Wyjaśnienie zasad integracji informacji dyskretnej podczas oddzielnego postrzegania elementów złożonego obiektu jest pilnym problemem interdyscyplinarnym. W artykule omówiono proces konstruowania obrazu obiektu, będącego zespołem bloków, z których każdy łączy w sobie zestaw drobnych elementów. Jako przedmiot badań wybrano sytuację konfliktową, ponieważ stale znajdowała się ona w polu uwagi ze stałą strategią analizowania informacji. Okoliczności sytuacji były składnikami przedmiotu i oddzielnie były postrzegane jako prototypy konfliktu. Zadaniem tej pracy było matematyczne wyrażenie macierzy odzwierciedlającej obraz problematycznej sytuacji behawioralnej. Rozwiązanie problemu oparto na danych pochodzących z analizy wizualnej projektu kompozycji graficznej, której elementy odpowiadały okolicznościom sytuacyjnym. Rozmiar i cechy graficzne wybranych elementów, a także ich rozmieszczenie w kompozycji posłużyły za wskazówkę do identyfikacji wierszy i kolumn w matrycy obrazu. Badanie wykazało, że o konstrukcji matrycy decyduje, po pierwsze, motywacja behawioralna, po drugie, związki przyczynowo-skutkowe elementów sytuacyjnych i kolejność uzyskiwania informacji, a także, po trzecie, dobór elementów informacji zgodnie z ich parametrami wagowymi. Można przypuszczać, że podane zasady wektorów macierzowych tworzenia obrazu sytuacji behawioralnej są charakterystyczne dla konstruowania obrazów i innych obiektów, na które kierowana jest uwaga.
wyobrażanie sobie
postrzeganie
dyskrecja informacji
1. Anokhin P.K. Eseje o fizjologii systemy funkcjonalne. – M.: Medycyna, 1985. – 444 s.
2. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Algebra liniowa: podręcznik dla uniwersytetów. – 6 wyd. – M.: Fizmatlit, 2004. -280 s.
3. Ławrow V.V. Mózg i psychika. – St.Petersburg: RGPU, 1996. – 156 s.
4. Lavrov V.V., Lavrova N.M. Wpływ agresji na integralność, integralność, wartość i podmiotowość obrazu sytuacji konfliktowej // Psychologia poznawcza: badania interdyscyplinarne i praktyki integracyjne. – St.Petersburg: VVM, 2015. – s. 342-347.
5. Ławrow V.V., Rudinsky A.V. Triada strategii przetwarzania informacji przy rozpoznawaniu niekompletnych obrazów wizualnych // Badania Podstawowe. – 2014 – nr 6 (2). – s. 375-380.
6. Lavrova N.M., Lavrov V.V., Lavrov N.V. Mediacja: podejmowanie odpowiedzialnych decyzji. – M: OPPL, 2013. – 224 s.
7. Shelepin Yu.E., Chikhman V.N., Foreman N. Analiza badań percepcji fragmentarycznych obrazów - percepcja holistyczna i percepcja oparta na cechach informacyjnych // Russian Physiological Journal. 2008. – T. 94. nr 7. – s. 758-776.
Wyniki badań percepcji obrazów niekompletnych poszerzyły perspektywę badania zasad determinujących integrację informacji dyskretnych i montaż obrazów pełnych. Analiza cech rozpoznawania fragmentarycznych obrazów prezentowanych ze zmienną liczbą fragmentów pozwoliła na prześledzenie trzech strategii konstruowania pełnego obrazu w warunkach niedoboru informacji. Strategie różniły się oceną znaczenia dostępnych informacji dla kształtowania spójnego obrazu. Innymi słowy, każda strategia charakteryzowała się manipulacją parametrami wagowymi dostępnych informacji. Pierwsza strategia zakładała równoważność fragmentów obrazu – jego identyfikacja dokonywana była po zgromadzeniu informacji do poziomu wystarczającego do pełnego zrozumienia przedstawianego obiektu. Druga strategia opierała się na zróżnicowanym podejściu do oceny wagi dostępnych informacji. Oceny dokonano zgodnie z postawioną hipotezą dotyczącą istoty przedmiotu. Trzecią strategię wyznaczała motywacja do maksymalnego wykorzystania dostępnych informacji, którym przywiązywano dużą wagę i uważano je za znak lub prototyp rzeczywistego przedmiotu. Ważny punkt W poprzedniej pracy badaliśmy mechanizmy mózgowe zapewniające zmianę strategii w zależności od dominującej emocji i motywacji behawioralnej. Odnosi się to do niespecyficznych układów mózgowych i heterogeniczności modułów neuronowych działających pod kontrolą centralnego sterowania. Przeprowadzone badania, podobnie jak te znane ze źródeł literackich, pozostawiły otwartą kwestię zasad dystrybucji informacji w pełnym obrazie. Aby odpowiedzieć na to pytanie, konieczna była obserwacja kształtowania się obrazu obiektu, na którym od dłuższego czasu skupiała się uwaga, a wybrana strategia konstruowania obrazu pozostaje niezmieniona. Takim obiektem mogła być sytuacja konfliktowa, gdyż znajdowała się ona stabilnie w polu uwagi, przy niezmienionej drugiej strategii analizy okoliczności. Strony sporu odrzuciły pierwszą strategię ze względu na wydłużenie czasu trwania konfliktu i nie zastosowały trzeciej strategii, unikając błędnych decyzji.
Cel Praca ta miała na celu wyjaśnienie zasad konstruowania matrycy obrazu na podstawie elementów informacji uzyskanych poprzez oddzielne postrzeganie składników skomplikowany obiekt, na który zwrócono uwagę. Rozwiązaliśmy następujące problemy: po pierwsze, wybraliśmy obiekt, na którym uwaga była skupiona przez stabilny długi czas, po drugie, za pomocą metody wizualizacji obrazu prześledziliśmy fragmentację informacji uzyskanych podczas postrzegania obiektu, a po trzecie, sformułować zasady rozkładu całkowego w macierzy.
Materiały i metody badawcze
Problematyczna sytuacja behawioralna pełniła rolę obiektu wieloskładnikowego, który stabilnie znajdował się w polu uwagi przy niezmienionej strategii analizowania dostępnych informacji. Problem powstał na skutek konfliktu w relacjach pomiędzy członkami rodziny, a także pracownikami produkcji i produkcji instytucje edukacyjne. Eksperymenty analizujące obraz sytuacji poprzedzały mediację mającą na celu rozwiązanie sprzeczności pomiędzy skłóconymi stronami. Przed rozpoczęciem negocjacji mediacyjnych przedstawiciele stron sporu otrzymali propozycję wzięcia udziału w eksperymentach z wykorzystaniem techniki ułatwiającej analizę sytuacji. Technika wizualizacji polegała na budowie kompozycji graficznej, która odzwierciedlała konstrukcję obrazu powstałą podczas oddzielnego postrzegania elementów złożonego obiektu. Technika ta posłużyła jako narzędzie do badania procesów tworzenia integralnego obrazu ze zbioru elementów odpowiadających szczegółom obiektu. Grupę badaną stanowiło 19 kobiet i 8 mężczyzn w wieku od 28 do 65 lat. Aby uzyskać pełny wizualny obraz sytuacji, badani proszeni byli o wykonanie następujących czynności: 1) przywrócenie w pamięci okoliczności sytuacji konfliktowej – zdarzeń, relacji z ludźmi, motywów zachowań własnych i otaczających ich; 2) oceniać okoliczności według ich znaczenia dla zrozumienia istoty sytuacji; 3) podzielić okoliczności na sprzyjające i niesprzyjające rozwiązaniu konfliktu i spróbować prześledzić ich wzajemne relacje; 4) wybrać, Twoim zdaniem, odpowiedni element graficzny (okrąg, kwadrat, trójkąt, linię lub punkt) dla każdej z okoliczności charakteryzujących sytuację; 5) ułożyć kompozycję z elementów graficznych, biorąc pod uwagę znaczenie i związek okoliczności, jakie te elementy niosą, a powstałą kompozycję narysować na kartce papieru. Przeanalizowano kompozycje graficzne – oceniono uporządkowanie i proporcje wielkości elementów obrazu. Przypadkowe, nieuporządkowane kompozycje zostały odrzucone, a badani zostali poproszeni o ponowne rozważenie wzajemnych powiązań okoliczności sytuacyjnych. Wyniki uogólnionej analizy składu posłużyły jako wskazówka do sformułowania matematycznego wyrażenia matrycy obrazu.
Wyniki badań i dyskusja
Każda kompozycja graficzna, poprzez którą podmiot przedstawiał konstrukcję obrazu sytuacji behawioralnej, była oryginalna. Przykładowe kompozycje pokazano na rysunku.
Kompozycje graficzne odzwierciedlające obrazy problematycznych sytuacji behawioralnych, w jakich znajdowali się badani (każdy element kompozycji odpowiada okolicznościom sytuacyjnym)
Wyjątkowość kompozycji świadczyła o odpowiedzialnym podejściu badanych do analizy sytuacji, z uwzględnieniem ich charakterystyczne cechy. Liczba elementów kompozycji i wymiary elementów, a także projekt kompozycji odzwierciedlały ocenę złożonego stanu rzeczy.
Po stwierdzeniu oryginalności kompozycji, badania skupiły się na określeniu podstawowych cech projektu obrazu. Starając się zbudować integralną kompozycję oddającą obraz sytuacji, badani rozmieszczali elementy zgodnie ze swoimi indywidualnymi preferencjami, a także biorąc pod uwagę związki przyczynowo-skutkowe okoliczności i splot okoliczności w czasie. Siedmiu badanych wolało osadzić kompozycję w formie rysunku, którego konstrukcję wyznaczał wcześniej sporządzony plan figuralny. Na ryc. 1 (a, b, d) podaje przykłady takich kompozycji. Dwie osoby przed skomponowaniem kompozycji świadomie wybrały ideę, która stanowiła podstawę planu, a pięć intuicyjnie, nie podając logicznego wyjaśnienia, dlaczego zdecydowały się na wybraną opcję. Pozostałych dwudziestu badanych stworzyło schematyczną kompozycję, zwracając uwagę jedynie na związki przyczynowo-skutkowe okoliczności i splot okoliczności w czasie (ryc. 1, c, e, f). W kompozycji połączono powiązane i przypadkowe okoliczności. W eksperymentach nie udało się zinterpretować istoty konfliktu na podstawie danych dotyczących kompozycji graficznej. Interpretacja ta została następnie dokonana w ramach mediacji, podczas której ustalono gotowość stron do negocjacji.
Analiza kompozycji pozwoliła prześledzić nie tylko różnicę, ale także uniwersalność zasad kształtowania obrazu sytuacji. Po pierwsze, kompozycje składały się z elementów graficznych, z których każdy odzwierciedlał wspólne okoliczności. Wspólność okoliczności wynikała ze związków przyczynowo-skutkowych i czasowych. Po drugie, okoliczności miały nierówne znaczenie dla zrozumienia istoty sytuacji problemowej. Oznacza to, że okoliczności różniły się parametrami wagowymi. Bardzo istotne okoliczności zostały przedstawione za pomocą elementów graficznych o powiększonym rozmiarze w porównaniu do mniej znaczących. Przy kompilowaniu matrycy obrazu wzięto pod uwagę zauważone cechy obrazu. Oznacza to, że wielkość i cechy graficzne wybranych elementów, a także ich położenie przestrzenne w kompozycji graficznej, posłużyły jako wskazówka przy konstruowaniu matrycy informacyjnej, która odzwierciedlała obraz sytuacji i była jej model matematyczny. Macierz prostokątna przedstawiona w postaci tabeli jest podzielona na wiersze i kolumny. W odniesieniu do powstającego obrazu sytuacji problemowej w macierzy wyodrębniono wiersze, które zawierały ważone elementy prototypów, połączone związkami przyczynowo-skutkowymi i czasowymi, oraz kolumny zawierające dane elementarne, różniące się parametrami wagowymi.
(1)
Każda pojedyncza linia odzwierciedlała powstanie części obrazu, czyli prototypu obiektu. Im więcej linii i większe m, tym pełniej postrzegano obiekt, ponieważ pełniej uwzględniono właściwości strukturalne i funkcjonalne, które posłużyły za jego prototypy. Liczbę kolumn n wyznaczono na podstawie liczby szczegółów zanotowanych podczas konstruowania prototypu. Można przypuszczać, że im więcej zgromadzono fragmentów informacji o dużej i małej masie, tym pełniej prototyp odpowiadał rzeczywistości. Matrycę (1) charakteryzowała dynamika, gdyż jej wymiar zmieniał się wraz z kompletnością obrazu postrzeganego obiektu.
Należy w tym miejscu zauważyć, że kompletność nie jest jedynym wskaźnikiem jakości obrazu. Obrazy prezentowane na płótnach artystów często ustępują fotografii pod względem szczegółowości i zgodności z rzeczywistością, ale jednocześnie mogą przewyższać inne obrazy, pobudzając wyobraźnię i prowokując emocje. Poczyniona uwaga pomaga zrozumieć znaczenie parametrów amn, wskazujących wagę fragmentów informacji. Przyrost masy ciała zniwelował brak dostępnych danych. Jak wykazały badania strategii pokonywania niepewności, uznanie dużego znaczenia dostępnych informacji przyspiesza podejmowanie decyzji w sytuacji problemowej.
Zatem proces tworzenia integralnego obrazu można zinterpretować, jeśli skorelujemy go z manipulacją informacją w matrycy. Manipulacja wyraża się poprzez dobrowolną lub mimowolną (świadomą, celową lub intuicyjną nieświadomość) zmianę parametrów wagowych fragmentów informacji, czyli zmianę wartości amn. W tym przypadku wartość bm, charakteryzująca znaczenie prototypu, rośnie lub maleje, a jednocześnie zmienia się wynikowy obraz br. Jeżeli przejdziemy do macierzowego modelu powstawania obrazu, obejmującego zbiór danych dotyczących obiektu, to organizację obrazu opisujemy następująco. Oznaczmy wektor obrazów wstępnych zawierających m składowych przez
gdzie T jest znakiem transpozycji, a każdy element wektora obrazu wstępnego ma postać:
Następnie wyboru powstałego obrazu można dokonać zgodnie z regułą Laplace'a:
gdzie br jest końcowym wynikiem powstania obrazu bryłowego, którego składowymi są wartości bm, amn jest zbiorem wartości określających położenie i parametry wagowe zmiennej w linii odpowiadającej obrazowi wstępnemu . W warunkach ograniczonej informacji końcowy wynik można zwiększyć poprzez zwiększenie wag dostępnych danych.
Na zakończenie omówienia prezentowanego materiału dotyczącego zasad kształtowania obrazu zwrócono uwagę na potrzebę doprecyzowania terminu „obraz”, gdyż w literaturze nie ma powszechnie przyjętej interpretacji. Termin ten oznacza przede wszystkim utworzenie integralnego systemu fragmentów informacji odpowiadających szczegółom obiektu w polu uwagi. Ponadto duże detale obiektu znajdują odzwierciedlenie w podsystemach fragmentów informacji tworzących prototypy. Obiektem może być przedmiot, zjawisko, proces, a także sytuacja behawioralna. Tworzenie obrazu zapewniają skojarzenia otrzymanej informacji z tą zawartą w pamięci i związaną z postrzeganym przedmiotem. Konsolidacja fragmentów informacji i skojarzeń podczas tworzenia obrazu odbywa się w ramach matrycy, której projekt i wektor wybiera się świadomie lub intuicyjnie. Wybór zależy od preferencji wyznaczanych przez motywacje zachowań. Tutaj zwraca się szczególną uwagę na kwestię zasadniczą – dyskretność informacji wykorzystywanych do składania integralnej matrycy obrazu. Jak widać, integralność zapewniają niespecyficzne układy mózgowe, które kontrolują procesy analizy otrzymanych informacji i ich integracji w pamięci. Integralność może wystąpić przy minimalnych wartościach n i m równych jeden. Obraz nabiera dużej wartości dzięki wzrostowi parametrów wagowych dostępnych informacji, a kompletność obrazu wzrasta wraz ze wzrostem wartości n i m (1).
Wniosek
Wizualizacja elementów obrazu umożliwiła prześledzenie zasad jego projektowania w warunkach odrębnego postrzegania okoliczności problematycznej sytuacji behawioralnej. W wyniku przeprowadzonych prac wykazano, że konstrukcję pełnego obrazu można rozpatrywać jako rozkład fragmentów informacji w strukturze matrycy. O jego konstrukcji i wektorze decyduje po pierwsze motywacja behawioralna, po drugie, związki przyczynowo-skutkowe okoliczności i czasowa kolejność pozyskiwania informacji, po trzecie, dobór informacji zgodnie z ich parametrami wagowymi. Integralność matrycy obrazu zapewniona jest poprzez integrację dyskretnych informacji odzwierciedlających postrzegany obiekt. Niespecyficzne układy mózgowe stanowią mechanizm odpowiedzialny za łączenie informacji w spójny obraz. Wyjaśnienie matrycowych zasad tworzenia obrazu złożonego obiektu poszerza perspektywę zrozumienia natury nie tylko integralności, ale także innych właściwości obrazu. Dotyczy to integralności i bezpieczeństwa systemu obrazowego, a także wartości i podmiotowości spowodowanej brakiem pełnej informacji o przedmiocie.
W przestrzeń wektorowa V nad dowolnym polem P ustawiony na liniowy operator .
Definicja 9.8. Rdzeń operator liniowy jest zbiorem wektorów w przestrzeni V, którego obrazem jest wektor zerowy. Przyjęty zapis dla tego zestawu: Kera, tj.
Kera = {X | (X) = o}.
Twierdzenie 9.7. Jądro operatora liniowego jest podprzestrzenią przestrzeni V.
Definicja 9.9. Wymiar nazywa się jądro operatora liniowego wada operator liniowy. przyćmiony Ker = D.
Definicja 9.10.W pewnym sensie operator liniowy jest zbiorem obrazów wektory kosmiczne V. Notacja dla tego zestawu Jestem, tj. Jestem = {(X) | X V}.
Twierdzenie 9.8. Obraz operator liniowy jest podprzestrzenią przestrzeni V.
Definicja 9.11. Wymiar nazywa się obraz operatora liniowego stopień operator liniowy. ciemny Jestem = R.
Twierdzenie 9.9. Przestrzeń V jest bezpośrednią sumą jądra i obrazu określonego w nim operatora liniowego. Suma rangi i defektu operatora liniowego jest równa wymiarowi przestrzeni V.
Przykład 9.3. 1) W kosmosie R[X] ( 3) znajdź rangę i wadę operator rozróżnianie. Znajdźmy te wielomiany, których pochodna jest równa zeru. Są to zatem wielomiany stopnia zerowego Kera = {F | F = C) I D= 1. Pochodne wielomianów, których stopień nie przekracza trzech, tworzą zatem zbiór wielomianów, których stopień nie przekracza dwóch, zatem Jestem =R[X] ( 2) i R = 3.
2) Jeśli liniowy operator jest dany przez macierz M(), to aby znaleźć jego jądro, należy je rozwiązać równanie ( X) = O, co w postaci macierzowej wygląda następująco: M()[X] = [O] Z Wynika z tego, że podstawą jądra operatora liniowego jest podstawowy zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych z macierzą bazową M(). Układ generatorów obrazu operatora liniowego uzupełnij wektory ( mi 1), (mi 2), …, (mi N). Baza tego układu wektorów daje podstawę obrazu operatora liniowego.
Definicja9.12. Liniowy wywoływany jest operator odwracalny, jeśli istnieje liniowy operator ψ taki co się robi równość ψ = ψ = , gdzie jest operatorem tożsamości.
Twierdzenie 9.10. Jeśli liniowy operator odwracalny, To operator ψ jest jednoznacznie zdefiniowany i nazywany odwracać Dla operator .
W tym przypadku operator jest odwrotnością operatora , oznaczone –1.
Twierdzenie 9.11. Operator liniowy jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz jest odwracalna M(), podczas gdy M( –1) = (M()) –1 .
Z twierdzenia tego wynika, że rząd odwracalnego operatora liniowego jest równy wymiary przestrzeni, a wada wynosi zero.
Przykład 9.4 1) Określ, czy liniowość jest odwracalna operator , jeśli ( X) = (2X 1 – X 2 , –4X 1 + 2X 2).
Rozwiązanie. Stwórzmy macierz dla tego operatora liniowego: M() = . Ponieważ 
= 0, to macierz M() jest nieodwracalny, co oznacza, że jest nieodwracalny i liniowy
operator
.
2) Znajdować liniowy operator, z powrotem operator , jeśli (X) = (2X 1 + X 2 , 3X 1 + 2X 2).
Rozwiązanie. Macierz tej liniowej
operator równy
M() = 
, jest odwracalne, ponieważ | M()| ≠ 0.
(M()) –1 = 
, zatem –1
= (2X 1 – X 2 ,
–3X 1 + 2X 2).
Definicja 1. Obraz operatora liniowego A jest zbiorem wszystkich elementów dających się przedstawić w postaci , gdzie .
Obraz operatora liniowego A jest liniową podprzestrzenią przestrzeni. Jego wymiar nazywa się ranga operatora A.
Definicja 2. Jądrem operatora liniowego A jest zbiór wszystkich wektorów, dla których .
Jądro jest liniową podprzestrzenią przestrzeni X. Jej wymiar nazywa się wada operatora A.
Jeśli operator A działa w przestrzeni wymiarowej X, to obowiązuje zależność + =.
Wywoływany jest operator A niezdegenerowany, jeśli jest to rdzeń . Ranga operatora niezdegenerowanego jest równa wymiarowi przestrzeni X.
Niech będzie macierzą przekształcenia liniowego A przestrzeni X w jakiejś bazie, wówczas współrzędne obrazu i obrazu odwrotnego są powiązane zależnością
Zatem współrzędne dowolnego wektora spełniają układ równań
Wynika z tego, że jądro operatora liniowego jest powłoką liniową podstawowego układu rozwiązań danego układu.
Zadania
1. Udowodnić, że ranga operatora jest równa rangi jego macierzy w dowolnej podstawie.
Oblicz jądra operatorów liniowych zdefiniowanych w pewnej bazie przestrzeni X za pomocą następujących macierzy:
5. Udowodnij to.
Oblicz rząd i defekt operatorów podanych przez następujące macierze:
6. . 7. . 8. .
3. Wektory własne i wartości własne operatora liniowego
Rozważmy operator liniowy A działający w przestrzeni wymiarowej X.
Definicja. Liczba l nazywana jest wartością własną operatora A jeśli , tak że . W tym przypadku wektor nazywany jest wektorem własnym operatora A.
Najważniejszą właściwością wektorów własnych operatora liniowego jest to, że wektory własne odpowiadają parami różnym wartościom własnym liniowo niezależne.
Jeśli jest macierzą operatora liniowego A na podstawie przestrzeni X, wówczas wartości własne l i wektory własne operatora A wyznacza się w następujący sposób:
1. Wartości własne znajdują się jako pierwiastki równania charakterystycznego ( równanie algebraiczne-stopień):
2. Współrzędne wszystkich liniowo niezależnych wektorów własnych odpowiadających każdej indywidualnej wartości własnej uzyskuje się poprzez rozwiązanie układu jednorodnych równań liniowych:
którego macierz ma rangę . Podstawowymi rozwiązaniami tego układu są wektory kolumnowe współrzędnych wektorów własnych.
Pierwiastki równania charakterystycznego nazywane są również wartościami własnymi macierzy, a rozwiązania układu nazywane są wektorami własnymi macierzy.
Przykład. Znajdź wektory własne i wartości własne operatora A, określone w określonej podstawie przez macierz
1. Aby wyznaczyć wartości własne, układamy i rozwiązujemy równanie charakterystyczne:
Stąd wartość własna, jej krotność.
2. Aby wyznaczyć wektory własne, układamy i rozwiązujemy układ równań:
Równoważny układ podstawowych równań ma postać
Dlatego każdy wektor własny jest wektorem kolumnowym, gdzie c jest dowolną stałą.
3.1.Prosty operator konstrukcji.
Definicja. Operator liniowy Operator działający w przestrzeni n-wymiarowej nazywany jest operatorem o prostej strukturze, jeśli odpowiada dokładnie n liniowo niezależnym wektorom własnym. W tym przypadku możliwe jest zbudowanie bazy przestrzennej z wektorów własnych operatora, w którym macierz operatorowa ma najprostszą postać diagonalną
gdzie są wartości własne operatora. Oczywiście jest też odwrotnie: jeśli w jakiejś bazie przestrzeni X macierz operatora ma postać diagonalną, to bazę stanowią wektory własne operatora.
Operator liniowy A jest operatorem konstrukcji prostej wtedy i tylko wtedy, gdy każda wartość własna krotności odpowiada dokładnie liniowo niezależnym wektorom własnym. Ponieważ wektory własne są rozwiązaniami układu równań, dlatego każdy pierwiastek charakterystycznego równania krotności musi odpowiadać macierzy rang.
Dowolna macierz o rozmiarze odpowiadającym prostemu operatorowi struktury jest podobna do macierzy diagonalnej
gdzie macierz przejścia T z bazy pierwotnej do bazy wektorów własnych ma jako kolumny wektory kolumnowe ze współrzędnych wektorów własnych macierzy (operator A).
Przykład. Sprowadź macierz operatora liniowego do postaci diagonalnej
Stwórzmy równanie charakterystyczne i znajdźmy jego pierwiastki.
Skąd pochodzą wartości własne wielości i wielości?
Pierwsza wartość własna. Odpowiada wektorom własnym, których współrzędne wynoszą
rozwiązanie systemowe
Ranga tego układu wynosi 3, więc istnieje tylko jedno niezależne rozwiązanie, na przykład wektor.
Odpowiadające wektory własne są określone przez układ równań
którego ranga wynosi 1, a zatem są trzy liniowe niezależne rozwiązania, Na przykład,
Zatem każdej wartości własnej krotności odpowiadają dokładnie liniowo niezależne wektory własne, a zatem operator jest operatorem o prostej strukturze. Macierz przejścia T ma postać
a związek między podobnymi macierzami jest określony przez relację
Zadania
Znajdź wektory własne i wartości własne
operatory liniowe określone w pewnej bazie przez macierze:
Określ, który z poniższych operatorów liniowych można sprowadzić do postaci diagonalnej, przechodząc do nowej podstawy. Znajdź tę bazę i odpowiadającą jej macierz:
10. Udowodnij, że wektory własne operatora liniowego odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.
11. Udowodnić, że jeśli operator liniowy A działający w ma n różnych wartości, to dowolny operator liniowy B dojeżdżający do A ma bazę wektorów własnych i każdy wektor własny A będzie również wektorem własnym B.
NIEZMIENNE PODprzestrzenie
Definicja 1.. Mówi się, że podprzestrzeń L przestrzeni liniowej X jest niezmienna pod operatorem A działającym w X, jeśli dla każdego wektora do którego należy również jej obraz .
Główne właściwości podprzestrzeni niezmienniczych wyznaczają następujące zależności:
1. Jeżeli i są podprzestrzeniami niezmienniczymi względem operatora A, to ich suma i przecięcie są również niezmienne względem operatora A.
2. Jeżeli przestrzeń X rozkłada się na sumę bezpośrednią podprzestrzeni i () i jest niezmienna względem A, to macierz operatora w bazie, będąca sumą baz, jest macierzą blokową
gdzie są macierzami kwadratowymi, 0 jest macierzą zerową.
3. W dowolnym niezmienniku podprzestrzeni względem operatora A operator ma co najmniej jeden wektor własny.
Przykład 1. Rozważmy jądro jakiegoś operatora A działającego w X. Z definicji. Pozwalać . Wtedy , gdyż wektor zerowy zawiera się w każdej podprzestrzeni liniowej. W konsekwencji jądro jest niezmiennikiem podprzestrzeni w A.
Przykład 2. Niech w jakiejś bazie przestrzeni X operator A będzie dany przez macierz określoną równaniem i
5. Udowodnić, że każda podprzestrzeń niezmienna pod operatorem niezdegenerowanym A będzie także niezmienna pod operatorem odwrotnym.
6. Niech transformacja liniowa przestrzeni A -wymiarowej w bazie ma macierz diagonalną z różne elementy na przekątnej. Znajdź wszystkie niezmienniki podprzestrzeni pod A i określ ich liczbę.
