Na riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc použijeme Laplaceovu transformáciu.
Laplaceova transformácia nazývaný pomer
vkladanie funkcií x(t) skutočná premenná t párovacia funkcia X komplexná premenná s (s = σ+ jω). V rovnakom čase x(t) volal originál, X- obrázok alebo Laplaceov obraz A s- Laplaceova transformačná premenná. Originál je označený malým písmenom a jeho obrázok je označený veľkým písmenom rovnakého mena.
Predpokladá sa, že funkcia x(t), ktorý prechádza Laplaceovou transformáciou, má nasledujúce vlastnosti:
1) funkcia x(t) je definovaný a po častiach diferencovateľný na intervale , kde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных
8 Prednáška 7 OPERÁTORSKÉ FUNKCIE OBVODOV Operátorské vstupné a prenosové funkcie Póly a nuly obvodových funkcií 3 Záver Operátorské vstupné a prenosové funkcie Operátorská funkcia obvodu je vzťah
68 Prednáška 7 PRECHODOVÉ PROCESY V OBVODOCH PRVÉHO RADU Plán 1 Prechodové procesy v RC obvodoch prvého poriadku 2 Prechodové procesy v obvodoch R prvého poriadku 3 Príklady výpočtu prechodných procesov v obvodoch
4 LINEÁRNE ELEKTRICKÉ OBVODY STRIEDAVÉHO SINUSOIDÁLNEHO PRÚDU A METÓDY ICH VÝPOČTU 4.1 ELEKTRICKÉ STROJE. PRINCÍP GENEROVANIA SINUZOIDÁLNEHO PRÚDU 4.1.012. Prúd sa nazýva sínusový, okamžitý
Federálna agentúra pre vzdelávanie Štátna vzdelávacia inštitúcia vyššieho odborného vzdelávania "KUBÁNSKA ŠTÁTNA UNIVERZITA" Fakulta fyziky a technológie Katedra optoelektroniky
~ ~ PKP Derivácia funkcie komplexnej premennej PKP Cauchy-Riemannove podmienky pojem pravidelnosti PKP Obraz a tvar komplexného čísla Typ PKP: kde reálna funkcia dvoch premenných je reálna
Oddiel II. Matematická analýza
E. Yu
HISTÓRIA VÝVOJA A VZNIKU TEÓRIE FUNKCIE KOMPLEXNEJ PREMENNEJ (TFCV) AKO VZDELÁVACIEHO PREDMETU
Jedným z komplexných matematických kurzov je kurz TFKP. Zložitosť tohto kurzu je spôsobená predovšetkým rôznorodosťou jeho vzťahov s inými matematickými disciplínami, historicky vyjadrenými v širokom aplikovanom zameraní vedy TFKP.
Vo vedeckej literatúre o dejinách matematiky sú roztrúsené informácie o histórii vývoja TFKP vyžadujú systematizáciu a zovšeobecňovanie.
V tejto súvislosti je hlavným cieľom tohto článku stručná charakteristika vývoja TFKP a etablovanie tejto teórie ako vzdelávacieho predmetu.
Výsledkom štúdie boli nasledujúce tri etapy vývoja TFKP ako prírodovedného a vzdelávacieho predmetu:
Štádium vzniku a rozpoznávania komplexných čísel;
Štádium akumulácie faktografického materiálu o funkciách imaginárnych veličín;
Štádium formovania teórie funkcií komplexnej premennej.
Prvá etapa vývoja TFKP (polovica 16. storočia - 18. storočie) sa začína dielom G. Cardana (1545), ktorý vydal dielo „Artis magnae sive de regulis algebraitis“ (Veľké umenie alebo o algebraických pravidlách). Práca G. Cardana mala za hlavnú úlohu zdôvodniť všeobecné algebraické techniky na riešenie rovníc tretieho a štvrtého stupňa, ktoré nedávno objavili Ferro (1465-1526), Tartaglia (1506-1559) a Ferrari (1522-1565) . Ak sa kubická rovnica zredukuje na tvar
x3 + px + d = 0,
a malo by byť
Keď (t^Ar V (|- 70 rovnica má tri skutočné korene a dva z nich
sú si navzájom rovné. Ak potom rovnica má jednu skutočnú a dve ko-
konjugované komplexné korene. V konečnom výsledku sa objavujú komplexné čísla, takže G. Cardano mohol urobiť to, čo oni pred ním: vyhlásiť rovnicu za mať
jeden koreň. Keď (<7 Г + (р V < (). тогда уравнение имеет три действительных корня. Этот так
takzvaný neredukovateľný prípad sa vyznačuje jednou črtou, s ktorou sa nestretol až do 16. storočia. Rovnica x3 - 21x + 20 = 0 má tri skutočné korene 1, 4, - 5, čo je jednoduché
overiť jednoduchou substitúciou. Ale ^du + y _ ^20y + ^-21y _ ^ ^ ^; teda podľa všeobecného vzorca x = ^-10 + ^-243 -^-10-4^243. Komplexné, t.j. „nepravda“, ukáže sa, že číslo nie je výsledkom, ale medzičlánkom vo výpočtoch, ktoré vedú k skutočným koreňom príslušnej rovnice. J. Cardano narazil na problém a uvedomil si, že v záujme zachovania všeobecnosti tohto vzorca je potrebné opustiť úplné ignorovanie komplexných čísel. J. D'Alembert (1717-1783) veril, že to bola práve táto okolnosť, ktorá prinútila G. Cardana a matematikov, ktorí nasledovali túto myšlienku, vážne sa zaujímať o komplexné čísla.
V tejto etape (v 17. storočí) boli všeobecne akceptované dva pohľady. Prvý názor vyjadril Girard, ktorý nastolil otázku uznania potreby neobmedzeného používania komplexných čísel. Druhý je od Descarta, ktorý poprel možnosť interpretovať komplexné čísla. Protikladom k Descartovmu názoru bol pohľad J. Wallisa – o existencii reálnej interpretácie komplexných čísel Descartes ignoroval. Komplexné čísla sa začali „nútiť“ používať pri riešení aplikovaných úloh v situáciách, keď použitie reálnych čísel viedlo ku komplexnému výsledku, alebo sa výsledok nedal získať teoreticky, ale mal praktickú realizáciu.
Intuitívne používanie komplexných čísel viedlo k potrebe zachovať zákony a pravidlá aritmetiky reálnych čísel pre množinu komplexných čísel, najmä pokusy o priamy prenos; To niekedy viedlo k chybným výsledkom. V tomto ohľade sa stali relevantnými otázky týkajúce sa opodstatnenosti komplexných čísel a konštrukcie algoritmov pre ich aritmetiku. To bol začiatok novej etapy vo vývoji TFKP.
Druhá etapa vývoja TFKP (začiatok 18. storočia - 19. storočie). V 18. storočí L. Euler vyslovil myšlienku, že obor komplexných čísel je algebraicky uzavretý. Algebraická uzavretosť poľa komplexných čísel C viedla matematikov k nasledujúcim záverom:
Že štúdium funkcií a matematická analýza vo všeobecnosti nadobudnú náležitú úplnosť a úplnosť len vtedy, keď sa uvažuje o správaní funkcií v komplexnej oblasti;
Komplexné čísla je potrebné považovať za premenné.
V roku 1748 L. Euler (1707-1783) vo svojom diele „Úvod do analýzy infinitezimálov“ zaviedol komplexnú premennú ako najvšeobecnejší pojem premennej veličiny, pričom využíval komplexné čísla pri rozširovaní funkcií na lineárne faktory. L. Euler je právom považovaný za jedného z tvorcov TFKP. V prácach L. Eulera sa podrobne študovali elementárne funkcie komplexnej premennej (1740-1749), boli dané podmienky diferencovateľnosti (1755) a začiatok integrálneho počtu pre funkcie komplexnej premennej (1777). L. Euler prakticky zaviedol konformné mapovanie (1777). Tieto zobrazenia nazval „podobné v malom“ a výraz „konformný“ zrejme prvýkrát použil petrohradský akademik F. Schubert (1789). Početné aplikácie funkcií komplexnej premennej priniesol aj L. Euler do rôznych matematických problémov a položil základy ich využitia v hydrodynamike (1755-1757) a kartografii (1777). K. Gauss formuluje definíciu integrálu v komplexnej rovine, integrálnu vetu o rozložiteľnosti analytickej funkcie na mocninný rad. Laplace používa komplexné premenné pri výpočte zložitých integrálov a vyvíja metódu na riešenie lineárnych, diferenčných a diferenciálnych rovníc známu ako Laplaceova transformácia.
Od roku 1799 sa objavili diela, v ktorých boli uvedené viac-menej vhodné interpretácie komplexných čísel a boli definované akcie na nich. Dosť všeobecný teoretický výklad a geometrický výklad publikoval K. Gauss až v roku 1831.
L. Euler a jeho súčasníci zanechali svojim potomkom bohaté dedičstvo v podobe nahromadených, niekedy systematizovaných, inokedy nie, no predsa roztrúsených faktov na TFKP. Dá sa povedať, že faktografický materiál o funkciách imaginárnych veličín si akoby vyžadoval svoju systematizáciu vo forme teórie. Táto teória sa začala formovať.
Tretia etapa formovania TFKP (XIX storočia - XX storočia). Hlavné úspechy tu patria O. Cauchymu (1789-1857), B. Riemannovi (1826-1866) a K. Weierstrassovi (1815-1897). Každý z nich predstavoval jeden zo smerov vývoja TFKP.
Predstaviteľom prvého smeru, ktorý sa v dejinách matematiky nazýval „teória monogénnych alebo diferencovateľných funkcií“, bol O. Cauchy. Formalizoval rozptýlené fakty na diferenciálnom a integrálnom počte funkcií komplexnej premennej, vysvetlil význam základných pojmov a operácií s imaginárnymi. Práce O. Cauchyho stanovili teóriu limitov a na nej založenú teóriu radov a elementárnych funkcií a sformulovali vetu, ktorá úplne objasňuje oblasť konvergencie mocninného radu. V roku 1826 zaviedol O. Cauchy termín: odpočet (doslova: zvyšok). Vo svojich prácach v rokoch 1826 až 1829 vytvoril teóriu zvyškov. O. Cauchy odvodil integrálny vzorec; získal vetu o existencii rozšírenia funkcie komplexnej premennej do mocninných radov (1831). O. Cauchy položil základy teórie analytických funkcií viacerých premenných; určil hlavné vetvy viachodnotových funkcií komplexnej premennej; prvýkrát použité rovinné rezy (1831-1847). V roku 1850 zaviedol koncept monodromických funkcií a identifikoval triedu monogénnych funkcií.
Nasledovateľom O. Cauchyho bol B. Riemann, ktorý vytvoril svoj vlastný „geometrický“ (druhý) smer vývoja TFKP. Vo svojich prácach prekonal izolovanosť predstáv o funkciách komplexných premenných a vytvoril nové oddiely tejto teórie, úzko súvisiace s inými disciplínami. Riemann urobil výrazne nový krok v histórii teórie analytických funkcií, navrhol spojiť s každou funkciou komplexnej premennej myšlienku mapovania jednej domény na druhú. Stanovil rozdiely medzi funkciami komplexnej a reálnej premennej. B. Riemann položil základy geometrickej teórie funkcií, predstavil Riemannovu plochu, rozvinul teóriu konformných zobrazení, vytvoril spojenie medzi analytickými a harmonickými funkciami a zaviedol funkciu zeta.
Ďalší vývoj TFKP nastal iným (tretím) smerom. Bol založený na možnosti reprezentovať funkcie mocninovými radmi. Tento smer dostal v histórii názov „analytický“. Sformoval sa v dielach K. Weierstrassa, v ktorých dostal do popredia koncept rovnomernej konvergencie. K. Weierstrass sformuloval a dokázal teorém o zákonnosti uvádzania podobných pojmov v sérii. K. Weierstrass dospel k zásadnému výsledku: limita postupnosti analytických funkcií, ktorá rovnomerne konverguje v určitej doméne, je analytická funkcia. Dokázal zovšeobecniť Cauchyho vetu o rozširovaní mocninného radu funkcie komplexnej premennej a opísal proces analytického pokračovania mocninného radu a jeho aplikáciu na reprezentáciu riešení sústavy diferenciálnych rovníc. K. Weierstrass stanovil fakt nielen absolútnej konvergencie radu, ale aj rovnomernej konvergencie. Objavuje sa Weierstrassova veta o expanzii celej funkcie na súčin. Pokladá základy teórie analytických funkcií mnohých premenných a buduje teóriu deliteľnosti mocninných radov.
Pozrime sa na vývoj teórie analytických funkcií v Rusku. Ruskí matematici 19. storočia. dlho sa nechceli venovať novému odboru matematiky. Napriek tomu môžeme vymenovať niekoľko mien, ktorým to nebolo cudzie, a uviesť niektoré diela a úspechy týchto ruských matematikov.
Jedným z ruských matematikov bol M.V. Ostrogradskij (1801-1861). O výskume M.V. O Ostrogradskom sa v oblasti teórie analytických funkcií vie len málo, ale O. Cauchy hovoril s chválou o tomto mladom ruskom vedcovi, ktorý aplikoval integrály a dal nové dôkazy vzorcov a zovšeobecnil ďalšie vzorce. M.V. Ostrogradsky napísal prácu „Poznámky k určitým integrálom“, v ktorej odvodil Cauchyho vzorec na odčítanie funkcie vzhľadom na pól n-tého rádu. V rozsiahlom verejnom prednáškovom kurze v rokoch 1858–1859 načrtol aplikácie teórie zvyškov a Cauchyho vzorca na hodnotenie určitých integrálov.
Množstvo diel N.I. pochádza z 30. rokov 20. storočia. Lobačevského, ktoré majú priamy význam pre teóriu funkcií komplexnej premennej. Teóriu elementárnych funkcií komplexnej premennej obsahuje jeho práca „Algebra alebo výpočet konečných“ (Kazan, 1834). V ktorom cos x a sin x sú na začiatku určené pre reálne x ako skutočné a
imaginárna časť funkcie ex^. Pomocou vopred stanovených vlastností exponenciálnej funkcie a mocninných expanzií sú odvodené všetky základné vlastnosti goniometrických funkcií. podľa-
Zdá sa, že Lobačevskij pripisoval osobitnú dôležitosť takejto čisto analytickej konštrukcii trigonometrie nezávislej od euklidovskej geometrie.
Možno tvrdiť, že v posledných desaťročiach 19. stor. a prvej dekády 20. storočia. Základný výskum teórie funkcií komplexnej premennej (F. Klein, A. Poincaré, P. Koebe) spočíval v postupnom objasňovaní, že Lobačevského geometria je zároveň geometriou analytických funkcií jednej komplexnej premennej.
V roku 1850 profesor na Petrohradskej univerzite (neskorší akademik) I.I. Somov (1815-1876) publikoval „Základy teórie analytických funkcií“, ktoré boli založené na Jacobiho „Nových základoch“.
Avšak prvým skutočne „originálnym“ ruským výskumníkom v oblasti teórie analytických funkcií komplexnej premennej bol Yu.V. Sochotskij (1842-1929). Obhájil diplomovú prácu „Teória integrálnych zvyškov s niektorými aplikáciami“ (Petrohrad, 1868). Od jesene 1868 Yu.V. Sokhotsky učil kurzy o teórii funkcií imaginárnej premennej a o spojitých zlomkoch s aplikáciami na analýzu. Diplomová práca Yu.V. Sokhotsky sa venuje aplikáciám teórie rezíduí na inverziu mocninných radov (Lagrangeov rad) a najmä rozširovaniu analytických funkcií do spojitých zlomkov, ako aj Legendreovým polynómom. V tejto práci bola sformulovaná a dokázaná slávna veta o správaní sa analytickej funkcie v okolí v podstate singulárneho bodu. V doktorandskej dizertačnej práci Sochotského
(1873) sa pojem integrálu Cauchyho typu uvádza po prvýkrát v rozšírenej forme: *r/ ^ & _ kde
a a b sú dve ľubovoľné komplexné čísla. Predpokladá sa, že integrál sa berie pozdĺž určitej krivky („trajektórie“) spájajúcej a a b. V tejto práci je dokázané množstvo teorémov.
Diela N.E. zohrali obrovskú úlohu v histórii analytických funkcií. Žukovskij a S.A. Chaplygin, ktorý otvoril rozsiahlu oblasť svojich aplikácií v aero- a hydromechanike.
Keď už hovoríme o vývoji teórie analytických funkcií, nemožno nespomenúť výskum S.V. Kovalevskaya, hoci ich hlavný význam presahuje rámec tejto teórie. K úspechu jej práce prispela úplne nová formulácia problému v zmysle teórie analytických funkcií a zohľadnenia času t ako komplexnej premennej.
Na prelome 20. stor. Mení sa charakter vedeckého výskumu v oblasti teórie funkcií komplexnej premennej. Ak sa predtým väčšina výskumov v tejto oblasti uskutočňovala z hľadiska vývoja jedného z troch smerov (teória monogénnych alebo diferencovateľných Cauchyho funkcií, geometrické a fyzikálne myšlienky Riemanna, analytický smer Weierstrassa), teraz rozdiely a súvisiace spory sú prekonané, objavujú sa a rýchlo rastie počet diel, v ktorých sa uskutočňuje syntéza myšlienok a metód. Jedným z hlavných konceptov, na ktorých sa jasne ukázala súvislosť a zhoda geometrických konceptov a aparátu mocninných radov, bol koncept analytického pokračovania.
Koncom 19. stor. Teória funkcií komplexnej premennej zahŕňa rozsiahly súbor disciplín: geometrickú teóriu funkcií, založenú na teórii konformných zobrazení a Riemannových plochách. Získali sme ucelenú formu teórie rôznych typov funkcií: celočíselné a meromorfné, eliptické a modulárne, automorfné, harmonické, algebraické. V úzkej súvislosti s poslednou triedou funkcií bola vyvinutá teória Abelovských integrálov. K tomuto komplexu priliehala analytická teória diferenciálnych rovníc a analytická teória čísel. Teória analytických funkcií nadviazala a posilnila prepojenie s inými matematickými disciplínami.
Bohatstvo vzťahov medzi TFKP a algebrou, geometriou a inými vedami, vytvorenie systematických základov samotnej vedy TFKT a jej veľký praktický význam prispeli k formovaniu TFKT ako vzdelávacieho predmetu. Súčasne s dokončením tvorby základov sa však do teórie analytických funkcií dostali nové myšlienky, ktoré výrazne zmenili jej zloženie, povahu a ciele. Objavujú sa monografie, ktoré obsahujú systematickú prezentáciu teórie analytických funkcií v štýle blízkom axiomatickému a majú aj vzdelávacie účely. Zrejme význam výsledkov o TFKP, ktoré získali vedci sledovaného obdobia, ich podnietil k popularizácii TFKP formou prednášania a publikovania monografických štúdií z pedagogického hľadiska. Možno konštatovať, že TFKP vznikol ako vzdelávací
predmet. V roku 1856 vydali C. Briot a T. Bouquet krátke memoáre „Štúdium funkcií imaginárnej premennej“, ktoré boli v podstate prvou učebnicou. Všeobecné pojmy v teórii funkcií komplexnej premennej sa začali rozvíjať na prednáškach. Od roku 1856 K. Weierst-Rass prednášal o reprezentácii funkcií pomocou konvergentných mocninných radov a od roku 1861 o všeobecnej teórii funkcií. V roku 1876 vyšla špeciálna esej K. Weierstrassa: „O teórii jednohodnotových analytických funkcií“ a v roku 1880 „O doktríne funkcií“, v ktorej jeho teória analytických funkcií nadobudla určitú úplnosť.
Weierstrassove prednášky slúžili dlhé roky ako prototyp učebníc teórie funkcií komplexnej premennej, ktoré sa odvtedy začali objavovať pomerne často. Práve v jeho prednáškach sa v podstate vybudoval moderný štandard prísnosti v matematickej analýze a zdôraznila sa štruktúra, ktorá sa stala tradičnou.
BIBLIOGRAFICKÝ ZOZNAM
1. Andronov I.K. Matematika reálnych a komplexných čísel. M.: Vzdelávanie, 1975.
2. Klein F. Prednášky o vývoji matematiky v 19. storočí. M.: ONTI, 1937. 1. časť.
3. Lavrentiev M.A., Shabat B.V. Metódy teórie funkcií komplexnej premennej. M.: Nauka, 1987.
4. Markushevich A.I. Teória analytických funkcií. M.: Štát. Vydavateľstvo technickej a teoretickej literatúry, 1950.
5. Matematika 19. storočia. Geometria. Teória analytických funkcií / vyd. A. N. Kolmogorov a A. P. Juškevič. M.: Nauka, 1981.
6. Matematická encyklopédia / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. M.: Sovietska encyklopédia, 1977. T. 1.
7. Matematická encyklopédia / Ch. vyd. I. M. Vinogradov. M.: Sovietska encyklopédia, 1979. T. 2.
8. Mladý V.N. Základy doktríny čísla v 18. a na začiatku 19. storočia. M.: Uchpedgiz, 1963.
9. Rybnikov K.A. História matematiky. M.: Vydavateľstvo Moskovskej štátnej univerzity, 1963. 2. časť.
NIE. Lyakhova DOTYKOVÉ PLOCHÉ KRIVKY
Otázka tangencie rovinných kriviek v prípade, že úsečky spoločných bodov nájdeme z rovnice tvaru Pn x = 0, kde P x je nejaký polynóm, priamo súvisí s otázkou.
na násobnosti koreňov polynómu Pn x. Tento článok formuluje zodpovedajúce tvrdenia pre prípady explicitnej a implicitnej špecifikácie funkcií, ktorých grafy sú krivky, a tiež ukazuje použitie týchto tvrdení pri riešení problémov.
Ak krivky, ktoré sú grafmi funkcií y = f(x) a y = ср x, majú spoločný bod
M() x0; v0, t.j. y0 = f x0 =ср x0 a dotyčnice k označeným krivkám nakresleným v bode M() x0; v0 sa nezhodujú, potom hovoria, že krivky y = fix) a y - ср x sa pretínajú v bode Mo xo;Uo
Obrázok 1 ukazuje príklad priesečníka funkčných grafov.
Laplaceova transformácia- integrálna transformácia spájajúca funkciu F(s) (\displaystyle \F(s)) komplexná premenná ( obrázok) s funkciou f (x) (\displaystyle \f(x)) skutočná premenná ( originálny). S jeho pomocou sa študujú vlastnosti dynamických systémov a riešia sa diferenciálne a integrálne rovnice.
Jednou z čŕt Laplaceovej transformácie, ktorá predurčila jej široké rozšírenie vo vedeckých a inžinierskych výpočtoch, je, že mnohé vzťahy a operácie na origináloch zodpovedajú jednoduchším vzťahom na ich obrazoch. Konvolúcia dvoch funkcií sa teda v obrazovom priestore redukuje na operáciu násobenia a lineárne diferenciálne rovnice sa stávajú algebraickými.
1 / 5
✪ Laplaceova transformácia - bezbotvy
✪ Prednáška 10: Laplaceova transformácia
✪ Vyššia matematika -- 4. Laplaceova transformácia. Časť 1
✪ Laplaceova metóda na riešenie DE
✪ Prednáška 11: Aplikácia Laplaceovej transformácie na riešenie diferenciálnych rovníc
f(x) | e − σ 0 x d x = ∫ 0 ∞ | (f(x) | e − σ 0 x d x , (\displaystyle \lim _(b\to \infty )\int \limits _(0)^(b)|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\ ,dx=\int \limits _(0)^(\infty )|f(x)|e^(-\sigma _(0)x)\,dx,) potom konverguje absolútne a jednotne pre a je analytickou funkciou priσ ⩾ σ 0 (\displaystyle \sigma \geqslant \sigma _(0)) σ = R e s (\displaystyle \sigma =\mathrm (Re) \,s)- reálna časť komplexnej premennej s (\displaystyle s)). Presný spodný okraj σ a (\displaystyle \sigma _(a)) sady čísel
, za ktorých je táto podmienka splnená, sa nazýva úsečka absolútnej konvergencie Laplaceova transformácia pre funkciu.
f (x) (\displaystyle f(x))
Poznámka
f (x) (\displaystyle f(x)) priama konverzia
: toto sú dostatočné podmienky existencie. má úsečku absolútnej konvergencie.
Hlavný článok:
Diferenciácia a integrácia origináluLaplaceov obraz prvej derivácie originálu vzhľadom na argument je súčinom obrazu a argumentu druhého mínus originál s nulou vpravo:
L ( f ′ (x) ) = s ⋅ F (s) − f (0 +) .(\displaystyle (\mathcal (L))\(f"(x)\)=s\cdot F(s)-f(0^(+)).) Vety o počiatočnej a konečnej hodnote (limitné vety): f (∞) = lim s → 0 s F (s) (\displaystyle f(\infty)=\lim _(s\to 0)sF(s)), ak všetky póly funkcie
sú v ľavej polrovine.
L (af(x) + bg(x)) = aF(s) + bG(s).(\displaystyle (\mathcal (L))\(af(x)+bg(x)\)=aF(s)+bG(s.)
Násobenie číslom:(\displaystyle (\mathcal (L))\(f(ax)\)=(\frac (1)(a))F\left((\frac (s)(a))\right).)
| № | Priama a inverzná Laplaceova transformácia niektorých funkcií | Nižšie je tabuľka Laplaceovej transformácie pre niektoré funkcie. Funkcia |
Časová oblasť x (t) = L − 1 ( X (s) ) (\displaystyle x(t)=(\matematické (L))^(-1)\(X(s)\)) |
Frekvenčná doména X (s) = L ( x (t) ) (\displaystyle X(s)=(\matematické (L))\(x(t)\)) Konvergenčný región |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Pre | kauzálne systémy | dokonalé oneskorenie | |
| δ (t − τ) (\displaystyle \delta (t-\tau)\ ) | e − τ s (\displaystyle e^(-\tau s)\ ) | 1a | jediný impulz | δ (t) (\displaystyle \delta (t)\ ) |
| 2 | 1 (\displaystyle 1\ ) ∀ s (\displaystyle \forall s\ ) | zaostávať}e^{-\alpha (t-\tau)}\cdot H(t-\tau)} !} | n (\displaystyle n) | (t − τ) n n ! |
| e − α (t − τ) ⋅ H (t − τ) (\displaystyle (\frac ((t-\tau)^(n))(n | e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1)))) ∀ s (\displaystyle \forall s\ ) s > 0 (\displaystyle s>0) | 2a}\cdot H(t)} !} | moc | (t − τ) n n ! |
| - poradie | e − τ s (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))((s+\alpha)^(n+1)))) tnn! s > 0 (\displaystyle s>0) | ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n | 1 s n + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(n+1)))) | (t − τ) n n ! |
| 2a.1 | q (\displaystyle q) | t q Γ (q + 1) ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(q))(\Gamma (q+1)))\cdot H(t)) | 1 s q + 1 (\displaystyle (\frac (1)(s^(q+1)))) | (t − τ) n n ! |
| 2a.2 | funkcia jednotky | H (t) (\displaystyle H(t)\ ) | 1 s (\displaystyle (\frac (1)(s))) | (t − τ) n n ! |
| 2b | funkcia jednotky s oneskorením | H (t − τ) (\displaystyle H(t-\tau)\ ) | e − τ s s (\displaystyle (\frac (e^(-\tau s))(s))) | (t − τ) n n ! |
| 2c | ∀ s (\displaystyle \forall s\ )"rýchlostný krok" | t ⋅ H (t) (\displaystyle t\cdot H(t)\ )}e^{-\alpha t}\cdot H(t)} !} | 1 s 2 (\displaystyle (\frac (1)(s^(2)))) | 2d |
| -tý rád s frekvenčným posunom | tnn! | e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle (\frac (t^(n))(n | 1 (s + α) n + 1 (\displaystyle (\frac (1)((s+\alpha)^(n+1)))) | s > − α (\displaystyle s>-\alpha ) |
| 3 | 2d.1 | exponenciálny rozpad | e − α t ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cdot H(t)\ ) | 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) |
| 4 | s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ ) | exponenciálna aproximácia | (1 − e − α t) ⋅ H (t) (\displaystyle (1-e^(-\alpha t))\cdot H(t)\ ) | 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) |
| 5 | kosínus | cos (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle \cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) | s s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)+\omega ^(2)))) | 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) |
| 6 | hyperbolický sínus | s h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (sh) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) | α s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (\alpha )(s^(2)-\alpha ^(2)))) | s > | |
| 7 | α | | (\displaystyle s>|\alpha |\ ) | hyperbolický-kozín | s > | |
| 8 | c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) s > − α (\displaystyle s>-\alpha \ ) |
s s 2 − α 2 (\displaystyle (\frac (s)(s^(2)-\alpha ^(2)))) | exponenciálne chátrajúce | s > − α (\displaystyle s>-\alpha ) |
| 9 | c h (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle \mathrm (ch) \,(\alpha t)\cdot H(t)\ ) kosínus |
e − α t sin (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\sin(\omega t)\cdot H(t)\ ) | ω (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) | s > − α (\displaystyle s>-\alpha ) |
| 10 | e − α t cos (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle e^(-\alpha t)\cos(\omega t)\cdot H(t)\ ) ∀ s (\displaystyle \forall s\ ) s > 0 (\displaystyle s>0) | s + α (s + α) 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (s+\alpha )((s+\alpha)^(2)+\omega ^(2)))) | koreň | (t − τ) n n ! |
| 11 | t n ⋅ H (t) (\displaystyle (\sqrt[(n)](t))\cdot H(t)) | s − (n + 1) / n ⋅ Γ (1 + 1 n) (\displaystyle s^(-(n+1)/n)\cdot \Gamma \left(1+(\frac (1)(n) )\vpravo)) | prirodzený logaritmus | (t − τ) n n ! |
| 12 | ln (t t 0) ⋅ H (t) (\displaystyle \ln \left((\frac (t)(t_(0)))\right)\cdot H(t)) − t 0 s [ ln (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ]) Besselova funkcia ∀ s (\displaystyle \forall s\ ) |
prvý druh | poriadku | 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) J n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle J_(n)(\omega t)\cdot H(t)) |
| 13 | − t 0 s [ ln (t 0 s) + γ ] (\displaystyle -(\frac (t_(0))(s))[\ln(t_(0)s)+\gamma ]) Besselova funkcia ∀ s (\displaystyle \forall s\ ) |
ω n (s + s 2 + ω 2) − n s 2 + ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2)) ))\vpravo)^(-n))(\sqrt (s^(2)+\omega ^(2))))) | (n > − 1) (\displaystyle (n>-1)\ ) | I n (ω t) ⋅ H (t) (\displaystyle I_(n)(\omega t)\cdot H(t)) |
| 14 | ω n (s + s 2 − ω 2) − n s 2 − ω 2 (\displaystyle (\frac (\omega ^(n)\left(s+(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2)) ))\vpravo)^(-n))(\sqrt (s^(2)-\omega ^(2))))) s > | ω | |
(\displaystyle s>|\omega |\ ) | Besselova funkcia | 1 s + α (\displaystyle (\frac (1)(s+\alpha ))) |
| 15 | druhý druh nultého rádu ω | |
Y 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle Y_(0)(\alpha t)\cdot H(t)\ ) | ||
| 16 | − 2 a r s h (s / α) π s 2 + α 2 (\displaystyle -(\frac (2\mathrm (arsh) (s/\alpha))(\pi (\sqrt (s^(2)+\alpha ^(2)))))) | upravená Besselova funkcia | druhý druh, | (t − τ) n n ! |
K 0 (α t) ⋅ H (t) (\displaystyle K_(0)(\alpha t)\cdot H(t))
| ||||
