Zbiór harmonicznych tworzących szereg Fouriera (4.10) w postaci trygonometrycznej nazywa się widmo sygnału okresowego i zbiory amplitud UMk oraz początkowe fazy tych harmonicznych – widma amplitudy i fazy. Każda harmoniczna:

można wyświetlić za pomocą dwóch pionowych linii. W tym celu należy na jednej osi częstotliwości wykreślić wartość częstotliwości tej harmonicznej i narysować pionową linię o wysokości równej amplitudzie harmonicznej, następnie na drugiej osi częstotliwości przy częstotliwości tej samej harmonicznej narysować druga pionowa linia o wysokości równej początkowej fazie harmonicznej.

Szereg Fouriera (4.3) można przepisać jako

Biorąc pod uwagę, że funkcja cosinus jest okresowa z kropką 2 = 360°, tj. jego wartości powtarzają się co 360°; od fazy składowych harmonicznych można odjąć całkowitą liczbę okresów. Otrzymujemy wówczas inną formę zapisu szeregu (4.3):

Serie te można przedstawić graficznie. Harmoniczne tego sygnału zawarte we wzorze (4.3) przedstawiono na wykresach czasowych na rys. 4.1, B-D. Innym sposobem graficznego przedstawienia składowych szeregu Fouriera dla sygnału na ryc. 4.1 i pokazano na ryc. 4,5, A–V. Amplitudy harmoniczne maleją zgodnie z prawem , Gdzie N- liczba harmonicznych i fazy harmonicznych zmieniają się zgodnie z prawem N gdzie jest faza pierwszej harmonicznej.

Dla okresowej sekwencji prostokątnych impulsów przesuniętych o jedną czwartą okresu (ryc. 4.3, A) wzór na szereg Fouriera (4.6) można zmodyfikować, pamiętając, że znak minus przed oscylacją harmoniczną oznacza obrót fazy oscylacji o 180°:

Ryż. 4,5. Amplitudy i fazy harmonicznych sygnału (4.12) i (4.13)

Początkowe fazy oscylacji szeregowo (4.14) przyjmują na przemian wartości 0 i 180°. Graficzną reprezentację szeregu (4.14) pokazano na ryc. 4.5, aib.

Pionowe linie na ryc. Nazwano 4,5 i 4,6 linie widmowe, oraz zbiory tych prostych, czyli, co jest tym samym, zbiory amplitud harmonicznych fazowych w (4.10), w postaci widma amplitudowe i fazowe tego sygnału.

Ryż. 4.6. Amplitudy i fazy harmonicznych sygnału (4.14)

Inżynierowie radiowi znają przyrządy - analizatory widma, które reagują na każdą harmoniczną wchodzącą w skład sygnału o złożonym kształcie i umożliwiają ich pomiar.

Zatem widmo amplitudowe jest zbiorem amplitud harmonicznych , , , ... (w tym składowe stałe i podstawowe) zawarte w szeregu Fouriera zapisanym w postaci trygonometrycznej (4.10), a widmo fazowe jest zbiorem faz początkowych,, ... tych harmonicznych. Zespolone amplitudy z (4.12) tworzą zespolone widmo sygnału ty(T).

Analiza składu widmowego (harmonicznego) sygnałów okresowych polega na obliczeniu amplitud i faz początkowych składowych harmonicznych szeregu Fouriera. Zazwyczaj do obliczenia tych wielkości stosuje się formę zapisu szeregu Fouriera (4.2):

Pokażmy, że postać notacyjna (4.15) równowartość forma zapisu (4.7).

Z powyższego rozumowania wynika, że ​​do analizy składu widmowego sygnału wystarczy wiedzieć, jak obliczyć wielkości , U" mn I U’ mn w wyrażeniu (4.15).

Ze wzorów (4.2) wiemy, że składnik stały szeregu oblicza się jako średnią wartość funkcji:

Szanse U" mk I U"" mk obliczone jako średnie ważone z wagami cos k i grzech odpowiednio:

Od, To

Korzystając ze wzoru Eulera

Ostatecznie otrzymujemy wyrażenie na złożone widmo sygnału:

Na widmo sygnału wpływa nie tylko kształt sygnału, ale także jego parametry. Najlepiej rozważyć ten efekt na konkretnym przykładzie, a najprościej na przykładzie okresowej sekwencji impulsów prostokątnych. W dość ogólnym przypadku sekwencję tę pokazano na ryc. 4,7, A. Wskazany jest okres powtarzania impulsu T", a stosunek okresu do czasu trwania impulsu nazywany jest cyklem pracy i wyznaczyć.

Obliczanie współczynników szeregu Fouriera w postaci trygonometrycznej za pomocą wzorów (4.16) - (4.18) prowadzi nas do wpisu (patrz tabela 4.1)

Gdzie U 0 =U/ Q I

Ryż. 4.7. Okresowa sekwencja impulsów prostokątnych z cyklem pracy Q= 3 i jego widmo

Widmo amplitudowe takiej sekwencji okresowej z cyklem pracy Q= 3 pokazano na ryc. 4,7, B.

Z wartościami k, wielokrotność cyklu pracy Q sekwencji impulsów, funkcja przyjmuje wartości zerowe, a harmoniczne o tych liczbach mają zerowe amplitudy (w naszym przykładzie z k= 3,6, 9, ...). Częstotliwość pierwszej harmonicznej określa wzór

Dla harmonicznych z liczbami k, dla którego amplituda jest dodatnia, kąt fazowy wynosi zero; dla harmonicznych z liczbami k, dla którego wartość okazuje się ujemna, kąt fazowy przyjmuje wartość 180° (ryc. 4.7, c).

Rozważmy wpływ na widmo ciągu impulsów prostokątnych takich parametrów jak okres i czas trwania impulsu.

Częstotliwość podstawowej harmonicznej zależy przede wszystkim od okresu, tj. jego położenie w widmie. Jeśli na przykład zwiększymy okres sekwencji impulsów (ryc. 4.7, A), wówczas częstotliwość pierwszej harmonicznej będzie się zmniejszać.

Doprowadzi to do pogrubienia linii widmowych (ryc. 4.8, B I V). Cykl pracy impulsów będzie również wzrastał wraz ze wzrostem okresu (w naszym przykładzie Q= 5), zatem harmoniczne o większych liczbach, wielokrotnościach Q (k= 5, 10, 15, ...). Amplitudy wszystkich harmonicznych będą się zmniejszać.

Ryż. 4.8. Sekwencja impulsów prostokątnych z cyklem pracy Q= 5 i jego widmo

Z drugiej strony, jeśli okres sekwencji pozostanie niezmieniony (na przykład ), a czas trwania impulsu, powiedzmy, zostanie skrócony (na przykład do wartości , jak na rys. 4,9, A), wówczas pierwsza harmoniczna nie zmieni swojego położenia w widmie sygnału. Wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia harmoniczne z liczbami podzielnymi przez nie spadną do zera, tak jak poprzednio. Q (na ryc. 4.8, B Na k= 5,10,15,… ).

Ryż. 4.9. Wpływ czasu trwania impulsu na widmo sygnału

Ryż. 4.10. Wpływ czasu trwania impulsu i okresu powtarzania na widmo sygnału

Na ryc. Rysunek 4.10 przedstawia przypadek, w którym zmianie uległ zarówno okres, jak i czas trwania impulsu. Zapraszamy czytelników do samodzielnej analizy tej sytuacji. Podano także przykłady rozwiązywania problemów do obliczania sygnałów okresowych.

Chociaż przeanalizowaliśmy raczej konkretne przykłady, charakterystyczne zachowanie widma obserwuje się także dla innych typów okresowych sekwencji impulsów. Składa się z następujących elementów:

Wraz ze wzrostem okresu sekwencji T częstotliwość pierwszej harmonicznej maleje, a linie widmowe stają się gęstsze; wręcz odwrotnie, w miarę zmniejszania się okresu częstotliwość pierwszej harmonicznej wzrasta, a linie widmowe stają się rzadsze;

Im krótsze impulsy w sekwencji, tym wolniej maleją wraz ze wzrostem liczby N amplitudy harmoniczne; wręcz przeciwnie, im szersze impulsy, tym szybciej zmniejszają się amplitudy wyższych harmonicznych.

Główne postanowienia dotyczące materiałów określone w punkcie 4.2.

Niedawno towarzysz Makeman opisał, jak za pomocą analizy widmowej można rozłożyć określony sygnał audio na nuty składowe. Odejdźmy trochę od dźwięku i załóżmy, że mamy jakiś zdigitalizowany sygnał, którego skład widmowy chcemy dość dokładnie określić.

Poniżej znajduje się krótki przegląd metody wyodrębniania harmonicznych z dowolnego sygnału za pomocą cyfrowej heterodynacji i odrobiny specjalnej magii Fouriera.

Co więc mamy?
Plik z próbkami sygnału cyfrowego. Wiadomo, że sygnał jest sumą sinusoid z własnymi częstotliwościami, amplitudami i fazami początkowymi oraz ewentualnie białym szumem.

Co zamierzamy zrobić?
Użyj analizy spektralnej, aby określić:

• liczbę harmonicznych w sygnale, a dla każdej z nich: amplitudę, częstotliwość (dalej w kontekście liczby długości fal na długość sygnału), fazę początkową;
• obecność/brak białego szumu i, jeśli występuje, jego odchylenie standardowe (odchylenie standardowe);
• obecność/brak stałej składowej sygnału;
• umieść to wszystko w pięknym raporcie PDF z blackjackem i ilustracjami.

Rozwiążemy ten problem w Javie.

Materiał

Jak już mówiłem, struktura sygnału jest znana: jest to suma sinusoid i pewnej składowej szumu. Tak się złożyło, że do analizy sygnałów okresowych w praktyce inżynierskiej szeroko wykorzystuje się potężny aparat matematyczny, ogólnie nazywany „Analiza Fouriera” . Przyjrzyjmy się szybko, co to za zwierzę.

Trochę wyjątkowej magii Fouriera

Nie tak dawno temu, w XIX wieku, francuski matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier wykazał, że każdą funkcję spełniającą określone warunki (ciągłość w czasie, okresowość, spełnienie warunków Dirichleta) można rozwinąć w szereg, który później otrzymał jego nazwę - Szereg Fouriera .

W praktyce inżynierskiej szeroko stosowane jest rozwinięcie funkcji okresowych w szereg Fouriera, na przykład w zagadnieniach teorii obwodów: niesinusoidalny efekt wejściowy jest rozszerzany na sumę sinusoidalnych i obliczane są niezbędne parametry obwodu, na przykład: stosując metodę superpozycji.

Istnieje kilka możliwych opcji zapisu współczynników szeregu Fouriera, ale musimy tylko poznać istotę.
Rozwinięcie szeregu Fouriera pozwala rozszerzyć funkcję ciągłą na sumę innych funkcji ciągłych. Ogólnie rzecz biorąc, szereg będzie miał nieskończoną liczbę wyrazów.

Kolejnym ulepszeniem podejścia Fouriera jest integralna transformacja jego nazwy. Transformata Fouriera .
W przeciwieństwie do szeregu Fouriera, transformata Fouriera rozszerza funkcję nie na częstotliwości dyskretne (zbiór częstotliwości szeregu Fouriera, dla którego rozwinięcie jest, ogólnie rzecz biorąc, dyskretne), ale na częstotliwości ciągłe.
Przyjrzyjmy się, jak współczynniki szeregu Fouriera odnoszą się do wyniku transformaty Fouriera, zwanej w rzeczywistości widmo .
Mała dygresja: widmo transformaty Fouriera jest w ogóle złożoną funkcją opisującą złożone amplitudy odpowiednie harmoniczne. Oznacza to, że wartości widma są liczbami zespolonymi, których moduły są amplitudami odpowiednich częstotliwości, a argumentami są odpowiednie fazy początkowe. W praktyce rozpatrywane są one oddzielnie widmo amplitudowe I widmo fazowe .

Ryż. 1. Zgodność szeregu Fouriera z transformacją Fouriera na przykładzie widma amplitudowego.

Łatwo zauważyć, że współczynniki szeregu Fouriera to nic innego jak wartości transformaty Fouriera w dyskretnych czasach.

Jednakże transformata Fouriera porównuje ciągłą w czasie, nieskończoną funkcję z inną, ciągłą częstotliwościowo, nieskończoną funkcją – widmem. A co jeśli nie mamy funkcji nieskończonej w czasie, a jedynie jej część, która jest zarejestrowana i dyskretna w czasie? Odpowiedź na to pytanie daje dalszy rozwój transformaty Fouriera - dyskretna transformata Fouriera (DFT) .

Dyskretna transformata Fouriera ma na celu rozwiązanie problemu konieczności ciągłości i nieskończoności w czasie sygnału. Zasadniczo wierzymy, że wycięliśmy część nieskończonego sygnału, a resztę dziedziny czasu uważamy za zero.

Matematycznie oznacza to, że mając nieskończoną w czasie funkcję f(t), mnożymy ją przez jakąś funkcję okienkującą w(t), która zanika wszędzie z wyjątkiem interesującego nas przedziału czasu.

Jeżeli „wyjściem” klasycznej transformaty Fouriera jest widmo – funkcja, to „wyjściem” dyskretnej transformaty Fouriera jest widmo dyskretne. Na wejście podawane są także próbki sygnału dyskretnego.

Pozostałe właściwości transformaty Fouriera nie ulegają zmianie: można o nich przeczytać w odpowiedniej literaturze.

Musimy jedynie znać transformatę Fouriera sygnału sinusoidalnego, którą będziemy starali się znaleźć w naszym widmie. Ogólnie rzecz biorąc, jest to para funkcji delta, które są symetryczne względem częstotliwości zerowej w dziedzinie częstotliwości.

Ryż. 2. Widmo amplitudowe sygnału sinusoidalnego.

Wspomniałem już, że ogólnie rzecz biorąc, nie rozważamy pierwotnej funkcji, ale jakiś jej produkt z funkcją okna. Wtedy, jeśli widmo pierwotnej funkcji to F(w), a funkcja okienkująca to W(w), to widmo iloczynu będzie tak nieprzyjemną operacją jak splot tych dwóch widm (F*W)( w) (Twierdzenie o splocie).

W praktyce oznacza to, że zamiast funkcji delta w widmie zobaczymy coś takiego:

Ryż. 3. Efekt rozpraszania widma.

Efekt ten nazywany jest również rozprzestrzenianie widma (eng. wyciek widmowy). I odpowiednio szum pojawiający się w wyniku rozprzestrzeniania się widma płaty boczne (Angielskie listki boczne).
Aby zwalczyć listki boczne, stosuje się inne, nieprostokątne funkcje okna. Główną cechą „wydajności” funkcji okna jest poziom płata bocznego (dB). Poniżej znajduje się tabela podsumowująca poziomy listków bocznych dla niektórych powszechnie używanych funkcji okna.

Głównym problemem w naszym problemie jest to, że listki boczne mogą maskować inne harmoniczne leżące w pobliżu.

Ryż. 4. Oddzielne widma harmoniczne.

Można zauważyć, że po zsumowaniu danych widm słabsza harmoniczna wydaje się rozpuszczać w silniejszej.

Ryż. 5. Wyraźnie widoczna jest tylko jedna harmoniczna. Zły.

Innym podejściem do zwalczania rozprzestrzeniania się widma jest odejmowanie od sygnału harmonicznych, które powodują to rozprzestrzenianie.
Oznacza to, że po ustaleniu amplitudy, częstotliwości i fazy początkowej harmonicznej możemy odjąć ją od sygnału, usuwając jednocześnie odpowiadającą jej „funkcję delta”, a wraz z nią generowane przez nią listki boczne. Kolejnym pytaniem jest, jak dokładnie znaleźć parametry pożądanej harmonicznej. Nie wystarczy po prostu pobrać wymagane dane ze złożonej amplitudy. Złożone amplitudy widma powstają przy całych częstotliwościach, nic jednak nie stoi na przeszkodzie, aby harmoniczna miała częstotliwość ułamkową. W tym przypadku złożona amplituda wydaje się rozmywać pomiędzy dwiema sąsiednimi częstotliwościami i nie można ustalić jej dokładnej częstotliwości, podobnie jak innych parametrów.

Aby ustalić dokładną częstotliwość i złożoną amplitudę pożądanej harmonicznej, zastosujemy technikę szeroko stosowaną w wielu gałęziach praktyki inżynierskiej - heterodynowanie .

Zobaczmy, co się stanie, jeśli pomnożymy sygnał wejściowy przez zespoloną harmoniczną Exp(I*w*t). Widmo sygnału przesunie się o wartość w w prawo.
Skorzystamy z tej właściwości, przesuwając widmo naszego sygnału w prawo, aż harmoniczna stanie się jeszcze bardziej przypominająca funkcję delta (to znaczy, dopóki lokalny stosunek sygnału do szumu nie osiągnie maksimum). Wtedy będziemy mogli obliczyć dokładną częstotliwość pożądanej harmonicznej, jako w 0 – w het, i odjąć ją od sygnału pierwotnego, aby stłumić efekt rozpraszania widma.
Poniżej pokazano ilustrację zmian widma w zależności od częstotliwości lokalnego oscylatora.

Ryż. 6. Rodzaj widma amplitudowego w zależności od częstotliwości lokalnego oscylatora.

Opisane procedury będziemy powtarzać do momentu, aż wytniemy wszystkie obecne harmoniczne, a widmo nie będzie nam przypominało widma białego szumu.

Następnie musimy oszacować odchylenie standardowe białego szumu. Tu nie ma żadnych sztuczek: możesz po prostu użyć wzoru do obliczenia odchylenia standardowego:

Zautomatyzuj to

Czas zautomatyzować ekstrakcję harmonicznych. Powtórzmy algorytm jeszcze raz:

1. Poszukujemy globalnego piku w widmie amplitudowym, powyżej pewnego progu k.
1.1 Jeśli nie znalazłeś, skończmy
2. Zmieniając częstotliwość lokalnego oscylatora, szukamy wartości częstotliwości, przy której w pewnym sąsiedztwie wartości szczytowej zostanie osiągnięte maksimum określonego lokalnego stosunku sygnału do szumu
3. Jeśli to konieczne, zaokrąglij wartości amplitudy i fazy.
4. Odejmij od sygnału harmoniczną o znalezionej częstotliwości, amplitudzie i fazie minus częstotliwość lokalnego oscylatora.
5. Przejdź do punktu 1.

Algorytm nie jest skomplikowany i jedyne pytanie jakie się pojawia to skąd wziąć wartości progowe powyżej których będziemy szukać harmonicznych?
Aby odpowiedzieć na to pytanie, przed wycięciem harmonicznych należy ocenić poziom hałasu.

Skonstruujmy dystrybuantę (witaj, statystyka matematyczna), gdzie oś odciętych będzie amplitudą harmonicznych, a oś rzędnych liczbą harmonicznych, które nie przekraczają amplitudy tej właśnie wartości argumentu. Przykład tak skonstruowanej funkcji:

Ryż. 7. Funkcja rozkładu harmonicznego.

Teraz skonstruujemy także funkcję - gęstość rozkładu. Oznacza to, że wartości skończonych różnic wynikają z funkcji rozkładu.

Ryż. 8. Gęstość funkcji rozkładu harmonicznych.

Odcięta maksymalnej gęstości rozkładu jest amplitudą harmonicznej występującej w widmie największą liczbę razy. Odsuńmy się nieco od piku w prawo i potraktujmy odciętą tego punktu jako oszacowanie poziomu szumu w naszym widmie. Teraz możesz to zautomatyzować.

Spójrz na fragment kodu, który wykrywa harmoniczne w sygnale

publiczna lista tablic DetectHarmonics() ( Cutter SignalCutter = nowy SignalCutter(źródło, nowy sygnał(źródło)); SynthesizableComplexExponent heterodinParameter = nowy SynthesizableComplexExponent(); heterodinParameter.setProperty("częstotliwość", 0.0); Heterodina sygnału = nowy sygnał(source.getLength()) ; Signal heterodinedSignal = new Signal(cutter.getCurrentSignal()); ) > 10) zgłosić nowy wyjątek RuntimeException("Nie można przeanalizować sygnału! Spróbuj innych parametrów."); double heterodinSelected = 0.0; widmo.getAverageAmplitudeIn(harmoniczna, rozmiar okna);< (0.5 + heterodinAccuracy); heterodinFrequency += heterodinAccuracy) { heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinFrequency); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); double newSignalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); if (newSignalToNoise >sygnałToNoise) ( sygnałToNoise = newSignalToNoise; heterodinSelected = heterodinFrequency; ) ) Parametr SynthesizableCosine = nowy SynthesizableCosine();

heterodinParameter.setProperty("częstotliwość", heterodinSelected);

heterodinParameter.synthesizeIn(heterodyna);

heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); widmo.przelicz();(parametr.setProperty("amplituda", MathHelper.adaptiveRound(spectrum.getRealAmplitude(harmoniczna))); parametr.setProperty("częstotliwość", harmoniczna - heterodinSelected);

(2.8)

parametr.setProperty("faza", MathHelper.round(spectrum.getPhase(harmoniczna), 1));

nóż.addSignal(parametr); nóż.cięcieNastępny(); .

heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal());

(2.9)

widmo.przelicz();

(2.10)

) zwróć kuter.getSignalsParameters(); )

Część praktyczna , Nie twierdzę, że jestem ekspertem w Javie, a przedstawione rozwiązanie może budzić wątpliwości zarówno pod względem wydajności i zużycia pamięci, jak i ogólnie filozofii Java i filozofii OOP, niezależnie od tego, jak bardzo się staram, aby było lepsze. Został napisany w kilka wieczorów jako dowód koncepcji. Zainteresowani mogą zapoznać się z kodem źródłowym pod adresem

Zgodnie z metodą spektralną analizującą przejście sygnałów przez obwody liniowe, dowolny sygnał losowy

S , T

. (2.12)

Ortogonalność funkcji bazowych, za pomocą których reprezentowany jest sygnał oryginalny, gwarantuje, że sygnał może być reprezentowany w jednoznaczny sposób. Warunek ortogonalności spełniają funkcje harmoniczne wielu częstotliwości, a także funkcje Walsha, które w segmencie swojego istnienia przyjmują tylko wartości równe 1, dyskretne sygnały Barkera i kilka innych funkcji. Spektralna metoda analizy sygnału opiera się na transformatach Fouriera i polega na zastąpieniu złożonej funkcji czasu opisującej sygnał sumą prostych sygnałów harmonicznych tworzących widmo częstotliwości tego sygnału. Słynny francuski fizyk i matematyk J.B. Fourier (1768 - 1830) udowodnił, że każdą zmianę w czasie jakiejś funkcji można przybliżyć jako skończoną lub nieskończoną sumę szeregu oscylacji harmonicznych o różnych amplitudach, częstotliwościach i fazach początkowych. Funkcja ta może oznaczać prąd lub napięcie w obwodzie elektrycznym.

Rozważmy najpierw reprezentację okresowego sygnału elektrycznego (ryc. 2.4), który spełnia warunek

, (2.13)

gdzie: - okres sygnału; =1,2,3,….

Ryż. 2.4. Sygnał okresowy

Wyobraźmy sobie ten sygnał jako nieskończony szereg trygonometryczny:

Szereg ten nazywa się szeregiem Fouriera.

Szereg Fouriera można zapisać w innej formie:

, (2.15)

Gdzie: — moduł amplitud harmonicznych;

— fazy harmoniczne;

— częstotliwość kołowa;

— współczynniki składowych cosinus; — współczynniki składowych sinusoidalnych; — średnia wartość sygnału w okresie (składnik stały) .

Poszczególne wyrazy szeregu nazywane są harmonicznymi . Liczba jest liczbą harmoniczną. Zbiór wartości szeregowo (2.15) nazywany jest widmem amplitudowym, a zbiór wartości nazywany jest widmem fazowym.

Poniżej na ryc. Rysunek 2.5 przedstawia widma amplitudowe i fazowe sygnału okresowego. Pionowe segmenty widma amplitudowego reprezentują amplitudy harmoniczne i nazywane są liniami widmowymi.

Rysunek 2.5. Widma amplitudowe i fazowe sygnału okresowego

Zatem widmo sygnału okresowego – Rządził . Każdy sygnał okresowy ma dobrze określone widma amplitudowe i fazowe.

Suma szeregów (2.15) jest nieskończona, jednak począwszy od pewnej liczby amplitudy harmonicznych są na tyle małe, że można je pominąć, a praktycznie rzeczywisty sygnał okresowy reprezentuje funkcja o ograniczonym widmie. Przedział częstotliwości odpowiadający ograniczonemu widmu nazywany jest szerokością widma.

Jeżeli funkcja opisująca sygnał okresowy jest parzysta, to suma szeregu (2.14) będzie zawierać tylko składowe cosinus. Jeśli jest funkcją nieparzystą, to suma będzie zawierać tylko składowe sinusoidalne.

Możliwe jest również przedstawienie sygnału okresowego w postaci złożonego szeregu Fouriera:

, (2.16)

— złożone amplitudy widma, zawierające informacje zarówno o widmie amplitudowym, jak i fazowym.

Po podstawieniu wartości i otrzymujemy:

(2.17)

Jeśli podstawimy wynikową wartość na szereg (1.29), wówczas zamieni się ona w tożsamość. Zatem okresowy sygnał elektryczny można określić albo w funkcji czasu, albo na podstawie złożonej amplitudy widma.

2.2.1. Widmo okresowego ciągu impulsów prostokątnych

Skład widma okresowej sekwencji impulsów prostokątnych zależy od stosunku okresu sekwencji do czasu trwania impulsu, zwanego współczynnikiem wypełnienia impulsów. Widmo nie będzie zawierać harmonicznych o liczbach będących wielokrotnościami cyklu pracy impulsu. Cykl pracy impulsów wynosi . Rysunek 1.17 przedstawia trzy sekwencje impulsów o różnych cyklach pracy i odpowiadające im widma. Dla sekwencji okresowej, której cykl pracy wynosi 2, widmo nie zawiera 2, 4, 6, 8 itd. harmonicznych. W przypadku sekwencji, której cykl pracy wynosi 3, w widmie nie ma trzeciej, szóstej itd. harmonicznych. W przypadku sekwencji, której współczynnik wypełnienia wynosi 4, widmo nie zawiera harmonicznej czwartej, ósmej itd. We wszystkich podanych widmach odstęp między liniami widmowymi jest równy odwrotności okresu sekwencji. Punkty na osi częstotliwości, w których widmo wynosi zero, odpowiadają odwrotności czasu trwania impulsów sekwencji okresowych.

Ryc.2.6.Okresowe ciągi impulsów i ich widma.

2.2.2. Widmo sygnału nieokresowego

Rozważając widmo sygnału nieokresowego, zastosujemy ograniczające przejście od sygnału okresowego do sygnału nieokresowego, kierując okres w nieskończoność.

Dla sygnału okresowego pokazanego na rys. 2.4, wcześniej uzyskano wyrażenie (2.17) dla zespolonej amplitudy widma:

(2.18)

Wprowadźmy oznaczenie:

(2.19)

Zbudujmy moduł widma:

Ryż. 2.7. Okresowy moduł widma sygnału

Odległość pomiędzy liniami widmowymi wynosi . Jeśli zwiększysz okres, wówczas odstęp w1 będzie się zmniejszał. Gdy odstęp między liniami widmowymi w1® dw. W tym przypadku okresowa sekwencja impulsów zamienia się w pojedynczy impuls, a moduł widma ma tendencję do ciągłej funkcji częstotliwości. W wyniku ograniczającego przejścia z sygnału okresowego na nieokresowy widmo liniowe degeneruje się do widma ciągłego, co pokazano na rys. 2.8.

Ryż. 2.8. Widmo sygnału nieokresowego

W tym przypadku złożona amplituda jest równa:

. (2.20)

Biorąc pod uwagę przejazd do limitu o godz

(2.21)

Podstawmy powstałe wyrażenie na szereg (2.16). W tym przypadku suma jest przekształcana na całkę, a wartości częstotliwości dyskretnych na wartość częstotliwości bieżącej i sygnału nieokresowego można przedstawić w następującej postaci:

. (2.22)

Wyrażenie to odpowiada odwrotnej transformacie Fouriera. Obwiednia widma ciągłego pojedynczego impulsu pokrywa się z obwiednią widma liniowego funkcji okresowej reprezentującej okresowe powtarzanie tego impulsu.

Całka Fouriera pozwala przedstawić dowolną funkcję nieokresową jako sumę nieskończonej liczby oscylacji sinusoidalnych o nieskończenie małych amplitudach i nieskończenie małym przedziale częstotliwości. Widmo sygnału określa się na podstawie wyrażenia

Całka ta odpowiada bezpośredniej transformacie Fouriera.

– widmo złożone, zawiera informacje zarówno o widmie amplitudowym, jak i widmie fazowym.

Zatem widmo funkcji nieokresowej jest ciągłe. Można powiedzieć, że zawiera „wszystkie” częstotliwości. Jeśli z widma ciągłego wytniesz mały przedział częstotliwości, wówczas częstotliwości składowych widmowych w tym obszarze będą się różnić w wymaganym stopniu. Dlatego składowe widmowe można dodawać tak, jakby wszystkie miały tę samą częstotliwość i te same złożone amplitudy. Gęstość widmowa to stosunek złożonej amplitudy małego przedziału częstotliwości do wartości tego przedziału.

Analiza widmowa sygnałów ma fundamentalne znaczenie w elektronice radiowej. Znajomość widma sygnału pozwala podejmować świadome decyzje dotyczące przepustowości urządzeń, na które ten sygnał ma wpływ.

2.2.3. Widmo pojedynczego prostokątnego impulsu wideo

Obliczmy widmo pojedynczego prostokątnego impulsu, którego amplituda jest równa mi, a czas trwania wynosi t, jak pokazano na ryc. 2.9.

Ryż. 2.9. Pojedynczy impuls kwadratowy

Zgodnie z wyrażeniem (2.24) widmo takiego sygnału jest równe

=. (2.24)

Ponieważ = 0, gdy , to częstotliwości, przy których widmo zanika, są równe , gdzie K=1,2,3…

Na ryc. Rysunek 2.10 przedstawia złożone widmo pojedynczego prostokątnego impulsu o czasie trwania.

Ryc.2.10. Widmo pojedynczego impulsu prostokątnego

Gęstość widmowa określa rozkład energii w widmie pojedynczego impulsu. W ogólnym przypadku rozkład energii jest nierównomierny. Homogeniczny rozkład jest charakterystyczny dla chaotycznego procesu zwanego „białym szumem”.

Gęstość widmowa impulsu przy częstotliwości zerowej jest równa jego powierzchni. Około 90% energii pojedynczego prostokątnego impulsu koncentruje się w widmie, którego szerokość jest określona przez wyrażenie

Zależność (1.41) określa wymagania dotyczące przepustowości urządzenia radiowego. W zadaniach, gdzie kształt sygnału ma drugorzędne znaczenie, szerokość pasma urządzenia dla tego sygnału można dobrać równą szerokości pierwszego płatka widma. W tym przypadku stopień zniekształcenia kształtu sygnału nie jest znany. Podwojenie szerokości pasma zwiększy energię sygnału jedynie o 5%, jednocześnie zwiększając poziom szumu.

W poprzednich rozdziałach zbadaliśmy rozwinięcie sygnałów okresowych w szereg Fouriera, a także zbadaliśmy niektóre właściwości reprezentacji sygnałów okresowych w szereg Fouriera. Powiedzieliśmy, że sygnały okresowe można przedstawić jako serię złożonych współczynników wykładniczych, oddalonych od siebie o częstotliwość rad/s, gdzie jest okres powtarzania sygnału. W rezultacie reprezentację sygnału w postaci szeregu złożonych harmonicznych możemy interpretować jako złożone widmo sygnału. Złożone widmo z kolei można podzielić na widma amplitudowe i fazowe sygnału okresowego.

W tej części rozważymy widmo okresowej sekwencji prostokątnych impulsów, jako jednego z najważniejszych sygnałów wykorzystywanych w praktycznych zastosowaniach.

Widmo okresowego ciągu impulsów prostokątnych

Niech sygnał wejściowy będzie okresową sekwencją prostokątnych impulsów o amplitudzie, czasie trwania sekund, po których następuje okres sekund, jak pokazano na rysunku 1

Rysunek 1. Okresowa sekwencja impulsów prostokątnych

Jednostka miary amplitudy sygnału zależy od procesu fizycznego, który opisuje sygnał. Może to być napięcie, prąd lub dowolna inna wielkość fizyczna posiadająca własną jednostkę miary, która zmienia się w czasie jako . W tym przypadku jednostki miary amplitud widma będą pokrywać się z jednostkami miary amplitudy sygnału pierwotnego.

Następnie widmo , , tego sygnału można przedstawić jako:

Widmo okresowego ciągu impulsów prostokątnych jest zbiorem harmonicznych z obwiednią postaci .

Własności widma okresowej sekwencji impulsów prostokątnych

Rozważmy niektóre właściwości obwiedni widma okresowej sekwencji prostokątnych impulsów.

Składową stałą obwiedni można otrzymać jako granicę:

Aby ujawnić niepewność, używamy reguły L'Hopitala:

Gdzie nazywa się cyklem pracy impulsów i określa stosunek okresu powtarzania impulsu do czasu trwania pojedynczego impulsu.

Zatem wartość obwiedni przy częstotliwości zerowej jest równa amplitudzie impulsu podzielonej przez cykl pracy. Wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia (tj. gdy czas trwania impulsu maleje przy ustalonym okresie powtarzania), wartość obwiedni przy częstotliwości zerowej maleje.

Korzystając z cyklu pracy impulsów, wyrażenie (1) można przepisać jako:

Zera obwiedni widma sekwencji prostokątnych impulsów można otrzymać z równania:

Mianownik dąży do zera tylko wtedy, gdy jednak, jak dowiedzieliśmy się powyżej , to będzie rozwiązanie równania

Następnie koperta znika, jeśli

Rysunek 2 przedstawia obwiednię widma okresowej sekwencji prostokątnych impulsów (linia przerywana) oraz zależności częstotliwościowe pomiędzy obwiednią a widmem dyskretnym.

Rysunek 2. Widmo okresowej sekwencji impulsów prostokątnych

Pokazano także obwiednię amplitudy, widmo amplitudy, a także obwiednię fazową i widmo fazowe.

Z rysunku 2 widać, że widmo fazowe przyjmuje wartości, gdy obwiednia ma wartości ujemne. Zauważ, że i odpowiadają temu samemu punktowi płaszczyzny zespolonej równej .

Przykład widma okresowej sekwencji impulsów prostokątnych

Niech sygnał wejściowy będzie okresową sekwencją prostokątnych impulsów o amplitudzie, po których nastąpi okres drugiego i innego cyklu pracy. Na rys. 3a przedstawiono oscylogramy czasowe tych sygnałów, ich widma amplitudowe (rys. 3b) oraz ciągłe obwiednie widm (linia przerywana).

Rysunek 3. Widmo okresowej sekwencji prostokątnych impulsów przy różnych wartościach współczynnika wypełnienia
a - oscylogramy czasowe; b - widmo amplitudowe

Jak widać na rysunku 3, wraz ze wzrostem współczynnika wypełnienia sygnału, czas trwania impulsu maleje, obwiednia widma rozszerza się, a amplituda maleje (linia przerywana). W rezultacie wzrasta liczba harmonicznych widma w płacie głównym.

Widmo przesuniętej w czasie okresowej sekwencji impulsów prostokątnych

Powyżej szczegółowo zbadaliśmy widmo okresowej sekwencji prostokątnych impulsów dla przypadku, gdy pierwotny sygnał był symetryczny względem . W rezultacie widmo takiego sygnału jest rzeczywiste i wyrażane jest wzorem (1). Teraz przyjrzymy się, co stanie się z widmem sygnału, jeśli przesuniemy sygnał w czasie, jak pokazano na rysunku 4.

Rysunek 4. Przesunięta w czasie sekwencja okresowa impulsów prostokątnych

Przesunięty sygnał można traktować jako sygnał opóźniony o połowę czasu trwania impulsu . Widmo przesuniętego sygnału można przedstawić zgodnie z właściwością cyklicznego przesunięcia czasowego jako:

Zatem widmo okresowej sekwencji impulsów prostokątnych, przesunięte względem zera, nie jest funkcją czysto rzeczywistą, ale zyskuje dodatkowy współczynnik fazowy . Widma amplitudowe i fazowe pokazano na rysunku 5.

Rysunek 5. Widma amplitudowe i fazowe przesuniętej w czasie sekwencji okresowej impulsów prostokątnych

Z rysunku 5 wynika, że ​​przesunięcie sygnału okresowego w czasie nie powoduje zmiany widma amplitudowego sygnału, lecz dodaje składową liniową do widma fazowego sygnału.

Wnioski

W tej części otrzymaliśmy analityczne wyrażenie widma okresowej sekwencji impulsów prostokątnych.

Zbadaliśmy właściwości obwiedni widma okresowej sekwencji prostokątnych impulsów i podaliśmy przykłady widm przy różnych wartościach współczynnika wypełnienia.

Rozpatrzono także widmo w przypadku przesunięcia w czasie ciągu prostokątnych impulsów i wykazano, że przesunięcie czasowe zmienia widmo fazowe i nie wpływa na widmo amplitudowe sygnału.

Moskwa, radio radzieckie, 1977, 608 s.

Dötsch, G. Przewodnik po praktycznym zastosowaniu transformaty Laplace'a. Moskwa, Nauka, 1965, 288 s.