1. definíció
Boole-függvény egy olyan függvény, amelynek változói két érték egyikét veszik fel: $1$ vagy $0$.
Bármely logikai függvény megadható igazságtáblázat segítségével: az összes lehetséges argumentum halmaza a táblázat bal oldalára van írva, a logikai függvény megfelelő értékei pedig a jobb oldalon.
2. definíció
igazságtáblázat- egy táblázat, amely megmutatja, hogy egy összetett kifejezés milyen értékeket vesz fel a benne szereplő egyszerű kifejezések összes lehetséges értékkészletéhez.
3. definíció
Egyenértékű logikai kifejezéseknek nevezzük, amelyek igazságtáblázatának utolsó oszlopai egybeesnek. Az egyenértékűséget a $"="$ jel jelzi.
Az igazságtáblázat összeállításakor fontos figyelembe venni a logikai műveletek következő végrehajtási sorrendjét:
1. kép
A műveletek végrehajtási sorrendjében a zárójelek élveznek elsőbbséget.
Határozza meg a sorok számát: sorok száma= $2^n + 1$ (a címsorhoz), $n$ az egyszerű kifejezések száma. Például két változóból álló függvények esetén $2^2 = 4$ változó értékhalmaz kombinációja van, három változóból álló függvényeknél $2^3 = 8$ és így tovább.
Határozza meg az oszlopok számát: oszlopok száma = változók száma + logikai műveletek száma. A logikai műveletek számának meghatározásakor figyelembe veszik a végrehajtásuk sorrendjét is.
Töltse ki az oszlopokat a logikai műveletek végrehajtásának eredményeivel meghatározott sorrendben, figyelembe véve az alapvető logikai műveletek igazságtáblázatait.
2. ábra.
1. példa
Készítsen igazságtáblázatot a $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$ logikai kifejezésből.
Megoldás:
Határozzuk meg a sorok számát:
sorok száma = $2^3 + 1=9$.
A változók száma $3$.
diszjunkció ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) a szükséges logikai kifejezés.
Oszlopok száma = $3 + 3=6$.
Töltsük ki a táblázatot, figyelembe véve a logikai műveletek igazságtáblázatait!
3. ábra
2. példa
A megadott logikai kifejezés alapján készítsünk igazságtáblázatot:
Megoldás:
Határozzuk meg a sorok számát:
Az egyszerű kifejezések száma $n=3$, tehát
sorok száma = $2^3 + 1=9$.
Határozzuk meg az oszlopok számát:
A változók száma $3$.
A logikai műveletek száma és sorrendje:
a diszjunkció a kívánt logikai függvény ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).
Számítástechnika: hardver személyi számítógép Jasin Vlagyimir Nyikolajevics
4.3. Logikai függvények és igazságtáblák
A logikai változók és a logikai függvények közötti kapcsolatok a logikai algebrában a megfelelő táblázatok segítségével is megjeleníthetők, amelyeket igazságtáblázatoknak nevezünk. Az igazságtáblázatok megtalálják széles körű alkalmazás, mert világosan megmutatják, hogy a logikai függvény milyen értékeket vesz fel logikai változói értékeinek összes kombinációjához. Az igazságtáblázat két részből áll. Az első (bal oldali) rész a logikai változókra vonatkozik, és tartalmazza a logikai változók lehetséges kombinációinak teljes listáját. A, B, C... A táblázat második (jobb oldali) része a kimeneti állapotokat a bemeneti értékek kombinációinak logikai függvényeként határozza meg.
Például a logikai függvényhez F=A v B kontra C három logikai változó (disjunkciója). A, BÉs VAL VEL Az igazságtáblázat úgy néz ki, mint az ábrán látható. 4.1. Logikai változók és logikai függvény értékeinek írása adott táblázat az igazságtábla 8 sort és 4 oszlopot tartalmaz, azaz bármely igazságtábla argumentumai és függvényei értékeinek rögzítésére szolgáló sorok száma egyenlő lesz 2 n , Ahol P - a logikai függvény argumentumainak száma és az oszlopok száma n+ 1.
Rizs. 4.1. Igazságtáblázat a logikai függvényhez F=A v BAN BEN v C
Az igazságtáblázat bármely logikai függvényhez összeállítható, például az 1. ábrán. A 4.2 a logikai függvény igazságtáblázatát mutatja F=A? b? C(egyenértékűségek).
A logikai függvényeknek megfelelő neveik vannak. Két bináris változóhoz tizenhat Boole-függvény tartozik, amelyek nevei alább találhatók. ábrán. A 4.3 egy táblázat, amely a logikai függvényeket mutatja F1, F2, F3, … , F 16 két logikai változó AÉs BAN BEN.
Funkció F1 = 0és nulla állandó függvénynek vagy nulla generátornak nevezzük.
Rizs. 4.2. Igazságtáblázat a logikai függvényhez F=A? b? C
Rizs. 4.3. F 1 , F 2 , F 3 ,… F 16 logikai függvények két argumentumból AÉs BAN BEN
Funkció F2=A&B kötőfüggvénynek nevezzük.
A.
Funkció F 4 \u003d A A.
logikai változó által tiltó függvénynek nevezzük BAN BEN.
Funkció F 6 \u003d B iterációs függvénynek nevezzük egy logikai változón BAN BEN.
XOR függvénynek nevezzük.
Funkció F 8 \u003d A v B diszjunkciós függvénynek nevezzük.
Pierce függvénynek nevezzük.
ekvivalens függvénynek nevezzük.
BAN BEN.
Funkció F 12 \u003d B? A b? A.
negációs (inverziós) függvénynek nevezzük a logikai változó tekintetében A.
Funkció F 14 \u003d A? B implikációs függvénynek nevezzük A? B.
Schaeffer függvénynek nevezzük.
Funkció F16= Az 1-et 1-es generátorfüggvénynek nevezzük.
A változók fent felsorolt logikai függvényei között több olyan logikai függvény is található, amelyekkel más logikai függvényeket is kifejezhetünk. Az egyik logikai függvény másikkal való helyettesítésének műveletét a logikai algebrában szuperpozíciós műveletnek vagy szuperpozíciós módszernek nevezzük. Például a Schaeffer-függvény kifejezhető a diszjunkció és a negáció logikai függvényeivel, de Morgan törvényével:
Azokat a logikai függvényeket, amelyek más logikai függvények szuperpozíciós módszerrel történő kifejezésére használhatók, alapvető logikai függvényeknek nevezzük. Az alapvető logikai függvények ilyen halmazát a logikai függvények funkcionálisan teljes halmazának nevezzük. A gyakorlatban három logikai függvényt használnak legszélesebb körben ilyen halmazként: a konjunkciót, a diszjunkciót és a tagadást. Ha egy logikai függvényt alapfüggvényekkel ábrázolunk, akkor ezt az ábrázolási formát normálisnak nevezzük. Az előző példában a Schaeffer-féle Boole-függvény alapfüggvényekkel kifejezve normál formájú.
Egy sor alapfunkció és a hozzájuk tartozók segítségével technikai eszközök amelyek megvalósítják ezeket a logikai funkciókat, bármilyen logikai eszközt vagy rendszert megtervezhet és létrehozhat.
Rizs. 4.4. Funkcióvarázsló – 1/2 párbeszédpanel
ábrából látható. 4.4, a program logikai funkcióinak összeállításában MS Excel magában foglalja a logikai függvények funkcionálisan teljes készletét, amely a következő logikai függvényekből áll: ÉS (konjunkció), OR (disjunkció), NOT (negáció). Így a funkcionális segítségével teljes készlet a program logikai függvényei MS Excel más funkciók is megvalósíthatók. Logikai függvény IF (implikáció), a logikai függvények közé is tartozik MS Excel, logikai ellenőrzést végez, és az ellenőrzés eredményétől függően kettő közül az egyiket lehetséges cselekvések. Ebben a programban a következő formátumú: = IF (arg1; arg2; arg3), ahol az arg1 egy logikai feltétel; arg2 a visszatérési érték, feltéve, hogy az arg1 argumentum értéke igaz (TRUE); Az arg3 a visszatérési érték, feltéve, hogy az arg1 argumentum értéke nem teljesül (FALSE). Például, ha a programlap tetszőleges cellájában MS Excelírja be az " = HA" kifejezést (A1 = 5; "öt"; "nem öt")", majd amikor beírja az 5-ös számot az A1 cellába, és megnyomja az "Enter" billentyűt az A1 cellában, az "öt" szó lesz automatikusan íródik, ha más számokat ír be az A1 cellába, akkor a „nem öt” szó kerül bele. Mint már említettük, a program logikai funkcióival Az MS Excel képes mutasson be más logikai függvényeket és a hozzájuk tartozó igazságtáblázatokat.
Az IF és ÉS logikai függvények segítségével valósítjuk meg a logikai függvény módosított igazságtáblázatát F = A és B(kötőszó), amely két sorból és három oszlopból áll, amely lehetővé teszi a logikai változók értékének (0 vagy 1) megváltoztatását A és B automatikusan beállítja például az E6 cellában a függvény értékét F = A és B, megfelel ezeknek a logikai változóknak. Ehhez írja be a következő kifejezést az E6 cellába: „=HA (ÉS (C6; D6); 1; 0)”, majd ha 0-t vagy 1-et ír be a C6 és D6 cellába, a cellában egy logikai funkció kerül végrehajtásra. E6 F = A és B. Ezen műveletek eredménye az ábrán látható. 4.5.
Rizs. 4.5. Módosított logikai függvény igazságtáblázatának megvalósítása F=A&B
Ez a szöveg egy bevezető darab. A szerző könyvébőlLogikai XPath függvények Az XPath a logikai függvények következő készletét is támogatja: boolean(). Az argumentumot logikai értékre adja; hamis(). False (hamis) értéket ad vissza; lang(). Ellenőrzi, hogy az xml:lang attribútumban beállított nyelv megegyezik-e a függvénynek átadott nyelvvel; nem().
A szerző könyvébőlLogikai operátorok A logikai operátorok logikai értékekkel hajtanak végre műveleteket. Mindegyik táblázatban található. 14.5. És a táblázatban A 14.6 és 14.7 mutatják ezen operátorok végrehajtásának eredményeit A logikai operátorok fő alkalmazási területe az összehasonlító kifejezések (lásd a részt
A szerző könyvébőlis_scalar Ellenőrzi, hogy egy változó egyszerű-e Szintaxis: bool is_scalar(mixed var) Igazat ad vissza, ha a var skalár típusú (chila, string, logikai értékeket), de nem összetett (tömbök vagy objektumok). is_null
A szerző könyvéből1. Logikai parancsok Az aritmetikai számítások eszközei mellett a mikroprocesszoros parancsrendszer rendelkezik logikai adatkonverziós eszközökkel is. Logikai eszközökkel olyan adattranszformációk, amelyek a formális szabályokon alapulnak
A szerző könyvébőlLogikai ÉS és VAGY Már látta, mik azok a vezérlőstruktúrák és hogyan kell használni őket. Ugyanazon problémák megoldásának két további módja van. Ez a logikai ÉS - "&&" és a logikai "VAGY" - "|| ". A logikai ÉS a következőképpen használatos: kifejezés_1&&kifejezés_2Először
A szerző könyvébőlLogikai függvények A logikai függvények használhatók matematikai, mérnöki ill összehasonlító elemzés adat. Példaként egy logikai függvényt tekintünk meg az IF függvény segítségével Az IF függvénnyel logikai kifejezést, ill.
A szerző könyvébőlIV. Logikai műveletek A logikai műveletek általában operandusként "kezelik" a feltételes kifejezéseket. Művelet! egy operandusa van a jobb oldalon. A többi műveletnek két operandusa van: egy a bal oldalon és egy a jobb oldalon. && Logikai ÉS: a művelet eredménye igaz,
A szerző könyvébőlLogikai műveletek A logikai műveletek logikai ÉS (&&) és VAGY (||) függvényeket hajtanak végre operandusaikon. A logikai műveletek operandusai lehetnek egész számok, lebegő típusúak vagy mutatók. Az első és a második operandus típusa eltérő lehet. Mindig az első
A szerző könyvéből12.3.4. Logikai függvényobjektumok A logikai függvényobjektumok támogatják a logikai ÉS műveleteket (igaz értéket ad vissza, ha mindkét operandus igaz – a függvényhez társított && operátort használja típus), "logikai VAGY" (igazt ad vissza, ha legalább az egyik operandus igaz, -
A szerző könyvébőlLogikai operátorok Firebird három logikai operátorok, amely más predikátumokkal is működhet különböző utak A .* NOT annak a keresett kifejezésnek a tagadását adja meg, amelyre vonatkozik. Ennek van a legmagasabb prioritása.* AND összetett predikátumot hoz létre, kettőt összefűz
A szerző könyvébőlAz igaz és hamis értelmezése Szemantikailag, ha egy predikátum „bizonytalanságot” ad vissza, akkor az sem nem igaz, sem nem hamis. Az SQL-ben az utasítások csak "igaz" vagy "hamis" formában engedélyezettek - az olyan utasításokat, amelyek nem értékelnek "igazra" a rendszer úgy kezeli, mint
A szerző könyvébőlLogikai operátorok Az XSLT-ben két logikai operátor található, vagy és és. Ezek a műveletek binárisak, azaz mindegyik két operandusra van definiálva. Ha az operandusok nem logikai értékek, akkor implicit módon egy logikai típusba kerülnek.
A szerző könyvébőlLogikai műveletek A logikai műveletek közé tartoznak a bináris és, vagy, és xor műveletek, valamint a not unáris műveletek, amelyeknek logikai típusú operandusai vannak, és logikai típusú értéket adnak vissza. Ezek a műveletek engedelmeskednek a szokásos logikai szabályoknak: a és b csak akkor igazak, ha a és b is igaz, a vagy b igaz
A szerző könyvéből4.1. Logikai változók és logikai műveletek A számítógépben lévő információk (adatok, gépi utasítások stb.) a bináris rendszerben jelennek meg, amely két számjegyből áll - 0 és 1. elektromos jeláthaladó elektronikus áramkörökés összekötő
A szerző könyvébőlLogikai hibák Ha a meghajtó fizikailag egészséges, de üresnek vagy formázatlannak tűnik, és a rajta lévő adatok nem láthatók operációs rendszer, majd be ez az eset a fájlrendszer szerviztáblái sérültek, az adatok szinte mindig bekapcsolva maradnak
A szerző könyvébőlLogikai függvények az Excelben A számítások során gyakran kell képletet választani az adott feltételek függvényében. Például a bérek kiszámításakor a szolgálati időtől, a végzettségtől vagy a meghatározott munkakörülményektől függően különböző juttatások alkalmazhatók.
Az óra időtartama: 45 perc
Az óra típusa: kombinált:
Az óra céljai:
Tanterv:
Hardver és szoftver anyagok:
Az órák alatt
I. Szervezési mozzanat
Folytatjuk a „Logika alapjai” témakör tanulmányozását. Az előző leckéken láttuk, hogy a logika meglehetősen szorosan összefügg a mindennapi életünkkel, és azt is láttuk, hogy szinte minden állítás leírható képlet formájában.
II. Az előző lecke áttekintése
Emlékezzünk vissza a főbb definíciókra és fogalmakra:
| Kérdés | Válasz |
| 1. Melyik mondat állítás? | Kijelentő mondat, amely megerősít vagy tagad valamit |
| 2. Milyen típusú állításokra oszthatók fel szerkezetük szerint? | Egyszerű és összetett |
| 3. Milyen állítások igazsága szerződésszerű? | Egyszerű |
| 4. Milyen állítások igazságtartalmát számítjuk ki? | összetett |
| 5. Hogyan jelöljük az egyszerű állításokat az állítások algebrájában? | Logikai változók |
| 6. Hogyan mutatható ki az ilyen állítások igazságtartalma? | 1 és 0 |
| 7. Mi köti össze a változókat propozíciós algebrai képletekben? | Boole-műveletek |
| 8. Sorolja fel őket. | Inverzió (negáció) Kötőszó (szorzás) Disjunkció (összeadás) Következmény (következő) Egyenértékűség (ekvivalencia) |
| 9. Határozza meg, hogy a képlet egyezik-e az összetett utasítással. Soroljon fel egyszerű mondatokat! Határozza meg a nem megfelelőség okát. (Feladat a képernyőn) | Nem, a jel rossz |
| 10. Határozza meg, hogy a képlet egyezik-e az összetett utasítással. Soroljon fel egyszerű mondatokat! Határozza meg a nem megfelelőség okát. (Feladat a képernyőn) | Igen |
III. Új anyag magyarázata
Az utolsó két példa összetett állítás. Hogyan határozzuk meg az összetett állítások igazságát?
Azt mondtuk, hogy ki van számolva. Ehhez léteznek logikai táblázatok az összetett (összetett) állítások igazságának kiszámításához. Ezeket igazságtáblázatoknak hívják.
Tehát az óra témája az IGAZSÁGTÁBLÁZAT.
3.1) Meghatározás. Az igazságtábla egy olyan táblázat, amely egy összetett állítás igazságát mutatja a bemeneti változók összes lehetséges értékére (1. ábra).
3.2) Elemezzük részletesebben az egyes logikai műveleteket a definíciójának megfelelően:
1. Az inverzió (negáció) egy logikai művelet, amely minden egyszerű utasítást egy összetett utasításhoz társít, ami abból áll, hogy az eredeti utasítást tagadjuk.
Ez a művelet csak egy változóra vonatkozik, tehát csak kettő vonalak, mert egy változónak lehet egy kettőértékek: 0 vagy 1.
2. A kötőszó (szorzás) olyan logikai művelet, amely mind a két egyszerű állítást egy összetett utasításhoz társítja, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét eredeti állítás igaz.
Könnyen belátható, hogy ez a táblázat valóban hasonlít a szorzótáblához.
3. A diszjunkció (összeadás) egy logikai művelet, amely mind a két egyszerű állítást egy összetett állításhoz társítja, amely akkor és csak akkor hamis, ha mindkét eredeti állítás hamis.
Látható, hogy a táblázat hasonló az összeadási táblázathoz, kivéve utolsó akció. A bináris rendszerben 1 + 1 = 10, decimálisban - 1 + 1 = 2. Logikában a 2 változó értéke lehetetlen, logikai szempontból tekintsük a 10-et: 1 igaz, 0 hamis, azaz. A 10 egyszerre igaz és hamis, ami nem lehet, ezért az utolsó cselekvés szigorúan a definíción alapul.
4. Az implikáció (követés) egy logikai művelet, amely minden két egyszerű állítást egy összetett állításhoz társít, amely akkor és csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, a következmény pedig hamis.
5. Az ekvivalencia (ekvivalencia) egy logikai művelet, amely mind a két egyszerű állítást egy összetett állításhoz társítja, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét eredeti állítás egyszerre igaz vagy hamis.
Az utolsó két műveletet elemeztük az előző leckében.
3.3) Szereljük szét igazságtábla algoritmusösszetett mondathoz:
3.4) Vegyünk egy példát egy összetett állítás igazságtáblázatának összeállítására:
Példa. Készítsen igazságtáblázatot a következő képlethez: A U B -> ¬A U C.
Megoldás (2. ábra)
A példa azt mutatja, hogy az igazságtáblázat nem a teljes döntést jelenti, hanem csak az utolsó műveletet (az oszlop pirossal van kiemelve).
IV. Konszolidáció.
Az anyag konszolidálásához önállóan oldja meg az a, b, c, valamint d–g betűk alatti példákat (3. ábra).
V. Házi feladat, az anyag összefoglalása.
A házi feladatot a monitor képernyőjén is megkapja (4. ábra)
Az anyag általánosítása: ma a leckén megtanultuk az összetett állítások igazságtartalmának meghatározását, de inkább matematikai szempontból, hiszen nem magukat az állításokat kaptad meg, hanem az azokat megjelenítő képleteket. A következő leckéken ezeket a készségeket megszilárdítjuk, és megpróbáljuk alkalmazni a logikai feladatok megoldásában.
Demó a vizsga verziója 2019 - 2. számú feladat
Misha kitöltötte a (¬x /\ ¬y) \/ (y≡z) \/ ¬w függvény igazságtáblázatát, de annak három különböző sorából csak egy töredéket sikerült kitöltenie, anélkül, hogy megjelölte volna, hogy a táblázat megfelel a w, x , változók mindegyikének
y, z.
Határozza meg, melyik táblázatoszlop felel meg a w, x, y, z változóknak.
Válaszában írja be a w, x, y, z betűket a megfelelő oszlopok megjelenési sorrendjében (először az első oszlopnak megfelelő betűt, majd a második oszlopnak megfelelő betűt, és így tovább). Levelek
a válaszban írd sorban, nem kell elválasztó a betűk között.
Példa. Ha a függvényt a ¬x \/ y kifejezés adná meg, két változótól függően, és a táblázat töredéke így nézne ki
akkor az első oszlop az y, a második oszlop pedig az x változónak felelne meg. A válasz yx kellett volna.
(¬x ¬y)+(y≡z)+¬w=0
w=1 w igaznak kell lennie; w - utolsó
y-nek és z-nek különböznie kell, tehát az utolsó előtt x. az első kettő y és z vagy z és y.
y és x nem lehet hamis. Az első a z.
Válasz: zyxw
A USE 2018 bemutató verziója – 2. feladat
Az F logikai függvényt ¬x \/ y \/ (¬z /\ w) adja meg. Az ábra az F függvény igazságtáblázatának egy töredékét mutatja, amely tartalmazza az összes olyan argumentumkészletet, amelyre az F függvény hamis. Határozza meg, hogy az F függvény igazságtáblázatának melyik oszlopa felel meg a w, x, y, z változóknak
Válaszában írja be a w, x, y, z betűket a hozzájuk tartozó oszlopok sorrendjében (először - az első oszlopnak megfelelő betű; majd - a második oszlopnak megfelelő betű stb.) Írja a válaszban szereplő betűket sorban, a betűk között nem kell elválasztó. Példa. Ha a függvényt a ¬x\/y kifejezés adná meg, két változótól függően: x és y, és annak igazságtáblázatának egy töredéke lenne megadva, amely tartalmazza az összes argumentumkészletet, amelyre a függvény igaz.
Ekkor az y változó az első oszlopnak, az x változó pedig a második oszlopnak felelne meg. A válasz ez kellett volna: yx.
Válasz: xzwy
Boole-függvény F kifejezés adta x/\ ¬y/\ (¬z\/ w).
Az ábrán a függvény igazságtáblázatának egy töredéke látható F, amely tartalmazza Minden argumentumkészletek, amelyekre a függvény F igaz.
Határozza meg a függvény igazságtáblázatának melyik oszlopát! F megfelel az egyes változóknak w, x, y, z.
Írd be a betűket a válaszodba! w, x, y, z abban a sorrendben, ahogy mennek
a nekik megfelelő oszlopok (első - az elsőnek megfelelő betű
oszlop majd - a második oszlopnak megfelelő betű stb.) Betűk
a válaszban írjon sorban, ne tegyen elválasztót a betűk közé
nincs szükség.
A USE 2017 bemutató verziója – 2. feladat
Megoldás:
Egy kötőszó (logikai szorzás) akkor és csak akkor igaz, ha minden állítás igaz. Ezért a változó x 1 .
változó ¬y meg kell egyeznie azzal az oszloppal, amelyben minden érték egyenlő 0 .
Két állítás diszjunkciója (logikai összeadása) akkor és csak akkor igaz, ha legalább egy állítás igaz.
Diszjunkció ¬z \/ y z=0, w=1.
Tehát a változó ¬z w a 4. változós oszlopnak felel meg (4. oszlop).
Válasz: zyxw
A USE 2016 bemutató verziója – 2. feladat
Boole-függvény F(¬z)/\x \/ x/\y. Határozzuk meg, hogy az F függvény igazságtáblázatának melyik oszlopa felel meg az egyes változóknak! x, y, z.
Válaszában írja be az x, y, z betűket a megfelelő oszlopok megjelenési sorrendjében (először - az 1. oszlopnak megfelelő betű; majd - a 2. oszlopnak megfelelő betű; majd - a 3. oszlopnak megfelelő betű oszlop) . Írja sorba a válasz betűit, nem kell elválasztót tenni a betűk közé.
Példa. Legyen adott egy x → y kifejezés két x és y változó függvényében, valamint egy igazságtáblázat:
Ekkor az 1. oszlop az y változónak, a 2. oszlop pedig az y változónak felel meg
x-nek felel meg. A válaszba be kell írni: yx.
Megoldás:
1. Írjuk fel a megadott kifejezést egyszerűbb jelöléssel:
¬z*x + x*y = x*(¬z + y)
2. Egy kötőszó (logikai szorzás) akkor és csak akkor igaz, ha minden állítás igaz. Ezért annak érdekében, hogy a funkció ( F) egyenlő volt eggyel ( 1 ), szükséges, hogy minden szorzó egyenlő eggyel ( 1 ). Így, at F=1, változó x meg kell egyeznie azzal az oszloppal, amelyben minden érték egyenlő 1 .
3. Fontolja meg (¬z + y), nál nél F=1 ez a kifejezés is egyenlő 1-gyel (lásd a 2. pontot).
4. Két állítás diszjunkciója (logikai összeadása) akkor és csak akkor igaz, ha legalább egy állítás igaz.
Diszjunkció ¬z \/ y ebben a sorban csak akkor lesz igaz
5. Változó mód ¬z oszlopot egyezteti az 1. változóval (1 oszlop), változó y
Válasz: zyx
KIM USE 2016 (korai időszak)- 2. számú feladat
Az F logikai függvényt a kifejezés adja meg
(x /\ y /\¬z) \/ (x /\ y /\ z) \/ (x /\¬y /\¬z).
Az ábra az F függvény igazságtáblázatának egy töredékét mutatja, amely tartalmazza az összes olyan argumentumkészletet, amelyre az F függvény igaz. Határozzuk meg, hogy az F függvény igazságtáblázatának melyik oszlopa felel meg az egyes x, y, z változóknak!
Válaszában írja be az x, y, z betűket a hozzájuk tartozó oszlopok sorrendjében (először - az első oszlopnak megfelelő betű; majd - a második oszlopnak megfelelő betű stb.) Írja be a betűket a válasz sorban, nincs elválasztó betűk nem szükséges.
R Megoldás:
Írjuk fel a megadott kifejezést egyszerűbb jelöléssel:
(x*y*¬z) + (x*y*z) + (x*¬y*¬z)=1
Ez a kifejezés akkor igaz, ha az (x*y*¬z), (x*y*z) , (x*¬y*¬z) közül legalább az egyik egyenlő 1-gyel. A konjunkció (logikai szorzás) igaz, ha és csak akkor, ha minden állítás igaz.
Legalább egy ilyen diszjunkció x*y*¬z; x*y*z; x*¬y*¬z csak akkor lesz igaz x=1.
Tehát a változó x a 2. változós oszlopnak felel meg (2. oszlop).
Hadd y- var.1, z- prémium 3. Aztán az első esetben x*¬y*¬z a második esetben igaz lesz x*y*¬z, és a harmadikban x*y*z.
Válasz: yxz
Az F szimbólum a következő logikai kifejezések egyikét jelöli három argumentumból: X, Y, Z. Az F kifejezés igazságtáblázatának egy töredéke adott (lásd a jobb oldali táblázatot). Melyik kifejezés felel meg az F-nek?
| x | Y | Z | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
1) X ∧ Y ∧ Z 2) ¬X ∨ Y ∨¬Z 3) X ∧ Y ∨ Z 4) X ∨ Y ∧ ¬Z
Megoldás:
1) X ∧ Y ∧ Z = 1,0,1 = 0 (nem egyezik a 2. sorban)
2) ¬X ∨ Y ∨¬Z = ¬0 ∨ 0 ∨ ¬0 = 1+0+1 = 1 (nem egyezik az 1. sorban)
3) X ∧ Y ∨ Z = 0,1+0 = 0 (nem egyezik a 3. sorban)
4) X ∨ Y ∧ ¬Z (megfelel F-nek)
X ∨ Y ∧ ¬Z = 0 ∨ 0 ∧ ¬0 = 0+0,1 = 0
X ∨ Y ∧ ¬Z = 1 ∨ 0 ∧ ¬1 = 1+0,0 = 1
X ∨ Y ∧ ¬Z = 0 ∨ 1 ∧ ¬0 = 0+1,1 = 1
Válasz: 4
Adott az F kifejezés igazságtáblázatának egy töredéke. Melyik kifejezés felel meg F-nek?
| A | B | C | F |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
1) (A → ¬B) ∨ C 2) (¬A ∨ B) ∧ C 3) (A ∧ B) → C 4) (A ∨ B) → C
Megoldás:
1) (A → ¬B) ∨ C = (1 → ¬0) ∨ 0 = (1 → 1) + 0 = 1 + 0 = 1 (nem egyezik a 2. sorban)
2) (¬A ∨ B) ∧ C = (¬1 ∨ 0) ∧ 1 = (0+0).1 = 0 (nem egyezik a 3. sorban)
3) (A ∧ B) → C = (1 ∧ 0) → 0 = 0 → 0 = 1 (nem egyezik a 2. sorban)
4) (A ∨ B) → C (megfelel F-nek)
(A ∨ B) → C = (0 ∨ 1) → 1 = 1
(A ∨ B) → C = (1 ∨ 0) → 0 = 0
(A ∨ B) → C = (1 ∨ 0) → 1 = 1
Válasz: 4
Adott egy logikai kifejezés, amely 6 logikai változótól függ:
X1 ∨ ¬X2 ∨ X3 ∨ ¬X4 ∨ X5 ∨ X6
Hány különböző változóérték-készlet létezik, amelyekre a kifejezés igaz?
1) 1 2) 2 3) 63 4) 64
Megoldás:
Hamis kifejezés csak 1 esetben: X1=0, X2=1, X3=0, X4=1, X5=0, X6=0
X1 ∨ ¬X2 ∨ X3 ∨ ¬X4 ∨ X5 ∨ X6 = 0 ∨ ¬1 ∨ 0 ∨ ¬1 ∨ 0 ∨ 0 = 0
Összes opció 2 6 \u003d 64, ami azt jelenti, hogy igaz
Válasz: 63
Adott az F kifejezés igazságtáblázatának egy részlete.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Melyik kifejezés felel meg az F-nek?
1) x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ x7
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7
4) x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
Megoldás:
1) x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = 0 + 1 + … = 1 (nem egyezik az 1. sorban)
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ x7 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1 (nem egyezik az 1. sorban)
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7 = 1,0. …= 0 (nem egyezik a 2. sorban)
4) x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 (F-nek megfelelően)
x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 = 1.1.1.1.1.1.1 = 1
x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 = 0. … = 0
Válasz: 4
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | F |
| 0 | 1 | 1 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | |||||
| 1 | 0 | 1 |
Milyen kifejezés lehet F?
1) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8
2) ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ x8
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8
4) ¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ ¬x8
Megoldás:
1) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8 = x1 . x2 . 0 . … = 0 (nem egyezik az 1. sorban)
2) ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ x8 (F-nek megfelelően)
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8 = … ¬x7 ∧ ¬x8 = … ¬1 ∧ ¬x8 = … 0 ¬1 ∧ ¬x8 = … 0 nem felel meg - vonal)
4) ¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ ¬x8 = ¬x1 ∨ ¬x2 ∨ = ¬ ¬x2 ∨ ¬x1 = . 1 (nem mérkőzések a 2. sorban)
Válasz: 2
Adott az F kifejezés igazságtáblázatának egy részlete:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Adja meg ennek a kifejezésnek a teljes igazságtáblázatában a lehetséges legkisebb különböző sorok számát, amelyben az x5 érték megegyezik az F-vel.
Megoldás:
Különálló sorok minimális lehetséges száma, ahol x5 ugyanaz, mint F = 4
Válasz: 4
Adott az F kifejezés igazságtáblázatának egy részlete:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Adja meg ennek a kifejezésnek a teljes igazságtáblázatának azon különböző sorainak maximális számát, amelyekben az x6 érték nem egyezik F-vel.
Megoldás:
Maximális lehetséges szám = 2 8 = 256
Azon sorok maximális lehetséges száma, ahol x6 nem egyezik F = 256 - 5 = 251
Válasz: 251
Adott az F kifejezés igazságtáblázatának egy részlete:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Adja meg ennek a kifejezésnek a teljes igazságtáblázatában a különböző sorok maximális számát, amelyben a ¬x5 ∨ x1 érték megegyezik F-vel.
Megoldás:
1+0=1 – nem egyezik az F-vel
0+0=0 – nem egyezik az F-vel
0+0=0 – nem egyezik az F-vel
0+1=1 – ugyanaz, mint az F
1+0=1 – ugyanaz, mint az F
2 7 = 128 — 3 = 125
Válasz: 125
Minden A és B logikai kifejezés ugyanazon 6 változó halmazától függ. Az igazságtáblázatokban ezeknek a kifejezéseknek pontosan 4 egysége van az értékek oszlopában. Mennyi lehet az egyesek minimális száma az A ∨ B kifejezés igazságtáblázatának értékoszlopában?
Megoldás:
Válasz: 4
Minden A és B logikai kifejezés ugyanazon 7 változós halmaztól függ. Az igazságtáblázatokban ezeknek a kifejezéseknek pontosan 4 egysége van az értékek oszlopában. Hány lehet az egyesek maximális száma az A ∨ B kifejezés igazságtáblázatának értékoszlopában?
Megoldás:
Válasz: 8
Minden A és B logikai kifejezés ugyanazon 8 változós halmaztól függ. Az igazságtáblázatokban ezeknek a kifejezéseknek pontosan 5 egysége van az értékek oszlopában. Mennyi lehet a minimális nullák száma az A ∧ B kifejezés igazságtáblázatának értékoszlopában?
Megoldás:
2 8 = 256 — 5 = 251
Válasz: 251
Minden A és B logikai kifejezés ugyanazon 8 változós halmaztól függ. Az igazságtáblázatokban ezeknek a kifejezéseknek pontosan 6 egysége van az értékek oszlopában. Hány nulla lehet maximálisan az A ∧ B kifejezés igazságtáblázatának értékoszlopában?
Megoldás:
Válasz: 256
Az A és B logikai kifejezések mindegyike ugyanattól az 5 változóból álló halmaztól függ. Nincsenek egyező sorok mindkét kifejezés igazságtáblázatában. Hány egységet fog tartalmazni az A ∧ B kifejezés igazságtáblázatának értékoszlopa?
Megoldás:
Nincsenek egyező sorok mindkét kifejezés igazságtáblázatában.
Válasz: 0
Az A és B logikai kifejezések mindegyike ugyanattól a 6 változóból álló halmaztól függ. Nincsenek egyező sorok mindkét kifejezés igazságtáblázatában. Hány egységet fog tartalmazni az A ∨ B kifejezés igazságtáblázatának értékoszlopa?
Megoldás:
(a . ¬c) + (¬b . ¬c)
Ha c 1, akkor F nulla, tehát az utolsó oszlop c.
Az első és a második oszlop meghatározásához a 3. sor értékeit használhatjuk.
(a . 1) + (¬b . 1) = 0
Válasz: abc
Az F logikai függvényt (a ∧ c)∨ (¬a ∧ (b ∨ ¬c)) adja meg. Határozzuk meg, hogy az F függvény igazságtáblázatának melyik oszlopa felel meg az a, b, c változóknak!
| ? | ? | ? | F | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | ¬a. b0 |
| 1 | 1 | 1 |
Abból, hogy a=0 és c=0, majd F=0, valamint a második sor adatai alapján megállapíthatjuk, hogy a harmadik oszlop tartalmazza b.
Válasz: taxi
Az F logikai függvényt x ∧ (¬y ∧ z ∧ ¬w ∨ y ∧ ¬z) adja meg. Az ábra az F függvény igazságtáblázatának egy töredékét mutatja, amely tartalmazza az összes olyan argumentumkészletet, amelyre az F függvény igaz. Határozzuk meg, hogy az F függvény igazságtáblázatának melyik oszlopa felel meg az x, y, z, w változóknak!
| ? | ? | ? | ? | F |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Válaszában írja be az x, y, z, w betűket a megfelelő oszlopok megjelenési sorrendjében!
Megoldás:
x ∧ (¬y ∧ z ∧ ¬w ∨ y ∧ ¬z)
x . (¬y . z . ¬w . y . ¬z)
Abból a tényből kiindulva, hogy x=0, majd F=0 esetén megállapíthatjuk, hogy a második oszlop tartalmazza x.
Válasz: wxzy
1. definíció
Boole-függvény egy olyan függvény, amelynek változói két érték egyikét veszik fel: $1$ vagy $0$.
Bármely logikai függvény megadható igazságtáblázat segítségével: az összes lehetséges argumentum halmaza a táblázat bal oldalára van írva, a logikai függvény megfelelő értékei pedig a jobb oldalon.
2. definíció
igazságtáblázat- egy táblázat, amely megmutatja, hogy egy összetett kifejezés milyen értékeket vesz fel a benne szereplő egyszerű kifejezések összes lehetséges értékkészletéhez.
3. definíció
Egyenértékű logikai kifejezéseknek nevezzük, amelyek igazságtáblázatának utolsó oszlopai egybeesnek. Az egyenértékűséget a $"="$ jel jelzi.
Az igazságtáblázat összeállításakor fontos figyelembe venni a logikai műveletek következő végrehajtási sorrendjét:
1. kép
A műveletek végrehajtási sorrendjében a zárójelek élveznek elsőbbséget.
Határozza meg a sorok számát: sorok száma= $2^n + 1$ (a címsorhoz), $n$ az egyszerű kifejezések száma. Például két változóból álló függvények esetén $2^2 = 4$ változó értékhalmaz kombinációja van, három változóból álló függvényeknél $2^3 = 8$ és így tovább.
Határozza meg az oszlopok számát: oszlopok száma = változók száma + logikai műveletek száma. A logikai műveletek számának meghatározásakor figyelembe veszik a végrehajtásuk sorrendjét is.
Töltse ki az oszlopokat a logikai műveletek végrehajtásának eredményeivel meghatározott sorrendben, figyelembe véve az alapvető logikai műveletek igazságtáblázatait.
2. ábra.
1. példa
Készítsen igazságtáblázatot a $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$ logikai kifejezésből.
Megoldás:
Határozzuk meg a sorok számát:
sorok száma = $2^3 + 1=9$.
A változók száma $3$.
diszjunkció ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) a szükséges logikai kifejezés.
Oszlopok száma = $3 + 3=6$.
Töltsük ki a táblázatot, figyelembe véve a logikai műveletek igazságtáblázatait!
3. ábra
2. példa
A megadott logikai kifejezés alapján készítsünk igazságtáblázatot:
Megoldás:
Határozzuk meg a sorok számát:
Az egyszerű kifejezések száma $n=3$, tehát
sorok száma = $2^3 + 1=9$.
Határozzuk meg az oszlopok számát:
A változók száma $3$.
A logikai műveletek száma és sorrendje:
a diszjunkció a kívánt logikai függvény ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$).
