Definition 1
boolesk funktionär en funktion vars variabler har ett av två värden: $1$ eller $0$.
Vilken logisk funktion som helst kan specificeras med hjälp av en sanningstabell: uppsättningen av alla möjliga argument skrivs på vänster sida av tabellen, och motsvarande värden för den logiska funktionen finns på höger sida.
Definition 2
sanningstabell- en tabell som visar vilka värden ett sammansatt uttryck kommer att ta för alla möjliga uppsättningar värden av enkla uttryck som ingår i det.
Definition 3
Likvärdig kallas logiska uttryck, vars sista kolumner i sanningstabellerna sammanfaller. Ekvivalens indikeras med tecknet $"="$.
När du sammanställer en sanningstabell är det viktigt att överväga följande ordning för exekvering av logiska operationer:
Bild 1.
Parentes har företräde i exekveringsordningen för operationer.
Bestäm antalet rader: antal rader= $2^n + 1$ (för titelraden), $n$ är antalet enkla uttryck. Till exempel, för funktioner av två variabler finns $2^2 = 4$ kombinationer av uppsättningar av variabelvärden, för funktioner av tre variabler finns $2^3 = 8$, och så vidare.
Bestäm antalet kolumner: antal kolumner = antal variabler + antal logiska operationer. Vid bestämning av antalet logiska operationer beaktas också ordningen för deras utförande.
Fyll kolumner med resultaten av att utföra logiska operationer i en viss sekvens, med hänsyn till sanningstabellerna för de grundläggande logiska operationerna.
Figur 2.
Exempel 1
Gör en sanningstabell av det logiska uttrycket $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$.
Lösning:
Låt oss bestämma antalet rader:
antal rader = $2^3 + 1=9$.
Antalet variabler är $3$.
disjunktion ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) är det logiska uttrycket som krävs.
Antal kolumner = $3 + 3=6$.
Låt oss fylla i tabellen, med hänsyn till sanningstabellerna för logiska operationer.
Figur 3
Exempel 2
Baserat på det givna logiska uttrycket, konstruera en sanningstabell:
Lösning:
Låt oss bestämma antalet rader:
Antalet enkla uttryck är $n=3$, alltså
antal rader = $2^3 + 1=9$.
Låt oss definiera antalet kolumner:
Antalet variabler är $3$.
Antalet logiska operationer och deras sekvens:
disjunktion är den önskade logiska funktionen ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).
Datavetenskap: hårdvara personlig dator Yashin Vladimir Nikolaevich
4.3. Logiska funktioner och sanningstabeller
Relationer mellan logiska variabler och logiska funktioner i logikens algebra kan också visas med hjälp av motsvarande tabeller, som kallas sanningstabeller. Sanningstabeller hitta bred tillämpning, eftersom de tydligt visar vilka värden den logiska funktionen tar för alla kombinationer av värden av dess logiska variabler. Sanningstabellen har två delar. Den första (vänstra) delen hänvisar till logiska variabler och innehåller en komplett lista över möjliga kombinationer av logiska variabler A, B, C... osv. Den andra (höger) delen av denna tabell definierar utdatatillstånd som en logisk funktion av kombinationer av ingångsvärden.
Till exempel för den logiska funktionen F=A v B v C(disjunktion) av tre booleska variabler A, B Och MED Sanningstabellen kommer att se ut som den som visas i fig. 4.1. För att skriva värdena för booleska variabler och booleska funktioner given tabell sanningstabellen innehåller 8 rader och 4 kolumner, det vill säga antalet rader för att registrera värdena för argumenten och funktionerna i en sanningstabell kommer att vara lika med 2 n, Var P - antalet booleska funktionsargument och antalet kolumner är n+ 1.
Ris. 4.1. Sanningstabell för logisk funktion F=A v I v C
Sanningstabellen kan kompileras för vilken logisk funktion som helst, till exempel i fig. 4.2 visar sanningstabellen för den logiska funktionen F=A? b? C(ekvivalenser).
Logiska funktioner har motsvarande namn. För två binära variabler finns det sexton booleska funktioner vars namn anges nedan. På fig. 4.3 är en tabell som visar de logiska funktionerna F1, F2, F3, … , F 16 två booleska variabler A Och I.
Fungera F1 = 0 och kallas nollkonstantfunktionen, eller nollgenerator.
Ris. 4.2. Sanningstabell för logisk funktion F=A? b? C
Ris. 4.3. Logiska funktioner F 1 , F 2 , F 3 ,… F 16 av två argument A Och I
Fungera F2=A&B kallas konjunktionsfunktionen.
A.
Fungera F 4 \u003d A A.
kallas förbudsfunktionen av boolesk variabel I.
Fungera F 6 \u003d B kallas iterationsfunktionen på en boolesk variabel I.
kallas XOR-funktionen.
Fungera F 8 \u003d A v B kallas disjunktionsfunktionen.
kallas Pierce-funktionen.
kallas motsvarande funktion.
I.
Fungera F 12 \u003d B? A b? A.
kallas negationsfunktionen (inversion) med avseende på den booleska variabeln A.
Fungera F 14 \u003d A? B kallas implikationsfunktionen A? B.
kallas för Schaeffer-funktionen.
Fungera F16= 1 kallas generatorfunktion 1.
Bland de logiska funktionerna för variabler som listas ovan finns det flera logiska funktioner som kan användas för att uttrycka andra logiska funktioner. Operationen att ersätta en logisk funktion med en annan i logikens algebra kallas superpositionsoperationen eller superpositionsmetoden. Till exempel kan Schaeffer-funktionen uttryckas med de logiska funktionerna disjunktion och negation, med hjälp av de Morgans lag:
Logiska funktioner som kan användas för att uttrycka andra logiska funktioner med superpositionsmetoden kallas grundläggande logiska funktioner. En sådan uppsättning grundläggande logiska funktioner kallas en funktionellt komplett uppsättning logiska funktioner. I praktiken är tre logiska funktioner mest använda som en sådan uppsättning: konjunktion, disjunktion och negation. Om en logisk funktion representeras med hjälp av grundläggande funktioner, kallas denna form av representation normal. I det föregående exemplet är Schaeffers booleska funktion, uttryckt i termer av basfunktioner, i normal form.
Med hjälp av en uppsättning grundläggande funktioner och deras motsvarande tekniska anordningar som implementerar dessa logiska funktioner kan du designa och skapa vilken logisk enhet eller system som helst.
Ris. 4.4. Funktionsguide - Steg 1 av 2 Dialogrutan
Som framgår av fig. 4.4, i sammansättningen av programmets logiska funktioner MS Excel inkluderar en funktionellt komplett uppsättning logiska funktioner, bestående av följande logiska funktioner: AND (konjunktion), OR (disjunktion), NOT (negation). Alltså med hjälp av funktionella helt set logiska funktioner i programmet MS Excel andra funktioner kan implementeras. Logisk funktion IF (implikation), ingår även i logiska funktioner MS Excel, utför en logisk kontroll och, beroende på resultatet av kontrollen, utför en av två möjliga åtgärder. I det här programmet har det följande format: = IF (arg1; arg2; arg3), där arg1 är ett logiskt villkor; arg2 är returvärdet förutsatt att värdet på argument arg1 är sant (TRUE); arg3 är returvärdet förutsatt att värdet av argumentet arg1 inte är uppfyllt (FALSE). Till exempel, om i en godtycklig cell i programbladet MS Excel skriv in uttrycket " = IF (A1 = 5; "fem"; "inte fem")", när du sedan anger siffran 5 i cell A1 och trycker på "Enter"-tangenten i cell A1, kommer ordet "fem" att vara skrivs automatiskt, när du anger andra siffror i cell A1 kommer ordet "inte fem" att skrivas i den. Som redan nämnts, med hjälp av de logiska funktionerna i programmet MS Excel kan presentera andra logiska funktioner och deras motsvarande sanningstabeller.
Vi implementerar med de logiska funktionerna OM och OCH den modifierade sanningstabellen för den logiska funktionen F = A & B(konjunktion), bestående av två rader och tre kolumner, vilket låter dig ändra värdena (0 eller 1) för logiska variabler A och B ställ in automatiskt, till exempel, i cell E6 värdet på funktionen F = A & B, motsvarande värdena för dessa booleska variabler. För att göra detta, skriv in följande uttryck i cell E6: "=OM (OCH (C6; D6); 1; 0)", när du anger 0 eller 1 i cellerna C6 och D6 kommer en logisk funktion att utföras i cellen E6 F = A & B. Resultatet av dessa åtgärder visas i fig. 4.5.
Ris. 4.5. Implementering av en modifierad logikfunktions sanningstabell F=A&B
Denna text är en introduktion. Från författarens bokBoolean XPath-funktioner XPath stöder även följande uppsättning booleska funktioner: boolean(). Kastar argumentet till ett booleskt värde; falsk(). Returnerar falskt (falskt); lang(). Kontrollerar om språket i xml:lang-attributet matchar språket som skickas till funktionen; inte().
Från författarens bokLogiska operatorer Logiska operatorer utför operationer på booleska värden. Alla ges i tabell. 14.5. Och i tabellen 14.6 och 14.7 visar resultaten av att köra dessa operatorer. Det huvudsakliga tillämpningsområdet för logiska operatorer är jämförelseuttryck (se avsnittet
Från författarens bokis_scalar Testar om en variabel är enkel Syntax: bool is_scalar(mixed var) Returnerar sant om var är av skalär typ (chila, string, booleaner), men inte komplex (matriser eller objekt). is_null
Från författarens bok1. Logiska kommandon Tillsammans med metoderna för aritmetiska beräkningar har mikroprocessorns kommandosystem också medel för logisk datakonvertering. Med logiska medel sådana datatransformationer, som är baserade på reglerna för formella
Från författarens bokLogisk OCH och ELLER Du har redan sett vad kontrollstrukturer är och hur man använder dem. Det finns ytterligare två sätt att lösa samma problem. Detta är det logiska OCH - "&&" och det logiska "ELLER" - "|| ". Den logiska OCH används så här: expression_1&&expression_2First
Från författarens bokLogiska funktioner Logiska funktioner kan användas inom matematiska, tekniska eller jämförande analys data. Vi kommer att titta på en logisk funktion med IF-funktionen som exempel. Med IF-funktionen kan du skapa ett logiskt uttryck och
Från författarens bokIV. Logiska operationer Logiska operationer "behandlar" normalt villkorliga uttryck som operander. Drift! har en operand till höger. Resten av operationerna har två operander: en till vänster och en till höger. && Boolean AND: resultatet av operationen är sant,
Från författarens bokLogiska operationer Logiska operationer utför logiska AND (&&) och ELLER (||) funktioner på sina operander. Operander för logiska operationer kan vara av heltalstyp, flytande typ eller vara pekare. Typerna av den första och andra operanden kan skilja sig åt. Alltid först
Från författarens bok12.3.4. Booleska funktionsobjekt Booleska funktionsobjekt stöder logiska AND-operationer (returnerar sant om båda operanderna är sanna - använder &&-operatorn associerad med Typ), "logiskt ELLER" (returnerar sant om minst en av operanderna är sann, -
Från författarens bokLogiska operatörer Firebird tillhandahåller tre logiska operatorer, som kan fungera med andra predikat olika sätt.* NOT specificerar negationen av söktermen som den gäller. Den har högsta prioritet.* OCH skapar ett komplext predikat, sammanfogar två
Från författarens bokAtt förstå sant och falskt Semantiskt, om ett predikat returnerar "osäkerhet", är det varken sant eller falskt. I SQL är satser endast tillåtna som "sant" eller "falskt" - ett påstående som inte utvärderas till "sant" behandlas som
Från författarens bokLogiska operatorer Det finns två logiska operatorer i XSLT, eller och och. Dessa operationer är binära, det vill säga var och en av dem är definierad för två operander. Om operanderna inte är booleska värden, gjuts de implicit till en boolesk typ. Semantiken för eller och och är uppenbar - de
Från författarens bokBooleska operationer De logiska operationerna inkluderar de binära operationerna och, eller, och xor, såväl som den unära operationen not, som har operander av typen boolean och returnerar ett värde av typen boolean. Dessa operationer följer logikens standardregler: a och b är sanna endast när både a och b är sanna, a eller b är sanna
Från författarens bok4.1. Logiska variabler och logiska operationer Information (data, maskininstruktioner, etc.) i en dator representeras i det binära systemet, som använder två siffror - 0 och 1. elektrisk signal passerar genom elektroniska kretsar och ansluta
Från författarens bokLogiska överträdelser Om enheten är fysiskt frisk, men ser ut som tom eller oformaterad och data på den inte är synliga operativ system, Sedan i det här fallet filsystemets servicetabeller är skadade. Data förblir nästan alltid på
Från författarens bokLogiska funktioner i Excel Vid beräkningar är det ofta nödvändigt att välja en formel beroende på specifika förutsättningar. Vid löneberäkning kan till exempel olika bidrag tillämpas beroende på tjänstgöringstid, kvalifikationer eller specifika arbetsvillkor som beräknas
Lektionens längd: 45 min
Lektionstyp: kombinerad:
Lektionens mål:
Lektionsplanering:
Hård- och mjukvarumaterial:
Under lektionerna
I. Organisatoriskt ögonblick
Vi fortsätter vår studie av ämnet "Fundamentals of Logic". I de tidigare lektionerna såg vi att logik är ganska hårt kopplat till vårt dagliga liv, och vi såg också att nästan alla påståenden kan skrivas i form av en formel.
II. Genomgång av tidigare lektion
Låt oss komma ihåg de viktigaste definitionerna och begreppen:
| Fråga | Svar |
| 1. Vilken mening är ett påstående? | En deklarativ mening som bekräftar eller förnekar något |
| 2. Vilka typer av påståenden delas in i efter deras struktur? | Enkelt och komplext |
| 3. Sanningen i vilka uttalanden är avtalsenliga? | Enkel |
| 4. Sanningen i vilka påståenden är beräknade? | komplex |
| 5. Hur betecknas enkla satser i satsalgebra? | Booleska variabler |
| 6. Hur visas sanningen i sådana uttalanden? | 1 och 0 |
| 7. Vad förbinder variabler i propositionalgebraformler? | booleska operationer |
| 8. Lista dem. | Inversion (negation) Konjunktion (multiplikation) Disjunktion (tillägg) Implikation (följande) Ekvivalens (ekvivalens) |
| 9. Bestäm om formeln matchar den komplexa satsen. Lista enkla meningar. Bestäm orsaken till avvikelsen. (Uppgift på skärmen) | Nej, skylten är fel |
| 10. Bestäm om formeln matchar den komplexa satsen. Lista enkla meningar. Bestäm orsaken till avvikelsen. (Uppgift på skärmen) | Ja |
III. Förklaring av nytt material
De två sista exemplen är komplexa påståenden. Hur avgör man sanningen i komplexa påståenden?
Vi sa att det är beräknat. För att göra detta finns det tabeller i logik för att beräkna sanningen av sammansatta (komplexa) påståenden. De kallas sanningstabeller.
Så, ämnet för lektionen är SANNINGSTABELLER.
3.1) Definition. En sanningstabell är en tabell som visar sanningen i ett komplext påstående för alla möjliga värden för indatavariablerna (Figur 1).
3.2) Låt oss analysera mer i detalj varje logisk operation i enlighet med dess definition:
1. Inversion (negation) är en logisk operation som associerar varje enkel sats med en sammansatt sats, som består i att den ursprungliga satsen negeras.
Denna operation gäller endast en variabel, alltså endast två linjer, eftersom en variabel kan ha en av två värden: 0 eller 1.
2. En konjunktion (multiplikation) är en logisk operation som associerar var och en av två enkla påståenden med ett sammansatt påstående som är sant om och endast om båda de ursprungliga påståendena är sanna.
Det är lätt att se att denna tabell verkligen liknar multiplikationstabellen.
3. Disjunktion (addition) är en logisk operation som associerar var och en av två enkla satser med en sammansatt sats som är falsk om och endast om båda ursprungliga satserna är falska.
Det kan ses att tabellen liknar additionstabellen förutom sista åtgärden. I det binära systemet 1 + 1 = 10, i decimal - 1 + 1 = 2. I logiken är värdet på variabeln 2 omöjligt, betrakta 10 ur logikens synvinkel: 1 är sant, 0 är falskt, d.v.s. 10 är sant och falskt på samma gång, vilket inte kan vara, så den sista åtgärden är strikt baserad på definitionen.
4. Implikation (följande) är en logisk operation som associerar vartannat enkla påstående med ett sammansatt påstående som är falskt om och endast om villkoret är sant och konsekvensen är falsk.
5. Ekvivalens (ekvivalens) är en logisk operation som associerar var och en av två enkla påståenden med ett sammansatt påstående som är sant om och endast om båda ursprungliga påståendena samtidigt är sanna eller falska.
De två sista operationerna analyserades av oss i föregående lektion.
3.3) Låt oss demontera sanningstabellalgoritm för en komplex mening:
3.4) Betrakta ett exempel på att sammanställa en sanningstabell för ett komplext påstående:
Exempel. Konstruera en sanningstabell för formeln: A U B -> ¬A U C.
Lösning (Figur 2)
Exemplet visar att sanningstabellen inte är hela beslutet, utan bara den sista åtgärden (kolumnen markerad med rött).
IV. Konsolidering.
För att konsolidera materialet uppmanas du att självständigt lösa exemplen under bokstäverna a, b, c, dessutom d–g (Figur 3).
V. Läxor, sammanfattning av materialet.
Läxor ges också till dig på skärmen (Figur 4)
Generalisering av materialet: idag i lektionen lärde vi oss hur man bestämmer sanningen i sammansatta påståenden, men mer ur en matematisk synvinkel, eftersom du inte fick påståendena själva, utan formlerna som visar dem. I nästa lektion kommer vi att konsolidera dessa färdigheter och försöka tillämpa dem för att lösa logiska problem.
Demo version av provet 2019 - uppgift nummer 2
Misha fyllde i sanningstabellen för funktionen (¬x /\ ¬y) \/ (y≡z) \/ ¬w, men lyckades fylla i endast ett fragment av dess tre olika rader, utan att ens ange vilken kolumn i tabell motsvarar var och en av variablerna w, x ,
y, z.
Bestäm vilken tabellkolumn som motsvarar var och en av variablerna w, x, y, z.
I ditt svar skriver du bokstäverna w, x, y, z i den ordning som deras respektive kolumner visas (först bokstaven som motsvarar den första kolumnen, sedan bokstaven som motsvarar den andra kolumnen och så vidare). Brev
i svaret, skriv i rad, inga avgränsare mellan bokstäver behövs.
Exempel. Om funktionen gavs av uttrycket ¬x \/ y, beroende på två variabler, och fragmentet av tabellen skulle se ut som
då skulle den första kolumnen motsvara variabeln y och den andra kolumnen till variabeln x. Svaret borde ha varit yx.
(¬x ¬y)+(y≡z)+¬w=0
w=1 w måste vara sant; w - sist
y och z måste vara olika, så före den sista är det x. de två första är y och z eller z och y.
y och x kan inte båda vara falska. Den första är z.
Svar: zyxw
Demonstrationsversion av USE 2018 - uppgift nummer 2
Den logiska funktionen F ges av ¬x \/ y \/ (¬z /\ w). Figuren visar ett fragment av sanningstabellen för funktionen F, som innehåller alla uppsättningar argument för vilka funktionen F är falsk. Bestäm vilken kolumn i sanningstabellen för funktionen F som motsvarar var och en av variablerna w, x, y, z
I ditt svar, skriv bokstäverna w, x, y, z i den ordning som kolumnerna som motsvarar dem går (först - bokstaven som motsvarar den första kolumnen; sedan - bokstaven som motsvarar den andra kolumnen, etc.) Skriv bokstäverna i svaret i rad, inga avgränsningar mellan bokstäverna krävs. Exempel. Om funktionen gavs av uttrycket ¬x\/y, beroende på två variabler: x och y, och ett fragment av dess sanningstabell gavs, innehållande alla uppsättningar av argument för vilka funktionen är sann.
Då skulle variabeln y motsvara den första kolumnen, och variabeln x skulle motsvara den andra kolumnen. Svaret borde ha varit: yx.
Svar: xzwy
boolesk funktion F ges av uttrycket x/\ ¬y/\ (¬z\/ w).
Figuren visar ett fragment av funktionens sanningstabell F, som innehåller Allt uppsättningar argument för vilka funktionen F Sann.
Bestäm vilken kolumn i sanningstabellen för funktionen F motsvarar var och en av variablerna w, x, y, z.
Skriv bokstäverna i ditt svar. w, x, y, z i den ordning de går
kolumner som motsvarar dem (första - bokstaven som motsvarar den första
kolumn sedan - bokstaven som motsvarar den andra kolumnen, etc.) Bokstäver
i svaret, skriv i rad, sätt inga avgränsare mellan bokstäverna
behövs inte.
Demonstrationsversion av USE 2017 - uppgift nummer 2
Lösning:
En konjunktion (logisk multiplikation) är sann om och endast om alla påståenden är sanna. Därav variabeln X 1 .
variabel ¬y måste matcha kolumnen där alla värden är lika 0 .
Disjunktionen (logisk addition) av två påståenden är sann om och endast om minst ett påstående är sant.
Åtskiljande ¬z \/ y z=0, w=1.
Variabeln alltså ¬z w motsvarar kolumnen med variabel 4 (kolumn 4).
Svar: zyxw
Demonstrationsversion av USE 2016 - uppgift nummer 2
boolesk funktion F ges av (¬z)/\x \/ x/\y. Bestäm vilken kolumn i sanningstabellen för funktionen F som motsvarar var och en av variablerna x, y, z.
I ditt svar skriver du bokstäverna x, y, z i den ordning som motsvarande kolumner visas (först - bokstaven som motsvarar den 1:a kolumnen; sedan - bokstaven som motsvarar den 2:a kolumnen; sedan - bokstaven som motsvarar den 3:e kolumnen kolumn). Skriv bokstäverna i svaret i rad, du behöver inte sätta några avgränsare mellan bokstäverna.
Exempel. Låt ett uttryck x → y ges, beroende på två variabler x och y, och en sanningstabell:
Då motsvarar den 1:a kolumnen variabeln y, och den 2:a kolumnen
motsvarar x. I svaret måste du skriva: yx.
Lösning:
1. Låt oss skriva det givna uttrycket i enklare notation:
¬z*x + x*y = x*(¬z + y)
2. En konjunktion (logisk multiplikation) är sann om och endast om alla påståenden är sanna. Därför, för att funktionen ( F) var lika med en ( 1 ), är det nödvändigt att varje multiplikator är lika med en ( 1 ). Alltså kl F=1, variabel X måste matcha kolumnen där alla värden är lika 1 .
3. Överväg (¬z + y), kl F=1 detta uttryck är också lika med 1 (se punkt 2).
4. En disjunktion (logisk addition) av två påståenden är sann om och endast om minst ett påstående är sant.
Åtskiljande ¬z \/ y i denna rad kommer att vara sant endast om
5. Variabelt sätt ¬z matchar kolumn med variabel 1 (1 kolumn), variabel y
Svar: zyx
KIM USE 2016 (tidig period)- uppgift nummer 2
Den logiska funktionen F ges av uttrycket
(x /\ y /\¬z) \/ (x /\ y /\ z) \/ (x /\¬y /\¬z).
Figuren visar ett fragment av sanningstabellen för funktionen F, som innehåller alla uppsättningar argument för vilka funktionen F är sann. Bestäm vilken kolumn i sanningstabellen för funktionen F som motsvarar var och en av variablerna x, y, z.
I ditt svar skriver du bokstäverna x, y, z i den ordning som kolumnerna som motsvarar dem går (först - bokstaven som motsvarar den första kolumnen; sedan - bokstaven som motsvarar den andra kolumnen, etc.) Skriv bokstäverna i svaret i rad, inga avgränsare mellan bokstäver är inte nödvändigt.
R Lösning:
Låt oss skriva det givna uttrycket i enklare notation:
(x*y*¬z) + (x*y*z) + (x*¬y*¬z)=1
Detta uttryck är sant om minst en av (x*y*¬z) , (x*y*z) , (x*¬y*¬z) är lika med 1. Konjunktionen (logisk multiplikation) är sann om och endast om när alla påståenden är sanna.
Minst en av dessa disjunktioner x*y*¬z; x*y*z; x*¬y*¬z kommer att vara sant endast om x=1.
Variabeln alltså X motsvarar kolumnen med variabel 2 (kolumn 2).
Låta y- var.1, z- premium 3. Sedan i det första fallet x*¬y*¬z kommer att vara sant i det andra fallet x*y*¬z, och i den tredje x*y*z.
Svar: yxz
Symbolen F betecknar ett av följande logiska uttryck från tre argument: X, Y, Z. Ett fragment av sanningstabellen för uttrycket F ges (se tabellen till höger). Vilket uttryck motsvarar F?
| X | Y | Z | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
1) X ∧ Y ∧ Z 2) ¬X ∨ Y ∨¬Z 3) X ∧ Y ∨ Z 4) X ∨ Y ∧ ¬Z
Lösning:
1) X ∧ Y ∧ Z = 1.0.1 = 0 (matchar inte på andra raden)
2) ¬X ∨ Y ∨¬Z = ¬0 ∨ 0 ∨ ¬0 = 1+0+1 = 1 (stämmer inte överens på 1:a raden)
3) X ∧ Y ∨ Z = 0,1+0 = 0 (matchar inte på rad 3)
4) X ∨ Y ∧ ¬Z (motsvarande F)
X ∨ Y ∧ ¬Z = 0 ∨ 0 ∧ ¬0 = 0+0,1 = 0
X ∨ Y ∧ ¬Z = 1 ∨ 0 ∧ ¬1 = 1+0,0 = 1
X ∨ Y ∧ ¬Z = 0 ∨ 1 ∧ ¬0 = 0+1,1 = 1
Svar: 4
Det ges ett fragment av sanningstabellen för uttrycket F. Vilket uttryck motsvarar F?
| A | B | C | F |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
1) (A → ¬B) ∨ C 2) (¬A ∨ B) ∧ C 3) (A ∧ B) → C 4) (A ∨ B) → C
Lösning:
1) (A → ¬B) ∨ C = (1 → ¬0) ∨ 0 = (1 → 1) + 0 = 1 + 0 = 1 (matchar inte på 2:a raden)
2) (¬A ∨ B) ∧ C = (¬1 ∨ 0) ∧ 1 = (0+0).1 = 0 (stämmer inte överens på rad 3)
3) (A ∧ B) → C = (1 ∧ 0) → 0 = 0 → 0 = 1 (matchar inte på 2:a raden)
4) (A ∨ B) → C (motsvarande F)
(A ∨ B) → C = (0 ∨ 1) → 1 = 1
(A ∨ B) → C = (1 ∨ 0) → 0 = 0
(A ∨ B) → C = (1 ∨ 0) → 1 = 1
Svar: 4
Givet ett booleskt uttryck som beror på 6 booleska variabler:
X1 ∨ ¬X2 ∨ X3 ∨ ¬X4 ∨ X5 ∨ X6
Hur många olika uppsättningar av variabelvärden finns det för vilka uttrycket är sant?
1) 1 2) 2 3) 63 4) 64
Lösning:
Falskt uttryck i endast 1 fall: X1=0, X2=1, X3=0, X4=1, X5=0, X6=0
X1 ∨ ¬X2 ∨ X3 ∨ ¬X4 ∨ X5 ∨ X6 = 0 ∨ ¬1 ∨ 0 ∨ ¬1 ∨ 0 ∨ 0 = 0
Totalt antal alternativ 2 6 \u003d 64, vilket betyder sant
Svar: 63
Ett fragment av sanningstabellen för uttrycket F ges.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Vilket uttryck motsvarar F?
1) x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ x7
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7
4) x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
Lösning:
1) x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = 0 + 1 + … = 1 (stämmer inte överens på 1:a raden)
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ x7 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1 (matchar inte på 1:a raden)
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7 = 1,0. …= 0 (matchar inte på andra raden)
4) x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 (motsvarande F)
x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 = 1.1.1.1.1.1.1 = 1
x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 = 0. … = 0
Svar: 4
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | F |
| 0 | 1 | 1 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | |||||
| 1 | 0 | 1 |
Vilket uttryck kan F vara?
1) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8
2) ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ x8
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8
4) ¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ ¬x8
Lösning:
1) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8 = x1 . x2 . 0 . … = 0 (stämmer inte på den första raden)
2) ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ x8 (motsvarande F)
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8 = … ¬x7 ∧ ¬x8 = … ¬1 ∧ ¬x8 = ... - linje)
1 1 (inte matcher på raden 2)
Svar: 2
Ett fragment av sanningstabellen för uttrycket F ges:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Ange det minsta möjliga antalet olika rader i den fullständiga sanningstabellen för detta uttryck, där värdet x5 är detsamma som F.
Lösning:
Minsta möjliga antal distinkta rader där x5 är samma som F = 4
Svar: 4
Ett fragment av sanningstabellen för uttrycket F ges:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Ange det maximala antalet olika rader i den fullständiga sanningstabellen för detta uttryck där värdet x6 inte matchar F.
Lösning:
Högsta möjliga antal = 2 8 = 256
Maximalt möjligt antal distinkta rader där x6 inte matchar F = 256 - 5 = 251
Svar: 251
Ett fragment av sanningstabellen för uttrycket F ges:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Ange det maximala antalet olika rader i hela sanningstabellen för detta uttryck där värdet ¬x5 ∨ x1 är detsamma som F.
Lösning:
1+0=1 – matchar inte F
0+0=0 – matchar inte F
0+0=0 – matchar inte F
0+1=1 - samma som F
1+0=1 - samma som F
2 7 = 128 — 3 = 125
Svar: 125
Varje booleskt uttryck A och B beror på samma uppsättning av 6 variabler. I sanningstabellerna har vart och ett av dessa uttryck exakt 4 enheter i värdekolumnen. Vilket är det minsta möjliga antalet ettor i värdekolumnen i sanningstabellen för uttrycket A ∨ B?
Lösning:
Svar: 4
Varje booleskt uttryck A och B beror på samma uppsättning av 7 variabler. I sanningstabellerna har vart och ett av dessa uttryck exakt 4 enheter i värdekolumnen. Vilket är det maximala antalet ettor i värdekolumnen i sanningstabellen för uttrycket A ∨ B?
Lösning:
Svar: 8
Varje booleskt uttryck A och B beror på samma uppsättning av 8 variabler. I sanningstabellerna har vart och ett av dessa uttryck exakt 5 enheter i värdekolumnen. Vilket är det minsta möjliga antalet nollor i värdekolumnen i sanningstabellen för uttrycket A ∧ B?
Lösning:
2 8 = 256 — 5 = 251
Svar: 251
Varje booleskt uttryck A och B beror på samma uppsättning av 8 variabler. I sanningstabellerna har vart och ett av dessa uttryck exakt 6 enheter i värdekolumnen. Vilket är det högsta möjliga antalet nollor i värdekolumnen i sanningstabellen för uttrycket A ∧ B?
Lösning:
Svar: 256
Vart och ett av de booleska uttrycken A och B beror på samma uppsättning av 5 variabler. Det finns inga matchande rader i sanningstabellerna för båda uttrycken. Hur många enheter kommer att finnas i värdekolumnen i sanningstabellen för uttrycket A ∧ B?
Lösning:
Det finns inga matchande rader i sanningstabellerna för båda uttrycken.
Svar: 0
Vart och ett av de logiska uttrycken A och B beror på samma uppsättning av 6 variabler. Det finns inga matchande rader i sanningstabellerna för båda uttrycken. Hur många enheter kommer att finnas i värdekolumnen i sanningstabellen för uttrycket A ∨ B?
Lösning:
(a . ¬c) + (¬b . ¬c)
När c är 1 är F noll så den sista kolumnen är c.
För att bestämma den första och andra kolumnen kan vi använda värdena från den tredje raden.
(a . 1) + (¬b . 1) = 0
Svar: abc
Den logiska funktionen F ges av (a ∧ c)∨ (¬a ∧ (b ∨ ¬c)). Bestäm vilken kolumn i sanningstabellen för funktionen F som motsvarar var och en av variablerna a, b, c.
| ? | ? | ? | F | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | ¬a. b0 |
| 1 | 1 | 1 |
Baserat på det faktum att med a=0 och c=0, sedan F=0, och data från den andra raden, kan vi dra slutsatsen att den tredje kolumnen innehåller b.
Svar: cab
Den logiska funktionen F ges av x ∧ (¬y ∧ z ∧ ¬w ∨ y ∧ ¬z). Figuren visar ett fragment av sanningstabellen för funktionen F, som innehåller alla uppsättningar argument för vilka funktionen F är sann. Bestäm vilken kolumn i sanningstabellen för funktionen F som motsvarar var och en av variablerna x, y, z, w.
| ? | ? | ? | ? | F |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
I ditt svar skriver du bokstäverna x, y, z, w i den ordning som motsvarande kolumner visas.
Lösning:
x ∧ (¬y ∧ z ∧ ¬w ∨ y ∧ ¬z)
x . (¬y . z . ¬w . y . ¬z)
Baserat på det faktum att vid x=0, sedan F=0, kan vi dra slutsatsen att den andra kolumnen innehåller x.
Svar: wxzy
Definition 1
boolesk funktionär en funktion vars variabler har ett av två värden: $1$ eller $0$.
Vilken logisk funktion som helst kan specificeras med hjälp av en sanningstabell: uppsättningen av alla möjliga argument skrivs på vänster sida av tabellen, och motsvarande värden för den logiska funktionen finns på höger sida.
Definition 2
sanningstabell- en tabell som visar vilka värden ett sammansatt uttryck kommer att ta för alla möjliga uppsättningar värden av enkla uttryck som ingår i det.
Definition 3
Likvärdig kallas logiska uttryck, vars sista kolumner i sanningstabellerna sammanfaller. Ekvivalens indikeras med tecknet $"="$.
När du sammanställer en sanningstabell är det viktigt att överväga följande ordning för exekvering av logiska operationer:
Bild 1.
Parentes har företräde i exekveringsordningen för operationer.
Bestäm antalet rader: antal rader= $2^n + 1$ (för titelraden), $n$ är antalet enkla uttryck. Till exempel, för funktioner av två variabler finns $2^2 = 4$ kombinationer av uppsättningar av variabelvärden, för funktioner av tre variabler finns $2^3 = 8$, och så vidare.
Bestäm antalet kolumner: antal kolumner = antal variabler + antal logiska operationer. Vid bestämning av antalet logiska operationer beaktas också ordningen för deras utförande.
Fyll kolumner med resultaten av att utföra logiska operationer i en viss sekvens, med hänsyn till sanningstabellerna för de grundläggande logiska operationerna.
Figur 2.
Exempel 1
Gör en sanningstabell av det logiska uttrycket $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$.
Lösning:
Låt oss bestämma antalet rader:
antal rader = $2^3 + 1=9$.
Antalet variabler är $3$.
disjunktion ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) är det logiska uttrycket som krävs.
Antal kolumner = $3 + 3=6$.
Låt oss fylla i tabellen, med hänsyn till sanningstabellerna för logiska operationer.
Figur 3
Exempel 2
Baserat på det givna logiska uttrycket, konstruera en sanningstabell:
Lösning:
Låt oss bestämma antalet rader:
Antalet enkla uttryck är $n=3$, alltså
antal rader = $2^3 + 1=9$.
Låt oss definiera antalet kolumner:
Antalet variabler är $3$.
Antalet logiska operationer och deras sekvens:
disjunktion är den önskade logiska funktionen ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).
