждения поясняется рисунком, в верхней части которого изображены некоторый произвольный сигнал s(t) и гармоническое колебание с частотой Ω, а в нижней части – их произведение.
При достаточно высокой частоте Ω каждая положительная полуволна почти полностью компенсируется ближайшей к ней отрицательной полуволной и суммарная площадь под кривой s(t)cos(Ωt) или s(t)sin (Ωt) близка к нулю. Под достаточно высокой частотой следует понимать частоту Ω=2π/Т, при которой период Т достаточно мал по сравнению с длительностью сигнала s(t).
Очевидно, что чем короче сигнал, тем меньше и период Т, соответствующий этому условию.
Иными словами, чем короче сигнал, тем выше граничная частота спектра сигнала. Так как нижняя граница спектра примыкает к нулевой частоте, то общий спектр получается тем шире, чем меньше длительность сигнала. При этом оказывается, что произведение длительности на «техническую» ширину его спектра является величиной, близкой к единице.
Ранее, мы на качественном уровне давали определение эквивалентной длительности, более строго она может быть определена как
Причем начало отсчета времени совмещается с серединой импульса, так что выполняется условие
Аналогично, эквивалентная ширина спектра ΔΩ=2πΔF определяется выражением
При дополнительном условии
Уточняющем начало отсчета частоты на оси Ω.
Если сигнал нормирован таким образом, что его энергия Е равна единице, т.е.
То выражение для τ и ΔΩ, зависящая от формы сигнала, в любом случае не может быть меньше ½.
Таким образом, для любого сигнала выполняется условие τ и ΔF≥1/4π.
В частности, для гауссова импульса, основываясь на ранее полученных результатах, находим
Используя условие нормировки
получаем
Из этого примера видно, что из всех сигналов гауссов импульс обладает наименьшей возможной величиной произведения τ и ΔF.
Сжатие импульса во времени с целью, например, повышения точности измерения момента его появления, неизбежно сопровождается расширением спектра импульса, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. Аналогично, сжатие спектра импульса, например с целью повышения точности измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует увеличения промежутка времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе часто и в коротком промежутке времени представляет собой одно из проявлений извествного в физике принципа неопределенности.
При энергетическом подходе длительность сигнала или ширину его спектра определяют по заданной доле от полной энергии сигнала. Так, например, для сигнала в виде прямоугольного импульса длительностьюt спектральная плотность имеет бесконечно широкий спектр, однако анализ показывает, что первый лепесток спектрасодержит 90% от полной энергии импульса, а сумма первого и второгоуже 95%. Аналогично можно рассуждать и о длительности бесконечно длящегося сигнала с конечной энергией.
При информационном подходе важное значение имеет форма сигнала: чем шире взята за основу условная ширина его спектра, тем ближе по форме к исходному может быть воспроизведенный по ограниченному спектру сигнал. Иногда ширину спектра определяют по уровнюот максимального значения. Для колоколообразных импульсов принята величина е -1/2 =0,606 от максимума. Ширина спектра и длительность сигнала взаимосвязаны. Для выявления этой связи определяют так называемыеэффективные длительность и ширину спектра, которые вычисляют с помощью следующих соотношений:
гдесередина импульса;
Полная длительность сигнала равна 2, а полная ширина спектра, включая и отрицательные частоты, 2, Произведение длительности на полосу равно:
Произведение*зависит от формы сигнала, но не может быть меньше 0.5(только для импульсов гауссовой формы это произведение равно 0.5). Не для всех сигналов данные интегралы имеют смысл(сходятся). Для определенияинеобходимо, чтобы функцияs(t) убывала бы быстрее, чем1/t , а функцияS(w ) быстрее, чем1/ w .
Для сигналов, не удовлетворяющих этим условиям, и применяют энергетический, либо информационный критерий, но следует помнить, что с уменьшением длительности сигнала ширина его спектра увеличивается, т.е. произведение длительности на ширину спектра для данного типа сигнала величина постоянная
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.
Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр. Для установления количественных соотношений между указанными параметрами сигнала необходимо условиться об определении понятий длительность сигнала и ширина его спектра. В практике применяются различные определения, выбор которых зависит от назначения сигнала, его формы, а также от структуры спектра. В некоторых случаях выбор является произвольным. Так, ширину спектра прямоугольного импульса определяют либо как основание главного лепестка (например, в п. 1 § 2.10), либо на уровне от максимального значения спектральной плотности. Длительность колоколообразного импульса (см. § 2.10, п. 3) и ширину его спектра иногда определяют на уровне 0,606 от максимального значения соответственно или . Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под шириной спектра полосу частот, содержащую заданную долю полной энергии сигнала.
Для практики важное значение имеет также оценка протяженности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей основную часть энергии сигнала.
Для выявления предельных соотношений, связывающих длительность сигнала и ширину спектра, в современной теории сигналов большое распространение получил метод моментов.
По аналогии с понятием момента инерции в механике эффективную длительность сигнала можно определить выражением
где середина импульса определяется из условия
Имеется в виду, что функция интегрируема с квадратом (сигнал с конечной энергией).
Аналогично эффективная ширина спектра определяется выражением
Так как модуль спектра не зависит от смещения во времени, можно положить Наконец, сигнал можно нормировать таким образом, чтобы его энергия Э равнялась единице и, следовательно,
При этих условиях выражения для и принимают вид
и, следовательно, произведение длительность x полоса
Нужно иметь в виду, что являются среднеквадратическими отклонениями соответственно от и . Поэтому полную длительность сигнала следует приравнять а полную ширину спектра (включая и область отрицательных частот) - величине .
Произведение зависит от формы сигнала, однако оно не может быть меньше 1/2. Оказывается, что наименьшее возможное значение соответствует колоколообразному импульсу.
Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выражений для видно, что функция с увеличением t должна убывать быстрее, чем , а функция - быстрее, чем так как в противном случае соответствующие интегралы стремятся к бесконечности (расходятся).
В частности, это относится к спёктру строго прямоугольного импульса, когда
В этом случае выражение для не имеет смысла и оценку эффективной ширины спектра прямоугольного импульса приходится основывать на иных критериях.
Рассмотрим некоторые простые сигналы типа видеоимпульсов, т. е. сигналов, спектр которых сосредоточен в области низких частот, и определим с помощью равенства Парсеваля энергию, содержащуюся в полосе от до некоторой граничной частоты :
Относя затем к полной энергии импульса Э, определяем коэффициент
характеризующий концентрацию энергии в заданной полосе.
В качестве исходного сигнала примем прямоугольный импульс, затем рассмотрим треугольный и колоколообразный (гауссовский). Последний особенно показателен, так как для него обеспечивается максимально возможная концентрация энергии спектра в заданной полосе .
Для прямоугольного импульса в соответствии с (2.68)
Вычислив интеграл, получим
где - интегральный синус.
Переходя к аргументу , записываем
Для треугольного импульса, спектральная плотность которого определяется формулой (2.73), а полная энергия
Рис. 2.23. Доля энергии сигнала в полосе (а) и деформация импульса при усечении спектра (б)
Для гауссовского импульса в соответствии с (2.77) получаем
где - полная энергия гауссовского импульса, а функция
Учитывая, что длительность гауссовского импульса определена в п. 3 § 2.10 и равна , аргумент функции можно записать в форме Функции для трех импульсов представлены на рис. 2.23, а.
Итак, значение произведения требующееся для заданного максимально для прямоугольного импульса (при ) и минимально для гауссовского. В частности, уровню соответствуют значения , равные 1,8; 0,94 и 0,48.
Выбор границы спектра по энергетическому критерию в некоторых практических задачах не всегда приемлем. Так, если при обработке импульса требуется сохранить его форму достаточно близкой к прямоугольной, то должно быть гораздо больше единицы. Для иллюстрации этого важного положения на рис. 2.23, б показаны исходный импульс (штриховая линия) и его деформация при усечении спектра на уровнях .
В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во времени с целью, например, повышения точности определения момента его появления неизбежно сопровождается расширением спектра, что заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства.
Аналогично сжатие спектра импульса с целью повышения точности, измерения частоты неизбежно сопровождается растяжением сигнала во времени, что требует удлинения времени наблюдения (измерения). Невозможность одновременно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в коротком интервале времени представляет собой одно из проявлений известного в физике принципа неопределенности.
Вопрос о величине произведения длительность X полоса актуален в связи с проблемой электромагнитной совместимости, возникающей при взаимных помехах радиостанций. С этой точки зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая к колоколообразной.
Для выявления связи между поведением в области относительно высоких частот и структурой сигнала s(t) воспользуемся свойствами таких испытательных сигналов, как единичный импульс и единичный скачок.
Единичный импульс является единственной функцией, имеющей неубывающую спектральную плотность на всей оси частот -
Поэтому можно утверждать, что сигнал , спектр которого вне основной полосы не убывает с ростом , содержит в своем составе дельтафункцию (в реальных условиях достаточно мощный короткий импульс).
Далее, единственной функцией времени, имеющей спектральную плотность вида является единичный скачок и . Следовательно, убывание хвоста спектра сигнала по закону свидетельствует о наличии в функции скачков, т. е. разрывов непрерывности. Но в точках разрыва производная функции обращается в дельта-функцию (с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Поэтому убывание спектра пропорционально указывает на наличие дельта-функции в составе производной Это рассуждение можно продолжить и для производных сигнала более высоких порядков.
Проиллюстрируем сказанное примерами трех сигналов, представленных на рис. 2.24: с разрывом, с изломом и «гладкого» сигнала (без разрывов и изломов).
В первом примере (рис. 2.24, а) производная определяется выражением
и спектральная плотность функции в соответствии с табл. 2.1
Для определения спектральной плотности сигнала , являющегося интегралом от , можно исходить из выражения
В данном случае операция законна, поскольку [см. (2.60)].
При спектральная плотность . Как видно из рис. 2.24, а, это объясняется наличием функции в первой производной сигнала s(t).
При практических расчетах длительности сигнала и ширины его спектрав ряде случаев удобно пользоваться энергетическим критерием. Активную длительность импульсаи активную ширину спектра (или ) определяют как интервал времени и диапазон частот соответственно, внутри которых сосредоточена подавляющая часть полной энергии Э импульса (например, 95%). Если сигнал s (t ) задан на интервале времени , то его активная длительность рассчитывается из условия
В левой части равенства записана энергия сигнала, сосредоточенная в интервале времени 0 – (рис. 4.33,а). В правой части равенства – доля (определяемая заданным коэффициентом полной энергии сигнала.
Исходя из равенства Парсеваля, аналогично рассчитывается активная ширина спектра сигнала
Таким образом, активная ширина спектра сигнала соответствует полосе частот, в пределах которой заключена доля полной энергии сигнала (рис. 4.33, б).
В случае простых видеоимпульсов (например, прямоугольного, треугольного, косинусоидального), спектр которых сосредоточен в области низких частот, можно считать с достаточной для практики точностью, что
где, - постоянная величина, зависящая от формы импульса и критерия оценки величини .
Рис.4.33. Сигнал (а) и его спектр (б)
Как видно из (4.61), уменьшение длительности импульса неизбежно приводит к увеличению ширины его спектра, и наоборот. Пользуясь соотношением (4.61), можно рассчитать полосу частот, занимаемую спектром сигнала в зависимости от его длительности.
Рис 4.34. Прямоугольный импульс (а) и его спектр (б)
Для перечисленных
выше типов видеоимпульсов значение
близко к единице. В частности, если
оценивать активную ширину спектра
прямоугольного импульса длительностью(рис. 4.34, а) как полосу частотf
= 0 и тем значением частоты, когда
спектральная плотность первый раз
обращается в нуль (рис. 4.34, б), т. е. когда
аргумент спектральной плотности (4.42)
принимает
значение
,то = 1.
Следовательно, для прямоугольного
импульса
=
1.
Пользуясь соотношением (4.60), можно показать, что в полосе (0, ) (в первом лепестке) сосредоточено свыше 90% полной энергии сигнала.
Из каких тригонометрических функций можно сформировать периодический сигнал?
Что такое постоянная и основная составляющие, гармоники сигнала?
Какие формулы ряда Фурье используют для описания периодических сигналов?
Записать ряд Фурье (4.4) в тригонометрической и комплексных формах, ограничившись третьей гармоникой.
Что такое спектр амплитуд?
Периодический сигнал задан рядом Фурье в форме
Представить этот ряд в тригонометрической форме (4.10).
В работе было отмечено, что с увеличением числа нулей происходит смещение спектра комплексной огибающей ФМ сигнала в область более высоких частот. Имеется в виду смещение той части спектра, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала, поскольку принципиально спектр ФМ сигнала тождественно не равен нулю (за исключением множества точек с мерой нуль) на всей оси частот, Для определения
смещения спектра можно использовать понятие эффективной ширины спектра например, ), которая определяется соотношением
В случае ФМ сигналов интеграл в числителе расходится и определение (11.8) не имеет смысла. Но учитывая, что основная часть энергии ФМ сигнала сосредоточена между первыми нулями то бесконечные пределы интеграла в числителе можно заменить Переходя к переменной и учитывая, четная функция, а интеграл в знаменателе (11.8) равен определим эффективную ширину спектра комплексной огибающей ФМ сигнала с блоками следующим образом:
Подставляя (11.6) в (11.9), получаем
т. е. при таком определении пропорциональна интегралу от периодической функции (11.7) за период После интегрирования находим
Следовательно, чем больше блоков имеет ФМ сигнал, тем больше . В табл. 11.1 приведены значения для нескольких ФМ сигналов, существенно отличающихся друг от друга по своей структуре.
В первой строке табл. 11.1 приведены данные для прямоугольного импульса длительностью имеющего всего один блок Чем больше тем меньше Этот пример соответствует ФМ сигналу, имеющему наименьшее число блоков. Во
Таблица 11.1 (см. скан)
второй строке табл. 11.1 приведены данные для ФМ сигнала, имеющего наибольшее число блоков Этот ФМ сигнал (меандр) представляет последовательность знакопеременных импульсов. Для меандра что является максимальным значением . В третьей строке приведены данные для оптимального ФМ сигнала, у которого Для такого сигнала в два раза меньше максимального. Таким образом, эффективная ширина спектра оптимальных ФМ сигналов лежит примерно на середине между значениями, соответствующими двум крайним значениям для прямоугольного импульса и меандра. В последней строке приведено значения эффективной ширины спектра идеального (гипотетического) сигнала, состоящего из импульсов, энергетический спектр которого совпадает с энергетическим спектром одиночного импульса длительностью
