MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI ROSJI

BUDŻET PAŃSTWA FEDERALNEGO INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEJ SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO

„MORDOWSKI UNIWERSYTET PAŃSTWOWY im. N. P. OGAREWA”

WYDZIAŁ ELEKTRONIKI

Katedra AUTOMATYKI

M. V. ILYIN

Z. Z. Kapitonow

Autorzy i opracowujący: Kierownik Katedry Automatyki, Doktorat technologia nauk ścisłych, profesor nadzwyczajny Katedra Automatyki, Doktorat technologia nauki, nauczyciel Katedra Automatyki , profesor nadzwyczajny Katedry Automatyki.

Przejście sygnałów o różnych kształtach drogą liniową RC-łańcuchy: warsztat laboratoryjny / N. N. Bespalov, M. V. Ilyin, . - Sarańsk: Kovylk. typ., 2012. - 24 s.

ISBN___________

Zawiera informacje teoretyczne i wytyczne do wykonania pracy laboratoryjnej „Przejście sygnałów o różnych kształtach drogą liniową RC-obwody” w ramach kursu „Obwody elektroniczne i mikroukłady”. Przeznaczony dla studentów kierunków „Elektronika i nanoelektronika”, „Technologie informatyczne i systemy łączności”, „Energetyka i elektrotechnika” oraz „Oprzyrządowanie”. Z podręcznika będą jednak mogli korzystać studenci innych specjalności związanych z elektrotechniką, elektroniką i radiotechniką.

Opublikowano decyzją rady naukowo-metodologicznej Mordowskiego Uniwersytetu Państwowego. Przeddzień.

UDC 621.391.3.011.71(076)

BBK B534

PRZEDMOWA

Niniejsza pracownia laboratoryjna zawiera opis pierwszej pracy laboratoryjnej, która jest wykonywana w ramach studiów stacjonarnych i niestacjonarnych form badania obwodów impulsowych w ramach kursu „Obwody elektroniczne i mikroukłady”.

Głównym celem tej pracy jest badanie procesów przenoszenia impulsów o różnych kształtach RC-więzy.

Ponieważ realizacja prac laboratoryjnych na studiowanym kursie często poprzedza prezentację wykładową odpowiednich sekcji, w opisie pracy znajdują się zastosowania teoretyczne, które mogą służyć jako pomoce dydaktyczne dla odpowiednich sekcji kursu, a także podręczniki dotyczące projektowania kursów i standardowe obliczenia.

Jednak wykorzystanie tylko jednej aplikacji teoretycznej do przygotowania się do pracy laboratoryjnej jest niewystarczające. Konieczne jest przestudiowanie odpowiednich fragmentów literatury podanej na końcu zbioru.

Przygotowując się do kolejnej pracy, student ma obowiązek zapoznać się z opisem stanowiska, podręcznikiem teoretycznym, wskazaną literaturą, a także wykonać wstępne zadanie obliczeniowe.

Sprawozdanie z prac musi zawierać zbadane schematy, wykonane wstępne zadanie obliczeniowe i uzyskane wyniki. Sprawozdanie należy przygotować starannie na standardowych kartkach formatu A4 i złożyć także w formie elektronicznej.

Procedura wykonywania tej pracy laboratoryjnej jest następująca.

1. Należy przeszkolić grupę studentów rozpoczynającą pracę laboratoryjną zasady ogólne zachowania w tej pracowni i zgodnie z zasadami bezpieczeństwa, co odnotowuje się w odpowiednim dzienniku z podpisem każdego studenta.

2. Przed następną lekcją każdy uczeń uczestniczy w kolokwium na temat bieżącej pracy. Jeżeli student nie jest gotowy do pracy lub nie wykonał wstępnego zadania obliczeniowego, nie jest dopuszczony do pracy.

3. Na kolejnej lekcji po zakończeniu pracy student ma obowiązek przedstawić wypełnione sprawozdanie z wykonanej pracy i obronić pracę.

Studenci, którzy nie obronili dwóch prac do czasu zaliczenia kolejnej pracy, nie są dopuszczeni do zajęć. Każdy student przygotowuje sprawozdanie z pracy.

Wszystko praca laboratoryjna Studiowany kurs obejmuje czterogodzinną lekcję w klasie i czterogodzinne przygotowanie w domu.

1 KRÓTKA INFORMACJA TEORETYCZNA

Obwody liniowe to obwody składające się z zestawu elementy liniowe, czyli elementy, których wartości nominalne nie zależą od przepływającego prądu lub przyłożonego napięcia. Zasada superpozycji dotyczy wszystkich obwodów liniowych. Przykładowo do opisu procesów w obwodach liniowych można zastosować metody oparte na zastosowaniu całki Duhamela, czy metody analizy harmonicznej. Uważany za RC-obwody są stosowane w wielu praktycznych obwodach jako konwertery funkcjonalne. W zależności od budowy i stosunku parametrów elementów RC-networks można wykorzystać do różnicowania (filtr górnoprzepustowy) lub integracji (filter niskie częstotliwości) sygnały wejściowe.

Aby analizować procesy przejściowe w obwody impulsowe stosowane są metody klasyczne, operatorowe, częstotliwościowe oraz metoda całkowa Duhamela (metoda superpozycji).

Metoda klasyczna. Przy obliczaniu procesów przejściowych tą metodą sygnał wejściowy jest reprezentowany jako funkcja Uwejście(T), a badany obwód RC opisuje równanie różniczkowe (DE), które ustala zależność między napięciami wyjściowymi i wejściowymi, parametrami elementów obwodu i wpływem zewnętrznym. Podczas kompilowania układu sterowania stosuje się szereg praw i twierdzeń określających związek między napięciami i prądami. Najważniejsze z nich to prawo Ohma, komutacja, Kirchhoff i równoważne twierdzenie o generatorze.

W wielu przypadkach, analizując procesy przejściowe, obwód zastępczy badanego obwodu opisuje się DE pierwszego rzędu ze stałą prawą stroną:

Gdzie τ - stała czasowa charakteryzująca bezwładność obwodu; x(t)-wymagana ilość (prąd, napięcie); Z 0 - zakłócający wpływ zewnętrzny.

Ogólne rozwiązanie równania (1) ma postać:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image003_175.gif" szerokość="93" wysokość="29 src=">,

Gdzie A- stała całkowania (wyznaczona z warunków początkowych); R- pierwiastek równania charakterystycznego https://pandia.ru/text/78/069/images/image005_134.gif" szerokość="63" wysokość="48 src=">.

Zatem ogólne rozwiązanie DE (1) zostanie zapisane jako:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image007_114.gif" szerokość="40" wysokość="20"> i znajdźmy:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image011_83.gif" szerokość="123" wysokość="24 src=">.

Dlatego rozwiązanie DE (1) można zapisać w postaci

https://pandia.ru/text/78/069/images/image013_87.gif" szerokość="181" wysokość="60 src=">. (3)

Dla konkretnego obwodu RC określa się współczynnik transmisji operatora K(r), a następnie znajdź obraz napięcia wyjściowego i według funkcji Una zewnątrz(P) określić oryginał Una zewnątrz(T) , stosując odwrotną transformatę Laplace'a:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" szerokość="12" wysokość="23 src=">jest określana według wzoru:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image017_73.gif" szerokość="248" wysokość="56 src=">.

Jeśli mianownik obrazu Una zewnątrz(P) ma, wraz z prostymi korzeniami R 1, R 2 …, R korzeń R n+1 krotność a, czyli obraz Una zewnątrz(R) zapisuje się jako ułamek zwykły:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" szerokość="12" height="23">będzie funkcja:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" szerokość="12 wysokość=23" wysokość="23"> Metoda częstotliwościowa. Podczas korzystania z tej metody sygnał wejściowy Uwejście(T)w oparciu o bezpośrednią transformatę Fouriera jest reprezentowany jako widmo częstotliwości Uwejście(Jw). Następnie znajduje się złożony współczynnik przenikania DO(Jw)https://pandia.ru/text/78/069/images/image020_61.gif" szerokość="244" wysokość="60 src=">.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" szerokość="12" wysokość="23 src=">złożony kształt. Napięcie wyjściowe oblicza się z wyrażenia:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image022_36.jpg" szerokość="507" wysokość="353 src=">

Rysunek 1 - Przejście stopnia napięcia RC-łańcuch.

Sygnał wejściowy można zapisać jako

0 o godz T < 0

Uwejście(T)= Hm, o godz T > 0.

Stosując metodę klasyczną, konieczne jest opracowanie systemu sterowania RC-więzy. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa możemy napisać:

Una zewnątrz(T) = U C( T) + Uwejście(T). (4)

Podczas składania sygnał wejściowy przez pojemnik Z przepływa prąd I(T) i napięcie na pojemności https://pandia.ru/text/78/069/images/image025_52.gif" szerokość="237" wysokość="60 src=">.

W danych okolicznościach Ri(T) = Una zewnątrz(T) i różniczkując prawą i lewą stronę tego równania, otrzymujemy:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image027_46.gif" szerokość="212" wysokość="43 src=">.

Podstawienie wartości do otrzymanego równania Uwejście(T), dla napięcia wyjściowego otrzymujemy:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image029_48.gif" szerokość="289 wysokość=49" wysokość="49">.

Aby znaleźć wyrażenie Una zewnątrz(T) W w tym przypadku możesz skorzystać z równania (3), które zostanie zapisane w postaci:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image031_40.gif" szerokość="67" wysokość="25 src="> - napięcie wyjściowe Na T= ∞ (po zakończeniu procesu przejścia, tj. w chwili = 0); Una zewnątrz(0) - napięcie wyjściowe przy T= 0, (w momencie przełączenia, kiedy U wyjście(0) = Hmm).

Dlatego napięcie wyjściowe zostanie określone jako:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image033_39.gif" szerokość="104" wysokość="52">. Współczynnik transmisji operatora DO(R) dla danego obwodu RC wyznacza się następująco:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image028_48.gif" szerokość="129" wysokość="47">.

PrzechodzącRC - prostokątny obwód impulsowy. Rysunek 2a pokazuje RC- obwód, na którego wejście doprowadzany jest prostokątny impuls o amplitudzie Hmm i czas trwania. Sygnał wejściowy może być reprezentowany w postaci dwóch spadków napięcia o przeciwnej polaryzacji Hmm, przesunięte względem siebie na jakiś czas TI(Rysunek 2b).

O godzinie 0< T < TI

Uwejście(p)= https://pandia.ru/text/78/069/images/image039_37.gif" szerokość="18" wysokość="151 src=">.gif" szerokość="151" wysokość="72 src="> kiedy TI > 0,

i następnie, korzystając z odwrotnej transformaty Laplace'a, znajdujemy funkcję czasu Una zewnątrz(T):

O godzinie 0< T < TI

Una zewnątrz(T)= Na TI > 0.

Kształt impulsu wyjściowego zależy od stosunku TI I τ . Rysunek 3a przedstawia kształt sygnału wyjściowego, gdy τ << TI, a rysunek 3b przedstawia sygnał wyjściowy w τ >> TI. Z rysunku jasno wynika, że ​​jeśli RC- obwód musi przesyłać impuls prostokątny bez zniekształceń, wówczas należy wybrać współczynnik τ >> TI. Aby oszacować zniekształcenie wierzchołka impulsu, stosuje się względny zanik wierzchołka impulsu Δ:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image046_20.jpg" szerokość="597" wysokość="285 src=">

Rysunek 3 - Kształt sygnału wyjściowego dla różnych T.

Podobnie można określić kształt sygnału wyjściowego RC-obwód pokazany na rysunku 4a (integrujący RC-łańcuch). Z rysunku 4b jasno wynika, że ​​aby przesłać impuls przy minimalnych zniekształceniach przednich, należy dokonać wyboru τ << TI.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image048_18.jpg" szerokość="376" wysokość="261">

Rysunek 5 – Aby określić czas trwania czoła impulsu.

PrzechodzącRC - liniowo rosnący obwód napięcia. Rysunek 6 pokazuje RC- obwód, którego wejście otrzymuje liniowo rosnące napięcie Uwejście(T) =kt, Gdzie k= tgα- współczynnik proporcjonalności.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image050_24.gif" szerokość="221" wysokość="25 src=">.gif" szerokość="31 wysokość=43" wysokość="43"> można przedstawić w postaci szeregu:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image054_22.gif" szerokość="323" wysokość="55 src=">.

Z tego jasno wynika, że ​​dla małych wartości T (T<<τ ) napięcie wyjściowe praktycznie pokrywa się z napięciem wejściowym, tj. . Una zewnątrz(T) ≈ kt.

Zniekształcenie przebiegu wyjściowego:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image056_21.gif" szerokość="141" wysokość="48 src="> - dolna częstotliwość graniczna określona podczas spadku odpowiedź częstotliwościowa równy 3 dB. Na przykład, aby przesłać napięcie przemiatania o czasie trwania 2 ms i odchyleniu od liniowości nie większym niż 0,1%, z ostatniego równania wynika, że ​​konieczne jest posiadanie FN < 0,16 Гц или RC = τ > 1s.

Na T >> τ napięcie wyjściowe ma tendencję do stałej wartości kτ. Napięcie pojemnościowe Z można znaleźć tak:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image058_11.jpg" szerokość="369" wysokość="314">

Rysunek 7 - Reprezentacja napięcia trapezowego w postaci czterech liniowo rosnących sygnałów.

Dzielniki rezystorowe z wieloma wejściami. Przykład obwodu dzielnika wielowejściowego pokazano na rysunku 8.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image060_22.gif" szerokość="269" wysokość="64 src=">,

W szczególnym przypadku, gdy https://pandia.ru/text/78/069/images/image064_18.gif" szerokość="253" wysokość="60 src=">,

https://pandia.ru/text/78/069/images/image067_19.gif" szerokość="21" wysokość="25 src=">, ale także liczba składników napięcia, stosunek wartości rezystancji komunikacji i rezystancji obciążenia.

Rysunek 9 - Dzielnik rezystorowy obciążony pojemnością C.

Kiedy przez taki dzielnik przechodzi impuls, jego czoła ulegają rozciągnięciu na skutek procesów ładowania i rozładowywania kondensatora Z i zmniejszenie jego amplitudy ze względu na obecność dzielnika (https://pandia.ru/text/78/069/images/image072_18.gif" szerokość="165" wysokość="29 src=">

i amplituda:

DIV_ADBLOCK157">

https://pandia.ru/text/78/069/images/image075_17.gif" szerokość="128" wysokość="49 src=">.

Dzielniki rezystorowo-pojemnościowe. W niektórych przypadkach, aby przesłać różnice w napięciu wejściowym, wyjście rezystora https://pandia.ru/text/78/069/images/image077_4.jpg" szerokość="511" wysokość="377 src=">

Rysunek 9 - Przejście prostokątnego impulsu przez dzielnik rezystor-pojemność.

Niech na wejście takiego dzielnika zostanie przyłożony prostokątny impuls napięcia o amplitudzie mi, i założymy, że źródło impulsów wejściowych jest idealne, pozbawione rezystancji wewnętrznej, a zatem zdolne do wytworzenia nieskończenie dużej mocy.

W momencie przełączenia ( T= 0) następuje nieskończenie duży skok prądu przez kondensatory https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" szerokość="24" wysokość="23">, w wyniku czego natychmiastowy końcowe skoki mocy i https://pandia.ru/text/78/069/images/image082_18.gif" szerokość="273" wysokość="55 src=">,

gdzie i są ładunki na kondensatorach i w tej chwili T. Na T= 0 = , od kiedy T= 0 prąd przepływa tylko przez pojemności https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" szerokość="24" wysokość="23 src="> wtedy:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image088_12.gif" szerokość="336" wysokość="60 src=">,

https://pandia.ru/text/78/069/images/image091_11.gif" szerokość="205" height="55 src=">. i aż do początkowych (jeśli T> 0) poziomy napięcia.

W niektórych urządzeniach (na przykład w multiwibratorach) w dzielniku rezystor-pojemność znajduje się rezystor https://pandia.ru/text/78/069/images/image111_9.gif" szerokość="64" wysokość="23 src =">.

W praktyce stosuje się również dzielniki rezystorowo-pojemnościowe z wieloma wejściami.

2 ZADANIE PRACY

Cel pracy: Badanie wpływu parametrów RC- obwody zniekształcające kształt przesyłanych impulsów.

1. Zgodnie z instrukcją nauczyciela dla jednego z obwodów pokazanych na rysunku 10 oraz wybranych wartości parametrów elementu obliczyć względny spadek wartości szczytowej oraz czas trwania czoła sygnału wyjściowego przy zasilaniu jednobiegunowym Na wejście podawany jest impuls prostokątny.

2. Dla wybranych RC- obwód i parametry jego elementów, obliczyć zniekształcenie kształtu sygnału wyjściowego przy przyłożeniu na wejście liniowo rosnącego napięcia (impuls piłokształtny).

3. Utwórz model w Multisimie dla wybranego obwodu. Eksperymentalnie za pomocą wirtualnego oscyloskopu określ wartości parametrów impulsów wyjściowych podanych w paragrafach 1 i 2 i porównaj je z wartościami obliczonymi. Zapisz jako pliki graficzne oscylogramy impulsów wejściowych i wyjściowych do późniejszego generowania raportów.

4. W modelu utworzonym w kroku 3 zamień źródło sygnału wejściowego na źródło sygnału o złożonym kształcie. Warianty sygnałów złożonych pokazano na rysunku 11. Kształt sygnału ustala nauczyciel. Wyniki symulacji należy przedstawić w raporcie w postaci oscylogramów sygnałów wejściowych i wyjściowych.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image113_3.jpg" szerokość="604" wysokość="527 src=">

Rysunek 11 - Sygnały wejściowe o różnych kształtach.

3 PYTANIA TESTOWE

1. Formułować podstawowe zasady klasycznej metody analizy procesów przejściowych w obwodach impulsowych.

2. Formułować podstawowe zasady metody operatorowej analizy procesów nieustalonych w obwodach impulsowych.

3. Podaj podstawowe zasady metoda częstotliwościowa analiza procesów przejściowych w obwodach impulsowych.

4. Jakie obwody nazywane są liniowymi?

5. Jaka jest zasada superpozycji przy analizie sygnałów o skomplikowanych kształtach?

LISTA BIBLIOGRAFICZNA

1. Teoria liniowa Ułachowicza obwody elektryczne/ . - Petersburgu. : BHV-Petersburg, 2009. - 816 s.

2. Liniowe obwody elektryczne Beletsky'ego. Wydanie 2 / - M.: Lan, 2011. - 544 s.

3. Kolontaevsky: Podręcznik. podręcznik dla techników zawodowych / . - M.: Wyżej. szkoła, 1988. -304 s.

4 Radiotechnika: Podręcznik dla studentów fizyki i matematyki. udawane. pe. in-tov / , . - M.: Edukacja, 1986. -319 s.

5. Urządzenia Goldenberg / . M.: Radio i komunikacja, 1981. - 221 s.

6. Obwody i sygnały Honorowskiego: Podręcznik dla uniwersytetów. Wydanie czwarte, przetłumaczone. i dodatkowe / . M.: Radio i komunikacja, 1988. -512 s.

	przedmowa……………………………………………………….
	Krótka informacja teoretyczna ………………………………
	Przydział pracy ……………………………………………………
	Pytania bezpieczeństwa ……………………………………………
	Bibliografia………………………………………

PRZEJŚCIE SYGNAŁÓW

INNY KSZTAŁT

POPRZEZ LINIOWERC -WIĘZY

Warsztat laboratoryjny

na kursie „Obwody elektroniczne i mikroukłady”

Wydanie edukacyjne

B. I. PETROV

Autorzy współpracujący: N. N. BESPALOV, M. V. ILYIN,

S. S. KAPITONOW, .

Wydrukowano zgodnie z opisem

oryginalny układ

Dostarczono do rekrutacji w dniu __.11.2012. Podpisano do publikacji __.12.2012.

Krój pisma Times. Druk offsetowy. Format 60x84 1/16.

Wyd. akademickie. l. 0,00 Warunek piekarnik l. ___. Nakład 100 egzemplarzy.

Mordowski Uniwersytet Państwowy nazwany imieniem. Przeddzień

Wydrukowano w Drukarni Kovylkino Ministerstwa Prasy i Informacji Republiki Mordowii

Rozważmy liniowy układ inercjalny ze znaną wartością funkcja przenoszenia lub reakcja impulsowa. Niech na wejściu takiego układu będzie stacjonarny proces losowy o zadanych charakterystykach: gęstości prawdopodobieństwa, funkcji korelacji lub widmie energii. Określmy charakterystykę procesu na wyjściu układu: , i .

Spektrum energii procesu najłatwiej znaleźć na wyjściu układu. Rzeczywiście, poszczególne implementacje procesu wejściowego są deterministyczne

funkcje i można do nich zastosować aparat Fouriera. Niech będzie okrojoną implementacją czasu trwania T losowy proces na wejściu, oraz

Jego gęstość widmowa. Gęstość widmowa implementacji na wyjściu układu liniowego będzie równa

Spektrum energii procesu na wyjściu zgodnie z (3.3.3) zostanie określone przez wyrażenie

(3.4.3)

te. będzie równa widmu energii procesu na wejściu, pomnożonemu przez kwadrat charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej układu i nie będzie zależeć od charakterystyki fazowo-częstotliwościowej.

Funkcję korelacji procesu na wyjściu układu liniowego można zdefiniować jako transformatę Fouriera widma energii:

(3.4.4)

W konsekwencji, gdy wpływa losowy proces stacjonarny układ liniowy wynikiem jest także stacjonarny proces losowy z widmem energii i funkcją korelacji określoną wyrażeniami (3.4.3) i (3.4.4). Moc procesowa na wyjściu systemu będzie równa

(3.4.5)

Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa i charakterystyka numeryczna sygnału na wyjściu bezinercyjnym obwód liniowy.

Baskakow s. 300 – 302

Przechodzenie sygnałów losowych przez nieliniowe obwody wolne od bezwładności.

Rozważmy teraz problem przejścia procesu losowego przez układ nieliniowy. W ogólnym przypadku problem ten jest bardzo złożony, ale jest znacznie uproszczony, gdy układ nieliniowy jest wolny od bezwładności. W układach nieliniowych wolnych od bezwładności wartości procesu wyjściowego w w tej chwili czas są określone przez wartości procesu wejściowego w tym samym momencie. W przypadku nieliniowych transformacji pozbawionych bezwładności prostszym zadaniem jest wyznaczenie funkcji rozkładu na wyjściu w znacznie bardziej złożonym - wyznaczeniu funkcji korelacji lub widma energii.

Jak zauważono powyżej, n-wymiarowa funkcja rozkładu procesu losowego jest zasadniczo funkcją rozkładu n zmiennych losowych reprezentujących wartości procesu losowego w n różnych punktach w czasie stosunkowo proste zadanie.

Rozważmy najprostszy przykład jednowymiarowa zmienna losowa. Niech będzie gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej ζ, która podlega transformacji nieliniowej. Wyznaczmy gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej η. Załóżmy, że funkcja jest taka, że ​​jej funkcja odwrotna jest jedyna.

Jeśli zmienna losowa ζ znajduje się w wystarczająco małym przedziale , to ze względu na wyjątkową zależność funkcjonalną między ζ i η, zmienna losowa η koniecznie będzie należeć do przedziału , gdzie , prawdopodobieństwa tych zdarzeń muszą być takie same, tj. (3.4.13)

skąd to znajdziemy?

(3.4.14)

Pochodną w ostatnim wyrażeniu przyjmuje się jej wartość bezwzględną, ponieważ gęstość prawdopodobieństwa nie może być ujemna. Jeśli funkcja odwrotna jest niejednoznaczna, tj. ma kilka rozgałęzień, to dla gęstości prawdopodobieństwa można otrzymać korzystając z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwa

(3.4.15)

Należy zauważyć, że w celu wyznaczenia charakterystyk liczbowych nieliniowo przekształconych procesów losowych nie ma potrzeby wyznaczania ich gęstości prawdopodobieństwa. Rzeczywiście, w ogólnym przypadku, dla początkowego momentu k-tego rzędu mamy

(3.4.16)

Ale zgodnie z (3.4.13) I . Dlatego ostatnie wyrażenie można przepisać

(3.4.17)

Otrzymane wyrażenia (3.4.14) i (3.4.15) można łatwo rozszerzyć na przypadek kilku wielkości. Przedstawiamy tutaj jedynie ostateczny wynik dla przypadku dwuwymiarowego. Jeżeli zmienne losowe mają wspólną gęstość prawdopodobieństwa, to dla zmiennych losowych

(3.4.18)

gdy funkcje odwrotne są unikalne

łączna gęstość prawdopodobieństwa zostanie podana przez wyrażenie

Gdzie jest wielkość

nazywa się jakobianem transformacji i reprezentuje stosunek obszarów elementarnych przy przechodzeniu z jednego układu współrzędnych do drugiego. Jeśli , to równość jest prawdziwa

Gdzie

Pytanie nr 23

Dyskretna sekwencja impulsów, ich widmo.

Baskakow s. 382-383

Próbkowanie sygnałów okresowych. Dyskretna transformata Fouriera (DFT). Przywracanie oryginalnego sygnału za pomocą DFT. Odwrotna dyskretna transformata Fouriera (IDFT).

Baskakow s. 388-392

Pytanie nr 24

Zasada przetwarzanie cyfrowe(DC) sygnały oparte na dyskretnej transformacie Fouriera.

Baskakow s. 400-405

Implementacja algorytmów filtrowanie cyfrowe(poprzeczne filtry cyfrowe, rekurencyjne filtry cyfrowe, odpowiedź impulsowa, sygnał wyjściowy)

Filtry cyfrowe w zależności od informacja zwrotna Wyróżnia się rekurencyjne (RF) i nierekurencyjne (NF).

Zalety filtrów nierekurencyjnych w porównaniu z filtrami rekurencyjnymi są następujące:

Filtry nierekurencyjne mogą mieć dokładnie liniową odpowiedź fazową;

Wrodzona moc szumów NF jest z reguły znacznie mniejsza niż RF;

Dla NF łatwiej jest obliczyć współczynniki.

Wady filtrów nierekurencyjnych w porównaniu z filtrami rekurencyjnymi są następujące:

Filtry rekurencyjne umożliwiają przetwarzanie sygnału z większą dokładnością, ponieważ pozwalają na bardziej poprawną realizację odpowiedzi impulsowej bez odrzucania jej „ogona”;

Implementacja obwodu RF jest znacznie prostsza niż NF;

Filtry rekurencyjne umożliwiają implementację algorytmów, których w ogóle nie można zaimplementować przy użyciu filtrów nierekurencyjnych.

Odpowiedź impulsowa filtra rekurencyjnego jest nieskończona, podczas gdy odpowiedź filtru nierekurencyjnego jest skończona.

Baskakow s. 405-408, 409-411, 413

Pytanie nr 25

Pojęcie stosunku sygnału do szumu, filtrowanie i filtr optymalny.

Stosunek sygnału do szumu- wielkość bezwymiarowa równa stosunkowi użytecznej mocy sygnału do mocy szumu.

Filtrowanie jest procesem przetwarzania sygnał urządzenia selektywne częstotliwościowo do zmiany składu widmowego sygnału.

Optymalny filtr liniowy nazywany systemem selektywnym częstotliwościowo, który przetwarza sumę sygnału i szumu w najlepszy możliwy sposób. Wyjście maksymalizuje stosunek sygnału do szumu.

Baskakow s. 423-424

Stosunek sygnału do szumu na wyjściu dopasowanego filtra.

Baskakow s. 425, 431-432

Charakterystyka filtra optymalnego (dopasowanego) dla sygnałów o znanym kształcie (AFC, PFC, IR).

Sygnał na wyjściu dopasowanego filtra.

Cel pracy: Nabycie podstawowych umiejętności badania charakterystyki statystycznej sygnałów losowych. Eksperymentalnie określ prawa rozkładu sygnałów losowych na wyjściu liniowych i nieliniowych obwodów radiowych.

KRÓTKA INFORMACJA TEORETYCZNA

1. Klasyfikacja obwodów radiowych

Obwody radiowe stosowane do konwersji sygnału są bardzo zróżnicowane pod względem składu, struktury i właściwości. W procesie ich opracowywania i badań analitycznych wykorzystuje się różnorodne modele matematyczne, spełniające wymogi adekwatności i prostoty. Ogólnie rzecz biorąc, dowolny obwód radiowy można opisać sformalizowaną zależnością, która określa transformację sygnału wejściowego x(t) na sygnał wyjściowy y(t), co można symbolicznie przedstawić jako

y(t) = T,

Gdzie T jest operatorem definiującym regułę, według której przetwarzany jest sygnał wejściowy.

Tym samym, jako model matematyczny obwód radiotechniczny może być zbiorem operatora T i dwóch zbiorów X=(xi(t)) i Y=(yi(t)) sygnałów na wejściu i wyjściu obwodu tak, że

(jI(t)) = T(xI(T)).

Ze względu na rodzaj transformacji sygnałów wejściowych na sygnały wyjściowe, czyli ze względu na typ operatora T, klasyfikuje się obwody radiotechniczne.

Obwód radiowy jest liniowy, jeśli operator T jest taki, że obwód spełnia warunki addytywności i jednorodności, czyli spełnione są równości

T = T: T = do T

I I

Gdzie c jest stałą.

Warunki te wyrażają istotę zasady superpozycji, która jest charakterystyczna tylko dla obwodów liniowych.

Działanie obwodów liniowych opisano liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach. Charakterystyczne jest, że liniowej transformacji sygnału o dowolnym kształcie nie towarzyszy pojawienie się w widmie sygnału wyjściowego składowych harmonicznych o nowych częstotliwościach, czyli nie prowadzi do wzbogacenia widma sygnału.

Obwód radiowy jest Nieliniowy, jeżeli operator T nie zapewnia spełnienia warunków addytywności i jednorodności. Działanie takich obwodów opisują nieliniowe równania różniczkowe.

Strukturalnie łańcuchy liniowe zawierają tylko urządzenia liniowe(wzmacniacze, filtry, długie linie itp.). Obwody nieliniowe zawierają jedno lub więcej urządzeń nieliniowych (generatory, detektory, mnożniki, ograniczniki itp.)

Ze względu na charakter zależności czasowej sygnału wyjściowego od sygnału wejściowego rozróżnia się inercyjne i bezinercyjne obwody radiowe.

W obwodzie radiowym wartość sygnału wyjściowego y(t) w chwili t=t0 zależy nie tylko od wartości sygnału wejściowego x(t) w tym momencie, ale także od wartości x( t) w chwilach czasu poprzedzających moment wywołania t0 Inercyjnyłańcuch. Jeżeli wartość sygnału wyjściowego y(t) i moment t=t0 są całkowicie określone przez wartość x(t) jednocześnie w chwili t0, to taki obwód nazywa się Bezwładność.

2. Transformacja procesów losowych w obwodach liniowych

Problem transformacji procesów losowych w liniowych obwodach radiowych w ogólnym przypadku rozważa się w następującym sformułowaniu. Niech losowy proces x(t) o danych własnościach statystycznych dotrze na wejście obwodu liniowego o odpowiedzi częstotliwościowej K(jw). Należy wyznaczyć charakterystykę statystyczną procesu losowego y(t) na wyjściu układu. W zależności od analizowanych charakterystyk procesów losowych x(t) i y(t) rozważa się dwa warianty problemu ogólnego:

1. Wyznaczanie widma energii i funkcji korelacji procesu losowego na wyjściu obwodu liniowego.

2. Wyznaczanie praw rozkładu prawdopodobieństwa procesu losowego na wyjściu łańcucha liniowego.

Najprostsze jest pierwsze zadanie. Jego rozwiązaniem jest dziedzina częstotliwości opiera się na fakcie, że widmo energii procesu losowego na wyjściu obwodu liniowego Wy(w) w trybie stacjonarnym jest równe widmu energii procesu wejściowego Wx(w) pomnożonemu przez kwadrat modułu charakterystyka częstotliwościowa obwodu, tj

Wy(W)= Wx(W) ∙│ K(Jw)│ A (1)

Wiadomo, że widmo energii Wx(w) procesu losowego x(t) z oczekiwaniem matematycznym mx=0 jest powiązane z jego funkcją kowariancji Bx(t) poprzez transformaty Fouriera, czyli

Wx(W)= WX(T) mi— JWTDT

WX(T)= Wx(W) EjWTDW.

W konsekwencji funkcję kowariancji Вy(t) procesu losowego na wyjściu łańcucha liniowego można wyznaczyć w następujący sposób:

WY(T)= Wy(W) EjWTDW= Wx(W))│ K(Jw)│ A EjWTDW

Ry(T)=BY(T)+ Moja.

W tym przypadku wariancja Dy i oczekiwanie matematyczne my wyjściowego procesu losowego są równe

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

Mój= Mx∙ K(0) .

Gdzie mx jest matematycznym oczekiwaniem wejściowego procesu losowego:

K(0) - współczynnik transmisji obwodu liniowego wg DC, to jest

K(0)= K(Jw)/ W=0

Wzory (1,2,3,4) są zasadniczo kompletne rozwiązanie przydzielone zadanie w dziedzinie częstotliwości.

Sposób rozwiązania drugiego problemu, który pozwoliłby bezpośrednio wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa procesu y(t) na wyjściu liniowego obwodu inercyjnego z zadanej gęstości prawdopodobieństwa procesu x(t) na wejściu, w widok ogólny nie istnieje. Problem rozwiązuje się tylko dla niektórych szczególnych przypadków i dla procesów losowych z prawem rozkładu Gaussa (normalnego), a także dla procesów losowych Markowa.

W odniesieniu do procesu o prawie rozkładu normalnego rozwiązanie upraszcza się w oparciu o to, że podczas liniowej transformacji takiego procesu prawo rozkładu nie ulega zmianie. Od normalny proces jest całkowicie zdeterminowany matematyczną funkcją oczekiwań i korelacji, to aby znaleźć gęstość prawdopodobieństwa procesu wystarczy obliczyć jego matematyczne oczekiwanie i funkcję korelacji.

Prawo rozkładu prawdopodobieństwa sygnału na wyjściu liniowego obwodu pozbawionego bezwładności pokrywa się w sensie funkcjonalnym z prawem rozkładu sygnału wejściowego. Zmieniają się tylko niektóre jego parametry. Zatem, jeśli liniowy obwód pozbawiony bezwładności realizuje transformację funkcjonalną postaci y(t) = a x(t) + b, gdzie aib są stałymi współczynnikami, to gęstość prawdopodobieństwa p(y) procesu losowego w Wynik łańcucha jest określony przez dobrze znaną formułę transformacji funkcjonalnej procesy losowe

P(Y)= =

Gdzie p(x) jest gęstością prawdopodobieństwa losowego procesu x(t) na wejściu obwodu.

W niektórych przypadkach problem określenia probabilistycznych charakterystyk procesu losowego na wyjściu obwodów inercyjnych można w przybliżeniu rozwiązać wykorzystując efekt normalizacji procesu losowego przez układy inercyjne. Jeżeli proces niegaussowski x(t1) o przedziale korelacji tk oddziałuje na inercjalny łańcuch liniowy o stałej czasowej t»tk (w tym przypadku szerokość widma energii procesu losowego x(t) jest większa niż szerokość pasma łańcucha), wówczas proces y(t) na wyjściu takiego łańcucha zbliża się do Gaussa wraz ze wzrostem stosunku t/tk. Wynik ten nazywany jest efektem normalizacji procesu losowego. Efekt normalizacji jest tym wyraźniejszy, im węższa jest szerokość pasma obwodu.

3. Transformacja procesów losowych w obwodach nieliniowych

W analizie obwodów nieliniowych uwzględnia się nieliniowe przekształcenia inercyjne, których bezwładności pod zadanymi wpływami nie można pominąć. Zachowanie takich obwodów opisują nieliniowe równania różniczkowe, których ogólne metody rozwiązywania nie istnieją. Dlatego problemy związane z badaniem nieliniowych transformacji inercyjnych procesów losowych prawie zawsze rozwiązuje się w przybliżeniu, stosując różne sztuczne techniki.

Jedną z tych technik jest przedstawienie nieliniowego łańcucha inercyjnego poprzez kombinację liniowych łańcuchów inercyjnych i nieliniowych łańcuchów wolnych od inercji. Problem badania wpływu procesów losowych na łańcuch liniowy został omówiony powyżej. Wykazano, że w tym przypadku dość łatwo jest wyznaczyć gęstość widmową (lub funkcję korelacji) sygnału wyjściowego, natomiast trudno jest określić prawo rozkładu. W nieliniowych obwodach wolnych od bezwładności główną trudnością jest znalezienie funkcji korelacji. Nie ma jednak ogólnych metod analizy wpływu sygnałów losowych na obwody nieliniowe. Ograniczają się do rozwiązywania pewnych konkretnych problemów o znaczeniu praktycznym.

3.1. Charakterystyka statystyczna procesu losowego na wyjściu obwodów nieliniowych

Rozważmy transformację procesu losowego o jednowymiarowej gęstości prawdopodobieństwa przez nieliniowy łańcuch wolny od bezwładności o charakterystyce

Y= f(x).

Jest oczywiste, że każda realizacja procesu losowego x(t) przekształca się w odpowiednią realizację nowego procesu losowego y(t), czyli

y(t)=F[ X(T)] .

A. Wyznaczanie prawa rozkładu procesu losowego y(t)

Niech będzie znana gęstość prawdopodobieństwa p(x) procesu losowego x(t). Należy wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa p(y) procesu losowego y(t). Rozważmy trzy typowe przypadki.

1. Funkcja y= f(x) łańcucha nieliniowego określa zgodność jeden do jednego pomiędzy x(t) i y(t). Wierzymy, że istnieje funkcja odwrotna x = j(y), która również określa zgodność jeden do jednego pomiędzy y(t) i x(t). W tym przypadku prawdopodobieństwo znalezienia realizacji procesu losowego x(t) w przedziale (x0, x0+dx) jest równe prawdopodobieństwu znalezienia realizacji procesu losowego y(t)=f w przedziale (y0, y0+dу) gdzie y0= f(x0) i y0+dy= f(x0+dx), to znaczy

P(X) Dx= P(Y) Dy

Stąd,

P(Y)= .

Pochodną przyjmuje się w wartości bezwzględnej, ponieważ gęstość prawdopodobieństwa p(y) > 0, natomiast pochodna może być ujemna.

2. Funkcja odwrotna x = j(y) jest niejednoznaczna, to znaczy jednej wartości y odpowiada kilka wartości x. Niech np. wartość y1=y0 odpowiada wartościom x= x1, x2,…,xn.

Zatem z faktu, że y0≤ y(t)≤ y0+dy wynika jedna z n wzajemnie niekompatybilnych możliwości

X1 ≤ X(T)≤ X1 + Dx, Lub X2 ≤ X(T)≤ X2 + Dx, Lub … Xn≤ X(T)≤ Xn+ Dx.

Stosując zasadę dodawania prawdopodobieństw otrzymujemy

P(Y)= + +…+ .

/ X= X1 / X= X2 / X= Xn

3. Charakterystyka elementu nieliniowego y= f(x) ma jeden lub więcej przekrojów poziomych (przekrojów, gdzie y= const.). Następnie wyrażenie

P(Y)=

Należy je uzupełnić o termin uwzględniający prawdopodobieństwo, że y(t) znajdzie się w przedziale, w którym y = const.

Najłatwiej rozważyć ten przypadek na przykładzie.

Niech funkcja y= f(x) będzie miała postać pokazaną na rys. 1 oraz wzór

Ryż. 1 Wpływ procesu losowego na ogranicznik dwukierunkowy.

Przy x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

I gęstość prawdopodobieństwa

P1(y) = P1∙δ(y).

Twierdząc podobnie dla przypadku x(t)>b, otrzymujemy

Pa= P= P= P(x)dx,

rocznie(Y) = Rocznie∙ δ (Y— C).

/ Y= C

Dla przypadku a≤ x≤ b wzór obowiązuje

Rocznie(Y) =

/0≤ Y≤ C

Ogólnie rzecz biorąc, gęstość prawdopodobieństwa procesu wyjściowego jest określona przez wyrażenie

P(Y)= P1 ∙ δ (Y)+ Rocznie∙ δ (Y— C)+ .

Należy zauważyć, że aby otrzymać końcowe wyrażenie, należy przekształcić zależności funkcjonalne p(x) i dy/dx, które są funkcjami x, na funkcje y, korzystając z funkcji odwrotnej x = j(y). Zatem problem wyznaczenia gęstości rozkładu procesu losowego na wyjściu nieliniowego obwodu pozbawionego bezwładności rozwiązano analitycznie dla dość prostych charakterystyk y = f(x).

B. Wyznaczanie widma energii i funkcji korelacji procesu losowego y(t)

Nie jest możliwe bezpośrednie wyznaczenie widma energii procesu losowego na wyjściu obwodu nieliniowego. Metoda jest tylko jedna – wyznaczenie funkcji korelacji sygnału na wyjściu układu, a następnie zastosowanie bezpośredniej transformaty Fouriera do wyznaczenia widma.

Jeśli stacjonarny proces losowy x(t) dociera na wejście nieliniowego obwodu pozbawionego bezwładności, wówczas funkcję korelacji procesu losowego y(t) na wyjściu można przedstawić jako

Ry(T)= Przez(T)- Mój2 ,

Gdzie By(t) jest funkcją kowariancji;

my jest matematycznym oczekiwaniem procesu losowego y(t). Funkcja kowariancji procesu losowego jest statystycznie uśrednionym iloczynem wartości procesu losowego y(t) w momentach t i t+t, czyli

Przez(T)= M[ Y(T)∙ Y(T+ T)].

Dla realizacji procesu losowego y(t) iloczyn y(t)∙y(t+t) jest liczbą. Dla procesu jako zbioru implementacji iloczyn ten stanowi zmienną losową, której rozkład charakteryzuje się dwuwymiarową gęstością prawdopodobieństwa p2 (y1, y2, t), gdzie y1= y(t), ya= y( t+t). Należy zwrócić uwagę, że w ostatnim wzorze zmienna t nie występuje, gdyż proces jest stacjonarny – wynik nie zależy od t.

Dla danej funkcji р2 (у1, у2, t) operację uśredniania po zbiorze przeprowadza się według wzoru

Przez(T)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,T) Dy1 Dy2 = F(X1 )∙ F(X2 )∙ P(X1 , X2 , T) Dx1 Dx2 .

Oczekiwanie matematyczne my wyraża się następującym wyrażeniem:

Mój= Y∙ P(Y) Dy.

Biorąc pod uwagę, że p(y)dy = p(x)dx, otrzymujemy

Mój= F(X)∙ P(X) Dx.

Widmo energii sygnału wyjściowego, zgodnie z twierdzeniem Wienera-Khinchina, znajduje się jako bezpośrednia konwersja Fouriera funkcji kowariancji, tj

Wy(W)= Przez(T) mi— JWTDT

Praktyczne zastosowanie tę metodę trudne, ponieważ nie zawsze można obliczyć całkę podwójną dla By(t). Konieczne jest stosowanie różnych metod upraszczających, związanych ze specyfiką rozwiązywanego problemu.

3.2. Wpływ szumu wąskopasmowego na detektor amplitudy

W statystycznej inżynierii radiowej rozróżnia się procesy losowe szerokopasmowe i wąskopasmowe.

Niech ∆ fе będzie szerokością widma energii procesu losowego, określoną wzorem (ryc. 2.)

Ryż. 2. Szerokość widma energetycznego procesu losowego

Wąskopasmowe proces losowy to proces, dla którego ∆fе «f0, gdzie f0 jest częstotliwością odpowiadającą maksimum widma energii. Procesem losowym, którego szerokość widma energii nie spełnia tego warunku, jest proces Szerokopasmowy.

Wąskopasmowy proces losowy jest zwykle przedstawiany jako oscylacja o wysokiej częstotliwości z wolno zmieniającą się (w porównaniu z oscylacją przy częstotliwości f0) amplitudą i fazą, to znaczy

X(t)= A(t)∙cos,

Gdzie A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = arctan,

z(t) jest funkcją sprzężoną Hilberta z oryginalna funkcja x(t), zatem

z(t)= —DT

Wszystkie parametry tych oscylacji (amplituda, częstotliwość i faza) są losowymi funkcjami czasu.

Detektor amplitudy, będący integralną częścią toru odbiorczego, jest połączeniem nieliniowego elementu pozbawionego bezwładności (na przykład diody) i inercyjnego obwodu liniowego (filtr dolnoprzepustowy). Napięcie na wyjściu detektora odtwarza obwiednię amplitudy oscylacji o wysokiej częstotliwości na wejściu.

Niech wąskopasmowy sygnał losowy dotrze na wejście detektora amplitudy (na przykład z wyjścia wzmacniacza, który ma wąskie pasmo w stosunku do częstotliwości pośredniej), który ma właściwości losowego procesu ergodycznego o normalnym przebiegu prawo dystrybucyjne. Oczywiście sygnał na wyjściu detektora będzie obwiednią losowego sygnału wejściowego, który jest również losową funkcją czasu. Udowodniono, że obwiednia ta, czyli obwiednia wąskopasmowego procesu losowego, charakteryzuje się gęstością prawdopodobieństwa zwaną rozkładem Rayleigha i ma postać:

Gdzie A to wartości obwiedni;

Sx2 jest rozproszeniem losowego sygnału na wejściu detektora.

Wykres rozkładu Rayleigha pokazano na ryc. 3.

Ryc.3. Wykres prawa dystrybucji Rayleigha

Funkcja p(A) ma maksymalną wartość równą

Gdy A = sx. Oznacza to, że wartość A = sx i jest najbardziej prawdopodobną wartością obwiedni.

Matematyczne oczekiwanie obwiedni procesu losowego

MAMA.= = =

Zatem obwiednia wąskopasmowego procesu losowego o prawie rozkładu normalnego jest losową funkcją czasu, której gęstość rozkładu opisuje prawo Rayleigha.

3.3. Prawo rozkładu obwiedni sumy sygnału harmonicznego i wąskopasmowego szumu losowego

Problem określenia prawa rozkładu obwiedni sumy sygnału harmonicznego i wąskopasmowego szumu losowego pojawia się przy analizie procesu detekcji liniowej w systemach radarowych i komunikacyjnych pracujących w warunkach, w których poziom szumu własnego lub zewnętrznego jest porównywalny z poziomem użyteczny sygnał.

Niech na wejście odbiornika otrzyma sumę sygnału harmonicznego a(t)=E∙cos(wt) i szumu wąskopasmowego x(t)=A(t)∙cos z prawem rozkładu normalnego. Można zapisać całkowite oscylacje w tym przypadku

N(T) = S(T)+ X(T)= E∙coS(Waga)+ A(T)∙ Sałata[ Waga+ J(T)]=

=[E+A(T)∙ Sałata(J(T))]∙więcS(Waga)- A(T)∙ Grzech(J(T))∙ Grzech(Waga)= U(T)∙ Sałata[ Waga+ J(T)],

Gdzie U(t) i j(t) to obwiednia i faza sygnału całkowitego, określone za pomocą wyrażeń

U(T)= ;

J(T)= Arctg

Kiedy całkowite oscylacje u(t) działają na detektor amplitudy, na wyjściu tego ostatniego tworzy się obwiednia. Gęstość prawdopodobieństwa p(U) tej obwiedni wyznacza się ze wzoru

P(U)= (5)

Gdzie sxa jest wariancją szumu x(t);

I0 - Funkcja Bessela rzędu zerowego (zmodyfikowana).

Gęstość prawdopodobieństwa określona za pomocą tego wzoru nazywana jest uogólnionym prawem Rayleigha lub prawem Rice'a. Wykresy funkcji p(U) dla kilku wartości stosunku sygnału do szumu E/sx pokazano na rys. 4.

W przypadku braku użytecznego sygnału, czyli gdy E/sx=0, wyrażenie (5) przyjmuje postać

P(U)=

Oznacza to, że obwiednia powstałego sygnału jest w tym przypadku rozkładana zgodnie z prawem Rayleigha.

Ryc.4. Wykresy uogólnionego prawa dystrybucji Rayleigha

Jeżeli amplituda sygnału użytecznego przekracza średni kwadratowy poziom szumu, czyli E/sx»1, to dla U≃E można zastosować asymptotyczną reprezentację funkcji Bessela z dużym argumentem, czyli

≃≃.

Podstawiając to wyrażenie do (5), mamy

P(U)= ,

Oznacza to, że obwiednia otrzymanego sygnału jest opisana prawem rozkładu normalnego z dyspersją sx2 i oczekiwaniem matematycznym E. W praktyce uważa się, że już przy E/sx = 3 obwiednia sygnału wynikowego jest znormalizowana.

4. Eksperymentalne wyznaczanie praw rozkładu procesów losowych

Jedną z metod eksperymentalnego wyznaczania rozkładu procesu losowego x(t) jest metoda polegająca na wykorzystaniu pomocniczej funkcji losowej z(t) postaci

Gdzie x jest wartością funkcji x(t), dla której obliczane jest z(t).

Jak wynika z treści semantycznej funkcji z(t), jej parametry statystyczne wyznaczane są przez parametry procesu losowego x(t), gdyż zmiany wartości z(t) zachodzą w momentach, w których losowy proces x(t) przekracza poziom x. W konsekwencji, jeśli x(t) jest ergodycznym procesem losowym z dystrybuantą F(x), to funkcja z(t) będzie również opisywać ergodyczny proces losowy z tą samą dystrybuantą.

Rysunek 5 przedstawia implementacje procesów losowych x(t) i z(t), które ilustrują oczywistość zależności

P[ Z(T)=1]= P[ X(T)< X]= F(X);

P[ Z(T)=0]= P[ X(T)≥ X]= 1- F(X).

Rys.5 Realizacje procesów losowych x(t), z(t), z1(t)

Oczekiwanie matematyczne (średnia statystyczna) funkcji z(t), która ma dwie wartości dyskretne, wyznacza się zgodnie ze wzorem (patrz tabela 1)

M[ Z(T)]=1∙ P[ Z(T)=1]+0 ∙ P[ Z(T)=0]= F(X).

Z drugiej strony, dla ergodycznego procesu losowego

Zatem,

Analizując to wyrażenie można stwierdzić, że urządzenie do pomiaru dystrybuanty ergodycznego procesu losowego x(t) musi zawierać dyskryminator poziomu, aby otrzymać proces losowy opisany funkcją z(t) zgodnie z wyrażeniem (6), oraz urządzenie całkujące, wykonane na przykład w postaci filtra dolnoprzepustowego.

Metoda eksperymentalnego wyznaczania gęstości rozkładu procesu losowego x(t) jest zasadniczo podobna do metody omówionej powyżej. W tym przypadku wykorzystywana jest pomocnicza funkcja losowa z1(t) postaci

Oczekiwanie matematyczne funkcji z1(t), która ma dwie wartości dyskretne (ryc. 5), jest równe

M[ Z1 (T)]=1∙ P[ Z1 (T)=1]+0 ∙ P[ Z1 (T)=0]= P[ X< X(T)< X+∆ X].

Uwzględniając ergodyczność procesu losowego opisanego funkcją z1(t), możemy napisać

Zatem,

Wiadomo, że

P(X≤ X(T)< X+∆ X) ≃ P(X)∙∆ X.

Stąd,

Zatem urządzenie do pomiaru gęstości rozkładu ergodycznego procesu losowego x(t) ma taką samą budowę i skład jak urządzenie do pomiaru funkcji rozkładu.

Dokładność pomiaru F(x) i p(x) zależy od długości okresu obserwacji oraz jakości operacji całkowania. Jest rzeczą oczywistą, że w realne warunki dostajemy Oceny prawa dystrybucji, gdyż czas uśredniania (całkowania) jest skończony. Wracając do wyrażenia (6) i rys. 5. zwróć na to uwagę

Z(T) Dt= ∆ T1 ,

Gdzie ∆ t1 jest pierwszym przedziałem czasu, gdy funkcja x(t) jest poniżej poziomu x, czyli przedziałem czasu, gdy funkcja z(t)=l.

O ważności tego wzoru decyduje geometryczne znaczenie pewnej całki (obszar figury ograniczony funkcją z(t) i odcinkiem (0,T) osi czasu).

Dzięki temu możemy pisać

Oznacza to, że rozkład procesu losowego x(t) jest równy względnemu czasowi przebywania realizacji procesu w przedziale -¥< x(t) < х.

Argumentując podobnie, możemy uzyskać

Gdzie ∆ t1 jest pierwszym przedziałem czasu funkcji x(t) mieszczącym się w (x, x+∆x).

Na praktyczne wdrożenie W ramach rozważanej metody eksperymentalnego wyznaczania praw rozkładu procesu losowego, losowy sygnał x(t) analizowany jest w zakresie zmian jego wartości chwilowych od xmin do xmax (rys. 6). W tych granicach koncentruje się główny zbiór (w sensie probabilistycznym) wartości chwilowych procesu x(t).

Wartości xmin i xmax dobierane są w oparciu o wymaganą dokładność pomiaru praw rozkładu. W tym przypadku obcięte rozkłady zostaną zbadane w taki sposób, że

F(Xmin)+<<1.

Cały zakres (xmin, xmax) wartości x(t) dzieli się na N równych przedziałów ∆x, czyli

XMaks— Xmin= N∙∆ X.

Ryż. 6. Rozkład (a), gęstość prawdopodobieństwa (b) i implementacja (c) procesu losowego x(t)

Przedziały określają szerokość korytarzy różnicowych, w których dokonywane są pomiary. Określa się oszacowanie prawdopodobieństwa

Liczba pi* ≃ P[ Xi-∆ X/2≤ X(T)< Xi-∆ X/2]

Pobyt realizacji x(t) w korytarzu różniczkowym przy średniej wartości x(t) w nim równej xi. Oszacowanie Pi* wyznaczane jest poprzez pomiar względnego czasu przebywania realizacji x(t) w każdym z korytarzy różnicowych, tj.

Pi*=1/T Zi(t)dt= ,

I= 1,…,N.

W danych okolicznościach

Liczba pi* ≃ P1 = P(X) Dx,

Można określić szacunki gęstości dystrybucji w każdym z korytarzy różnicowych

Liczba pi* (X)= Liczba pi*/∆ X.

Wykorzystując otrzymane wyniki, czyli wartości pi*(x), xi, ∆x, konstruuje się krzywą schodkową p*(x), którą nazywa się histogramem gęstości rozkładu (patrz rys. 7).

Ryc.7. Histogram gęstości rozkładu

Pole pod każdym fragmentem histogramu w obrębie ∆x jest liczbowo równe obszarowi zajmowanemu przez krzywą rozkładu rzeczywistego p(x) w danym przedziale.

Liczba N korytarzy różnicowych powinna mieścić się w przedziale 10...20. Dalsze zwiększanie ich liczby nie prowadzi do uzyskania dokładniejszego prawa p(x), gdyż wraz ze wzrostem N wartość przedziału ∆x maleje, co pogarsza warunki dokładnego pomiaru ∆ti.

Uzyskane wyniki pozwalają obliczyć szacunki matematycznego oczekiwania i wariancji procesu losowego x(t)

Mx* = Xi∙ Liczba pi* ; Dx* = (Xi— Mx* )2∙ Liczba pi* .

Podczas obliczania Mx* I Dx* Wzory te uwzględniają, że jeżeli wartość realizacji procesu losowego x(t) wpada do pierwszego korytarza różniczkowego, to przypisuje się jej wartość i (środek korytarza różniczkowego).

Rozważana metoda wyznaczania praw rozkładu procesów losowych stanowi podstawę działania analizatora statystycznego wykorzystywanego w niniejszej pracy laboratoryjnej.

OPIS INSTALACJI LABORATORYJNEJ

Badanie praw rozkładu sygnałów losowych odbywa się za pomocą zestawu laboratoryjnego, który obejmuje model laboratoryjny, analizator statystyczny i oscyloskop S1-72 (ryc. 8).

Ryc.8. Schemat konfiguracji laboratorium

Model laboratoryjny generuje i przekształca sygnały losowe, zapewniając ich analizę statystyczną, konstruując histogramy praw rozkładu i graficznie przedstawiając te prawa na wskaźniku analizatora statystycznego. Zawiera następujące jednostki funkcjonalne:

A. Blok generatorów sygnałowych. Generuje cztery różne sygnały losowe.

— Sygnał x1(t)= A∙sin jest oscylacją harmoniczną z losową fazą początkową, której prawo rozkładu Mundur w przedziale 0

P(J)= 1/2 P, 0< J<2 P.

Gęstość prawdopodobieństwa chwilowych wartości takiego sygnału jest równa

— Sygnał x2(t) — napięcie okresowe piłokształtne o stałej amplitudzie A i parametrze przesunięcia losowego q, prawo rozkładu
kogo Mundur w przedziale , gdzie T0 jest okresem sygnału, czyli gęstością prawdopodobieństwa jest równa

P(Q)= 1/ T0 ; 0< Q≤ T0 .

Gęstość prawdopodobieństwa chwilowych wartości takiego sygnału określa wyrażenie

— Sygnał x3(t) jest sygnałem losowym posiadającym rozkład normalny (prawo Gaussa) wartości chwilowych, tj.

Rocznie(X)= ,

Gdzie mx, sx to matematyczne oczekiwanie i wariancja sygnału losowego x3(t).

— Sygnał x4(t) jest losowo obciętym sygnałem, będącym sekwencją prostokątnych impulsów o stałej amplitudzie A i losowym czasie trwania, występujących w losowych momentach. Sygnał taki pojawia się na wyjściu idealnego ogranicznika, gdy na jego wejście działa losowy proces o prawie rozkładu normalnego. Charakterystyka transformacji ma postać

Gdzie x jest poziomem ograniczeń.

Zatem proces losowy x4(t) przyjmuje dwie wartości (A i - A) z prawdopodobieństwami

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Gdzie F3(x) jest prawem rozkładu całkowego procesu losowego x3(t).

Biorąc pod uwagę powyższe, gęstość prawdopodobieństwa obciętego sygnału jest równa

P4(x)= F3(x)∙D(x+ A)+ ∙D(x - A).

Rysunek 9 przedstawia implementacje każdego z sygnałów losowych generowanych przez iterator układu laboratorium oraz ich gęstości prawdopodobieństwa.

Sygnały te, z których każdy charakteryzuje się własną gęstością rozkładu, można podawać na wejścia typowych elementów urządzeń radiotechnicznych w celu przetworzenia i badania praw rozkładu sygnałów na ich wyjściach.

B. Liniowy mikser sygnału. Generuje sumę dwóch losowych sygnałów xi(t) i x1(t) dostarczonych na jego wejścia zgodnie z zależnością

Y(T)= R∙ Xi(T)+ (1- R)∙ X1 (T),

Gdzie R jest współczynnikiem ustawianym pokrętłem potencjometru w zakresie 0...1.

Służy do badania praw rozkładu sumy dwóch sygnałów losowych.

W. Gniazda do łączenia różnych sieci czterozaciskowych - konwertery funkcjonalne. Laboratoryjny zestaw instalacyjny zawiera 4 funkcjonalne konwertery (rys. 10).

Ryż. 9. Realizacje procesów losowych x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) i ich gęstości prawdopodobieństwa

Wzmacniacz - ogranicznik (limiter) z charakterystyką konwersji

Gdzie U1, U2 to odpowiednio dolny i górny poziom graniczny;

k jest współczynnikiem równym tg kąta nachylenia charakterystyki transformacji.

Wykonuje nieliniową, pozbawioną bezwładności transformację sygnałów wejściowych.

Filtr wąskopasmowy (F1) o częstotliwości rezonansowej f0=20 kHz. Służy do generowania wąskopasmowych procesów losowych z prawem rozkładu zbliżonym do normalnego.

Typowa droga odbiornika oscylacji AM (filtr wąskopasmowy F1 - detektor liniowy D - filtr dolnoprzepustowy F2). Generuje obwiednię wąskopasmowego sygnału losowego podczas detekcji liniowej.

Strukturalnie rozważane konwertery funkcjonalne wykonane są w postaci małych wymiennych bloków.

Jako kolejny konwerter funkcjonalny zastosowano „idealny” wzmacniacz - ogranicznik (klucz elektroniczny), który jest częścią bloku generatora sygnału prototypu. Zapewnia powstawanie obciętego sygnału, będąc nieliniowym, pozbawionym bezwładności przetwornikiem wejściowego sygnału losowego.

Ryż. 10. Przetworniki funkcjonalne

G. Pasujący wzmacniacz. Zapewnia koordynację pomiędzy zakresem wartości badanego sygnału a zakresem amplitudy analizatora statystycznego. Koordynacja odbywa się za pomocą potencjometrów „Wzmocnienie” i „Przesunięcie”, gdy przełącznik P1 (rys. 8) jest ustawiony w pozycji „Kalibracja”.

Wzmacniacz dopasowujący pełni także funkcję przetwornika funkcjonalnego (poza czterema omówionymi powyżej), zapewniającego liniową, pozbawioną bezwładności konwersję zgodnie ze wzorem

Y(T)= A∙ X(T)= B,

Gdzie a jest współczynnikiem wzmocnienia ustawianym pokrętłem „Wzmocnienie”;

b to stała składowa sygnału, ustawiana pokrętłem „Offset”.

Blok analizatora pokazany na schemacie na rys. 8 jako część układu nie jest wykorzystywany w tej pracy. Instalacja laboratoryjna polega na zastosowaniu cyfrowego analizatora statystycznego, zaprojektowanego jako odrębne urządzenie.

D. Cyfrowy analizator statystyczny służy do pomiaru i formułowania praw rozkładu wartości sygnałów dostarczanych na jego wejście. Analizator działa w następujący sposób.

Włączenie analizatora do trybu pomiarowego odbywa się za pomocą przycisku „Start”. Czas pomiaru wynosi 20 sekund. W tym czasie pobierane są próbki wartości sygnału wejściowego (w losowych momentach), których łączna liczba N wynosi 1 milion. Próbki są próbkowane według poziomu, tak aby każda z nich mieściła się w jednym z 32 przedziałów (tzw. różnicowym). korytarze lub przedziały grupujące przykładowe wartości). Przedziały są ponumerowane od 0 do 31, ich szerokość wynosi 0,1 V, a dolna granica 0-tego przedziału wynosi 0 V, górna granica 31-go przedziału wynosi +3,2 V. W czasie pomiaru zliczana jest liczba zliczeń ni zawarte w każdym przedziale. Wynik pomiaru wyświetlany jest w postaci histogramu rozkładu na ekranie monitora, gdzie oś pozioma siatki skali jest osią wartości sygnałów w zakresie 0...+3,2 V, oś pionowa jest osią względnej częstotliwości ni/N, i = 0,1...31.

Aby odczytać wyniki pomiarów w formie cyfrowej, należy zastosować wskaźnik cyfrowy, który wyświetla numer wybranego przedziału i odpowiadającą mu częstotliwość (oszacowanie prawdopodobieństwa) ni/N. Wybór numerów interwałów dla wskaźnika cyfrowego odbywa się za pomocą przełącznika „Interwał”. W takim przypadku wybrany odstęp jest zaznaczony znacznikiem na ekranie monitora.

Za pomocą przełącznika „Mnożnik” można wybrać skalę histogramu dogodną do obserwacji wzdłuż osi pionowej.

Przy wykonywaniu tej pracy przełącznik zakresu napięcia wejściowego analizatora (zakres konwersji analogowo-cyfrowej) należy ustawić w pozycji 0...+3,2 V. Przed każdym pomiarem należy naprzemiennie naciskać przyciski „Reset” i „Start” (po naciśnięciu przycisku „Reset” urządzenie pamięci zostaje zerowane, a wyniki poprzedniego pomiaru są przepisywane do pamięci stosu, z której można je przywołać za pomocą przełącznika „Strona”).

Ogólny problem badania przejścia sygnałów losowych w sposób nieliniowy

obwód polega na znalezieniu charakterystyk statystycznych sygnału wyjściowego na podstawie znanych danych obwodu oraz charakterystyk statystycznych sygnału. Zadanie to należy podzielić na kilka odrębnych zadań w oparciu o charakterystyki związane z charakterystyką sygnału wejściowego, właściwościami obwodu i początkową charakterystyką sygnału wyjściowego.

Obwody nieliniowe reprezentują stosunek elementów nieliniowych o jednoznacznej charakterystyce prądowo-napięciowej i są definiowane jako pozbawione bezwładności.

Zgodnie z pożądanymi charakterystykami statystycznymi sygnału wyjściowego należy rozróżnić zadania, za pomocą których należy znaleźć prawo rozkładu wartości chwilowych lub obwiednię, od zadań, w których wystarczy określić pierwsze momenty tych prawa.

Analiza badań i publikacji. W zależności od metod przetwarzania sygnałów pochodzących z różnych źródeł konieczne staje się przeprowadzanie na nich takich operacji matematycznych, jak np. dzielenie, mnożenie itp. Takie operacje matematyczne na sygnałach można technicznie zrealizować za pomocą nieliniowych urządzeń pozbawionych bezwładności. W rezultacie problem badania przejścia sygnałów losowych przez obwody nieliniowe za pomocą operacji matematycznych nie zawsze może zostać rozwiązany w akceptowalnej formie.

Ogólnie rzecz biorąc, podstawowe rozwiązanie problemu nieliniowych, wolnych od bezwładności transformacji procesów losowych wynika z dobrze znanej właściwości niezmienności różniczki prawdopodobieństwa. Jednak zastosowanie tej własności do praktycznie interesujących przekształceń nieliniowych nastręcza duże trudności. Dlatego też, ze względu na złożoność obliczeń gęstości prawdopodobieństwa, często ograniczają się one do znalezienia prostszych, nie mniej pełnych charakterystyk statystycznych sygnału wyjściowego.

Opis problemu. Operację podziału dwóch sygnałów losowych można powiązać z problemem syntezy obwodu nieliniowego dla zadanej transformacji sygnału wejściowego, co obejmuje ustalenie rodzaju charakterystyki obwodu realizującego tę transformację, a następnie implementację powstałej charakterystyki. Na przykład przy dwóch sygnałach wejściowych reprezentujących procesy losowe operacja mnożenia jest wykonywana przy użyciu nieliniowego deterministycznego układu pozbawionego bezwładności, co pokazano na rys. 1. Składa się z dwóch logarytmatorów 1, 2 (urządzenia o logarytmicznej charakterystyce amplitudy), sumatora i wystawcy 3, urządzenia o wykładniczej charakterystyce amplitudy. Takie podejście do rozwiązania problemu opiera się na fakcie, że nieliniowa transformacja pozbawiona bezwładności procesu losowego nie wprowadza dodatkowych połączeń tymczasowych. Oznacza to, że jeśli proces przed transformacją bezinercyjną charakteryzował się rozkładem n-wymiarowym, to proces po niej będzie charakteryzował się rozkładem n-tego rzędu.

Wiadomo, że prawo rozkładu prawdopodobieństwa sumy dwóch procesów losowych z prawami rozkładu normalnego jest również normalne. Można zatem założyć, że sygnał na wejściu wystawcy ma rozkład normalny gęstości prawdopodobieństwa.

Otrzymany wynik ma tak proste rozwiązanie jak wykluczenie i występuje tylko przy wykładniczej transformacji normalnego procesu stacjonarnego.

Wynik ten ma jednak stosunkowo ogólne znaczenie, ponieważ często charakterystyki elementów nieliniowych można przybliżyć sumą zawierającą od dwóch do trzech wyrazów wykładniczych; przy tym podejściu całkowita funkcja korelacji procesu wyjściowego będzie równa sumie funkcji korelacji obliczonych dla każdego składnika wykładniczego osobno.

Problemy badania przejścia sygnałów losowych przez nieliniowe obwody wolne od bezwładności, które wykonują operacje matematyczne na sygnałach, na przykład dzielenie lub mnożenie dwóch sygnałów, nie zawsze mogą zostać rozwiązane w formie bezpośredniej. Jednakże uzyskanie wyniku rozwiązania problemu wyznaczania charakterystyk statystycznych w tych przypadkach można osiągnąć poprzez rozwiązanie problemu syntezy obwodów nieliniowych dla zadanej transformacji sygnałów wejściowych, co obejmuje ustalenie rodzaju charakterystyk poszczególnych elementów obwodu, które to realizują transformacja sygnału. Przy takim podejściu zadanie określenia sygnału wynikowego zostanie wyznaczone na wyjściu każdego elementu, który spełnia przypisaną mu funkcję.

Załóżmy, że na wejściu liniowego układu stacjonarnego występuje oscylacja, która reprezentuje pewną realizację procesu losowego. Jeśli ta implementacja jest z góry określona, ​​nie pojawia się żadne nowe zadanie - sygnał należy traktować jako funkcję deterministyczną. Znając model matematyczny układu, na przykład współczynnik przenoszenia częstotliwości, można znaleźć odpowiedź wyjściową.

Specyfiką jest jednak to, że nie jest dostępna pełna informacja o sygnale wejściowym – dysponujemy jedynie informacją o uśrednionych charakterystykach probabilistycznych procesu losowego.

Celem jest zbadanie zależności pomiędzy statystycznymi charakterystykami procesów a, które można znaleźć w oparciu o matematyczny model systemu.

Wprowadźmy ograniczenie – będziemy brać pod uwagę tylko stacjonarne procesy losowe wejściowe. Oczekiwanie matematyczne chwilowych wartości realizacji jest stałe w czasie (), natomiast funkcja korelacji zależy jedynie od wielkości bezwzględnego przesunięcia pomiędzy punktami na osi czasu.

Rozważmy osobną implementację sygnału wejściowego i przedstawmy ją w postaci całki Fouriera

gdzie jest gęstość widmowa.

Sygnał wyjściowy układu zostanie znaleziony, jeśli znane będzie jego wzmocnienie częstotliwości

(1)

Założenie, że proces jest stacjonarny, narzuca warunek: średnią wartość gęstości widmowej.

Wykonując uśrednianie statystyczne po obu stronach wyrażenia (1), mamy

(2)

Aby obliczyć funkcję korelacji konieczne jest posiadanie wartości sygnału wyjściowego w danej chwili.

(3)

Ponieważ funkcja jest rzeczywista, dlatego wzór (3) nie zmienia się, jeśli przejdziemy do zespolonych wielkości sprzężonych po jego prawej stronie

(4)

Gdzie ; - widmo mocy stacjonarnego procesu losowego. (Wykorzystywana jest właściwość filtrowania funkcji delta).

(6)

Widmo mocy wyjściowego sygnału losowego jest powiązane z podobnym widmem sygnału wejściowego zależnością

W stosowanych zagadnieniach często mamy do czynienia z widmami jednostronnymi, które są definiowane tylko dla częstotliwości dodatnich,

stąd rozproszenie sygnału wyjściowego

(9)

Często konieczne jest rozważenie wpływu szerokopasmowych sygnałów losowych tworzonych na przykład przez chaotyczną sekwencję krótkich impulsów na liniowe obwody selektywne pod względem częstotliwości. W takim przypadku, jeśli efektywna szerokość widmowa wejściowego procesu losowego znacznie przekracza szerokość pasma systemu, wówczas rzeczywisty proces losowy można zastąpić równoważnym białym szumem z jednostronnym widmem mocy, w którym znajduje się pewien punkt w szerokości pasma obwodu.

Wtedy wzór (9) zostanie uproszczony

W obliczeniach inżynierskich liniowy obwód selektywny pod względem częstotliwości pod wpływem szerokopasmowego sygnału losowego dogodnie charakteryzuje się pasmem przepustowym szumu. Definiuje się je jako szerokość pasma idealnego filtra środkowoprzepustowego o rzeczywistym wzmocnieniu równym maksymalnej wartości bezwzględnej wzmocnienia obwodu rzeczywistego. Przy wzbudzaniu idealnych i rzeczywistych układów białym szumem widmem mocy, dyspersje sygnałów szumu na wyjściach obu obwodów muszą się pokrywać

(11)

Stąd

(12)

Na przykład dla integrującego obwodu RC

;

Stąd

Naraz.

Jeśli wejściowy proces losowy jest normalny (gaussowski charakter praw dystrybucji), to wyjściowy proces losowy będzie miał tę właściwość niezależnie od właściwości dynamicznych układu liniowego.

Na podstawie wzoru Duhamela wartość odpowiedzi chwilowej

jest wynikiem sumowania poprzednich wartości sygnału wejściowego, pomnożonych przez przesuniętą odpowiedź impulsową obwodu.