Slough elmélet. Mátrixsorok lineáris függése és függetlensége Mátrixoszlopok lineáris függése és függetlensége

A mátrix minden sorát A e i = (a i 1 a i 2 ..., a in) jelöljük (pl.
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n) stb.). Mindegyik sormátrix, amely megszorozható egy számmal, vagy hozzáadható egy másik sorhoz Általános szabályok mátrixokkal végzett műveletek.

Lineáris kombináció Az e l , e 2 ,...e k karakterláncok e karakterláncok tetszőleges valós számok szorzatának összege:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, ahol l l , l 2 ,..., l k tetszőleges számok (lineáris kombinációs együtthatók).

Az e l , e 2 ,...e m mátrixsorokat hívjuk lineárisan függő, ha vannak olyan l l , l 2 ,..., l m számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy a mátrixsorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, ahol 0 = (0 0...0).

A mátrix sorainak lineáris függése azt jelenti, hogy a mátrix legalább egy sora a többi lineáris kombinációja. Valóban, a határozottság kedvéért l
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1.

Ha a sorok lineáris kombinációja akkor és csak akkor nulla, ha minden együttható nulla, azaz. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, akkor a sorokat ún. lineárisan független.

Mátrix rangtétel. Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számával, amellyel az összes többi sora vagy oszlopa lineárisan kifejezhető.

Bizonyítsuk be ezt a tételt. Legyen egy m x n A mátrixnak r rangja (r(A) £ min (m; n)). Ezért létezik egy r-rendű nem nulla moll. Minden ilyen kiskorút hívnak alapvető. Legyen ez a határozottság kedvéért kisebb

Ennek a minornak a sorait is hívják alapvető.

Bizonyítsuk be, hogy akkor az e l , e 2 ,...e r mátrix sorai lineárisan függetlenek. Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. e sorok egyike, például az r-ik sor, a többi lineáris kombinációja: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Ekkor, ha kivonunk r-edik elemek az 1. sor elemei szorozva l l -el, a 2. sor elemei szorozva l 2 -vel stb., végül az (r-1) sor elemei l r-1 szorozva, majd r-ik sor nulla lesz. Ugyanakkor a determináns tulajdonságai szerint a fenti determináns ne változzon, ugyanakkor egyenlő legyen nullával. Ellentmondást kapunk, bizonyítjuk a húrok lineáris függetlenségét.

Most bizonyítsuk be, hogy bármely (r+1) mátrixsor lineárisan függő, azaz. bármely karakterlánc kifejezhető alapvető karakterláncokkal.

Egészítsük ki a korábban figyelembe vett melléket még egy sorral (i-edik) és még egy oszloppal (j-edik). Ennek eredményeként egy (r+1)-edik rendű mollot kapunk, amely a rang definíciója szerint nullával egyenlő.

hol van néhány szám (ezek közül néhány vagy akár az összes nulla lehet). Ez azt jelenti, hogy az oszlopok elemei között a következő egyenlőségek vannak:

vagy , .

A (3.3.1)-ből az következik, hogy

(3.3.2)

hol van a null karakterlánc.

Meghatározás. Az A mátrix sorai lineárisan függőek, ha vannak olyan számok, amelyek nem egyenlőek egyszerre nullával,

(3.3.3)

Ha a (3.3.3) egyenlőség akkor és csak akkor igaz, akkor a sorokat lineárisan függetlennek nevezzük. A (3.3.2) reláció azt mutatja, hogy ha az egyik sor lineárisan van kifejezve a többivel, akkor a sorok lineárisan függőek.

Könnyen belátható az ellenkezője is: ha a sorok lineárisan függőek, akkor van olyan sor, amely a többi sor lineáris kombinációja.

Legyen például (3.3.3) , akkor .

Meghatározás. Legyen néhány moll az A mátrixban kiválasztva r rendű és hagyjuk kisebb ( r Ugyanannak a mátrixnak a +1)-edik sorrendje teljes egészében tartalmazza a minort. Azt fogjuk mondani, hogy ebben az esetben a kiskorú a kiskorúval határos (vagy határos -val).

Most bebizonyítunk egy fontos lemmát.

Lemmaa határos kiskorúakról. Ha a rendelés kiskorú r Az A = mátrix nem nulla, és a vele határos összes mellék egyenlő nullával, akkor az A mátrix bármely sora (oszlopa) a -t alkotó sorok (oszlopok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Az érvelés általánosságának megsértése nélkül feltételezzük, hogy a nem nulla moll r A sorrend az A= mátrix bal felső sarkában található:

Az első k Az A mátrix soraiban nyilvánvaló a lemma állítása: elegendő, ha a lineáris kombinációban ugyanazt a sort vesszük figyelembe, amelynek együtthatója egyenértékű, a többit pedig nulla együtthatóval.

Most bizonyítsuk be, hogy az A mátrix fennmaradó sorai lineárisan vannak kifejezve az elsővel k vonalak. Ehhez egy minort ( r +1)-edik sorrend a minor hozzáadásával k -edik sor () és l-th oszlop():

Az eredményül kapott moll mindegyiknél nulla k és l . Ha , akkor egyenlő nullával, mivel két azonos oszlopot tartalmaz. Ha , akkor a kapott moll a határoló moll, és ezért a lemma hipotézise szerint egyenlő nullával.

Bővítsük ki a mollot az utóbbi elemei tekintetébenl- oszlop:

(3.3.4)

hol vannak az elemek algebrai összeadásai . Az algebrai komplementer az A mátrix mollja, ezért . Oszd (3.3.4) -vel, és fejezd ki:

(3.3.5)

Ahol , .

Feltételezve a következőket kapjuk:

(3.3.6)

A (3.3.6) kifejezés azt jelenti k Az A mátrix sora lineárisan van kifejezve az elsővel r vonalak.

Mivel a minorok értékei nem változnak egy mátrix transzponálásakor (a determinánsok tulajdonsága miatt), minden bizonyított igaz az oszlopokra is. A tétel bizonyítást nyert.

Következmény I . A mátrix bármely sora (oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja. Valójában a mátrix alapmollja különbözik a nullától, és az összes vele határos moll egyenlő nullával.

Következmény II. Determináns n a sorrend akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha lineárisan függő sorokat (oszlopokat) tartalmaz. A sorok (oszlopok) lineáris függésének elegendőségét a determináns nullával való egyenlőségéhez korábban a determinánsok tulajdonságaként igazoltuk.

Bizonyítsuk be a szükségességet. Legyen adott egy négyzetes mátrix n rendű, amelynek egyetlen mollja egyenlő nullával. Ebből következik, hogy ennek a mátrixnak a rangja kisebb, mint n , azaz van legalább egy sor, amely a mátrix alapsorainak lineáris kombinációja.

Bizonyítsunk be még egy tételt a mátrix rangjáról.

Tétel.A mátrix lineárisan független sorainak maximális száma megegyezik a lineárisan független oszlopok maximális számával, és megegyezik a mátrix rangjával.

Bizonyíték. Legyen az A= mátrix rangja egyenlő r . Akkor bármelyik annak k Az alapsorok lineárisan függetlenek, különben a bázis-moll nulla lenne. Másrészt bármilyen r +1 vagy több sor lineárisan függ. Ennek ellenkezőjét feltételezve találhatnánk egy kisebb rendet, amely nagyobb, mint r , amely az előző lemma 2. következménye szerint nullától eltérő. Ez utóbbi ellentmond annak, hogy a nem nulla kiskorúak maximális sorrendje egyenlő r . Minden, amit a sorokra bebizonyítottak, az oszlopokra is igaz.

Befejezésül bemutatunk még egy módszert egy mátrix rangjának meghatározására. Egy mátrix rangját úgy határozhatjuk meg, hogy találunk egy nullától eltérő maximális rendű minort.

Első pillantásra ehhez ennek a mátrixnak véges, de talán nagyon nagy számú minorját kell kiszámítani.

A következő tétel azonban jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé.

Tétel.Ha az A mátrix mollja különbözik nullától, és a vele határos összes moll egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő r .

Bizonyíték. Elegendő megmutatni, hogy a mátrixsorok bármely alrendszere a S > r lineárisan függő lesz a tétel feltételei között (ebből az következik, hogy r a mátrix vagy bármely kisebb rendű lineárisan független sorainak maximális száma, mint k értéke nulla).

Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyenek a sorok lineárisan függetlenek. A határos kiskorúakra vonatkozó lemma szerint mindegyiket lineárisan olyan sorokban fejezzük ki, amelyekben a kiskorú található, és amelyek – mivel nullától különbözik – lineárisan függetlenek:

(3.3.7)

Tekintsük a K mátrixot a lineáris kifejezések együtthatóiból (3.3.7):

Ennek a mátrixnak a sorait a jelöli . Lineárisan függőek lesznek, hiszen a K mátrix rangja, i.e. lineárisan független sorainak maximális száma nem haladja meg r< S . Ezért vannak olyan számok, amelyek nem mindegyike egyenlő nullával

Térjünk át a komponensek egyenlőségére

(3.3.8)

Most nézzük a következő lineáris kombinációt:

vagy

Legyen egy (m; n) méretű A mátrixban k sor és k oszlop tetszőlegesen kiválasztott (k ≤ min(m; n)). A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában elhelyezkedő mátrixelemek egy k rendű négyzetmátrixot alkotnak, melynek determinánsát k y rendű M kk mollnak vagy az A mátrix k-edrendű molljának nevezzük.

Egy mátrix rangja az A mátrix nullától eltérő molljainak maximális r rendje, és minden r rendű nem nulla mollot alap-mollnak nevezünk. Megnevezés: rang A = r. Ha A rang = rang B és az A és B mátrixok mérete megegyezik, akkor az A és B mátrixokat egyenértékűnek mondjuk. Megnevezés: A ~ B.

A mátrix rangjának kiszámításának fő módszerei a fringing minors módszer és a .

Fringing Minor módszer

A kiskorúakkal határos módszer lényege a következő. Legyen már a mátrixban egy k rendű, nullától eltérő moll. Ekkor csak azokat a k + 1 rendű minorokat tekintjük alább, amelyek tartalmazzák (azaz szegélyezik) a nullától eltérő k-edik rendű minort. Ha mindegyik egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja egyenlő k-val, ellenkező esetben a (k + 1)-edik rendű határos kiskorúak között van egy nem nulla, és az egész eljárás megismételt.

Egy mátrix sorainak (oszlopainak) lineáris függetlensége

A mátrix rangjának fogalma szorosan összefügg a sorok (oszlopok) lineáris függetlenségének fogalmával.

Mátrix sorok:

lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak olyan λ 1 , λ 2 , λ k számok, amelyekre az egyenlőség igaz:

Az A mátrix sorait lineárisan függetlennek nevezzük, ha a fenti egyenlőség csak abban az esetben lehetséges, ha minden szám λ 1 = λ 2 = ... = λ k = 0

Hasonló módon definiáljuk az A mátrix oszlopainak lineáris függését és függetlenségét.

Ha az A mátrix bármely (a l) sora (ahol (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) ábrázolható

Hasonlóképpen definiálható az oszlopok lineáris kombinációjának fogalma is. A következő tétel a moll alapon érvényes.

Az alapsorok és az alaposzlopok lineárisan függetlenek. Az A mátrix bármely sora (vagy oszlopa) alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja, azaz olyan sorok (oszlopok), amelyek metszik az alap minort. Így az A mátrix rangja: rang A = k egyenlő az A mátrix lineárisan független sorainak (oszlopainak) maximális számával.

Azok. a mátrix rangja a mátrixon belüli legnagyobb négyzetmátrix dimenziója, amelynek rangját meg kívánja határozni, és amelynek determinánsa nem egyenlő nullával. Ha az eredeti mátrix nem négyzetes, vagy ha négyzetes, de a determinánsa nulla, akkor a kisebb rendű négyzetmátrixok esetén a sorokat és oszlopokat tetszőlegesen választják ki.

A determinánsok használata mellett a mátrix rangja a mátrix lineárisan független sorainak vagy oszlopainak számából is kiszámítható. Ez egyenlő a lineárisan független sorok vagy oszlopok számával, amelyik a kisebb. Például, ha egy mátrixnak 3 lineárisan független sora és 5 lineárisan független oszlopa van, akkor a rangja három.

Példák egy mátrix rangjának megállapítására

Határozza meg a mátrix rangját a kiskorúak határolásának módszerével!

Megoldás.Másodrendű minor

határos moll M 2 is különbözik a nullától. Mindkét kiskorú azonban negyedrendű, M 3 -mal határos.

egyenlők nullával. Ezért az A mátrix rangja 3, az alapmoll pedig például a fent bemutatott M 3 moll.

Az elemi transzformációk módszere azon a tényen alapul, hogy a mátrix elemi transzformációi nem változtatják meg a rangját. Ezekkel a transzformációkkal a mátrixot olyan formára hozhatja, amikor minden eleme, kivéve a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)) nullával egyenlő. Ez nyilvánvalóan azt jelenti, hogy A rang = r. Megjegyzendő, hogy ha egy n-edrendű mátrix felső háromszögmátrix alakú, azaz olyan mátrix, amelyben a főátló alatti összes elem egyenlő nullával, akkor azt úgy határozzuk meg, hogy egyenlő a rajta lévő elemek szorzatával. a főátló. Ezt a tulajdonságot egy mátrix rangjának elemi transzformációk módszerével történő kiszámításakor használhatjuk fel: ezek segítségével kell a mátrixot háromszög alakúra redukálni, majd a megfelelő determináns kiválasztásával azt találjuk, hogy a mátrix rangja mátrix egyenlő a főátló nullától eltérő elemeinek számával.

Az elemi transzformációk módszerével keressük meg egy mátrix rangját

MEGOLDÁS Jelölje i-edik sor mátrix A szimbólum α i . Az első szakaszban elemi átalakításokat hajtunk végre

A második szakaszban transzformációkat hajtunk végre

Ennek eredményeként azt kapjuk

hol van néhány szám (ezek közül néhány vagy akár az összes nulla lehet). Ez azt jelenti, hogy az oszlopok elemei között a következő egyenlőségek vannak:

A (3.3.1)-ből az következik, hogy

Könnyen belátható az ellenkezője is: ha a sorok lineárisan függőek, akkor van olyan sor, amely a többi sor lineáris kombinációja.

Legyen például (3.3.3) , akkor .

Meghatározás. Legyen kiválasztva az A mátrixban valamilyen r-edik moll, és ugyanannak a mátrixnak az (r + 1)-edik rendű mollja teljesen tartalmazza a benne lévő mollot. Azt fogjuk mondani, hogy ebben az esetben a kiskorú a kiskorúval határos (vagy határos -val).

Most bebizonyítunk egy fontos lemmát.

Lemma a határos kiskorúakról. Ha az A= mátrix r rendű mollja nem nulla, és az összes vele határos moll egyenlő nullával, akkor az A mátrix bármely sora (oszlopa) lineáris kombinációja a sorait (oszlopait) alkotó sorainak (oszlopainak). .

Bizonyíték. Az érvelés általánosságának megsértése nélkül feltételezzük, hogy az r-edik rendű nem nulla moll az A = mátrix bal felső sarkában található:

Az A mátrix első k sorára nyilvánvaló a lemma állítása: elegendő, ha a lineáris kombinációban ugyanazt a sort vesszük figyelembe, amelynek együtthatója egyenértékű, a többit pedig nulla együtthatóval.

Most bebizonyítjuk, hogy az A mátrix fennmaradó sorai lineárisan vannak kifejezve az első k sorban. Ehhez egy (r + 1)-edik rendű mollot állítunk össze úgy, hogy a k-adik sort () hozzáadjuk a mollhoz, és l-th oszlop():

A kapott moll minden k és l esetén nulla. Ha , akkor egyenlő nullával, mivel két azonos oszlopot tartalmaz. Ha , akkor a kapott moll a határoló moll, és ezért a lemma hipotézise szerint egyenlő nullával.

Bővítsük ki a mollot az utóbbi elemei tekintetében l- oszlop:

Feltételezve a következőket kapjuk:

(3.3.6)

A (3.3.6) kifejezés azt jelenti k-edik sor Az A mátrix lineárisan fejeződik ki az első r soron keresztül.

Mivel a minorok értékei nem változnak egy mátrix transzponálásakor (a determinánsok tulajdonsága miatt), minden bizonyított igaz az oszlopokra is. A tétel bizonyítást nyert.

Következmény I. A mátrix bármely sora (oszlopa) az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja. Valójában a mátrix alapmollja különbözik a nullától, és az összes vele határos moll egyenlő nullával.

Következmény II. Egy n-edrendű determináns akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha lineárisan függő sorokat (oszlopokat) tartalmaz. A sorok (oszlopok) lineáris függésének elegendőségét a determináns nullával való egyenlőségéhez korábban a determinánsok tulajdonságaként igazoltuk.

Bizonyítsuk be a szükségességet. Legyen adott egy n-edrendű négyzetmátrix, amelynek egyetlen kisebbe egyenlő nullával. Ebből következik, hogy ennek a mátrixnak a rangja kisebb, mint n, azaz van legalább egy sor, amely a mátrix alapsorainak lineáris kombinációja.

Bizonyítsunk be még egy tételt a mátrix rangjáról.

Tétel. A mátrix lineárisan független sorainak maximális száma megegyezik a lineárisan független oszlopok maximális számával, és megegyezik a mátrix rangjával.

Bizonyíték. Legyen az A= mátrix rangja r-rel. Ekkor bármelyik k alapsora lineárisan független, különben az alap-moll egyenlő lenne nullával. Másrészt bármely r+1 vagy több sor lineárisan függő. Ha ennek ellenkezőjét feltételezzük, az előző lemma 2. következményével találhatunk r-nél nagyobb rendű nem-nulla mollot. Ez utóbbi ellentmond annak, hogy a nem nulla kiskorúak maximális rendje r. Minden, amit a sorokra bebizonyítottak, az oszlopokra is igaz.

Befejezésül bemutatunk még egy módszert egy mátrix rangjának meghatározására. Egy mátrix rangját úgy határozhatjuk meg, hogy találunk egy nullától eltérő maximális rendű minort.

Első pillantásra ehhez ennek a mátrixnak véges, de talán nagyon nagy számú minorját kell kiszámítani.

A következő tétel azonban jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé.

Tétel. Ha az A mátrix mollja nem nulla, és a vele határos összes moll egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja r.

Bizonyíték. Elegendő megmutatni, hogy S>r mátrixsorainak bármely alrendszere lineárisan függ a tétel feltételei között (ebből az következik, hogy r a lineárisan független mátrixsorok maximális száma vagy bármely kisebb, nagyobb, mint k egyenlők nullával).

Most nézzük a következő lineáris kombinációt:

vagy

(3.3.7) és (3.3.8) felhasználásával kapjuk

ami ellentmond a húrok lineáris függetlenségének.

Következésképpen a feltevésünk hamis, ezért a tétel feltételei szerint bármely S>r sor lineárisan függ. A tétel bizonyítást nyert.

Tekintsük a mátrix rangjának kiszámításának szabályát - a kiskorúak határolásának módszerét, ezen a tételen alapulva.

A mátrix rangjának számításakor az alacsonyabb rendű kiskorúakról a magasabb rendű kiskorúakra kell áttérni. Ha már találtunk egy nem nulla r-edik kiskorút, akkor csak a kiskorúval határos (r+1)-edik rendű kiskorúakat kell kiszámítani. Ha ezek nullák, akkor a mátrix rangja r. Ezt a módszert akkor is alkalmazzuk, ha nemcsak a mátrix rangját számítjuk ki, hanem azt is meghatározzuk, hogy mely oszlopok (sorok) alkotják a mátrix alapmollját.

Példa. Számítsa ki egy mátrix rangját a kiskorúak szegélyezésének módszerével!

Megoldás. Az A mátrix bal felső sarkában lévő másodrendű moll értéke nem nulla:

Azonban minden harmadrendű kiskorú, amely körülveszi, egyenlő nullával:

;	;
;	;
;	.

Ezért az A mátrix rangja egyenlő kettővel: .

Ebben a mátrixban az első és a második sor, az első és a második oszlop alapvető. A fennmaradó sorok és oszlopok azok lineáris kombinációi. Valójában a következő egyenlőségek érvényesek a karakterláncokra:

Végezetül megjegyezzük a következő tulajdonságok érvényességét:

1) a mátrixok szorzatának rangja nem nagyobb, mint az egyes tényezők rangja;

2) egy tetszőleges A mátrix jobb vagy bal oldali szorzata egy nem szinguláris Q négyzetmátrixszal egyenlő az A mátrix rangjával.

Polinom mátrixok

Meghatározás. A polinommátrix vagy -mátrix egy téglalap alakú mátrix, amelynek elemei egy változóban lévő polinomok numerikus együtthatókkal.

Elemi transzformációk végezhetők -mátrixokon. Ezek tartalmazzák:

Két sor (oszlop) permutációja;

Sor (oszlop) szorzása nullától eltérő számmal;

Egy sorhoz (oszlophoz) egy másik sor (oszlop) hozzáadása, tetszőleges polinommal szorozva.

Két azonos méretű -mátrixot ekvivalensnek nevezünk: ha a mátrixból át lehet térni véges számú elemi transzformáció felhasználásával.

Példa. Bizonyítsuk be a mátrixok ekvivalenciáját!

1. Cserélje fel a mátrix első és második oszlopát:

2. A második sorból vonja ki az elsőt, szorozva (-vel):

3. Szorozza meg a második sort (-1)-gyel, és vegye figyelembe

4. Vonjuk ki a második oszlopból az elsőt, szorozzuk meg -val, megkapjuk

Az összes adott méretű -mátrix halmazát ekvivalens mátrixok nem metsző osztályaira osztjuk. Az egymással ekvivalens mátrixok egy osztályt alkotnak, nem pedig egyenértékűek egy másikat.

Az ekvivalens mátrixok minden osztályát egy adott dimenziójú kanonikus vagy normál -mátrix jellemzi.

Meghatározás. A méretek kanonikus vagy normál -mátrixa a -mátrix, amelynek polinomjai vannak a főátlón, ahol p a kisebbik m és n ( ), és a nullával nem egyenlő polinomok vezető együtthatója 1, és minden következő polinom osztható az előzővel. A főátlón kívüli összes elem 0.

A definícióból következik, hogy ha a polinomok között vannak nulla fokú polinomok, akkor azok a főátló elején vannak. Ha vannak nullák, akkor azok a főátló végén vannak.

Az előző példa mátrixa kanonikus. Mátrix

kanonikus is.

Minden -mátrix osztály egyedi kanonikus -mátrixot tartalmaz, pl. minden -mátrix egyenértékű egyetlen kanonikus mátrixszal, amelyet az adott mátrix kanonikus vagy normál formájának nevezünk.

Az adott -mátrix kanonikus alakjának főátlóján lévő polinomokat az adott mátrix invariáns tényezőinek nevezzük.

Az invariáns tényezők számításának egyik módszere az adott -mátrix kanonikus alakra redukálása.

Tehát az előző példa mátrixához az invariáns tényezők a következők

Az elmondottakból következik, hogy az invariáns tényezők azonos halmazának jelenléte szükséges és elégséges feltétele a -mátrixok ekvivalenciájának.

A -mátrixok kanonikus formára redukálása az invariáns tényezők meghatározására redukálódik

, ; ,

ahol r a mátrix rangja; - a k-edrendű kiskorúak legnagyobb közös osztója, a legmagasabb, 1-gyel egyenlő együtthatóval.

Példa. Legyen -mátrix

Megoldás. Nyilvánvalóan az elsőrendű legnagyobb közös osztó, i.e. .

Másodrendű kiskorúakat határozunk meg:

stb.

Már ezek az adatok is elegendőek a következtetés levonásához: tehát .

Meghatározzuk

Ennélfogva, .

Így ennek a mátrixnak a kanonikus formája a következő -mátrix:

A mátrixpolinom az alak kifejezése

ahol egy változó; - n rendű négyzetmátrixok numerikus elemekkel.

Ha , akkor S-t a mátrixpolinom fokszámának nevezzük, n a mátrixpolinom rendje.

Bármely másodfokú -mátrix ábrázolható mátrixpolinomként. Nyilvánvalóan a fordított állítás is igaz, pl. bármely mátrixpolinom ábrázolható valamilyen négyzetmátrixként.

Ezen állítások érvényessége egyértelműen következik a mátrixokkal végzett műveletek tulajdonságaiból. Nézzük a következő példákat:

Példa. Polinomiális mátrix ábrázolása

mátrixpolinom formájában a következő lehet

Példa. Mátrix polinom

a következő polinommátrixként ábrázolható ( -mátrix)

A mátrixpolinomok és polinommátrixok felcserélhetősége alapvető szerepet játszik a faktor- és komponenselemzési módszerek matematikai apparátusában.

Az azonos rendű mátrixpolinomok ugyanúgy összeadhatók, kivonhatók és szorozhatók, mint a numerikus együtthatós közönséges polinomok. Nem szabad azonban elfelejteni, hogy a mátrixpolinomok szorzása általában véve nem kommutatív, mivel a mátrixszorzás nem kommutatív.

Két mátrixpolinomot egyenlőnek nevezünk, ha együtthatói egyenlőek, azaz. a megfelelő mátrixok a változó azonos hatványaihoz.

Két mátrixpolinom összege (különbsége) olyan mátrixpolinom, amelynek együtthatója a változó minden fokán megegyezik a és a polinomok azonos fokú együtthatóinak összegével (különbségével).

Egy mátrixpolinom mátrixpolinommal való szorzásához meg kell szorozni a mátrixpolinom minden tagját a mátrixpolinom minden tagjával, össze kell adni a kapott szorzatokat, és hasonló tagokat kell előállítani.

A mátrixpolinom fokszáma egy olyan szorzat, amely kisebb vagy egyenlő, mint a tényezők fokszámainak összege.

A mátrixpolinomokon végzett műveletek végrehajthatók a megfelelő -mátrixokon végzett műveletek segítségével.

Mátrixpolinomok összeadásához (kivonásához) elegendő a megfelelő -mátrixokat összeadni (kivonni). Ugyanez vonatkozik a szorzásra is. -mátrixpolinomok szorzatának mátrixa egyenlő a tényezők -mátrixainak szorzatával.

Másrészt és formába írható

ahol B 0 egy nem szinguláris mátrix.

Az -el osztva van egy egyedileg meghatározott jobb hányados és egy jobb maradék

ahol az R 1 fok kisebb, mint a , vagy fok (osztás maradék nélkül), valamint a bal hányados és a bal maradék akkor és csak akkor, ahol

A lineáris függés és a lineáris függetlenség fogalmát a sorokra és oszlopokra ugyanúgy definiáljuk. Ezért az ezekhez a fogalmakhoz kapcsolódó, oszlopokra megfogalmazott tulajdonságok természetesen a sorokra is érvényesek.

1. Ha az oszloprendszer nulla oszlopot tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

2. Ha egy oszloprendszerben két egyenlő oszlop van, akkor ez lineárisan függő.

3. Ha egy oszloprendszerben két arányos oszlop van, akkor ez lineárisan függő.

4. Egy oszloprendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább az egyik oszlop a többi lineáris kombinációja.

5. A lineárisan független rendszerben lévő bármely oszlop lineárisan független alrendszert alkot.

6. A lineárisan függő alrendszert tartalmazó oszloprendszer lineárisan függő.

7. Ha az oszloprendszer lineárisan független, és egy oszlop hozzáadása után kiderül, hogy lineárisan függő, akkor az oszlop oszlopokra bontható, ráadásul egyedi módon, pl. a tágulási együtthatók egyedileg találhatók.

Bizonyítsuk be például az utolsó tulajdonságot. Mivel az oszloprendszer lineárisan függő, vannak olyan számok, amelyek nem egyenlők 0-val, ami

ebben az egyenlőségben. Valóban, ha , akkor

Ezért az oszlopok nem triviális lineáris kombinációja egyenlő a nulla oszloppal, ami ellentmond a rendszer lineáris függetlenségének. Ezért, majd , azaz. az oszlop oszlopok lineáris kombinációja. Továbbra is meg kell mutatni egy ilyen ábrázolás egyediségét. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen két és , és nem minden bővítési együttható egyenlő egymással (például ). Aztán az egyenlőségtől

Azt kapjuk, hogy (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o

szekvenciálisan az oszlopok lineáris kombinációja egyenlő a null oszloppal. Mivel nem minden együtthatója egyenlő nullával (legalább ), ez a kombináció nem triviális, ami ellentmond az oszlopok lineáris függetlenségének feltételének. Az ebből eredő ellentmondás megerősíti a dekompozíció egyediségét.

Példa 3.2. Bizonyítsuk be, hogy két nem nulla oszlop és akkor és csak akkor lineárisan függ, ha arányos, azaz. .

Megoldás. Valóban, ha az és oszlopok lineárisan függőek, akkor vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, úgy, hogy . És ebben az egyenlőségben. Valóban, ha feltételezzük, hogy , ellentmondást kapunk, mivel az oszlop szintén nem nulla. Azt jelenti,. Ezért van egy olyan szám, hogy . A szükségesség bebizonyosodott.

Ezzel szemben, ha , akkor . Az oszlopok nem triviális lineáris kombinációját kaptuk, amely egyenlő a nulla oszloppal. Tehát az oszlopok lineárisan függenek.

Példa 3.3. Tekintsük az összes lehetséges oszlopokból kialakított rendszert

Vizsgáljon meg minden rendszert lineáris összefüggés szempontjából.
Megoldás. Tekintsünk öt rendszert, amelyek egy-egy oszlopot tartalmaznak. A 3.1. megjegyzés 1. bekezdése szerint: a rendszerek lineárisan függetlenek, az egy nulla oszlopból álló rendszer pedig lineárisan függ.

Tekintsünk két-két oszlopot tartalmazó rendszereket:

– mind a négy rendszer, és lineárisan függő, mivel nulla oszlopot tartalmaz (1. tulajdonság);

– a rendszer lineárisan függő, mivel az oszlopok arányosak (3. tulajdonság): ;

- mind az öt rendszer, és lineárisan független, mivel az oszlopok nem arányosak (lásd a 3.2. példa megállapítását).

Tekintsünk három oszlopot tartalmazó rendszereket:

– mind a hat rendszer, és lineárisan függő, mivel nulla oszlopot tartalmaz (1. tulajdonság);

– a rendszerek lineárisan függőek, mivel tartalmaznak egy lineárisan függő alrendszert (6. tulajdonság);

rendszerek és lineárisan függőek, mivel az utolsó oszlop lineárisan van kifejezve a többivel (4. tulajdonság): ill.

Végül a négy vagy öt oszlopból álló rendszerek lineárisan függőek (a 6. tulajdonság szerint).

Mátrix rang

Ebben a részben a mátrix egy másik fontos numerikus jellemzőjét tekintjük át, amely azzal kapcsolatos, hogy a sorai (oszlopai) mennyire függenek egymástól.

Meghatározás 14.10 Legyen egy méretmátrix és egy szám, amely nem haladja meg a legkisebb számot és: . Válasszuk tetszőlegesen a mátrix sorait és oszlopait (a sorok száma eltérhet az oszlopok számától). A kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában lévő elemekből álló mátrix determinánsát mátrixsorrendű minornak nevezzük.

Példa 14.9 Hadd .

Az elsőrendű moll a mátrix bármely eleme. Tehát 2, , elsőrendű kiskorúak.

Másodrendű kiskorúak:

1. vegyük az 1., 2. sorokat, az 1., 2. oszlopot, kisebbet kapunk ;

2. vegyük az 1., 3. sorokat, a 2., 4. oszlopot, kisebbet kapunk ;

3. vegyük a 2., 3. sorokat, az 1., 4. oszlopot, kisebbet kapunk

Harmadik rendű kiskorúak:

a sorokat itt csak egy módon lehet kiválasztani,

1. vegyük az 1., 3., 4. oszlopot, kapjunk minort ;

2. vegyük az 1., 2., 3. oszlopot, kapjunk minort .

Ajánlat 14.23 Ha a sorrendi mátrix minden mollja egyenlő nullával, akkor a sorrend minden mollja, ha van, szintén nulla.

Bizonyíték. Vegyünk egy tetszőleges kisebb rendet . Ez a sorrendi mátrix meghatározója. Bővítsük ki az első sorral. Ekkor a bővítés minden tagjában az egyik faktor az eredeti mátrix rendjének kisebb része lesz. Feltételezve, hogy a kiskorúak sorrendje nulla. Ezért a kissorrend is egyenlő lesz nullával.

Meghatározás 14.11 Egy mátrix rangja a legnagyobb a mátrix minorjainak nullától eltérő rendjei közül. A nulla mátrix rangját nullának tekintjük.

Egy mátrix rangjára nincs egységes, szabványos jelölés. Az oktatóanyagot követően úgy fogunk hivatkozni rá, mint .

14.10. példa A 14.9. példa mátrixa 3-as rangú, mert van egy nem nulla harmadrendű moll, de nincsenek negyedrendű mollok.

Mátrix rang egyenlő 1-gyel, mivel van egy nem nulla elsőrendű moll (a mátrix egyik eleme), és minden másodrendű moll egyenlő nullával.

Egy nem degenerált sorrendű négyzetmátrix rangja egyenlő a -val, mivel a determinánsa a rend minora, a nem degenerált mátrix pedig nem nulla.

Ajánlat 14.24 Egy mátrix transzponálásakor a rangja nem változik, azaz .

Bizonyíték. Az eredeti mátrix transzponált mollja az átvitt mátrix mollja lesz, és fordítva, bármely moll az eredeti mátrix transzponált mollja lesz. Transzponáláskor a determináns (minor) nem változik (14.6. állítás). Ezért, ha az eredeti mátrixban minden rendű moll egyenlő nullával, akkor az összes azonos sorrendű moll is egyenlő nullával. Ha az eredeti mátrixban a sorrend nem nulla, akkor van egy ugyanilyen sorrendű nem nullától eltérő moll. Ennélfogva, .

Meghatározás 14.12 Legyen a mátrix rangja . Ekkor minden nem nulla rendű mollot alapmollnak nevezünk.

Példa 14.11 Hadd . A mátrix determinánsa nulla, mivel a harmadik sor egyenlő az első kettő összegével. Az első két sorban és az első két oszlopban található másodrendű moll az . Ezért a mátrix rangja egyenlő kettővel, és a figyelembe vett minor alap.

Az alap-moll egyben egy moll is, amely mondjuk az első és a harmadik sorban, az első és a harmadik oszlopban található: . Az alap a második és a harmadik sorban a moll, az első és a harmadik oszlopban: .

Az első és a második sorban, a második és harmadik oszlopban szereplő moll értéke nulla, ezért nem lesz alap. Az olvasó önállóan ellenőrizheti, hogy mely másodrendű kiskorúak alapszintűek és melyek nem.

Mivel a mátrix oszlopai (sorai) összeadhatók, számokkal szorozhatók, lineáris kombinációkat alkothatnak, lehetőség nyílik a mátrix oszlop- (sorai) rendszerének lineáris függésének és lineáris függetlenségének definícióinak bevezetésére. Ezek a definíciók hasonlóak a vektorokra vonatkozó 10.14, 10.15 definíciókhoz.

Meghatározás 14.13 Az oszlopok (sorok) rendszerét lineárisan függőnek nevezzük, ha van olyan együtthatóhalmaz, amelyből legalább egy nem nulla, hogy az oszlopok (sorok) lineáris kombinációja ezekkel az együtthatókkal egyenlő lesz nullával.

Meghatározás 14.14 Az oszlopok (sorok) rendszere lineárisan független, ha ezen oszlopok (sorok) lineáris kombinációjának nullához való egyenlőségéből az következik, hogy ennek a lineáris kombinációnak minden együtthatója nullával egyenlő.

A következő állítás, hasonlóan a 10.6. állításhoz, szintén igaz.

Ajánlat 14.25 Az oszlopok (sorok) rendszere akkor és csak akkor lineárisan függ, ha az egyik oszlop (az egyik sor) a rendszer többi oszlopának (sorainak) lineáris kombinációja.

Megfogalmazzuk az ún alapvető moll tétel.

14.2. Tétel A mátrix bármely oszlopa az alap-mollon áthaladó oszlopok lineáris kombinációja.

A bizonyíték megtalálható a lineáris algebrával foglalkozó tankönyvekben, például a,.

Ajánlat 14.26 Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális számával.

Bizonyíték. Legyen a mátrix rangja . Vegyük a bázis-mollon áthaladó oszlopokat. Tegyük fel, hogy ezek az oszlopok lineárisan függő rendszert alkotnak. Ekkor az egyik oszlop a többi lineáris kombinációja. Ezért az alap-mollban az egyik oszlop a többi oszlop lineáris kombinációja lesz. A 14.15. és 14.18. javaslat szerint ennek az alapmollnak nullának kell lennie, ami ellentmond az alapmoll definíciójának. Ezért nem igaz az a feltételezés, hogy a bázis-mollon átmenő oszlopok lineárisan függőek. Tehát a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális száma nagyobb vagy egyenlő, mint .

Tegyük fel, hogy az oszlopok lineárisan független rendszert alkotnak. Készítsünk belőlük mátrixot. Minden mátrix-moll mátrix-moll. Ezért a mátrix alap-molljának a sorrendje legfeljebb . A bázis-moll tétel szerint az oszlop, amely nem megy át egy mátrix bázismollján, olyan oszlopok lineáris kombinációja, amelyek átmennek a bázismollon, vagyis a mátrix oszlopai lineárisan függő rendszert alkotnak. Ez ellentmond a mátrixot alkotó oszlopok kiválasztásának. Ezért a lineárisan független rendszert alkotó oszlopok maximális száma nem lehet nagyobb, mint . Ennélfogva egyenlő a -val, amint azt mondtuk.

Ajánlat 14.27 Egy mátrix rangja egyenlő a lineárisan független rendszert alkotó sorok maximális számával.

Bizonyíték. A 14.24. állítás szerint a mátrix rangja nem változik átültetéskor. A mátrix sorai oszlopaivá válnak. A transzponált mátrix új oszlopainak maximális száma (az eredeti korábbi sorai) lineárisan független rendszert alkotva megegyezik a mátrix rangjával.

Ajánlat 14.28 Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor az egyik oszlopa (az egyik sor) a fennmaradó oszlopok (sorok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Legyen a mátrix sorrendje . A determináns a négyzetmátrix egyetlen kisebb része, amelynek van sorrendje. Mivel egyenlő nullával, akkor . Ezért az oszlopok (sorok) rendszere lineárisan függő, vagyis az egyik oszlop (az egyik sor) a többi lineáris kombinációja.

A 14.15, 14.18 és 14.28 állítások eredményei a következő tételt adják.

14.3. Tétel Egy mátrix determinánsa akkor és csak akkor nulla, ha az egyik oszlopa (az egyik sor) a többi oszlop (sor) lineáris kombinációja.

Egy mátrix rangjának megtalálása az összes minor kiszámításával túl sok számítási munkát igényel. (Az olvasó ellenőrizheti, hogy egy negyedrendű négyzetmátrixban 36 másodrendű minor van.) Ezért a rang meghatározásához más algoritmust használnak. Ennek leírásához néhány további információra van szükség.

Meghatározás 14.15 A következő műveleteket mátrixok elemi transzformációinak nevezzük:

1) sorok vagy oszlopok permutációja;
2) egy sor vagy oszlop szorzása nullától eltérő számmal;
3) az egyik sorhoz egy másik sor hozzáadása egy számmal szorozva, vagy egy másik oszlop oszlopaihoz egy számmal szorozva.

Ajánlat 14.29 Nál nél elemi átalakulások a mátrix rangja nem változik.

Bizonyíték. Legyen a mátrix rangja egyenlő , -- az elemi transzformáció eredményeként kapott mátrixszal.

Tekintsük a karakterláncok permutációját. Legyen a mátrix mollja, akkor a mátrixnak van egy mollja, amely vagy egybeesik vele, vagy sorok permutációjával különbözik tőle. És fordítva, bármely mátrix-moll társítható egy mátrix-mollhoz, amely vagy egybeesik vele, vagy eltér tőle a sorok sorrendjében. Abból tehát, hogy a mátrixban a rend összes mollja egyenlő nullával, az következik, hogy a mátrixban ennek a sorrendnek az összes mollja is egyenlő nullával. És mivel a mátrixnak van nem nulla rendű mollja, a mátrixnak is van nem nulla rendű mollja, azaz.

Fontolja meg egy karakterlánc szorzását egy nem nulla számmal. A mátrixból származó moll egy olyan mátrixból származó mollnak felel meg, amely vagy egybeesik vele, vagy csak egy sorral különbözik attól, amelyet a moll sorból kapunk egy nem nulla számmal megszorozva. Végső esetben . Minden esetben a vagy és egyidejűleg egyenlő nullával, vagy egyidejűleg nullától eltérő. Ennélfogva, .

Tematikus anyagok: