Slough nazariyasi. Matritsa satrlarining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi Matritsa ustunlarining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi

A matritsaning har bir qatori e i = (a i 1 a i 2 …, a in) bilan belgilanadi (masalan,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) va boshqalar). Ularning har biri raqamga ko'paytirilishi yoki boshqa qatorga qo'shilishi mumkin bo'lgan qator matritsasidir umumiy qoidalar matritsalar bilan amallar.

Chiziqli birikma e l , e 2 ,...e k chiziqlari bu chiziqlar ko‘paytmalarining ixtiyoriy haqiqiy sonlar yig‘indisi deyiladi:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, bu yerda l l, l 2,..., l k ixtiyoriy sonlar (chiziqli birikma koeffitsientlari).

Matritsaning qatorlari e l , e 2 ,...e m deyiladi chiziqli bog'liq, agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan l l, l 2,..., l m raqamlari mavjud bo'lsa, matritsa qatorlarining chiziqli birikmasi nol qatorga teng bo'ladi:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, bu erda 0 = (0 0...0).

Matritsaning satrlari orasidagi chiziqli munosabat matritsaning kamida bitta qatori boshqalarning chiziqli birikmasi ekanligini anglatadi. Haqiqatan ham, aniqlik uchun oxirgi koeffitsient l m ¹ 0 bo'lsin. Keyin tenglikning ikkala tomonini l m ga bo'lib, qolgan chiziqlarning chiziqli birikmasi sifatida oxirgi qator uchun ifodani olamiz:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1.

Agar satrlarning chiziqli birikmasi nolga teng bo'lsa va faqat barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, ya'ni. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, keyin chiziqlar deyiladi. chiziqli mustaqil.

Matritsa darajalari teoremasi. Matritsaning darajasi uning barcha boshqa satrlari yoki ustunlarini chiziqli ravishda ifodalash mumkin bo'lgan chiziqli mustaqil satrlar yoki ustunlarning maksimal soniga tengdir.

Keling, bu teoremani isbotlaylik. m x n o'lchamdagi A matritsa r (r(A) £ min (m; n)) darajali bo'lsin. Demak, r-tartibning nolga teng bo'lmagan minori mavjud. Biz har bir voyaga yetmaganlarni chaqiramiz Asosiy. Aniq bo'lishi uchun balog'atga etmagan bo'lsin

Bu kichikning satrlari ham chaqiriladi Asosiy.

U holda e l , e 2 ,...e r matritsaning qatorlari chiziqli mustaqil ekanligini isbotlaylik. Keling, buning aksini faraz qilaylik, ya'ni. bu satrlardan biri, masalan, r-th, boshqalarning chiziqli birikmasidir: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Keyin, agar siz dan ayirsangiz. elementlar r-qator 1-qatorning elementlari l l ga ko'paytiriladi, 2-qatorning elementlari l 2 ga ko'paytiriladi va hokazo, nihoyat, (r-1)-qatorning elementlari l r-1 ga ko'paytiriladi, keyin r-chi qator nolga aylanadi. Bunda determinantning xossalariga ko'ra yuqoridagi aniqlovchi o'zgarmasligi va shu bilan birga u nolga teng bo'lishi kerak. Qarama-qarshilik olinadi va qatorlarning chiziqli mustaqilligi isbotlanadi.

Endi matritsaning istalgan (r+1) qatorlari chiziqli bog'liqligini isbotlaymiz, ya'ni. har qanday satrni asosiylari bilan ifodalash mumkin.

Oldin ko'rib chiqilgan minorni yana bitta qator (i-th) va yana bitta ustun (j-th) bilan to'ldiramiz. Natijada, daraja ta'rifi bo'yicha nolga teng bo'lgan (r+1) tartibli minorni olamiz.

ba'zi raqamlar qayerda (bu raqamlarning ba'zilari yoki hatto ularning barchasi nolga teng bo'lishi mumkin). Bu ustunlar elementlari o'rtasida quyidagi tenglik mavjudligini anglatadi:

yoki , .

(3.3.1) dan shunday xulosa kelib chiqadi

(3.3.2)

nol qator qayerda.

Ta'rif. Agar bir vaqtning o'zida hammasi nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lsa, A matritsasining satrlari chiziqli bog'liqdir.

(3.3.3)

Agar (3.3.3) tenglik to'g'ri bo'lsa va faqat bo'lsa, u holda satrlar chiziqli mustaqil deyiladi. Munosabat (3.3.2) shuni ko'rsatadiki, agar qatorlardan biri boshqalari bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda qatorlar chiziqli bog'liqdir.

Buning aksini ko'rish oson: agar satrlar chiziqli bog'liq bo'lsa, unda qolgan satrlarning chiziqli birikmasi bo'ladigan satr mavjud.

Masalan, (3.3.3) da, keyin .

Ta'rif. A matritsada ma'lum bir minor tanlansin r th buyurtma va ruxsat kichik ( r Xuddi shu matritsaning +1)-tartibi to'liq minorni o'z ichiga oladi. Biz aytamizki, bu holda voyaga etmagan bola kichikni chegaralaydi (yoki chegaralanadi).

Endi biz muhim lemmani isbotlaymiz.

Lemmachegaradosh voyaga etmaganlar haqida. Agar voyaga etmagan bola tartibli bo'lsa r A = matritsasi noldan farq qiladi va uni chegaralovchi barcha kichiklar nolga teng bo'lsa, A matritsasining har qanday satri (ustunlari) uning satrlari (ustunlari) ni tashkil etuvchi chiziqli birikmasidir.

Isbot. Fikrlashning umumiyligini yo'qotmasdan, biz nolga teng bo'lmagan kichik deb faraz qilamiz r tartib A = matritsaning yuqori chap burchagida joylashgan:

Birinchi k uchun A matritsasining qatorlari, lemmaning bayonoti aniq: chiziqli kombinatsiyaga koeffitsienti birga teng bo'lgan bir xil qatorni, qolganlari esa nolga teng bo'lgan koeffitsientlarni kiritish kifoya.

Endi A matritsaning qolgan qatorlari birinchisi bilan chiziqli ifodalanganligini isbotlaylik k chiziqlar. Buning uchun biz voyaga etmaganni quramiz ( r +1) voyaga etmaganga qo'shish orqali birinchi tartib k -chi qator () va l ustun ():

Olingan minor hamma uchun nolga teng k va l . Agar bo'lsa, u ikkita bir xil ustunni o'z ichiga olganligi sababli nolga teng. Agar bo'lsa, hosil bo'lgan minor uchun chekka minor bo'ladi va shuning uchun lemma shartlariga ko'ra nolga teng.

Keling, minorni oxirgisining elementlariga ko'ra parchalaymizl ustun:

(3.3.4)

elementlarga algebraik to'ldiruvchilar qayerda. Algebraik qo'shish A matritsaning minoridir, shuning uchun . (3.3.4) ga bo'ling va quyidagi orqali ifodalang:

(3.3.5)

Qayerda,.

Faraz qilsak, biz quyidagilarni olamiz:

(3.3.6)

(3.3.6) ifoda shuni bildiradi k A matritsasining birinchi qatori chiziqli ravishda birinchi qator orqali ifodalanadi r chiziqlar.

Matritsa ko'chirilganda, uning kichiklarining qiymatlari o'zgarmasligi sababli (determinantlarning xususiyati tufayli), u holda isbotlangan hamma narsa ustunlar uchun ham to'g'ri bo'ladi. Teorema isbotlangan.

Xulosa I . Matritsaning har qanday satri (ustunlari) uning asosiy satrlarining (ustunlarining) chiziqli birikmasidir. Darhaqiqat, matritsaning asosiy minorlari nolga teng emas va u bilan chegaradosh barcha kichiklar nolga teng.

Xulosa II. Aniqlovchi n Agar chiziqli bog'liq qatorlar (ustunlar) bo'lsa, tartib nolga teng bo'ladi. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun qatorlar (ustunlar)ning chiziqli bog'liqligining etarliligi aniqlovchilarning xossasi sifatida ilgari isbotlangan.

Keling, zaruratni isbotlaylik. Kvadrat matritsa berilsin n th tartib, ularning yagona minori nolga teng. Bundan kelib chiqadiki, ushbu matritsaning darajasi kamroq n , ya'ni. bu matritsaning asosiy satrlarining chiziqli birikmasi bo'lgan kamida bitta qator mavjud.

Matritsaning rankiga oid yana bir teoremani isbotlaylik.

Teorema.Matritsaning chiziqli mustaqil satrlarining maksimal soni uning chiziqli mustaqil ustunlarining maksimal soniga teng va ushbu matritsaning darajasiga teng.

Isbot. A= matritsaning darajasi teng bo'lsin r. Keyin uning har qanday k bazis satrlari chiziqli mustaqil, aks holda bazis minor nolga teng bo'ladi. Boshqa tomondan, har qanday r +1 yoki undan ortiq qatorlar chiziqli bog'liqdir. Aksincha, bundan kattaroq kichik tartibni topishimiz mumkin r , oldingi lemmaning 2-chi xulosasi bilan noldan farq qiladi. Ikkinchisi nol bo'lmagan voyaga etmaganlarning maksimal tartibi teng ekanligiga zid keladi r . Satrlar uchun tasdiqlangan hamma narsa ustunlar uchun ham to'g'ri keladi.

Xulosa qilib, biz matritsaning darajasini topishning yana bir usulini ko'rsatamiz. Matritsaning darajasini noldan farq qiluvchi maksimal tartibning minorini topish orqali aniqlash mumkin.

Bir qarashda, bu matritsaning chekli, lekin, ehtimol, juda katta sonini hisoblashni talab qiladi.

Biroq, quyidagi teorema bunga sezilarli soddalashtirishlarni kiritish imkonini beradi.

Teorema.Agar A matritsaning minori nolga teng bo'lmasa va uni chegaradosh barcha kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi ga teng bo'ladi. r.

Isbot. Matritsaning har qanday quyi tizimi bilan qatorlar mavjudligini ko'rsatish kifoya S>r teorema shartlariga ko'ra chiziqli bog'liq bo'ladi (bundan kelib chiqadiki, r - matritsaning chiziqli mustaqil qatorlarining maksimal soni yoki undan kattaroq tartibli har qanday kichiklari. k nolga teng).

Buning aksini faraz qilaylik. Qatorlar chiziqli mustaqil bo'lsin. Voyaga etmaganlarning chegaradosh lemmasi bo'yicha, ularning har biri minorni o'z ichiga olgan va ular nolga teng bo'lmaganligi sababli chiziqli mustaqil bo'lgan chiziqlar bilan chiziqli ravishda ifodalanadi:

(3.3.7)

Chiziqli ifodalar koeffitsientlaridan K matritsasini ko'rib chiqaylik (3.3.7):

Ushbu matritsaning qatorlari bilan belgilanadi . Ular chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki K matritsasining darajasi, ya'ni. uning chiziqli mustaqil chiziqlarining maksimal soni oshmaydi r< S . Shuning uchun, hammasi nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud

Keling, komponentlarning tengligiga o'tamiz

(3.3.8)

Endi quyidagi chiziqli kombinatsiyani ko'rib chiqing:

yoki

K satr va k ustun (k ≤ min(m; n)) o‘lchamli (m; n) A matritsasida tasodifiy tanlansin. Tanlangan satr va ustunlar kesishmasida joylashgan matritsa elementlari k tartibli kvadrat matritsa hosil qiladi, uning determinanti k y tartibli minor M kk yoki A matritsaning k-tartib minori deyiladi.

Matritsaning darajasi A matritsaning r nolga teng bo'lmagan minorlarining maksimal tartibidir va nolga teng bo'lmagan har qanday r minorlari bazis minor hisoblanadi. Belgilash: rang A = r. Rang A = rang B bo'lsa va A va B matritsalarining o'lchamlari bir xil bo'lsa, A va B matritsalar ekvivalent deyiladi. Belgilanishi: A ~ B.

Matritsaning darajasini hisoblashning asosiy usullari voyaga etmaganlarni chegaralash usuli va usuli hisoblanadi.

Kichik chegara usuli

Chegaraviy voyaga etmaganlar usulining mohiyati quyidagicha. Matritsada noldan farqli k tartibli minor topilsin. Keyin biz quyida faqat noldan farqli k-tartibli minorni o'z ichiga olgan (ya'ni chegarasi) k+1 tartibli minorlarni ko'rib chiqamiz. Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, u holda matritsaning darajasi k ga teng bo'ladi, aks holda (k+1) tartibli chegaradosh kichiklar orasida nolga teng bo'lmagan va butun protsedura takrorlanadi.

Matritsa satrlarining (ustunlarining) chiziqli mustaqilligi

Matritsa darajasi tushunchasi uning satrlarining (ustunlarining) chiziqli mustaqilligi tushunchasi bilan chambarchas bog'liq.

Matritsa qatorlari:

l 1, l 2, l k sonlar mavjud bo'lsa, ular chiziqli bog'liq deb ataladi, shunda tenglik to'g'ri bo'ladi:

Agar yuqoridagi tenglik barcha sonlar l 1 = l 2 = … = l k = 0 bo'lgandagina mumkin bo'lsa, A matritsa satrlari chiziqli mustaqil deyiladi.

A matritsa ustunlarining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi xuddi shunday tarzda aniqlanadi.

Agar A (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) matritsaning istalgan qatori (a l) quyidagicha ifodalanishi mumkin bo‘lsa.

Ustunlarning chiziqli birikmasi tushunchasi ham xuddi shunday tarzda aniqlanadi. Bazis minor haqidagi quyidagi teorema o‘rinli.

Asosiy satrlar va asosiy ustunlar chiziqli mustaqildir. A matritsaning har qanday satri (yoki ustuni) asosiy satrlarning (ustunlarning), ya'ni minor asosini kesib o'tuvchi satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmasidir. Shunday qilib, A matritsaning darajasi: rang A = k A matritsaning chiziqli mustaqil satrlarining (ustunlarining) maksimal soniga teng.

Bular. Matritsaning darajasi - bu matritsa ichidagi eng katta kvadrat matritsaning o'lchami bo'lib, uning darajasi aniqlanishi kerak, buning uchun determinant nolga teng emas. Agar dastlabki matritsa kvadrat bo'lmasa yoki kvadrat bo'lsa, lekin uning determinanti nolga teng bo'lsa, unda pastki tartibli kvadrat matritsalar uchun satrlar va ustunlar o'zboshimchalik bilan tanlanadi.

Determinantlardan tashqari, matritsaning darajasi matritsaning chiziqli mustaqil satrlari yoki ustunlari soni bo'yicha ham hisoblanishi mumkin. U chiziqli mustaqil satrlar yoki ustunlar soniga teng, qaysi biri kichikroq bo'lsa. Misol uchun, agar matritsada 3 ta chiziqli mustaqil qator va 5 ta chiziqli mustaqil ustun bo'lsa, unda uning darajasi uchta bo'ladi.

Matritsaning darajasini topishga misollar

Voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanib, matritsaning darajasini toping

Yechim: Ikkinchi darajali minor

chegaradosh kichik M 2 ham nolga teng emas. Biroq, har ikkala voyaga etmaganlar to'rtinchi tartibli, M 3 bilan chegaradosh.

nolga teng. Demak, A matritsaning darajasi 3 ga teng, bazis minor esa, masalan, yuqorida keltirilgan M 3 minordir.

Elementar o'zgartirishlar usuli matritsaning elementar o'zgarishlari uning darajasini o'zgartirmasligiga asoslanadi. Ushbu o'zgartirishlardan foydalanib, siz matritsani 11, a 22, ..., rr (r ≤min (m, n)) dan boshqa barcha elementlari nolga teng bo'lgan shaklga keltirishingiz mumkin. Bu aniq A = r daraja ekanligini anglatadi. E'tibor bering, agar n-tartibli matritsa yuqori uchburchak matritsa shakliga ega bo'lsa, ya'ni asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan matritsa bo'lsa, u holda uning ta'rifi asosiy diagonaldagi elementlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi. . Ushbu xususiyatdan elementar o'zgartirishlar usuli yordamida matritsaning darajasini hisoblashda foydalanish mumkin: matritsani uchburchakka qisqartirish uchun ulardan foydalanish kerak va keyin tegishli determinantni tanlab, biz matritsaning darajasi ekanligini aniqlaymiz. asosiy diagonalning noldan farq qiladigan elementlari soniga teng.

Elementar o'zgartirishlar usulidan foydalanib, matritsaning darajasini toping

Yechimni belgilaymiz i-chi qator a i belgisi bilan A matritsasi. Birinchi bosqichda biz elementar o'zgarishlarni amalga oshiramiz

Ikkinchi bosqichda biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz

Natijada biz olamiz

ba'zi raqamlar qayerda (bu raqamlarning ba'zilari yoki hatto ularning barchasi nolga teng bo'lishi mumkin). Bu ustunlar elementlari o'rtasida quyidagi tenglik mavjudligini anglatadi:

(3.3.1) dan shunday xulosa kelib chiqadi

Buning aksini ko'rish oson: agar satrlar chiziqli bog'liq bo'lsa, unda qolgan satrlarning chiziqli birikmasi bo'ladigan satr mavjud.

Masalan, (3.3.3) da, keyin .

Ta'rif. A matritsada ma'lum r-tartibli minor aniqlansin va shu matritsaning (r+1)-chi tartibli minorida to'liq minor bo'lsin. Biz aytamizki, bu holda voyaga etmagan bola kichikni chegaralaydi (yoki chegaralanadi).

Endi biz muhim lemmani isbotlaymiz.

Lemma chegaradosh voyaga etmaganlar haqida. Agar A= matritsaning r tartibli minori noldan farq qilsa va uni chegaralovchi barcha minorlar nolga teng boʻlsa, A matritsaning istalgan satri (ustunlari) uning satrlarining (ustunlarining) ni tashkil etuvchi chiziqli birikmasidir.

Isbot. Fikrlashning umumiyligini yo'qotmasdan, r-tartibdagi nolga teng bo'lmagan minor A = matritsaning yuqori chap burchagida joylashgan deb faraz qilamiz:

A matritsasining birinchi k qatorlari uchun lemmaning bayonoti aniq: chiziqli birikmaga bir ga teng koeffitsientli bir xil qatorni, qolganlari esa nolga teng koeffitsientlarni kiritish kifoya.

Endi A matritsaning qolgan qatorlari birinchi k qator orqali chiziqli ifodalanganligini isbotlaylik. Buning uchun minorga k-chi qatorni () qo‘shib (r+1) tartibli minorni tuzamiz va l ustun ():

Olingan minor barcha k va l uchun nolga teng. Agar bo'lsa, u ikkita bir xil ustunni o'z ichiga olganligi sababli nolga teng. Agar bo'lsa, hosil bo'lgan minor uchun chekka minor bo'ladi va shuning uchun lemma shartlariga ko'ra nolga teng.

Minorni oxirgisining elementlariga ko'ra parchalaymiz l ustun:

Faraz qilsak, biz quyidagilarni olamiz:

(3.3.6)

(3.3.6) ifoda shuni bildiradi k-chi qator A matritsa birinchi r qator orqali chiziqli ifodalangan.

Xulosa I. Matritsaning har qanday satri (ustunlari) uning asosiy satrlarining (ustunlarining) chiziqli birikmasidir. Darhaqiqat, matritsaning asosiy minorlari nolga teng emas va u bilan chegaradosh barcha kichiklar nolga teng.

Xulosa II. n-tartibli determinant, agar u chiziqli bog'liq qatorlar (ustunlar) bo'lsa, nolga teng bo'ladi. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun qatorlar (ustunlar)ning chiziqli bog'liqligining etarliligi aniqlovchilarning xossasi sifatida ilgari isbotlangan.

Keling, zaruratni isbotlaylik. Bizga yagona minori nolga teng bo'lgan n-tartibli kvadrat matritsa berilsin. Bundan kelib chiqadiki, ushbu matritsaning darajasi n dan kichik, ya'ni. bu matritsaning asosiy satrlarining chiziqli birikmasi bo'lgan kamida bitta qator mavjud.

Matritsaning rankiga oid yana bir teoremani isbotlaylik.

Teorema. Matritsaning chiziqli mustaqil satrlarining maksimal soni uning chiziqli mustaqil ustunlarining maksimal soniga teng va ushbu matritsaning darajasiga teng.

Isbot. A= matritsaning darajasi r ga teng bo'lsin. U holda uning har qanday k bazis qatori chiziqli mustaqil bo'ladi, aks holda bazis minor nolga teng bo'ladi. Boshqa tomondan, har qanday r+1 yoki undan ortiq qatorlar chiziqli bog'liqdir. Aksincha deb faraz qilsak, oldingi lemmaning 2-chi xulosasiga ko'ra, r dan kattaroq tartibning minorini topishimiz mumkin. Ikkinchisi nolga teng bo'lmagan voyaga etmaganlarning maksimal tartibi r ekanligiga zid keladi. Satrlar uchun tasdiqlangan hamma narsa ustunlar uchun ham to'g'ri keladi.

Xulosa qilib aytganda, biz matritsaning darajasini topishning yana bir usulini ko'rib chiqamiz. Matritsaning darajasini noldan farq qiluvchi maksimal tartibning minorini topish orqali aniqlash mumkin.

Bir qarashda, bu matritsaning chekli, lekin, ehtimol, juda katta sonini hisoblashni talab qiladi.

Biroq, quyidagi teorema bunga sezilarli soddalashtirishlarni kiritish imkonini beradi.

Teorema. Agar A matritsaning minori nolga teng bo'lmasa va uni chegaradosh barcha kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi r ga teng.

Isbot. S>r uchun matritsa qatorlarining har qanday quyi tizimi teorema shartlariga muvofiq chiziqli bog'liq bo'lishini ko'rsatish kifoya (bundan kelib chiqadiki, r - chiziqli mustaqil matritsa qatorlarining maksimal soni yoki uning har qanday kichik tartiblari k dan katta. nolga teng).

Endi quyidagi chiziqli kombinatsiyani ko'rib chiqing:

yoki

(3.3.7) va (3.3.8) dan foydalanib, biz olamiz

chiziqli qator mustaqilligiga zid keladi.

Binobarin, bizning taxminimiz noto'g'ri va shuning uchun teorema sharoitidagi har qanday S>r qatorlar chiziqli bog'liqdir. Teorema isbotlangan.

Keling, ushbu teoremaga asoslanib, matritsaning darajasini hisoblash qoidasini - kichiklarni chegaralash usulini ko'rib chiqaylik.

Matritsaning darajasini hisoblashda quyi darajadagi voyaga etmaganlardan yuqori darajadagi voyaga etmaganlarga o'tish kerak. Agar noldan farqli r-tartibning minori allaqachon topilgan bo'lsa, u holda faqat (r+1)-tartibning kichik bilan chegaradosh kichiklarini hisoblash kerak. Agar ular nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi r ga teng. Agar biz nafaqat matritsaning darajasini hisoblasak, balki qaysi ustunlar (satrlar) matritsaning bazis minorini tashkil etishini aniqlasak, bu usul ham qo'llaniladi.

Misol. Chegaralovchi kichiklar usuli yordamida matritsaning darajasini hisoblang

Yechim. A matritsaning yuqori chap burchagida joylashgan ikkinchi tartibli minor nolga teng emas:

Biroq, uning atrofidagi barcha uchinchi darajali voyaga etmaganlar nolga teng:

;	;
;	;
;	.

Demak, A matritsaning darajasi ikkiga teng: .

Ushbu matritsadagi birinchi va ikkinchi qatorlar, birinchi va ikkinchi ustunlar asosiy hisoblanadi. Qolgan satrlar va ustunlar ularning chiziqli birikmalaridir. Darhaqiqat, satrlar uchun quyidagi tengliklar amal qiladi:

Xulosa qilib aytganda, biz quyidagi xususiyatlarning haqiqiyligini ta'kidlaymiz:

1) matritsalar mahsulotining darajasi har bir omillarning darajasidan katta bo'lmasa;

2) ixtiyoriy A matritsaning o‘ng yoki chap tomonidagi yagona bo‘lmagan kvadrat matritsa Q ko‘paytmasining darajasi A matritsaning darajasiga teng.

Polinomli matritsalar

Ta'rif. Ko'phadli matritsa yoki -matritsa to'rtburchaklar matritsa bo'lib, uning elementlari soni koeffitsientli bitta o'zgaruvchidagi polinomlardan iborat.

-matritsalar bo'yicha elementar o'zgartirishlar amalga oshirilishi mumkin. Bularga quyidagilar kiradi:

Ikki qatorni (ustunlarni) qayta tartibga solish;

Qatorni (ustunni) noldan boshqa raqamga ko'paytirish;

Bir qatorga (ustunga) boshqa qatorni (ustun) qo'shish har qanday ko'phadga ko'paytiriladi.

Ikki -matritsalar va bir xil o'lchamdagilar ekvivalent deyiladi: , agar matritsadan chekli sonli elementar o'zgarishlardan foydalanish mumkin bo'lsa.

Misol. Matritsaning ekvivalentligini isbotlang

1. Matritsadagi birinchi va ikkinchi ustunlarni almashtiring:

2. Ikkinchi qatordan birinchisini ayirib, (() ga ko'paytiring:

3. Ikkinchi qatorni (-1) ga ko'paytiring va shuni ta'kidlang

4. Ikkinchi ustundan birinchi bo'lib, ko'paytirilsa, biz olamiz

Berilgan o'lchamdagi barcha -matritsalar to'plami ekvivalent matritsalarning ajratilgan sinflariga bo'linadi. Bir-biriga ekvivalent bo'lgan matritsalar bir sinfni, ekvivalent bo'lmaganlari esa boshqasini tashkil qiladi.

Ekvivalent matritsalarning har bir sinfi berilgan o'lchamlarning kanonik yoki normal matritsasi bilan tavsiflanadi.

Ta'rif. Kanonik yoki normal o'lchamlar matritsasi - bu matritsa bo'lib, uning asosiy diagonali polinomlardan iborat bo'lib, bu erda p - m va n sonlarining kichigi. ) va nolga teng boʻlmagan koʻphadlar yetakchi koeffitsientlari 1 ga teng boʻladi va har bir keyingi koʻphad oldingisiga boʻlinadi. Asosiy diagonaldan tashqaridagi barcha elementlar 0 ga teng.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar ko'phadlar orasida nol darajali ko'phadlar mavjud bo'lsa, ular asosiy diagonalning boshida joylashgan. Agar nollar bo'lsa, ular asosiy diagonalning oxirida joylashgan.

Oldingi misolning matritsasi kanonikdir. Matritsa

shuningdek, kanonik.

-matritsalarning har bir sinfida o'ziga xos kanonik -matritsa mavjud, ya'ni. Har bir -matritsa noyob kanonik matritsaga teng bo'lib, u matritsaning kanonik shakli yoki normal shakli deb ataladi.

Berilgan -matritsaning kanonik shaklining bosh diagonalida joylashgan polinomlar bu matritsaning invariant omillari deyiladi.

Invariant omillarni hisoblash usullaridan biri berilgan -matritsani kanonik shaklga keltirishdir.

Shunday qilib, oldingi misolning matritsasi uchun o'zgarmas omillar

Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, bir xil o'zgarmas omillar to'plamining mavjudligi -matritsalarning ekvivalentligi uchun zarur va etarli shartdir.

-matritsalarni kanonik ko'rinishga keltirish o'zgarmas omillarni aniqlash uchun qisqartiriladi

, ; ,

bu erda r - matritsaning darajasi; - 1 ga teng etakchi koeffitsient bilan olingan k-tartibli kichiklarning eng katta umumiy bo'luvchisi.

Misol. -matritsa berilgan bo'lsin

Yechim. Shubhasiz, birinchi tartibning eng katta umumiy bo'luvchisi, ya'ni. .

Ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni aniqlaymiz:

va hokazo.

Xulosa chiqarish uchun allaqachon bu ma'lumotlar etarli: shuning uchun.

Biz aniqlaymiz

Demak, .

Shunday qilib, ushbu matritsaning kanonik shakli quyidagi -matritsadir:

Matritsali ko'phad shaklning ifodasidir

o'zgaruvchan qaerda; - sonli elementlar bilan n tartibli kvadrat matritsalar.

Agar bo'lsa, S matritsa ko'phadining darajasi deyiladi, n - matritsa ko'phadining tartibi.

Har qanday kvadratik -matritsa matritsa polinomi sifatida ifodalanishi mumkin. Shubhasiz, qarama-qarshi bayonot ham to'g'ri, ya'ni. har qanday matritsali polinom kvadrat matritsa sifatida ifodalanishi mumkin.

Ushbu bayonotlarning to'g'riligi matritsalar ustidagi amallarning xususiyatlaridan aniq kelib chiqadi. Keling, quyidagi misollarni ko'rib chiqaylik:

Misol. Polinomli matritsani ifodalang

quyidagicha matritsali ko'phad shaklida

Misol. Matritsa polinomi

quyidagi polinom matritsa (-matritsa) sifatida ifodalanishi mumkin.

Matritsa polinomlari va polinom matritsalarining bunday almashinishi omil va komponentlar tahlili usullarining matematik apparatida muhim rol o'ynaydi.

Xuddi shu tartibli matritsali ko‘phadlarni ham sonli koeffitsientli oddiy ko‘phadlarni qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish mumkin. Ammo shuni esda tutish kerakki, matritsali ko'phadlarni ko'paytirish, umuman olganda, kommutativ emas, chunki Matritsalarni ko'paytirish kommutativ emas.

Ikki matritsali ko'phad, agar ularning koeffitsientlari teng bo'lsa, teng deyiladi, ya'ni. o'zgaruvchining bir xil kuchlari uchun mos keladigan matritsalar.

Ikki matritsali koʻphadning yigʻindisi (farqi) oʻzgaruvchining har bir darajasi uchun koeffitsienti koʻphaddagi bir xil daraja uchun koeffitsientlar yigʻindisiga (farqiga) teng boʻlgan matritsali koʻphaddir.

Matritsa ko‘phadini matritsa ko‘phadiga ko‘paytirish uchun matritsa ko‘phadining har bir hadini matritsa polinomining har bir hadiga ko‘paytirish, hosil bo‘lgan ko‘paytmalarni qo‘shish va o‘xshash hadlarni keltirish kerak.

Matritsa polinomining darajasi omillar darajalari yig'indisidan kichik yoki unga teng bo'lgan mahsulotdir.

Matritsa polinomlari ustida amallar mos keladigan -matritsalar ustida amallar yordamida bajarilishi mumkin.

Matritsali ko'phadlarni qo'shish (ayirish) uchun mos keladigan -matritsalarni qo'shish (ayirish) kifoya qiladi. Xuddi shu narsa ko'paytirish uchun ham amal qiladi. -matritsa polinomlari ko'paytmasining matritsasi omillarning -matritsalari ko'paytmasiga teng.

Boshqa tomondan, va shaklda yozilishi mumkin

bu erda B 0 - yagona bo'lmagan matritsa.

Bo'lishda yagona o'ng qism va o'ng qoldiq mavjud

bu erda R 1 darajasi daraja yoki (qoldiqsiz bo'linish) dan kichik bo'lsa, shuningdek, chap qism va chap qoldiq, agar va faqat tartibda bo'lsa.

Chiziqli bog'liqlik va chiziqli mustaqillik tushunchalari qatorlar va ustunlar uchun teng ravishda aniqlanadi. Shuning uchun, ustunlar uchun tuzilgan ushbu tushunchalar bilan bog'liq xususiyatlar, albatta, qatorlar uchun ham amal qiladi.

1. Agar ustunlar tizimi nol ustunni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

2. Agar ustunlar tizimi ikkita teng ustunga ega bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

3. Agar ustunlar tizimi ikkita proportsional ustunga ega bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

4. Ustunlar tizimi, agar ustunlardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.

5. Lineerga kiritilgan har qanday ustunlar mustaqil tizim, chiziqli mustaqil quyi tizimni tashkil qiladi.

6. Chiziqli qaram quyi tizimni o'z ichiga olgan ustunlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

7. Agar ustunlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa va unga ustun qo'shgandan so'ng, u chiziqli bog'liq bo'lib chiqsa, unda ustun ustunlarga kengaytirilishi mumkin va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda, ya'ni. kengaytirish koeffitsientlarini yagona topish mumkin.

Masalan, oxirgi xususiyatni isbotlaylik. Ustunlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lganligi sababli, barchasi 0 ga teng bo'lmagan raqamlar mavjud

Bu tenglikda. Aslida, agar bo'lsa, keyin

Bu ustunlarning notrivial chiziqli birikmasi nol ustunga teng ekanligini anglatadi, bu tizimning chiziqli mustaqilligiga zid keladi. Shuning uchun, va keyin, ya'ni. ustun ustunlarning chiziqli birikmasidir. Bunday vakillikning o'ziga xosligini ko'rsatish uchun qoladi. Buning aksini faraz qilaylik. Ikki kengaytma bo'lsin va , va kengayishlarning barcha koeffitsientlari mos ravishda bir-biriga teng emas (masalan, ). Keyin tenglikdan

Biz (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o olamiz

ketma-ketlikda, ustunlarning chiziqli birikmasi nol ustunga teng. Uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lmaganligi sababli (hech bo'lmaganda), bu kombinatsiya ustunlarning chiziqli mustaqilligi shartiga zid bo'lgan notrivialdir. Olingan qarama-qarshilik kengayishning o'ziga xosligini tasdiqlaydi.

3.2-misol. Ikki nolga teng bo'lmagan ustunlar va chiziqli bog'liqligini isbotlang, agar ular proportsional bo'lsa, ya'ni. .

Yechim. Aslida, agar ustunlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lib, . Va bu tenglikda. Haqiqatan ham, deb faraz qilsak, biz qarama-qarshilikka erishamiz, chunki ustun ham nolga teng emas. Ma'nosi, . Shuning uchun, bunday raqam mavjud. Ehtiyoj isbotlangan.

Aksincha, agar , keyin . Biz nol ustunga teng ustunlarning noaniq chiziqli birikmasini oldik. Bu ustunlar chiziqli bog'liqligini anglatadi.

3.3-misol. Ustunlardan tashkil topgan barcha turdagi tizimlarni ko'rib chiqing

Har bir tizimni chiziqli bog'liqlik uchun tekshiring.
Yechim. Keling, har biri bitta ustunni o'z ichiga olgan beshta tizimni ko'rib chiqaylik. Izohlar 3.1 ning 1-bandiga muvofiq: tizimlar chiziqli mustaqil va bitta nol ustundan iborat tizim chiziqli bog'liqdir.

Keling, ikkita ustunni o'z ichiga olgan tizimlarni ko'rib chiqaylik:

- to'rtta tizimning har biri chiziqli bog'liq, chunki u nol ustunni o'z ichiga oladi (1-xususiyat);

– ustunlar proportsional bo‘lgani uchun tizim chiziqli bog‘liq (3-xususiyat): ;

– beshta tizimning har biri chiziqli mustaqildir, chunki ustunlar nomutanosibdir (3.2-misol bayonotiga qarang).

Uchta ustundan iborat tizimlarni ko'rib chiqing:

- oltita tizimning har biri chiziqli ravishda bog'liq, chunki u nol ustunni o'z ichiga oladi (1-xususiyat);

- tizimlar chiziqli bog'liq, chunki ular chiziqli bog'liq quyi tizimni o'z ichiga oladi (6-xususiyat);

- tizimlar va chiziqli bog'liqdir, chunki oxirgi ustun qolganlari orqali chiziqli ravishda ifodalanadi (4-xususiyat): va, mos ravishda.

Nihoyat, to'rt yoki besh ustunli tizimlar chiziqli bog'liqdir (6-xususiyat bo'yicha).

Matritsa darajasi

Ushbu bo'limda biz matritsaning satrlarining (ustunlarining) bir-biriga qanchalik bog'liqligi bilan bog'liq bo'lgan yana bir muhim raqamli xarakteristikani ko'rib chiqamiz.

Ta'rif 14.10 O'lchamlar matritsasi va raqamlarning eng kichigidan oshmaydigan son berilgan bo'lsin: . Matritsa satrlari va ustunlarini tasodifiy tanlaylik (satr raqamlari ustun raqamlaridan farq qilishi mumkin). Tanlangan satr va ustunlar kesishmasidagi elementlardan tashkil topgan matritsaning determinanti matritsaning kichik tartibi deb ataladi.

14.9-misol Mayli .

Birinchi darajali minor matritsaning istalgan elementidir. Demak, 2, , birinchi tartibdagi voyaga etmaganlar.

Ikkinchi darajali voyaga etmaganlar:

1. 1, 2-qatorlarni, 1, 2-ustunlarni oling, biz kichikni olamiz ;

2. 1, 3-qatorlarni, 2, 4-ustunlarni oling, biz kichikni olamiz ;

3. 2, 3-qatorlarni, 1, 4-ustunlarni oling, biz minorni olamiz

Uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlar:

Bu yerdagi qatorlarni faqat bitta usulda tanlash mumkin,

1. 1, 3, 4 ustunlarini oling, biz kichik olamiz ;

2. 1, 2, 3 ustunlarini oling, biz kichik olamiz .

Taklif 14.23 Agar tartib matritsasining barcha kichiklari nolga teng bo'lsa, tartibning barcha kichiklari, agar ular mavjud bo'lsa, ham nolga teng.

Isbot. Keling, ixtiyoriy kichik tartibni olaylik. Bu tartib matritsasining determinantidir. Keling, uni birinchi qator bo'ylab ajratamiz. Keyin kengayishning har bir muddatida omillardan biri dastlabki matritsa tartibining kichik qismi bo'ladi. Shartga ko'ra, buyurtma voyaga etmaganlar nolga teng. Shuning uchun tartibning minori nolga teng bo'ladi.

Ta'rif 14.11 Matritsaning darajasi noldan tashqari kichik matritsalarning eng katta tartibidir. Nol matritsaning darajasi nolga teng deb hisoblanadi.

Matritsa darajasi uchun yagona, standart belgi mavjud emas. Darslikdan keyin biz uni belgilaymiz.

14.10-misol 14.9-misol matritsasi 3-darajaga ega, chunki noldan boshqa uchinchi darajali minorlar mavjud, ammo to'rtinchi tartibli minorlar yo'q.

Matritsa darajasi 1 ga teng, chunki nolga teng bo'lmagan birinchi tartibli minor (matritsa elementi) mavjud va barcha ikkinchi darajali minorlar nolga teng.

Tartibning yagona bo'lmagan kvadrat matritsasining darajasi ga teng, chunki uning determinanti tartibning minori bo'lib, yagona bo'lmagan matritsa uchun nolga teng emas.

Taklif 14.24 Matritsa ko'chirilganda, uning darajasi o'zgarmaydi, ya'ni .

Isbot. Asl matritsaning ko‘chirilgan minori ko‘chirilgan matritsaning minori bo‘ladi va aksincha, har qanday minor asl matritsaning ko‘chirilgan minoridir. Ko'chirishda determinant (minor) o'zgarmaydi (14.6-taklif). Shuning uchun, agar dastlabki matritsadagi tartibning barcha kichiklari nolga teng bo'lsa, unda bir xil tartibdagi barcha kichiklar ham nolga teng. Agar dastlabki matritsadagi kichik tartib noldan farq qiladigan bo'lsa, u holda b bir xil tartibdagi minor bo'lib, noldan farq qiladi. Demak, .

Ta'rif 14.12 Matritsaning darajasi bo'lsin. Keyin noldan tashqari har qanday minor tartib minori bazis minor deb ataladi.

14.11-misol Mayli . Matritsaning determinanti nolga teng, chunki uchinchi qator birinchi ikkitasining yig'indisiga teng. Birinchi ikki qator va birinchi ikkita ustunda joylashgan ikkinchi tartibli minor teng . Shunday qilib, matritsaning darajasi ikkita, deb hisoblangan minor esa asosiy hisoblanadi.

Asosiy voyaga yetmaganlar ham, aytaylik, birinchi va uchinchi qatorlarda, birinchi va uchinchi ustunlarda joylashgan voyaga yetmaganlardir: . Baza ikkinchi va uchinchi qatorlarda, birinchi va uchinchi ustunlarda kichik bo'ladi: .

Birinchi va ikkinchi qatorlar va ikkinchi va uchinchi ustunlardagi minor nolga teng va shuning uchun asos bo'lmaydi. O'quvchi boshqa ikkinchi darajali voyaga etmaganlarning qaysi biri asosiy va qaysi biri bo'lmasligini mustaqil ravishda tekshirishi mumkin.

Matritsaning ustunlari (satrlari) qo'shilishi, raqamlarga ko'paytirilishi va chiziqli birikmalar hosil qilinishi mumkinligi sababli, matritsa ustunlari (satrlari) tizimining chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi ta'riflarini kiritish mumkin. Ushbu ta'riflar vektorlar uchun 10.14, 10.15 bir xil ta'riflarga o'xshaydi.

Ta'rif 14.13 Ustunlar (satrlar) tizimi chiziqli bog'liq deb ataladi, agar bunday koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lsa, ulardan kamida bittasi noldan farq qiladi, bu koeffitsientlar bilan ustunlar (satrlar) ning chiziqli birikmasi nolga teng bo'ladi.

Ta'rif 14.14 Ustunlar (satrlar) tizimi chiziqli mustaqil hisoblanadi, agar ushbu ustunlar (satrlar) ning chiziqli birikmasining nolga tengligi ushbu chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlari nolga teng ekanligini bildirsa.

10.6-taklifga o'xshash quyidagi taklif ham to'g'ri.

14.25 jumla Ustunlar (satrlar) tizimi, agar ustunlardan biri (satrlardan biri) ushbu tizimning boshqa ustunlari (satrlari) ning chiziqli birikmasi bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.

nomli teoremani tuzamiz asosiy minor teoremasi.

14.2 teorema Har qanday matritsa ustuni asosiy minordan o'tuvchi ustunlarning chiziqli birikmasidir.

Dalilni chiziqli algebra darsliklarida topish mumkin, masalan, ,.

Taklif 14.26 Matritsaning darajasi chiziqli mustaqil tizimni tashkil etuvchi uning ustunlarining maksimal soniga teng.

Isbot. Matritsaning darajasi bo'lsin. Bazis minordan o'tuvchi ustunlarni olaylik. Faraz qilaylik, bu ustunlar chiziqli qaram sistemani tashkil qiladi. Keyin ustunlardan biri boshqalarning chiziqli birikmasidir. Shuning uchun, minor asosda bitta ustun boshqa ustunlarning chiziqli birikmasi bo'ladi. 14.15 va 14.18 takliflariga ko'ra, bu minor bazis nolga teng bo'lishi kerak, bu esa minor asosining ta'rifiga zid keladi. Demak, bazis minordan o'tuvchi ustunlar chiziqli bog'liq degan taxmin to'g'ri emas. Shunday qilib, chiziqli mustaqil tizimni tashkil etuvchi ustunlarning maksimal soni dan katta yoki teng.

Faraz qilaylik, ustunlar chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi. Ulardan matritsa tuzamiz. Barcha kichik matritsalar kichik matritsalardir. Shuning uchun matritsaning bazis minori dan katta bo'lmagan tartibga ega. Bazis minor teoremasiga ko'ra, matritsaning bazis minoridan o'tmaydigan ustun - bu minor asosidan o'tuvchi ustunlarning chiziqli birikmasi, ya'ni matritsa ustunlari chiziqli bog'liq tizimni tashkil qiladi. Bu matritsani tashkil etuvchi ustunlarni tanlashga ziddir. Shunday qilib, chiziqli mustaqil tizimni tashkil etuvchi ustunlarning maksimal soni dan ortiq bo'lishi mumkin emas. Bu aytilgan narsaga teng ekanligini anglatadi.

Taklif 14.27 Matritsaning darajasi chiziqli mustaqil tizimni tashkil etuvchi uning satrlarining maksimal soniga teng.

Isbot. 14.24-taklifga ko'ra, transpozitsiya paytida matritsaning darajasi o'zgarmaydi. Matritsaning satrlari uning ustunlariga aylanadi. Chiziqli mustaqil tizimni tashkil etuvchi transpozitsiyalangan matritsaning yangi ustunlarining maksimal soni (asl nusxaning oldingi qatorlari) matritsaning darajasiga teng.

Taklif 14.28 Agar matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, uning ustunlaridan biri (satrlardan biri) qolgan ustunlarning (qatorlarning) chiziqli birikmasidir.

Isbot. Matritsa tartibi ga teng bo'lsin. Determinant kvadrat matritsaning tartibli yagona minoridir. U nolga teng bo'lgani uchun, u holda . Binobarin, ustunlar (satrlar) tizimi chiziqli bog'liqdir, ya'ni ustunlardan biri (satrlardan biri) boshqalarning chiziqli birikmasidir.

14.15, 14.18 va 14.28 takliflar natijalari quyidagi teoremani beradi.

14.3 teorema Matritsaning determinanti, agar uning ustunlaridan biri (satrlardan biri) qolgan ustunlarning (qatorlarning) chiziqli birikmasi bo'lsa, nolga teng bo'ladi.

Matritsaning barcha kichiklarini hisoblash orqali uning darajasini topish juda ko'p hisoblash ishlarini talab qiladi. (O'quvchi to'rtinchi tartibli kvadrat matritsada 36 ta ikkinchi darajali kichiklar borligini tekshirishi mumkin.) Shuning uchun darajani topish uchun boshqa algoritmdan foydalaniladi. Uni tavsiflash uchun bir qator qo'shimcha ma'lumotlar talab qilinadi.

Ta'rif 14.15 Ular bo'yicha quyidagi amallarni matritsalarning elementar o'zgarishi deb ataymiz:

1) satrlar yoki ustunlarni qayta joylashtirish;
2) satr yoki ustunni noldan boshqa raqamga ko'paytirish;
3) qatorlardan biriga raqamga ko'paytirilgan boshqa qatorni qo'shish yoki ustunlardan biriga raqamga ko'paytiriladigan boshqa ustunni qo'shish.

Taklif 14.29 Da elementar transformatsiyalar matritsaning darajasi o'zgarmaydi.

Isbot. Matritsaning darajasi , - elementar o'zgartirishni amalga oshirish natijasida hosil bo'lgan matritsaga teng bo'lsin.

Keling, satrlarni almashtirishni ko'rib chiqaylik. Matritsaning minori bo'lsin, u holda matritsaning minoriga ega bo'lib, u satrlarni qayta tartibga solish orqali unga to'g'ri keladi yoki undan farq qiladi. Va aksincha, har qanday minor matritsani qator tartibida u bilan mos keladigan yoki undan farq qiluvchi minor matritsa bilan bog'lash mumkin. Demak, matritsadagi tartibning barcha minorlari nolga teng ekanligidan, matritsada bu tartibning barcha minorlari ham nolga teng ekanligi kelib chiqadi. Va matritsa noldan farqli minor tartibli bo'lganligi sababli, matritsa ham noldan farqli minorga ega, ya'ni .

Satrni noldan boshqa raqamga ko'paytirishni ko'rib chiqing. Matritsaning minoriga matritsaning minoriga mos keladigan yoki undan faqat bitta satrda farq qiladigan minor mos keladi, bu minor qatoridan noldan boshqa raqamga ko'paytirish orqali olinadi. Oxirgi holatda. Barcha holatlarda yoki va bir vaqtning o'zida nolga teng yoki bir vaqtning o'zida noldan farq qiladi. Demak, .

Tematik materiallar: