Birlik sanoq tizimi
Raqamlarni yozish zarurati qadimgi davrlarda odamlar hisoblashni o'rganganlaridan keyin paydo bo'lgan. Bunga paleolit davriga oid ibtidoiy odamlar qarorgohlaridagi arxeologik topilmalar (miloddan avvalgi 10$-$11$ ming yillar) dalilidir. Dastlab, ob'ektlar soni ma'lum belgilar yordamida tasvirlangan: chiziqlar, tirqishlar, toshlarga, yog'ochga yoki loyga qo'llaniladigan doiralar, shuningdek arqonlardagi tugunlar.
1-rasm.
Olimlar buni nota tizimi deb atashadi yagona (birlik), chunki undagi raqam birlikni bildiruvchi bir belgining takrorlanishidan hosil bo'ladi.
Tizimning kamchiliklari:
katta raqamni yozishda siz foydalanishingiz kerak katta miqdorda tayoqchalar;
tayoqlarni qo'llashda xato qilish oson.
Keyinchalik, hisoblashni osonlashtirish uchun odamlar bu belgilarni birlashtira boshladilar.
1-misol
Birlik sanoq sistemasidan foydalanish misollarini hayotimizda uchratish mumkin. Misol uchun, kichik bolalar barmoqlarida necha yoshda ekanligini tasvirlashga harakat qilishadi yoki birinchi sinfda hisoblashni o'rgatish uchun hisoblash tayoqchalaridan foydalanadilar.
Yagona tizim unchalik qulay emas, chunki yozuvlar juda uzun ko'rinadi va ularni qo'llash ancha zerikarli, shuning uchun vaqt o'tishi bilan ko'proq amaliy sanoq tizimlari paydo bo'la boshladi.
Mana bir nechta misollar.
Bu sanoq tizimi miloddan avvalgi 3000-yillarda paydo bo'lgan. Natijada, Qadimgi Misr aholisi o'zlarining raqamli tizimini ishlab chiqdilar, unda kalit raqamlarni belgilashda $1$, $10$, $100$ va hokazo. ierogliflar qo'llanilgan, bu qog'oz o'rnini bosuvchi gil planshetlarga yozishda qulay edi. Ulardan qo'shish yordamida boshqa raqamlar hosil qilingan. Birinchidan, eng yuqori tartib raqami, keyin esa eng pasti yozildi. Misrliklar ko'payib, bo'linib, raqamlarni doimiy ravishda ikki barobarga oshirdilar. Har bir raqam $9$ gacha takrorlanishi mumkin. Ushbu tizimning raqamlariga misollar quyida keltirilgan.
2-rasm.
Bu tizim avvalgisidan tubdan farq qilmaydi va hozirgi kungacha saqlanib qolgan. U quyidagi belgilarga asoslanadi:
$1$ raqami uchun $I$ (bir barmoq);
$V$ (ochiq kaft) $5$ uchun;
$X$ (ikki chashka qo'l) $10$;
$100$, $500$ va $1000$ raqamlarini belgilash uchun tegishli lotincha soʻzlarning birinchi harflari ishlatilgan ( Centum- yuz, Demimilla- yarim ming Mille- ming).
Raqamlarni tuzishda rimliklar quyidagi qoidalardan foydalanganlar:
Raqam birinchi turdagi guruhni tashkil etuvchi qatorda joylashgan bir nechta bir xil "raqamlar" qiymatlari yig'indisiga teng.
Raqam ikkita "raqam" qiymatlari orasidagi farqga teng, agar kichikroq kattaroqning chap tomonida bo'lsa. Bunday holda, kattaroq qiymatdan kichikroq qiymatning qiymati chiqariladi. Ular birgalikda ikkinchi turdagi guruhni tashkil qiladi. Bunday holda, chap "raqam" maksimal $1$ buyurtma bo'yicha o'ngdan kamroq bo'lishi mumkin: "pastki"lardan $L(50)$ va $C(100$) oldidan faqat $X( 10$), $D(500$ ) va $M(1000$) dan oldin - faqat $C(100$), $V(5) dan oldin - I(1)$.
Raqam shaklning $1$ yoki $2$ guruhlariga kiritilmagan guruhlar va "raqamlar" qiymatlarining yig'indisiga teng.
3-rasm
Rim raqamlari qadim zamonlardan beri qo'llanilgan: ular sana, jildlar, bo'limlar, boblar sonini bildiradi. Men oddiy arab raqamlarini osongina soxtalashtirish mumkin deb o'ylardim.
Bu sanoq sistemalari mukammalroqdir. Bularga yunon, slavyan, finikiya, yahudiy va boshqalar kiradi. Bu tizimlarda $1$ dan $9$ gacha boʻlgan raqamlar, shuningdek, oʻnlar soni (10$ dan 90$ gacha), yuzlab (100$ dan 900$ gacha) alifbo harflari bilan belgilangan.
Qadimgi yunon alifbo sanoq sistemasida $1, 2, ..., 9$ raqamlari yunon alifbosining birinchi toʻqqizta harfi bilan belgilangan va hokazo. Quyidagi $9$ harflari $10, 20, ..., 90$ raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan va oxirgi $9$ harflari $100, 200, ..., 900$ raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan.
Slavyan xalqlari orasida harflarning raqamli qiymatlari dastlab glagolit alifbosidan, keyin esa kirill alifbosidan foydalangan slavyan alifbosi tartibiga muvofiq o'rnatildi.
4-rasm
Izoh 1
Alfavit tizimi qadimgi ruslarda ham ishlatilgan. $17-asr oxirigacha $27$ kirill harflari raqam sifatida ishlatilgan.
Pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimlari bir qator muhim kamchiliklarga ega:
Katta raqamlarni yozish uchun doimiy ravishda yangi belgilarni kiritish zarurati mavjud.
Kasr va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.
Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari mavjud emas.
Sanoq tizimi (Raqamlash) - bu raqamni raqamlar deb ataladigan ba'zi alifbodagi belgilar bilan ifodalash usuli.
Insoniyat uzoq rivojlanish jarayonida ikki xil sanoq sistemasiga keldi: pozitsion va nopozitsion.
Nopozitsion sanoq sistemasi
Eng qadimgi raqamlashda faqat "|" belgisi ishlatilgan. bir uchun va har bir natural son birlik belgisini shu sonda qancha birliklar bor bo‘lsa, shuncha marta takrorlash orqali yozildi. Bunday raqamlashda qo'shish birliklarni belgilashga, ayirish esa ularni o'chirishga qisqartirildi. Har qanday katta raqamlarni ifodalash uchun bu raqamlash usuli o'zining noqulayligi tufayli mos kelmaydi.
Da boshlang'ich ta'lim maktabda, ball bir-ikki o'nlab oralig'ida saqlanganda, bu raqamlash usuli muvaffaqiyatli qo'llaniladi (tayoqlarni hisoblash).
Nopozitsion sanoq sistemalarida har bir belgining ma'nosi saqlanib qoladi va uning son yozuvidagi o'rniga bog'liq emas.
Ko'proq zamonaviy nopozitsion tizimlarga Misr ieroglif raqamlash tizimi kiradi, unda raqamlar uchun ma'lum belgilar mavjud edi: bir - I, o'n - n, yuz - c va boshqalar; bu raqamlar tugun raqamlari deb ataladi. Algoritmik sonlar deb ataladigan boshqa barcha natural sonlar bitta arifmetik amal - qo'shish yordamida xuddi shu tarzda yoziladi. Masalan, 243 raqami ss nnnn III, 301 soni ss I sifatida yoziladi.
Pozitsiyali bo'lmagan tizimlar rim raqamlarini o'z ichiga oladi. Bu tizimda tugun raqamlari sifatida quyidagi raqamlar olinadi: bir - I, besh - V, o'n - X, ellik - L, bir yuz - C, besh yuz - D, ming - M. Barcha algoritmik raqamlar ikkita yordamida olinadi. arifmetik amallar: qo'shish va ayirish. Ayirma kichikroq tugun raqamiga mos keladigan belgi kattaroq tugun raqami belgisi oldida bo'lganda amalga oshiriladi, masalan, VI - olti (5 + 1 \u003d 6), XC - to'qson (100-10 \u003d 90) , 1704 - MOSSIV, 193 - SHSSh , 687 - DCLXXXII.
Rim raqamlarida kvinar sanoq tizimining izlari sezilarli, chunki unda 5, 50 va 500 raqamlari uchun maxsus belgilar mavjud.
Raqamlarni yozishda nafaqat qo'shish printsipi, balki ko'paytirish printsipi ham qo'llanilgan.
Masalan, qadimgi Xitoy sanoq tizimida 20 va 30 raqamlari sxematik tarzda 2.10 va 3.10 sifatida koʻrsatilgan. 10, 100, 1000 raqamlari ma'lum maxsus belgilarga ega edi. 528 raqami shunday yozilgan: 5,100,2,10,8. Nopozitsion sanoq sistemalari orasida eng qulayi alifbo tartibidagi sanoq sistemalaridir. Bunday tizimlarga misol qilib Ion tizimi (Qadimgi Yunoniston), slavyan, yahudiy, gruzin va arman tillari kiradi.
Barcha alifbo tizimlarida maxsus belgilar bilan belgilanishi kerak - harflarni alifbo tartibida 1 dan 9 gacha barcha raqamlar, 10 dan 90 gacha bo'lgan barcha o'nliklar va 100 dan 900 gacha bo'lgan barcha yuzliklar. Raqamlarni bildiruvchi harflar ustidagi so'zlardan raqamlarni ajratish uchun, yunon va slavyan tillarida raqamlash chiziq edi.
Yunon sanoq sistemasida 543 raqami yozildi: cmg (c - 500, m - 40, g - 3). Rim sanoq tizimida bu raqam DXLIII shaklida, Misr ieroglifida - ssss nnn III shaklida yoziladi.
Bu misol birliklarni, o'nliklarni, yuzliklarni belgilashning raqamli printsipidan foydalanadigan alifbo tartibida raqamlashning afzalligini ko'rsatadi. Alfavit tizimida katta raqamlarni yozishda pozitsion belgilarga o'tish allaqachon ko'rinadi. Masalan, 32543 quyidagicha yozilgan:
Guruch. 4
Ko'pchilik qulay tizimlar hisob pozitsion yoki mahalliy tizimlar bo'lib chiqdi.
Pozitsion sanoq sistemalari
Pozitsion sanoq sistemasi - bu har qanday natural sonni ba'zi piktogramma yoki belgilar yordamida yozish imkonini beruvchi ta'riflar va qoidalar to'plami bo'lib, ularning har biri raqamlar yozuvidagi o'rniga (o'z pozitsiyasidan) qarab ma'lum ma'noga ega. Ko'pincha, qat'iy asosli pozitsion sanoq tizimi qo'llaniladi. Tizimning asosi ixtiyoriy c, c>1 natural son bo'lishi mumkin.
N natural sonning c asosdagi sistematik yozuvi bu sonning yig‘indi sifatida ko‘rinishidir: N = ancn + ... + a1c, + a0, bu erda an, ..., a1, a0 qiymatlarni qabul qiluvchi raqamlardir. 0, 1, ..., c - 1, bundan tashqari, an? 0.
Asosiysi c bo'lgan pozitsion sanoq tizimi c - son (ikkilik, uchlik va boshqalar) deb ataladi. Amalda, o'nlik c \u003d 10 ko'pincha ishlatiladi).
s-ary sanoq sistemasida 0, 1, ..., s - 1 raqamlarini belgilash uchun sonlar deb ataladigan maxsus belgilar ishlatiladi. Qadimgi hind matematiklari nolni kashf etdilar - bu ma'lum bir toifadagi birliklarning yo'qligini ko'rsatishi kerak bo'lgan maxsus belgi.
c-raqam tizimi uchun sizga raqamlardan kerak. Agar bilan< 10, то применяются те же обозначения цифр, что и в десятичной системе счисления (только берутся цифры, меньше основания системы).
Bazasi c > 10 bo'lgan tizimlarda 10 dan katta yoki unga teng raqamlar uchun kirmang maxsus belgilar, lekin bu raqamlarning o'nlik belgilaridan foydalaning, bu belgini qavs ichiga kiriting. Masalan, o'n to'rtta tizimda o'n to'rtta raqam mavjud: 0, 1, 2, 3 ... 9, (10), (11), (12), (13).
Asosiy c sanoq sistemasida, shuningdek, o'nlik sanoq sistemasida o'ngdan chapga sanaladigan raqam egallagan o'rin raqam deyiladi.
N= ans n + soni. . . +a1c +a0 birinchi raqamning a0 birligini, ikkinchi raqamning a1 birligini, uchinchi raqamning a2 birligini va hokazolarni o'z ichiga oladi. Keyingi raqamning birligi oldingi raqamning birligidan c marta katta.
Pozitsion sanoq sistemalari har qanday natural sonni yozish imkoniyati va yagonaligi haqidagi talabni qondiradi.
Teorema. Har qanday natural N sonni sistemada c asosli va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda yozish mumkin.
Isbot:
1. Har qanday natural sonning ko‘rinishi borligini quyidagi ko‘rinishda isbotlaymiz:
N \u003d ansn + a n-1 sn-1 + ... + ac + a0. (1)
Isbotlash to'liq matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.
N sonining (1) ko'rinishida tasvirlanishi birinchi r-1 natural sonlari 1, 2,..., s-1 uchun mumkin, chunki n=1 va son berilgan songa to'g'ri keladi. 1, 2, raqamlari uchun (1) ko'rinishdagi raqamlarni ko'rsatish. . . ,s-1 faqat mumkinligi aniq yagona yo'l: 1=1, 2=2,. . . ,s-1=s-1.
Faraz qilaylik, barcha natural sonlar N?k (k?1) (1) ko‘rinishda ifodalanishi mumkin. k+1 sonni (1) ko’rinishda ham ifodalash mumkinligini isbotlaylik. Buning uchun k + 1 sonini qolgan bilan c ga bo'lamiz:
K+l=sc+r, 0<г<с-1, (2)
Bu erda s - to'liq bo'lmagan qism va r - qoldiq.
s?k soni induktiv taxmin bo'yicha, uni (1) ko'rinishda ifodalash mumkin:
s = ancn+. . . + a1c + a0, (3)
qayerda 1?an?s -1, 0? ai ?s -l, (i=0,1,..,n-1)
Biz (2) va (3) iboralarni almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:
k + l \u003d (anc + ... + aic + a0) c + r \u003d anc + ... + aic + a0c + r (4)
1 qayerda? a ?c -1, 0? aj? -1, 0 bilan? G? bilan -1 0=0,1,. . ,n-1)
Bu ifoda (4) k+1 sonining (1) ko’rinishini beradi:
K+1=b n+1c n+1 + bn c n + ... + b1c + b0,
bu yerda b0 =r, bi+1- ai (i=0,l,.. ,n-l)
2. Har qanday natural sonni (1) ko`rinishda tasvirlashning yagonaligini isbotlaylik.
Isbotlash matematik induksiya usuli bilan amalga oshiriladi.
-1 bilan 1, 2,... raqamlari uchun (1) ko'rinishdagi ko'rinish yagonadir.
Faraz qilaylik, barcha N?k (k?1) natural sonlar uchun (1) ko‘rinishdagi tasvir yagona bo‘lsin. k+1 sonni (1) ko’rinishda faqat bitta usulda ifodalash mumkinligini isbotlaylik. Buning uchun k + 1 sonini qolgan bilan c ga bo'lamiz:
K+l=sc+r, 0<г< с -1 (5)
Faraz qilaylik, k+1 ikki xil tasvirga ega:
k+1=a nc n + an-1 c n-1 + ....+ a1c + a() (6)
k+1 \u003d b mc m + bm-1 c m-1 + ... + b1c + b0 (7)
(6) va (7) tengliklarni quyidagi shaklda ifodalaymiz:
k+1= (a nc n-1 + an-1 c n-2+ ... + a1)c+a0 (6*)
k+1 = (b mc m-1 + bm-1 c m-2+ ... + b)c+b0 (7*)
0 dan beri? a0 ?c -1 va 0 ? b0 ?s -1 bo'lsa, (6*) va (7*) dan to'liq bo'lmagan qism s va (5) formulada qolgan r quyidagicha bo'ladi:
S= anc n-1 + an-1 s n-2 + ... + a1=bmc m-1 + bm-1 s m-2+ ... + b1. r = a0 = b0.
s dan beri? k, bu induktiv farazdan kelib chiqadiki, s soni (1) ko'rinishdagi yagona ko'rinishga ega, ya'ni:
n-l \u003d m-l, ai \u003d bi, (i \u003d 0,1, .. , n-1).
Oxirgi tenglikdan biz a0=bo ga egamiz. Shunday qilib, n=m, ai=bi (i=0,l, ..,n-l), lekin bu son k+1 degan taxminga zid keladi. ikki xil ko'rinishga ega (6) va (7). Binobarin, k + 1 soni (1) ko'rinishda o'ziga xos tarzda ifodalanadi. Matematik induksiya printsipiga asoslanib, har qanday N uchun bayonot to'g'ri. Teorema isbotlangan.
Kodlashlarni o'rganib, men sanoq tizimlarini etarlicha tushunmaganimni angladim. Shunga qaramay, u tez-tez 2-, 8-, 10-, 16-chi tizimlardan foydalangan, bir-birini boshqasiga tarjima qilgan, ammo hamma narsa "avtomat" da amalga oshirilgan. Ko'pgina nashrlarni o'qib chiqqandan so'ng, bunday asosiy material bo'yicha oddiy tilda yozilgan bitta maqola yo'qligi meni hayratda qoldirdi. Shuning uchun men o'zimni yozishga qaror qildim, unda men sanoq tizimlarining asoslarini qulay va tartibli tarzda taqdim etishga harakat qildim.
Bu nima degani? Misol uchun, siz oldingizda bir nechta daraxtlarni ko'rasiz. Sizning vazifangiz ularni hisoblashdir. Buni amalga oshirish uchun siz barmoqlaringizni bukishingiz, toshga chok qo'yishingiz mumkin (bitta daraxt - bitta barmoq / tishli) yoki 10 ta daraxtni biron bir narsa bilan, masalan, tosh bilan va bitta nusxasini tayoq bilan moslashtirasiz va ularni taxta ustiga qo'yishingiz mumkin. siz hisoblaganingizda tuproq. Birinchi holda, raqam egilgan barmoqlar yoki tirqishlar chizig'i sifatida ifodalanadi, ikkinchisida - toshlar va tayoqlarning tarkibi, bu erda toshlar chap tomonda, tayoqlar esa o'ng tomonda.
Sanoq sistemalari pozitsion va nopozitsion, pozitsion, o‘z navbatida bir jinsli va aralash tizimlarga bo‘linadi.
pozitsiyali bo'lmagan- eng qadimiy, unda raqamning har bir raqami uning pozitsiyasiga (raqamiga) bog'liq bo'lmagan qiymatga ega. Ya'ni, agar sizda 5 ta chiziq bo'lsa, unda bu raqam ham 5 ga teng bo'ladi, chunki har bir chiziq, uning qatordagi o'rnidan qat'i nazar, faqat 1 ta elementga to'g'ri keladi.
Pozitsion tizim- har bir raqamning qiymati uning raqamdagi o'rniga (raqamiga) bog'liq. Masalan, bizga tanish bo'lgan 10-son tizimi pozitsiondir. 453 raqamini ko'rib chiqing. 4 raqami yuzlik sonini bildiradi va 400 raqamiga to'g'ri keladi, 5 - o'nlab soni va 50 qiymatiga o'xshash va 3 - birlik va qiymat 3. Ko'rib turganingizdek, qanchalik katta bo'lsa. raqam, qiymat qanchalik baland bo'lsa. Yakuniy sonni 400+50+3=453 yig‘indisi sifatida ko‘rsatish mumkin.
bir hil tizim- raqamning barcha raqamlari (pozitsiyasi) uchun haqiqiy belgilar (raqamlar) to'plami bir xil bo'ladi. Misol tariqasida yuqorida tilga olingan 10-tizimni olaylik. Bir hil 10-chi tizimda raqam yozishda siz har bir raqamda 0 dan 9 gacha faqat bitta raqamdan foydalanishingiz mumkin, shuning uchun 450 raqamiga ruxsat beriladi (1-raqam - 0, 2-chi - 5, 3-chi - 4), lekin 4F5 emas, chunki F belgisi 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlarning bir qismi emas.
aralash tizim- raqamning har bir raqamida (pozitsiyasida) haqiqiy belgilar (raqamlar) to'plami boshqa raqamlar to'plamidan farq qilishi mumkin. Yorqin misol vaqtni o'lchash tizimidir. Sekuntlar va daqiqalar toifasida 60 xil belgilar ("00" dan "59" gacha), soatlar toifasida - 24 xil belgilar ("00" dan "23" gacha), kunlar toifasida - 365 va boshqalar.
Qulaylik uchun odamlar tayoqlarni 3, 5, 10 bo'laklarga guruhlay boshladilar. Shu bilan birga, har bir guruh ma'lum bir belgi yoki ob'ektga mos keladi. Dastlab, barmoqlar hisoblash uchun ishlatilgan, shuning uchun birinchi belgilar 5 va 10 dona (birlik) guruhlari uchun paydo bo'ldi. Bularning barchasi raqamlarni yozish uchun qulayroq tizimlarni yaratishga imkon berdi.
Nima uchun u kasrli deb ataladi? Yuqorida yozilganidek - odamlar ramzlarni guruhlashni boshladilar. Misrda ular "1" raqamini o'zgarishsiz qoldirib, 10 kishilik guruhni tanladilar. Bunda 10 soni o‘nlik sanoq sistemasining asosi deyiladi va har bir belgi ma’lum darajada 10 sonining ifodasidir.
Qadimgi Misr sanoq sistemasidagi raqamlar shularning birikmasi sifatida yozilgan
belgilar, ularning har biri to'qqiz martadan ko'p bo'lmagan takrorlangan. Yakuniy qiymat sonning elementlari yig'indisiga teng edi. Shuni ta'kidlash kerakki, qiymatni olishning bu usuli har bir nopozitsion sanoq tizimiga xosdir. Misol tariqasida 345 raqamini keltirish mumkin:
Bobil seksagesimal tizimi qisman pozitsion printsipga asoslangan birinchi sanoq sistemasidir. Bu sanoq tizimi bugungi kunda, masalan, vaqtni belgilashda qo'llaniladi - bir soat 60 daqiqadan, bir daqiqa esa 60 soniyadan iborat.
Raqamning qiymatini aniqlash usullari:
Masalan, 503 raqamini olaylik. Agar bu raqam nopozitsion sistemada yozilgan bo'lsa, uning qiymati 5 + 0 + 3 = 8 bo'lar edi. Lekin bizda pozitsion tizim mavjud, ya'ni sonning har bir raqami bo'lishi kerak. tizimning asosiga ko'paytiriladi, bu holda "10" raqami raqamli raqamga teng kuchga ko'tariladi. Ma'lum bo'lishicha, qiymat 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Bir vaqtning o'zida bir nechta sanoq tizimlari bilan ishlashda chalkashmaslik uchun baza sifatida ko'rsatilgan. subscript. Shunday qilib, 503 = 503 10.
O'nlik sanoq sistemasiga qo'shimcha ravishda 2-, 8-, 16- sistemalar ham alohida e'tiborga loyiqdir.
Ikkilik pozitsion sanoq sistemasining asosi 2 dan iborat bo‘lib, sonni yozish uchun 2 ta belgidan (raqamlardan) foydalaniladi: 0 va 1. Har bir bitda faqat bitta raqamga ruxsat beriladi - 0 yoki 1.
Misol tariqasida 101 raqamini keltirish mumkin. U o‘nlik sanoq sistemasidagi 5 raqamiga o‘xshaydi. 2-dan 10-ga o'tkazish uchun ikkilik sonning har bir raqamini raqamga teng kuchga ko'tarilgan "2" bazasiga ko'paytirish kerak. Shunday qilib, 101 soni 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Xo'sh, mashinalar uchun 2-son tizimi qulayroq, lekin biz ko'pincha kompyuterda 10-chi tizimdagi raqamlardan foydalanamiz. Keyin foydalanuvchi qaysi raqamga kirishini mashina qanday aniqlaydi? Qanday qilib u raqamni bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazadi, chunki uning ixtiyorida faqat 2 ta belgi bor - 0 va 1?
Kompyuter ikkilik raqamlar (kodlar) bilan ishlashi uchun ular biror joyda saqlanishi kerak. Har bir alohida raqamni saqlash uchun elektron sxema bo'lgan trigger ishlatiladi. U 2 ta holatda bo'lishi mumkin, ulardan biri nolga, ikkinchisi esa bittaga to'g'ri keladi. Bitta raqamni saqlash uchun registrdan foydalaniladi - ularning soni ikkilik sondagi raqamlar soniga mos keladigan triggerlar guruhi. Va registrlarning umumiy hajmi RAM. Registrdagi raqam mashina so'zidir. So'zlar bilan arifmetik va mantiqiy operatsiyalar arifmetik mantiq birligi (ALU) tomonidan amalga oshiriladi. Registrlarga kirishni soddalashtirish uchun ular raqamlangan. Raqam registr manzili deb ataladi. Misol uchun, agar siz 2 ta raqam qo'shishingiz kerak bo'lsa, raqamlarning o'zini emas, balki ular joylashgan katakchalar (registrlar) raqamlarini ko'rsatish kifoya. Manzillar 8 va o'n oltilik tizimlarda yoziladi (ular quyida muhokama qilinadi), chunki ulardan ikkilik tizimga va aksincha o'tish juda oddiy. 2-raqamdan 8-raqamga o'tkazish uchun uni o'ngdan chapga 3 ta raqamdan iborat guruhlarga bo'lish va 16-raqamga o'tish kerak - har birida 4 ta raqam bo'lsa, eng chap raqamlar guruhida raqamlar etarli bo'lmasa. keyin ular chapdan nol bilan to'ldiriladi, ular etakchi deb ataladi. Misol tariqasida 101100 2 raqamini olaylik. Sakkizlikda 101 100 = 54 8, oʻn oltilikda esa 0010 1100 = 2C 16 ga teng. Ajoyib, lekin nega biz ekranda o'nlik sonlar va harflarni ko'ramiz? Klaviatura bosilganda, kompyuterga elektr impulslarining ma'lum bir ketma-ketligi uzatiladi va har bir belgi o'ziga xos elektr impulslari ketma-ketligiga ega (nol va birliklar). Klaviatura va ekran drayveri dasturi belgilar kodlari jadvaliga kiradi (masalan, 65536 belgini kodlash imkonini beruvchi Unicode), qabul qilingan kod qaysi belgiga mos kelishini aniqlaydi va uni ekranda aks ettiradi. Shunday qilib, matnlar va raqamlar kompyuter xotirasida ikkilik kodda saqlanadi va dasturli ravishda ekrandagi tasvirlarga aylantiriladi.
Sakkizlik songa misol: 254. 10-sistemaga o'tkazish uchun asl sonning har bir raqamini 8 n ga ko'paytirish kerak, bu erda n - raqamli raqam. Aniqlanishicha, 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Misol tariqasida 4F5 16 raqamini olaylik. Sakkizlik tizimga o'tkazish uchun avvalo o'n oltilik sonni ikkilik, so'ngra uni 3 xonali guruhlarga bo'lib, sakkiztalikka aylantiramiz. Raqamni 2 ga aylantirish uchun har bir raqam 4 bitli ikkilik raqam sifatida ko'rsatilishi kerak. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ammo 1 va 3 guruhlarda raqam etarli emas, shuning uchun har birini bosh nol bilan to'ldiramiz: 0100 1111 0101. Endi olingan sonni o'ngdan chapga 3 ta raqamdan iborat guruhlarga bo'lishimiz kerak: 0100 1111 0101 \u003d 010 01110 101. Har bir ikkilik guruhni sakkizlik sistemaga aylantiramiz, har bir raqamni 2n ga ko'paytiramiz, bu erda n raqamli raqam: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Ko'rib chiqilgan pozitsion sanoq tizimlariga qo'shimcha ravishda boshqalar ham mavjud, masalan:
1) uchlik
2) toʻrtlamchi davr
3) O‘n ikkilik
Pozitsion tizimlar bir jinsli va aralash tizimlarga bo'linadi.
Teoremaga asoslanib, biz P-dan Q-chi tizimga va aksincha o'tish qoidalarini shakllantirishimiz mumkin:
Aralash sanoq sistemalari ham, masalan:
1) faktorial
2) Fibonachchi
Misol: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Barcha qoldiqlarni pastdan yuqoriga yozib, biz yakuniy raqamni olamiz 17. Shuning uchun, 15 10 \u003d 17 8.
Misol tariqasida 1001 2 raqamini olaylik: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+ 0+1) (0+0+1) = 11 8
O'n oltilik tizimga aylantirish uchun - biz ikkilik sonni o'ngdan chapga 4 ta raqamdan iborat guruhlarga ajratamiz, so'ngra - 2-dan 8-gacha o'zgartirishga o'xshash.
Masalan, 45 8 raqamini ko'rib chiqing: 45 = (100) (101) = 100101 2
16 dan 2 gacha tarjima - biz o'n oltilik sonning har bir raqamini 2 ga bo'lish yo'li bilan ikkilik 4 xonali songa aylantiramiz, etishmayotgan ekstremal raqamlarni bosh nollar bilan to'ldiramiz.
Har qanday sanoq sistemasining kasr qismini kasrli kasrga aylantirish
O'tkazish butun sonlar uchun bo'lgani kabi amalga oshiriladi, faqat raqamning raqamlari "-n" darajasiga ko'paytiriladi, bu erda n 1 dan boshlanadi.
Misol: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0,125) = 5,375 10
Misol: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Masalan, 10.625 10 ni ikkilik tizimga oʻtkazamiz:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Barcha qoldiqlarni yuqoridan pastgacha yozib, biz 10,625 10 = (1010), (101) = 1010,101 2 ni olamiz.
Belgilash chekli belgilar (raqamlar) to‘plamidan foydalangan holda raqamlarni yozish qoidalari to‘plamidir.
Raqam tizimlari quyidagilar:
Misollar: unary, rim, eski rus va boshqalar.
p i = s i,
Raqamning raqamlari o'ngdan chapga raqamlangan va butun qismning eng kam ahamiyatli raqami (ajratuvchidan oldin - vergul yoki nuqta) nol raqamiga ega. Kasr raqamlari manfiy raqamlarga ega:
Chiqarishning og'irligini aniqlash orqali
p i = s i,
bu yerda i raqamli son, s esa sanoq tizimining asosidir.
Keyin sonning raqamlarini i deb belgilab, pozitsion sanoq sistemasida yozilgan istalgan sonni quyidagicha ifodalashimiz mumkin:
x = a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...
Masalan, 4 ta asosli sanoq sistemasi uchun:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1
Hisob-kitoblarni tugatgandan so'ng, biz o'nlik sanoq tizimida yozilgan asl raqamning qiymatini olamiz (aniqrog'i, biz hisob-kitoblarni amalga oshirayotganimizda). Ushbu holatda:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Shunday qilib, raqamni har qanday sanoq tizimidan o'nlik sanoq tizimiga o'tkazish uchun quyidagilar kerak:
4 asosli sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish misolini eslaylik:
1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Aks holda shunday yozilishi mumkin:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4
Bu shuni ko'rsatadiki, 114 4 ga bo'linganda, qolgan 2 bo'lishi kerak - bu to'rtlamchi tizimda yozilganda eng kam ahamiyatli raqam. Ko'rsatkich teng bo'ladi
(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0
Uni 4 ga bo'lish qoldiqni beradi - keyingi raqam (0) va qism 1 ⋅ 4 + 3. Bosqichlarni davom ettirib, qolgan raqamlarni xuddi shu tarzda olamiz.
Umuman olganda, sonning butun qismini o'nlik sanoq sistemasidan boshqa asosli tizimga aylantirish uchun quyidagilar kerak:
Kompyuterlar bilan ishlashda ikkilik sanoq sistemasi keng qo'llaniladi (chunki kompyuterda ma'lumotni tasvirlash unga asoslanadi), shuningdek sakkizlik va o'n oltilik, yozuvlari odamlar uchun yanada ixcham va qulaydir. Boshqa tomondan, 8 va 16 soni 2 ning vakolatlari bo'lganligi sababli, ikkilik va ushbu tizimlardan birida yozish o'rtasidagi o'tish hisoblarsiz amalga oshiriladi.
Jadvalga muvofiq o'n oltilik yozuvning har bir bitini ikkilik (va aksincha) to'rtta (16=24) bit bilan almashtirish kifoya.
| o'n oltilik -> ikkilik | |||
| A | 3 | 2 | E |
| 1010 | 0011 | 0010 | 1110 |
| ikkilik -> o'n oltilik | |||
| (00)10 | 1010 | 0111 | 1101 |
| 2 | A | 7 | D |
Xuddi shunday, ikkilik va sakkizlik tizimlar o'rtasidagi tarjima sodir bo'ladi, faqat sakkizlik raqam uchta ikkilik raqamga to'g'ri keladi (8=2 3)
| sakkizlik -> ikkilik | ||||
| 5 | 3 | 2 | 1 | |
| 101 | 011 | 010 | 001 | |
| ikkilik -> sakkizlik | ||||
| (0)10 | 101 | 001 | 111 | 101 |
| 2 | 5 | 1 | 7 | 5 |
Har qanday asosga ega pozitsion tizimda arifmetik amallar bir xil qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi: qo'shish, ayirish va ko'paytirish "ustunda", bo'lish - "burchak". Ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida qo‘shish va ayirish amallarini bajarish misolini ko‘rib chiqing.
Ikkilik tizim:
| (o'tkazish) | ||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (raqamli raqamlar) |
Nol raqamda: 1 + 0 = 0
Birinchi raqamda: 1 + 1 = 2. 2 uzatish birligiga aylanib, eng muhim (2-chi) raqamga o'tkaziladi. Birinchi raqam 2 - 2 = 0 bo'lib qoladi.
Ikkinchi raqamda: 0 + 1 + 1 (tashish) = 2; Yuqori darajaga o'ting
Hisob-kitoblarni davom ettirib, biz quyidagilarni olamiz:
10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2
Sakkizlik tizim:
| | (o'tkazish) | ||||
| 3 | 4 | 2 | 6 | 1 | |
| | 4 | 4 | 3 | 5 | |
| |
|||||
| 4 | 0 | 7 | 1 | 6 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (raqamli raqamlar) |
Biz ikkilik tizimga o'xshash hisob-kitoblarni bajaramiz, lekin biz 8 ni eng yuqori raqamga o'tkazamiz.
34261 8 + 4435 8 = 40716 8
O'n oltilik tizim:
| | | (o'tkazish) | |||
| | A | 3 | 9 | 1 | |
| | 8 | 5 | 3 | 4 | |
| |
|||||
| 1 | 2 | 8 | C | 5 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (raqamli raqamlar) |
A391 16 + 8534 16 = 128C5 16
Ikkilik tizim:
| | | (o'tkazish) | ||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (raqamli raqamlar) |
“Informatika-1” kursi bo’yicha insho mavzusi – “Raqam tizimlari”.
Referat yozishdan maqsad: Sanoq sistemasi va tasnifi tushunchasi bilan tanishish; raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish.
butun algebraik ikkilik
Sanoq sistemasi - bu har qanday raqam va uning cheklangan sonli belgilar to'plami sifatida ko'rinishi o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatishga imkon beruvchi texnika va qoidalar tizimi. Ushbu tasvirlash uchun ishlatiladigan belgilar to'plami raqamlar deb ataladi.
Belgilash:
raqamlar to'plamining (butun va/yoki real) tasvirlarini beradi;
har bir raqamning o'ziga xos ko'rinishini (yoki hech bo'lmaganda standart vakillikni) beradi;
sonlarning algebraik va arifmetik tuzilishini aks ettiradi.
Sanoq sistemalari pozitsion va nopozitsion tizimlarga bo'linadi. Pozitsiyali bo'lmagan tizimlarda har qanday raqam ushbu raqamni ifodalovchi raqamlar to'plamining raqamli qiymatlarining ba'zi funktsiyalari sifatida aniqlanadi. Nopozitsion sanoq sistemalaridagi raqamlar ba'zi bir qo'zg'almas sonlarga mos keladi. Pozitsiyali bo'lmagan tizimga misol sifatida Rim raqamlar tizimini keltirish mumkin.
Tarixiy jihatdan birinchi sanoq sistemalari aniq pozitsiyali bo'lmagan tizimlar edi. Asosiy kamchiliklardan biri bu katta raqamlarni yozishning qiyinligi. Bunday tizimlarda katta raqamlarni yozib olish juda mashaqqatli va tizimning alifbosi nihoyatda katta.
Kompyuter texnikasida pozitsiyali bo'lmagan tizimlar qo'llanilmaydi. 3
Agar bir xil raqam ma'lum bir raqamni ifodalovchi raqamlar to'plamidagi ushbu raqamning raqamiga qarab turli xil raqamli qiymatlarni olishi mumkin bo'lsa, sanoq tizimi pozitsion deb ataladi. Bunday sistemaga arab o‘nlik sanoq sistemasi misol bo‘la oladi.
Pozitsion sanoq tizimining asosi uning nomini belgilaydi. Kompyuterlar ikkilik, sakkizlik, o'nlik va o'n oltilik tizimlardan foydalanadi.
Hozirgi vaqtda pozitsion sanoq sistemalari pozitsion bo'lmaganlarga qaraganda ancha keng tarqalgan. Buning sababi, ular sizga yozishga imkon beradi katta raqamlar nisbatan kam sonli belgilar bilan. Pozitsion tizimlarning yanada muhim afzalligi bu tizimlarda yozilgan raqamlar ustida arifmetik amallarni bajarishning soddaligi va qulayligidir.
Pozitsion sanoq tizimlaridan foydalanishga misollar keltiramiz:
diskret matematika, informatika, dasturlashda binar;
kasrli - hamma joyda ishlatiladi;
duodecimal - o'nlab sanash;
o'n oltilik - dasturlashda, informatikada qo'llaniladi;
sexagesimal - vaqt birliklari, burchaklarni o'lchash va xususan, koordinatalar, uzunlik va kenglik.
