Задание массива в matlab. Одномерные массивы MATLAB. Применение функций обработки данных к векторам

Урок №13.

Многомерные массивы

Понятие о многомерных массивах

Применение оператора «:» в многомерных массивах

Доступ к отдельному элементу многомерного массива

Удаление размерности в многомерном массиве

Создание страниц, заполненных константами и случайными числами

Объединение массивов

Вычисление числа размерностей массива и определение размера размерностей

Перестановки размерностей массивов

Сдвиг размерностей массивов

Удаление единичных размерностей

В этом уроке мы коснемся вопросов, связанных с более сложными типами данных, к которым относятся многомерные массивы.

Понятие о многомерных массивах

В MATLAB двумерный массив является частным случаем многомерного массива. Многомерные массивы характеризуются размерностью более двух. Таким массивам можно дать наглядную интерпретацию. Так, матрицу (двумерный массив) можно записать на одном листе бумаги в виде строк и столбцов, состоящих из элементов матрицы. Тогда блокнот с такими листками можно считать трехмерным массивом, полку в шкафу с блокнотами - четырехмерным массивом, шкаф со множеством полок - пятимерным массивом и т. д. В этой книге практически нигде, кроме этого раздела, мы не будем иметь дело с массивами, размерность которых выше двух, но знать о возможностях MATLAB в части задания и применения многомерных массивов все же полезно.

В нашей литературе понятия «размер» и «размерность» массивов являются почти синонимами. Однако они имеют явно разный смысл в данной книге, как и в документации и литературе по системе MATLAB. Под размерностью массивов понимается число измерений в пространственном представлении массивов, а под размером - число строк и столбцов (mxn) в каждой размерности массива.

Применение оператора «:» в многомерных массивах

При обычном задании массивов (с помощью символа точки с запятой «;») число рядов (строк) массива получается на 1 больше, чем число символов «:», но массив остается двумерным. Оператор «:» (двоеточие) позволяет легко выполнять операции по увеличению размерности массивов. Приведем пример формирования трехмерного массива путем добавления новой страницы. Пусть у нас задан исходный двумерный массив М размером 3x3:

» М=

М =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Для добавления новой страницы с тем же размером можно расширить М следующим образом:

» М(:.:.2)=

M(:.:.l) =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

М(:.:.2) =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

Посмотрим, что теперь содержит массив М при явном его указании:

» М

М(:,:.1)=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

М(:.:.2) =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

Как можно заметить, числа в выражениях М(:.:, 1) и М(:,: ,2) означают номер страницы.

Доступ к отдельному элементу многомерного массива

Чтобы вызвать центральный элемент сначала первой, а затем второй страницы, надо записать следующие выражения:

» М(2.2,1)

Ans =

» МС2.2.2)

Ans =

Таким образом, в многомерных массивах используется то же правило индексации, что и в одномерных и двумерных. Произвольный элемент, например, трехмерного массива задается как М(1 .j.k), где 1 - номер строки, j - номер столбца и k - номер страницы. Этот элемент можно вывести, а можно присвоить ему заданное значение х: М(1 ,j,k)=x.

Удаление размерности в многомерном массиве

Мы уже отмечали возможность удаления отдельных столбцов присвоением им значений пустого вектора-столбца . Этот прием нетрудно распространить на страницы и вообще размерности многомерного массива. Например, первую страницу полученного массива М можно удалить следующим образом:

» М(:.:.1)=

М =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

Нетрудно заметить, что в этом массиве осталась только вторая страница и что размерность массива уменьшилась на 1 - он стал двумерным.

Создание страниц, заполненных константами и случайными числами

Если после знака присваивания стоит численная константа, то соответствующая часть массива будет содержать элементы, содержащие данную константу. Например, создадим из массива М (см. пример выше) массив, у которого вторая страница содержит единицы:

»M(:.:..2)=1

М(:.:,1) =

10 11 12

13 14 15

16 17 18

М(:.:.2) =

1 1 1

А теперь заменим первую страницу массива на страницу с нулевыми элементами:

»M(:.:.1)=0

M(:.:.1)=

0 0 0

М(:.:,2) =

1 1 1

Использование функций ones, zeros, rand и randn

Функции ones (создание массивов с единичными элементами), zeros (создание массивов с нулевыми элементами) и rand или randn (создание массивов с элементами - случайными числами с соответственно равномерным и нормальным распределением) могут также использоваться для создания многомерных массивов. Примеры приводятся ниже:

» E=ones(3.3.2)

E(:.:.1)=

1 1 1

E(:.:,2) =

1 1 1

» Z=zeros(2,2,3) Z(:,:.l) =

Z(:.:.2) =

Z(:.:,3) =

» R=randn(3,2.2) R(:.:.l) =

1.6656-1.1465

0.1253 1.1909

0.2877 1.1892

R(:.:,2) =

0.0376-0.1867

0.3273 0.7258

0.1746 -0.5883

Эти примеры достаточно очевидны и не требуют особых комментариев. Обратите, однако, внимание на легкость задания размеров массивов для каждой размерности. Кроме того, следует отметить, что если хотя бы одна размерность массива равна нулю, то массив будет пустым:

» A=randn(3,3,3,0)

А =

Empty array: 3-bу-3-bу-3-by-0

Как видно из данного примера, пустой массив возвращается с соответствующим комментарием.

Объединение массивов

Для создания многомерных массивов служит описанная ранее для матриц специальная функция конкатенации cat:

cat(DIM,A,B) - возвращает результат объединения двух массивов А и В вдоль размерности DIM;

cat(2.A.B) - возвращает массив [А.В], в котором объединены ряды (горизонтальная конкатенация);

cat(1, А.В) - возвращает массив [А:В], в котором объединены столбцы (вертикальная конкатенация);

B=cat(DIM.Al,A2,...) - объединяет множество входных массивов Al, A2,... вдоль размерности DIM.

Функции cat(DIM,C{:}) и cat(DIM.C.FIELD) обеспечивают соответственно конкатенацию (объединение) ячеек массива ячеек (см урок 15) или структур массива структур (см. урок 14), содержащих числовые матрицы, в единую матрицу. Ниже приводятся примеры применения функции cat:

» М1=

» М2=

М2 =

» catd.Ml.M2)

Ans =

5 б

» cat(2.Ml.M2)

ans=

1 2 5 6

3 4 7 8

» M-cat(3.Ml.M2) M(:,:.l) =

М(:,:,2) =

Работа с размерностями

Вычисление числа размерностей массива

Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims:

» M=rand(2:3:4:5):

» ndims(M)

Ans =

4
Вычисление размера размерности массива

Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size:

М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов;

Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е. size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня.

Вообще, когда входным аргументом size является javaarray, то возвращаемое число столбцов всегда 1, а число рядов (строк) равно размеру (длине) javarray.

Si ze(A) возвращает размер первых N размерностей массива А;

D = size (А), для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n;

Size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип.

Перестановки размерностей массивов

Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов:

Permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А;

ipermuteCA, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A

Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size:

» А=:

» В=;

» С=;

» D=cat(3.A,B.C)

D(:,:,l) =

9 10

11 12

» size(D)

Ans =

2 2 3

» size(permute(D.))

ans=

3 2 2

»size(ipermute(D.))

Ans=

2 2 3

» ipermute(permute(D,),)

Ans(:. :,2) =

ans(:.:,3) =

9 10

11 12

Сдвиг размерностей массивов

Сдвиг размерностей реализуется функцией shiftdim:

B=shiftdim(X,N) - сдвиг размерностей в массиве X на величину N. Если М>0, то сдвиг размерностей, расположенных справа, выполняется влево, а N первых слева размерностей сворачиваются в конец массива, т. е. движение размерностей идет по кругу против часовой стрелки. Если М<0, сдвиг выполняется вправо, причем N первых размерностей, сдвинутых вправо, замещаются единичными размерностями;

Shiftdim(X) - возвращает массив В с тем же числом элементов, что и у массива X, но с удаленными начальными единичными размерностями. Выходной параметр NSHIFTS показывает число удаленных размерностей. Если X - скаляр, функция не изменяет X , В, NSHIFTS.

Следующий пример иллюстрирует применение функции shiftdim:

» A=randn(1.2.3,4):

» =shiftdim(A)

B(:.:.l) =

2.1707-1.01060.5077

0.05920.6145 1.6924

B(:.:,2) =

0.5913 0.3803 -0.0195

0.6436-1.0091-0.0482

B(:.:.3) =

0.0000 1.0950 0.4282

0.3179-1.87400.8956

В(:.:,4) =

0.7310 0.0403 0.5689

0.5779 0.6771 -0.2556

Удаление единичных размерностей

Функция squeeze(A) возвращает массив, в котором удалены все единичные размерности. Единичной называется размерность, в которой size(A. dim) == 1. Но если

А - одномерный или двумерный массив (матрица или вектор), то функция вернет тот же самый массив А. Следующий пример поясняет работу squeeze:

» A=randn(1.2.1.3.1):

» B=squeeze(A)

0.6145 1.6924 -0.6436

0.5077 0.5913 0.3803

Обратите внимание на то, что пятимерный массив А превращается в массив с размерностью 2 и размером 2x3.

Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

Создавать многомерные массивы.

Применять оператор «:» в многомерных массивах.

Получать доступ к отдельным элементам многомерных массивов.

Удалять размерности у многомерного массива.

Создавать массивы, заполненные константами и случайными числами.

Осуществлять объединение массивов.

Вычислять число размерностей массива и определять размер каждой размерности.

Переставлять, сдвигать и удалять единичные размерности в многомерных массивах.

Массивы являются основными объектами в системе MATLAB : в версиях 4.х допускаются только одномерные массивы - векторы - и двумерные массивы - матрицы; в версии 5.0 возможно использование многомерных массивов - тензоров. Ниже описаны функции формирования массивов и матриц, операции над матрицами, специальные матрицы в рамках системы MATLAB версий 4.х.

Формирование массивов специального вида

ZEROS - формирование массива нулей
ONES - формирование массива единиц
EYE - формирование единичной матрицы
RAND - формирование массива элементов, распределенных по равномерному закону
RANDN - формирование массива элементов, распределенных по нормальному закону
CROSS - векторное произведение
KRON - формирование тензорного произведения
LINSPACE - формирование линейного массива равноотстоящих узлов
LOGSPACE - формирование узлов логарифмичесокй сетки
MESHGRID - формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
: - формирование векторов и подматриц

Операции над матрицами

DIAG - формирование или извлечение диагоналей матрицы
TRIL - формирование нижнетреугольной матрицы (массива)
TRIU - формирование верхнетреугольной матрицы (массива)
FLIPLR - поворот матрицы относительно вертикальной оси
FLIPUD - поворот матрицы относительно горизонтальной оси
ROT90 - поворот матрицы на 90 градусов
RESHAPE - преобразование размеров матрицы

Специальные матрицы

COMPAN - сопровождающая матрица характеристического многочлена
HADAMARD - матрица Адамара (Hadamard matrix)
HANKEL - матрица Ганкеля (Hankel matrix)
HILB, INVHILB - матрица Гильберта (Hilbert matrix)
MAGIC - магический квадрат
PASCAL - матрица Паскаля (Pascal matrix)
ROSSER - матрица Рессера (Rosser matrix)
TOEPLITZ - матрица Теплица (Toeplitz matrix)
VANDER - матрица Вандермонда (Vandermonde matrix)
WILKINSON - матрица Уилкинсона (Wilkinson matrix)

CONV, DECONV

Свертка одномерных массивов

Синтаксис:

Z = conv(x, y)
= deconv(z, x)

Описание:

Если заданы одномерные массивы x и y длины соответственно m = length(x) и n = length(y), то свертка z - это одномерный массив длины m + n -1, k-й элемент которого определяется по формуле

Функция z = conv(x, y) вычисляет свертку z двух одномерных массивов x и y.

Рассматривая эти массивы как выборки из двух сигналов, можно сформулировать теорему свертки в следующей форме:
Если X = fft() и Y = fft() - согласованные по размерам преобразования Фурье сигналов x и y, то справедливо соотношение conv(x, y) = ifft(X.*Y).

Иначе говоря, свертка двух сигналов эквивалентна умножению преобразований Фурье этих сигналов.

Функция = deconv(z, x) выполняет операцию, обратную операции свертки. Эта операция равносильна определению импульсной характеристики фильтра. Если справедливо соотношение z = conv(x, y), то q = y, r = 0.

Сопутствующие функции: Signal Processing Toolbox .

1. Signal Processing Toolbox Users Guide. Natick: The MathWorks, Inc., 1993.

Установка шаблона матриц и векторов (Matrix...)

Операция Matrix... (Матрицы) обеспечивает задание векторов или матриц Как известно, матрица является заданным своим именем объектом в виде массива данных MathCAD использует одномерные массивы векторы и двумерные собственно матрицы

Матрица характеризуется числом строк (Rows) и числом столбцов (Columns). Таким образом, число элементов матрицы или ее размерность равны Rows x Columns Элементами матриц могут быть числа, константы, пере менные и даже математические выражения Соответственно матрицы могут быть численными и символьными

Если использовать операцию Matrix..., то в текущем окне появится не большое окошко, позволяющее задать размерность вектора или матрицы (см рис 515 справа) Для этого нужно указать число строк Rows и число сголбцов Columns Нажав клавишу Enter или указав курсором мыши на изображение клавиши Insert (Вставить) в окошке, можно вывести шаблон матрицы или вектора (вектор имеет один из параметров размерности, равный 1)

Шаблон содержит обрамляющие скобки и темные маленькие прямоугольники, обозначающие места ввода значений (числовых или символьных) для элементов вектора или матрицы. Один из прямоугольников можно сделать активным (отметив его курсором мыши). При этом он заключается в уголок. Это указывает на то, что в него будут вводиться значения соответствующего элемента. С помощью клавиш перемещения курсора можно по горизонтали пробежаться по всем прямоугольникам и ввести все элементы вектора или матрицы.

Рис. 5. 15 Вывод шаблонов вектора и матрицы и их заполнение

Пока идет ввод элементов векторов или матриц, пустые шаблоны отображаются без каких-либо комментариев. Однако, если закончить ввод до полного заполнения шаблонов, система выведет сообщение об ошибке незаполненный шаблон приобретет красный цвет. Вывод несуществующей матрицы или ошибочное указание ее индексов также отображается красным цветом.

Если использовать операцию Insert (Включение) при уже выведенном шаблоне матрицы, то матрица расширяется и ее размер увеличивается. Кнопка Delete (Стирание) позволяет убрать расширение матрицы, вычеркнув из нее строку или столбец.

Каждый элемент матрицы характеризуется индексированной переменной, и его положение в матрице обозначается двумя индексами: один указывает номер строки, другой номер столбца. Для набора индексированной переменной прежде надо ввести имя переменной, а затем перейти к набору индексов нажатием клавиши, вводящей символ]. Прежде указывается индекс строки, а затем через запятую индекс столбца. Примеры вывода индексированных переменных (элементов матрицы М) также даны на рис. 5. 14.

Вырожденная в одну строку или в один столбец матрица является вектором. Его элементы индексированные переменные с одним индексом. Нижняя граница индексов задается значением системной переменной ORIGIN. Обычно ее значение задают равным 0 или 1.

Выше были рассмотрены операции с простыми переменными. Однако с их помощью сложно описывать сложные данные, такие как случайный сигнал, поступающий на вход фильтра или хранить кадр изображения и т.п. Поэтому в языках высокого уровня предусмотрена возможность хранить значения в виде массивов. В MatLab эту роль выполняют векторы и матрицы.

Ниже показан пример задания вектора с именем a, и содержащий значения 1, 2, 3, 4:

a = ; % вектор-строка

Для доступа к тому или иному элементу вектора используется следующая конструкция языка:

disp(a(1)); % отображение значения 1-го элемента вектора
disp(a(2)); % отображение значения 2-го элемента вектора
disp(a(3)); % отображение значения 3-го элемента вектора
disp(a(4)); % отображение значения 4-го элемента вектора

т.е. нужно указать имя вектора и в круглых скобках написать номер индекса элемента, с которым предполагается работать. Например, для изменения значения 2-го элемента массива на 10 достаточно записать

a(2) = 10; % изменение значения 2-го элемента на 10

Часто возникает необходимость определения общего числа элементов в векторе, т.е. определения его размера. Это можно сделать, воспользовавшись функцией length() следующим образом:

N = length(a); % (N=4) число элементов массива а

Если требуется задать вектор-столбец, то это можно сделать так

a = ; % вектор-столбец

b = ’; % вектор-столбец

при этом доступ к элементам векторов осуществляется также как и для векторов-строк.

Следует отметить, что векторы можно составлять не только из отдельных чисел или переменных, но и из векторов. Например, следующий фрагмент программы показывает, как можно создавать один вектор на основе другого:

a = ; % начальный вектор a =
b = ; % второй вектор b =

Здесь вектор b состоит из шести элементов и создан на основе вектора а. Используя этот прием, можно осуществлять увеличение размера векторов в процессе работы программы:

a = ; % увеличение вектора а на один элемент

Недостатком описанного способа задания (инициализации) векторов является сложность определения векторов больших размеров, состоящих, например, из 100 или 1000 элементов. Чтобы решить данную задачу, в MatLab существуют функции инициализации векторов нулями, единицами или случайными значениями:

a1 = zeros(1, 100); % вектор-строка, 100 элементов с
% нулевыми значениями
a2 = zeros(100, 1); % вектор-столбец, 100 элементов с
% нулевыми значениями
a3 = ones(1, 1000); % вектор-строка, 1000 элементов с
% единичными значениями
a4 = ones(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов с
% единичными значениями
a5 = rand(1000, 1); % вектор-столбец, 1000 элементов со
% случайными значениями

Матрицы в MatLab задаются аналогично векторам с той лишь разницей, что указываются обе размерности. Приведем пример инициализации единичной матрицы размером 3х3:

E = ; % единичная матрица 3х3

Аналогичным образом можно задавать любые другие матрицы, а также использовать приведенные выше функции zeros(), ones() и rand(), например:

A1 = zeros(10,10); % нулевая матрица 10х10 элементов

A2 = zeros(10); % нулевая матрица 10х10 элементов
A3 = ones(5); % матрица 5х5, состоящая из единиц
A4 = rand(100); % матрица 100х100, из случайных чисел

Для доступа к элементам матрицы применяется такой же синтаксис как и для векторов, но с указанием строки и столбца где находится требуемый элемент:

A = ; % матрица 3х3
disp(A(2,1)); % вывод на экран элемента, стоящего во
% второй строке первого столбца, т.е. 4
disp(A(1,2)); % вывод на экран элемента, стоящего в
% первой строке второго столбца, т.е. 2

Также возможны операции выделения указанной части матрицы, например:

B1 = A(:,1); % B1 = – выделение первого столбца
B2 = A(2,:); % B2 = – выделение первой строки
B3 = A(1:2,2:3); % B3 = – выделение первых двух
% строк и 2-го и 3-го столбцов матрицы А.

Размерность любой матрицы или вектора в MatLab можно определить с помощью функции size(), которая возвращает число строк и столбцов переменной, указанной в качестве аргумента:

a = 5; % переменная а
A = ; % вектор-строка
B = ; % матрица 2х3
size(a) % 1х1
size(A) % 1х3
size(B) % 2х3

Вычисление числа размерностей массива

Функция ndims(A) возвращает размерность массива А (если она больше или равна двум). Но если входной аргумент - массив Java или массив массивов Java, то независимо от размерности массива эта функция вернет 2. Следующий пример иллюстрирует применение функции ndims :

> > M = rand(2: 3: 4: 5):

> > ndims(M)

Ans =

Вычисление размера размерности массива

Для вычисления размера каждой размерности массива используется функция size :

М = size(A.DIM) возвращает размер размерности, указанной скаляром DIM, в виде вектора-строки размером 2. Для двумерного или одномерного массива А size(A.l) возвращает число рядов, a size (А, 2) - число столбцов;

Для N-мерных массивов А при n>2 size(A) возвращает N-мерный вектор-строку, отражающий страничную организацию массива, последняя составляющая этого вектора равна N. В векторе отсутствуют данные о единичных размерностях (тех, где расположены вектор-строка или вектор-столбец, т. е.size(A,DIM)==l). Исключение представляют N-мерные массивы Java массивов javaarray, которые возвращают размер массива самого высокого уровня.

= size(A) возвращает размер первых N размерностей массива А;
D = size (А) , для mxn матрицы А возвращает двухэлементный вектор-строку, в котором первая составляющая - число строк т, а вторая составляющая - число столбцов n;
= size(A) возвращает число рядов и столбцов в разных выходных параметрах (выходных аргументах в терминологии MATLAB) тип.

Перестановки размерностей массивов

Если представить многомерный массив в виде страниц, то их перестановка является перестановкой размерностей массива. Для двумерного массива перестановка часто означает транспонирование - замену строк столбцами и наоборот. Следующие функции обобщают транспонирование матриц для случая многомерных массивов и обеспечивают перестановку размерностей многомерных массивов:

permute (A, ORDER) - переставляет размерности массива А в порядке, определяемом вектором перестановок ORDER. Вектор ORDER - одна из возможных перестановок всех целых чисел от 1 до N, где N - размерность массива А;
ipermute(A, ORDER) - операция, обратная permute: permute(permute(A. ORDER), ORDER)=A

Ниже приводятся примеры применения этих функций и функции size :

> > A = [ 1 2: 3 4 ]:

> > B = [ 5 6 ; 7 8 ];

> > C = [ 9 10 ; 11 12 ];

> > D = cat(3 .A,B.C)

D(:,:, 1) =

1 2

3 4

9 10

11 12

> > size(D)

Ans =

2 2 3

> > size(permute(D.[ 3 2 1 ]))

Ans =

3 2 2

> > size(ipermute(D.[ 2 1 3 ]))

Язык технических вычислений

Миллионы инженеров и ученых во всем мире используют MATLAB ® , чтобы анализировать и разработать системы и продукты, преобразовывающие наш мир. Матричный язык MATLAB является самым естественным способом в мире выразить вычислительную математику. Встроенная графика облегчает визуализацию и понимание данных. Окружение рабочего стола способствует экспериментированию, исследованиям и открытиям. Эти средства MATLAB и возможности все строго протестированы и разработаны, чтобы работать совместно.

MATLAB помогает вам воплощать свои идеи за пределами рабочего стола. Можно запустить исследования больших наборов данных и масштабировать до кластеров и облаков. Код MATLAB может быть интегрирован с другими языками, позволив вам развернуть алгоритмы и приложения в сети, предприятии и промышленных системах.