Ebben a témakörben megvizsgáljuk a mátrix fogalmát, valamint a mátrixok típusait. Mivel ebben a témában nagyon sok kifejezés található, az anyagban való könnyebb eligazodás érdekében egy összefoglalót is mellékelek.
Mátrix egy táblázat $m$ sorokkal és $n$ oszlopokkal. A mátrix elemei lehetnek teljesen változatos természetű objektumok: számok, változók vagy például más mátrixok. Például a $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ mátrixnak 3 sora és 2 oszlopa van; elemei egész számok. A mátrix $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ 2 sort és 4 oszlopot tartalmaz.
A mátrixok írásának különböző módjai: show\hide
A mátrix nem csak kerek zárójelben írható, hanem szögletes vagy dupla egyenes zárójelben is. Az alábbiakban ugyanaz a mátrix látható különböző jelölésekkel:
$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$
A $m\times n$ szorzatot hívják mátrix mérete. Például, ha a mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, akkor egy $5\x3$ mátrixról beszélünk. A $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mátrix mérete $3 \x 2$.
A mátrixokat általában jelölik nagybetűvel Latin ábécé: $A$, $B$, $C$ és így tovább. Például: $B=\left(\begin(array) (cccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. A sorszámozás fentről lefelé halad; oszlopok - balról jobbra. Például a $B$ mátrix első sora az 5. és 3. elemet tartalmazza, a második oszlop pedig a 3, -87, 0 elemeket.
A mátrixok elemeit általában kis betűkkel jelöljük. Például az $A$ mátrix elemeit $a_(ij)$ jelöli. A $ij$ kettős index információt tartalmaz az elem mátrixbeli pozíciójáról. A $i$ szám a sor száma, a $j$ pedig annak az oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában az $a_(ij)$ elem található. Például a mátrix második sorának és ötödik oszlopának metszéspontjában $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elem $ a_(25)= 59 USD:
Hasonlóképpen, az első sor és az első oszlop metszéspontjában az $a_(11)=51$ elem található; a harmadik sor és a második oszlop metszéspontjában - az elem $a_(32)=-15$ és így tovább. Ne feledje, hogy az $a_(32)$ „egy három kettő”-ként olvasható, de nem „egy harminckettő”.
A $A$ mátrix rövidített jelölésére, amelynek mérete $m\x n$, a $A_(m\times n)$ jelölést használjuk. Gyakran használják a következő jelöléseket:
$$ A_(m\times(n))=(a_(ij)) $$
Itt az $(a_(ij))$ az $A$ mátrix elemeinek kijelölését jelöli, azaz. azt mondja, hogy a $A$ mátrix elemeit $a_(ij)$-ként jelöljük. Kibontott formában a $A_(m\times n)=(a_(ij))$ mátrix a következőképpen írható fel:
$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$
Vezessünk be egy másik kifejezést - egyenlő mátrixok.
Két azonos méretű $A_(m\times n)=(a_(ij))$ és $B_(m\times n)=(b_(ij))$ mátrixot hívunk. egyenlő ha a megfelelő elemeik egyenlőek, azaz. $a_(ij)=b_(ij)$ minden $i=\overline(1,m)$ és $j=\overline(1,n)$ esetén.
Magyarázat a $i=\overline(1,m)$ bejegyzéshez: show\hide
A "$i=\overline(1,m)$" bejegyzés azt jelenti, hogy a $i$ paraméter 1-ről m-re változik. Például a $i=\overline(1,5)$ bejegyzés azt mondja, hogy a $i$ paraméter az 1, 2, 3, 4, 5 értékeket veszi fel.
Tehát a mátrixok egyenlőségéhez két feltétel szükséges: a méretek egybeesése és a megfelelő elemek egyenlősége. Például a $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mátrix nem egyenlő a mátrixszal $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, mert az $A$ mátrix $3\x2$ és a $B$ mátrix $2\szer 2$. Szintén a $A$ mátrix nem egyenlő a $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right mátrixszal. $ mert $a_( 21)\neq c_(21)$ (azaz $0\neq 98$). De a $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ mátrixhoz nyugodtan írhatunk $A =F$, mert a $A$ és $F$ mátrixok méretei és megfelelő elemei egybeesnek.
1. példa
Határozza meg a mátrix méretét $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Adja meg, hogy az $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ elemek mivel egyenlők.
Ez a mátrix 5 sort és 3 oszlopot tartalmaz, így a mérete $5\×3$. A $A_(5\x 3)$ jelölés is használható ehhez a mátrixhoz.
Az $a_(12)$ elem az első sor és a második oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(12)=-2$. Az $a_(33)$ elem a harmadik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(33)=23$. Az $a_(43)$ elem a negyedik sor és a harmadik oszlop metszéspontjában van, tehát $a_(43)=-5$.
Válasz: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.
Legyen adott $A_(m\x n)$ mátrix. Ha $m=1$ (a mátrix egy sorból áll), akkor az adott mátrix meghívásra kerül mátrix-sor. Ha $n=1$ (a mátrix egy oszlopból áll), akkor egy ilyen mátrixot hívunk oszlopmátrix. Például a $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ egy sormátrix, a $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ - oszlopmátrix.
Ha a $m\neq n$ feltétel igaz a $A_(m\x n)$ mátrixra (vagyis a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával), akkor gyakran mondják, hogy $A$ egy téglalap alakú mátrix. Például a $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ mátrix mérete: $2\x4 $, azok. 2 sort és 4 oszlopot tartalmaz. Mivel a sorok száma nem egyenlő az oszlopok számával, ez a mátrix téglalap alakú.
Ha a $m=n$ feltétel igaz a $A_(m\x n)$ mátrixra (azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával), akkor $A$ négyzetmátrixnak mondható. rendelni $n$. Például a $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ egy másodrendű négyzetmátrix; A $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ egy 3. sorrendű négyzetmátrix. BAN BEN Általános nézet a $A_(n\times n)$ négyzetmátrix a következőképpen írható fel:
$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$
Az $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ elemekről azt mondjuk, hogy főátló mátrixok $A_(n\times n)$. Ezeket az elemeket ún fő átlós elemek(vagy csak átlós elemek). Az $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ elemek be vannak kapcsolva oldalsó (másodlagos) átlós; felhívták őket másodlagos átlós elemek. Például a $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( tömb) \right)$ van:
A $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ elemek a fő átlós elemek; a $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ elemek másodlagos átlós elemek.
A főátlós elemek összegét ún mátrix követiés $\Tr A$ (vagy $\Sp A$) jelöléssel:
$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$
Például a $C=\left(\begin(array) (cccc) mátrixhoz 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ van:
$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$
Az átlós elemek fogalmát nem négyzetes mátrixoknál is használják. Például a $B=\left(\begin(array) (cccccc) mátrixhoz 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ a fő átlós elemek: $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.
Ha a $A_(m\x n)$ mátrix minden eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. nullaés általában $O$ betűvel jelöljük. Például: $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (cc) A 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ nulla mátrixok.
Tekintsük a $A$ mátrix néhány nem nulla sorát, azaz. egy karakterlánc, amely legalább egy nullától eltérő elemet tartalmaz. vezető elem egy nem nulla karakterlánc, nevezzük az első (balról jobbra számolva) nem nulla elemnek. Vegyük például a következő mátrixot:
$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $
A második sorban a negyedik elem lesz a vezető, azaz. $w_(24)=12$, és a harmadik sorban a vezető elem lesz a második elem, azaz. $w_(32)=-9$.
A $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ mátrixot hívjuk lépett ha két feltételnek eleget tesz:
Példák lépésmátrixokra:
$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(tömb)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(tömb)\jobbra). $$
Összehasonlításképpen: $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & mátrix A 6\end(array)\right)$ nem lépcsős mátrix, mivel a lépésmátrix definíciójában szereplő második feltétel sérül. A második és harmadik sorban a $q_(24)=7$ és $q_(32)=10$ bevezető elemek $k_2=4$ és $k_3=2$ számozásúak. Lépésmátrix esetén a $k_2\lt(k_3)$ feltételnek teljesülnie kell, ami be ez az eset megsértették. Megjegyzem, ha felcseréljük a második és harmadik sort, akkor egy lépcsős mátrixot kapunk: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.
A lépésmátrix az ún trapéz alakú vagy trapéz alakú, ha a $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ bevezető elemek teljesítik a $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r feltételeket = r$, azaz átlós elemek vezetnek. Általában a trapézmátrix a következőképpen írható fel:
$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$
Példák trapézmátrixokra:
$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(tömb)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(tömb)\jobbra). $$
Adjunk még néhány definíciót a négyzetmátrixokra. Ha egy négyzetes mátrixnak a főátló alatt elhelyezkedő összes eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. felső háromszög mátrix. Például: $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ - felső háromszögmátrix. Vegye figyelembe, hogy a felső háromszögmátrix meghatározása nem mond semmit a főátló felett vagy a főátlón található elemek értékeiről. Lehet, hogy nullák, de lehet, hogy nem, nem számít. Például a $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ szintén egy felső háromszögmátrix.
Ha egy négyzetes mátrixnak a főátló felett elhelyezkedő összes eleme nulla, akkor egy ilyen mátrixot ún. alsó háromszögmátrix. Például: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - alsó háromszögmátrix. Vegye figyelembe, hogy az alsó háromszögmátrix meghatározása nem mond semmit az alatta vagy a főátlón lévő elemek értékeiről. Lehet, hogy nullák, de lehet, hogy nem, nem számít. Például: $\left(\begin(array) (cccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ és $\left(\ kezd (tömb) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ szintén alsó háromszögmátrixok.
A négyzetmátrixot ún átlós ha ennek a mátrixnak minden olyan eleme, amely nincs a főátlón, egyenlő nullával. Példa: $\left(\begin(tömb) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(tömb)\jobbra)$. A főátlón lévő elemek bármiek lehetnek (nullával egyenlőek vagy nem) – ez nem lényeges.
Az átlós mátrixot ún egyetlen ha ennek a mátrixnak a főátlón található összes eleme egyenlő 1-gyel. Például $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - 4. sorrendű azonosságmátrix; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ a másodrendű azonosságmátrix.
A mátrix egy speciális objektum a matematikában. Négyszögletes vagy négyzet alakú táblázat formájában van ábrázolva, amely bizonyos számú sorból és oszlopból áll. A matematikában sokféle mátrix létezik, amelyek méretükben vagy tartalmukban különböznek egymástól. Sorainak és oszlopainak számait sorrendnek nevezzük. Ezeket az objektumokat a matematikában használják lineáris egyenletrendszerek írásának megszervezésére és kényelmes keresés eredményeiket. A mátrixot használó egyenletek megoldása Carl Gauss, Gabriel Cramer módszerével, mollokkal és algebrai összeadásokkal és sok más módszerrel történik. A mátrixokkal végzett munka alapvető készsége a redukálás. Először azonban nézzük meg, milyen típusú mátrixokat különböztetnek meg a matematikusok.
Az ilyen típusú mátrix minden összetevője nulla. Eközben a sorok és oszlopok száma teljesen más.
Az ilyen típusú mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik. Más szóval, ez egy "négyzet alakú" asztal. Oszlopainak (vagy sorainak) számát sorrendnek nevezzük. Különleges esetek a másodrendű (2x2 mátrix), negyedrendű (4x4), tizedes (10x10), tizenhetedik (17x17) és így tovább mátrixok létezése.
Ez az egyik legegyszerűbb mátrixtípus, amely csak egy oszlopot tartalmaz, amely három számértéket tartalmaz. Számos szabad tagot (változóktól független számokat) képvisel lineáris egyenletrendszerekben.
Az előzőhöz hasonló nézet. Három numerikus elemből áll, amelyek egy sorban vannak rendezve.
A mátrix átlós alakjában szereplő számértékek csak a főátló összetevőit veszik figyelembe (zöld színnel kiemelve). A főátló a bal felső sarokban lévő elemtől kezdődik, és a jobb alsó sarokban lévő elemmel végződik. A többi komponens nulla. Az átlós típus csak egy bizonyos sorrendű négyzetmátrix. Az átlós alakú mátrixok közül kiemelhető egy skaláris. Minden összetevője azonos értéket vesz fel.
Az átlós mátrix alfaja. Minden számértéke egység. Egyetlen típusú mátrixtáblázat segítségével végrehajtják annak alapvető transzformációit, vagy olyan mátrixot találnak, amely inverz az eredetivel.
A mátrix kanonikus formáját az egyik főnek tekintik; a működéshez gyakran szükség van ráöntésre. A kanonikus mátrixban lévő sorok és oszlopok száma eltérő, nem feltétlenül tartozik a négyzet típushoz. Némileg hasonlít az identitásmátrixhoz, azonban ebben az esetben a főátló nem minden összetevője vesz fel eggyel egyenlő értéket. Két vagy négy fő átlós egység lehet (minden a mátrix hosszától és szélességétől függ). Vagy lehet, hogy egyáltalán nincsenek mértékegységek (akkor nullának számít). A kanonikus típus többi összetevője, valamint az átlós és az egységtípus elemei nullával egyenlőek.
A mátrix egyik legfontosabb típusa, amelyet a determináns keresésekor és egyszerű műveletek elvégzésekor használnak. A háromszög típus az átlós típusból származik, így a mátrix is négyzet alakú. A mátrix háromszög nézete felső háromszögre és alsó háromszögre van felosztva.
A felső háromszögmátrixban (1. ábra) csak azok az elemek vesznek fel nullával egyenlő értéket, amelyek a főátló felett vannak. Magának az átlónak és az alatta lévő mátrixnak az összetevői számértékeket tartalmaznak.
Az alsó háromszögmátrixban (2. ábra) ezzel szemben a mátrix alsó részében elhelyezkedő elemek nullával egyenlőek.
Az űrlap szükséges egy mátrix rangjának megtalálásához, valamint a rájuk vonatkozó elemi műveletekhez (a háromszög típussal együtt). A lépésmátrixot azért nevezték így, mert jellemző nullák "lépéseit" tartalmazza (ahogy az ábrán látható). A lépcsős típusban nullák átlója jön létre (nem feltétlenül a fő), és az ezen átló alatt lévő összes elem értéke nullával egyenlő. Ennek előfeltétele: ha a lépésmátrixban nulla sor van, akkor az alatta lévő többi sor sem tartalmaz számértékeket.
Így megvizsgáltuk a velük való munkához szükséges legfontosabb mátrixtípusokat. Most foglalkozzunk azzal a feladattal, hogy egy mátrixot alakítsunk át a kívánt formára.
Hogyan lehet a mátrixot háromszög alakúra hozni? A feladatok során leggyakrabban egy mátrixot kell háromszög alakúvá alakítania, hogy megtalálja a determinánsát, amelyet más néven determinánsnak neveznek. Ennek az eljárásnak a végrehajtása során rendkívül fontos a mátrix főátlójának "megőrzése", mivel a háromszög alakú mátrix meghatározója pontosan a főátló összetevőinek szorzata. Hadd emlékeztesselek a determináns megtalálásának alternatív módszereire is. A négyzet típusú determinánst speciális képletekkel találjuk meg. Használhatja például a háromszög módszert. Más mátrixok esetében a sorok, oszlopok vagy azok elemei szerinti bontás módszerét alkalmazzák. Alkalmazhatja a mátrix mollok és algebrai komplementerek módszerét is.
Elemezzük részletesen a mátrix háromszög alakúvá alakításának folyamatát néhány feladat példáján keresztül.
Meg kell találni a bemutatott mátrix determinánsát, a háromszög formába hozás módszerével.
A nekünk adott mátrix egy harmadrendű négyzetmátrix. Ezért ahhoz, hogy háromszög alakúvá alakíthassuk, el kell tűnnünk az első oszlopból két, a másodikból pedig egy komponenst.
Ahhoz, hogy háromszög alakúra hozzuk, a transzformációt a mátrix bal alsó sarkából kezdjük - a 6-os számból. Nullára fordításához az első sort megszorozzuk hárommal, és kivonjuk az utolsó sorból.
Fontos! A felső sor nem változik, de ugyanaz marad, mint az eredeti mátrixban. Nem kell egy karakterláncot az eredeti négyszeresére írni. De azon sorok értékei, amelyek összetevőit nullára kell állítani, folyamatosan változnak.
Csak az utolsó érték marad - a második oszlop harmadik sorának eleme. Ez a szám (-1). Ha nullára szeretné fordítani, vonja ki a másodikat az első sorból.
Ellenőrizzük:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Ezért a feladat válasza: -22.
Meg kell találni a mátrix determinánsát úgy, hogy háromszög alakúra hozzuk.
A bemutatott mátrix a négyzet típusba tartozik, és egy negyedrendű mátrix. Ez azt jelenti, hogy az első oszlop három komponensét, a második oszlop két komponensét és a harmadik egy komponensét el kell tüntetni.
Kezdjük elhozni a bal alsó sarokban található elemből - a 4-es számtól. Meg kell fordítanunk adott szám nullára. Ennek legegyszerűbb módja, ha a felső sort megszorozzuk néggyel, majd kivonjuk a negyedik sorból. Írjuk fel az átalakítás első szakaszának eredményét.
Tehát a negyedik sor komponense nullára van állítva. Térjünk át a harmadik sor első elemére, a 3-as számra. Hasonló műveletet hajtunk végre. Szorozzuk meg hárommal az első sort, vonjuk ki a harmadik sorból, és írjuk le az eredményt.
Ennek a négyzetmátrixnak az első oszlopának minden komponensét sikerült nullára állítani, kivéve az 1-es számot, a főátló transzformációt nem igénylő elemét. Most fontos, hogy a kapott nullákat megtartsuk, ezért az átalakításokat sorokkal, nem oszlopokkal fogjuk végrehajtani. Térjünk át a bemutatott mátrix második oszlopára.
Kezdjük újra alulról - az utolsó sor második oszlopának elemétől. Ez a szám (-7). Ebben az esetben azonban kényelmesebb a (-1) számmal kezdeni - a harmadik sor második oszlopának elemével. Ha nullára szeretné fordítani, vonja ki a második sort a harmadik sorból. Ezután a második sort megszorozzuk héttel, és kivonjuk a negyedikből. A második oszlop negyedik sorában található elem helyett nullát kaptunk. Most térjünk át a harmadik oszlopra.
BAN BEN ezt az oszlopot csak egy számot kell nullára fordítanunk - 4. Ezt könnyű megtenni: csak adja hozzá a harmadikat az utolsó sorhoz, és látja a szükséges nullát.
Az összes átalakítás után a javasolt mátrixot háromszög alakúra hoztuk. Most, hogy megtalálja a meghatározóját, csak meg kell szoroznia a főátló eredményül kapott elemeit. Kapunk: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Ezért a megoldás a 160-as szám.
Tehát most az a kérdés, hogy a mátrixot háromszög alakúra hozzuk, nem fogja megnehezíteni az Ön dolgát.
A mátrixokkal végzett elemi műveleteknél a lépcsős forma kevésbé "igényes", mint a háromszög. Leggyakrabban egy mátrix rangjának (vagyis a nullától eltérő sorainak számának) meghatározására, vagy lineárisan függő és független sorok meghatározására használják. A mátrix lépcsőzetes nézete azonban sokoldalúbb, hiszen nem csak a négyzetes típushoz, hanem mindenki máshoz is megfelelő.
Ahhoz, hogy egy mátrixot lépcsőzetes formává redukáljon, először meg kell találnia a determinánsát. Erre a fenti módszerek alkalmasak. A determináns megtalálásának célja annak megállapítása, hogy átalakítható-e lépésmátrixba. Ha a determináns nagyobb vagy kisebb, mint nulla, akkor nyugodtan folytathatja a feladatot. Ha egyenlő nullával, akkor nem fog működni a mátrix lépcsőzetes formára való redukálása. Ebben az esetben ellenőriznie kell, hogy nincs-e hiba a rekordban vagy a mátrix transzformációkban. Ha nincsenek ilyen pontatlanságok, a feladat nem oldható meg.
Nézzük meg, hogyan hozhatjuk a mátrixot lépcsőzetes formává, több feladat példáján keresztül.
1. Feladat. Keresse meg az adott mátrixtábla rangját!
Előttünk egy harmadrendű négyzetmátrix (3x3). Tudjuk, hogy a rang megtalálásához lépcsőzetes formára kell redukálni. Ezért először meg kell találnunk a mátrix determinánsát. Használjuk a háromszög módszert: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Determináns = 12. Nagyobb, mint nulla, ami azt jelenti, hogy a mátrix lépcsőzetes formára redukálható. Kezdjük el átalakítani.
Kezdjük a harmadik sor bal oldali oszlopának elemével - a 2-es számmal. A felső sort megszorozzuk kettővel, és kivonjuk a harmadikból. Ennek a műveletnek köszönhetően mind a szükséges elem, mind a 4-es szám - a harmadik sor második oszlopának eleme - nullává változott.
Látjuk, hogy a redukció eredményeként háromszög alakú mátrix jött létre. Esetünkben az átalakítás nem folytatható, mivel a fennmaradó komponenseket nem lehet nullára fordítani.
Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy a számértékeket tartalmazó sorok száma ebben a mátrixban (vagy rangjában) 3. Válasz a feladatra: 3.
2. feladat. Határozza meg az adott mátrix lineárisan független sorainak számát!
Olyan karakterláncokat kell találnunk, amelyeket semmilyen transzformációval nem lehet nullává alakítani. Valójában meg kell találnunk a nem nulla sorok számát, vagy a reprezentált mátrix rangját. Ehhez egyszerűsítsük le.
Olyan mátrixot látunk, amely nem tartozik a négyzettípushoz. Mérete 3x4. Kezdjük a leadást is a bal alsó sarok elemétől - a (-1) számtól.
További átalakítások nem lehetségesek. Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy a benne lévő lineárisan független sorok száma és a feladat válasza 3.
A mátrix lépcsőzetes formába hozása most nem lehetetlen feladat az Ön számára.
E feladatok példáin elemeztük egy mátrix háromszög alakúra és lépcsős formára való redukálását. A mátrixtáblázatok kívánt értékeinek nullára állításához, in egyedi esetek meg kell mutatnia a képzeletét, és helyesen kell átalakítania az oszlopokat vagy sorokat. Sok sikert a matematikához és a mátrixokkal való munkához!
A mátrix lépcsőzetes formába hozásához (1.4. ábra) a következő lépéseket kell végrehajtania.
1. Az első oszlopban válasszon ki egy nullától eltérő elemet ( vezető elem ). Egy karakterlánc vezető elemmel ( vezető vonal ), ha nem az első, cserélje ki az első sor helyére (I. típusú konverzió). Ha az első oszlopban nincs vezető elem (minden elem egyenlő nullával), akkor ezt az oszlopot kizárjuk, és a mátrix többi részében folytatjuk a vezető elem keresését. Az átalakítások akkor érnek véget, ha az összes oszlopot kizárjuk, vagy a mátrix többi részében minden elem nulla.
2. Ossza el a vezető sor összes elemét a vezető elemmel (II-es típusú transzformáció). Ha a vezető sor az utolsó, akkor az átalakításnak ezzel kell véget érnie.
3. A bevezető alatti minden sorhoz adjuk hozzá a kezdősort, megszorozva egy olyan számmal, hogy a bevezető alatti elemek nullával egyenlőek legyenek (III. típusú transzformáció).
4. Miután kizárta a mérlegelésből azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában a vezető elem található, folytassa az 1. lépéssel, amelyben az összes leírt művelet a mátrix többi részére vonatkozik.
Tétel a döntőbíró elrendezéséről a sor elemei szerint.
A determinánsnak egy sor vagy oszlop elemei alapján történő felosztásáról szóló tétel lehetővé teszi, hogy csökkentsük a determináns számítását - sorrendben () a sorrendhatározók kiszámításához .
Ha a determináns elemei nullával egyenlők, akkor a legkényelmesebb a determinánst a legtöbb nullát tartalmazó sor vagy oszlop elemei szerint bővíteni.
A determinánsok tulajdonságait felhasználva átalakíthatja a determinánst - sorrendben, hogy valamely sor vagy oszlop minden eleme egy kivételével nullával egyenlő legyen. Így a determináns számítása - A sorrend, ha eltér nullától, egy determináns számítására lesz redukálva - rendelés.
Feladat 3.1. Számítsd ki a determinánst
Megoldás.Összeadva az elsőt a második sorral, az elsőt megszorozva 2-vel a harmadikkal, az elsőt -5-tel szorozva a negyedikkel, kapjuk
Kibővítve a determinánst az első oszlop elemeivel, megvan
.
A kapott 3. rendű determinánsban az első oszlop minden elemét nullára fordítjuk, kivéve az elsőt. Ehhez adjuk hozzá az első sort (-1) szorozva a második sorhoz, az első sort adjuk hozzá 8-mal szorozva a harmadik sort 5-tel. Mivel a harmadik sort 5-tel szoroztuk, akkor (a determináns érdekében hogy ne változzon) megszorozzuk -vel. Nekünk van
A kapott determinánst az első oszlop elemeivel bővítjük:
Laplace-tétel(1). Idegen kiterjesztési tétel (2)
1) A determináns egyenlő bármely sor elemeinek és algebrai komplementereik szorzatának összegével.
2) A determináns bármely sorának elemeinek és a másik sora megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek szorzatának összege nulla (tétel a mások algebrai komplementereivel való szorzásról).
A sík bármely pontját a választott koordinátarendszerrel annak koordinátáinak (α, β) párja adja; az α és β számok az ezen a ponton végződő sugárvektor koordinátáiként is felfoghatók. Hasonlóképpen a térben a hármas (α, β, γ) egy pontot vagy vektort határoz meg α, β, γ koordinátákkal. Ezen alapul a két-három ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek olvasó által jól ismert geometriai értelmezése. Tehát két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer esetén
a 1 x + b 1 y \u003d c 1,
a 2 x + b 2 y \u003d c 2
az egyenletek mindegyikét egyenesnek a síkban értelmezzük (lásd 26. ábra), a megoldást (α, β) pedig ezeknek az egyeneseknek a metszéspontjaként vagy levegő koordinátákkal rendelkező vektorként értelmezzük (az ábra megfelel a az az eset, amikor a rendszer egyedi megoldással rendelkezik).
Rizs. 26
Ugyanezt megtehetjük egy lineáris egyenletrendszerrel három ismeretlenben, minden egyenletet egy térbeli sík egyenleteként értelmezve.
A matematikában és annak különféle alkalmazásaiban (különösen a kódoláselméletben) háromnál több ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszerekkel kell foglalkozni. Egy n x 1 , x 2 , ..., x n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer olyan egyenlethalmaz, amelynek alakja
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n \u003d b 1,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n \u003d b 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m ,
ahol a ij és b i tetszőleges valós számok. A rendszerben lévő egyenletek száma bármi lehet, és semmilyen módon nem függ össze az ismeretlenek számával. Az a ij ismeretlenek együtthatói kettős számozással rendelkeznek: az első i index az egyenlet számát jelöli, a második index j az ismeretlen száma, amelynél ez az együttható áll.
A rendszer bármely megoldása ismeretlenek (valós) értékeinek halmazaként értendő (α 1 , α 2 , ..., α n ), amelyek minden egyenletet valódi egyenlőséggé alakítanak.
Bár az (1) rendszer közvetlen geometriai értelmezése n > 3 esetén már nem lehetséges, nagyon is lehetséges és sok tekintetben kényelmes a két vagy három dimenziós tér geometriai nyelvének kiterjesztése tetszőleges n esetére. Ezt a célt szolgálják a következő definíciók.
n valós szám bármely rendezett halmaza (α 1 , α 2 , ..., α n ) n-dimenziós aritmetikai vektornak nevezzük, az α számokat pedig 1 , α 2 , ..., α n - ennek a vektornak a koordinátái.
A vektorok jelölésére általában félkövér betűtípust használnak, és az α 1, α 2, ..., α n koordinátákkal rendelkező a vektorok esetében a szokásos jelölés marad meg:
a \u003d (α 1, α 2, ..., α n).
Egy közönséges síkkal analóg módon az összes n-dimenziós vektor halmazát, amely kielégíti az n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletet, hipersíknak nevezzük az n-dimenziós térben. Ezzel a definícióval az (1) rendszer összes megoldásának halmaza nem más, mint több hipersík metszéspontja.
Az n-dimenziós vektorok összeadása és szorzása ugyanazon szabályok szerint történik, mint a közönséges vektoroknál. Mégpedig ha
a = (α 1 , α 2 , ..., α n), b = (β 1 , β 2 , ..., β n) (2)
Két n-dimenziós vektor, akkor ezek összege egy vektor
α + β = (α 1 + β 1, α 2 + β 2, ..., α n + β n). (3)
Az a vektor és a λ szám szorzata a vektor
λа = (λα 1, λα 2, ..., λα n). (4)
Az összes n-dimenziós aritmetikai vektor halmazát a vektorösszeadás és a vektor számmal való szorzása műveleteivel L n aritmetikai n-dimenziós vektortérnek nevezzük.
A bevezetett műveletek segítségével több vektor tetszőleges lineáris kombinációi, azaz a forma kifejezései is számításba jöhetnek.
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k ,
ahol λ i valós számok. Például a (2) vektorok lineáris kombinációja λ és μ együtthatókkal a vektor
λа + μb = (λα 1 + μβ 1, λα 2 + μβ 2, ..., λα n + μβ n).
A vektorok háromdimenziós terében kiemelt szerepe van az i, j, k vektorok hármasának (koordináta egységvektorok), amelynek értelmében bármely a vektor felbontható:
a = xi + yj + zk,
ahol x, y, z valós számok (az a vektor koordinátái).
N-dimenziós esetben a következő vektorrendszer játssza ugyanazt a szerepet:
e 1 = (1, 0, 0, ..., 0),
e 2 = (0, 1, 0, ..., 0),
e 3 = (0, 0, 1, ..., 0),
. . . . . . . . . . . . (5)
e n = (0, 0, 0, ..., 1).
Bármely a vektor nyilvánvalóan az e 1 , e 2 , ..., e n vektorok lineáris kombinációja:
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + ... + a n e n , (6)
ráadásul az α 1 , α 2 , ..., α n együtthatók egybeesnek az a vektor koordinátáival.
Ha 0-val jelöljük azt a vektort, amelynek minden koordinátája nulla (röviden a nulla vektor), a következő fontos definíciót vezetjük be:
Az a 1 , a 2 , ... és k vektorok rendszerét lineárisan függőnek nevezzük, ha létezik olyan lineáris kombináció, amely egyenlő a nulla vektorral.
λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k = 0,
amelyben a h 1, λ 2, ..., λ k együtthatók legalább egyike nullától eltérő. Egyébként a rendszert lineárisan függetlennek nevezzük.
Szóval vektorok
és 1 = (1, 0, 1, 1) és 2 = (1, 2, 1, 1) és 3 = (2, 2, 2, 2)
lineárisan függőek, hiszen
a 1 + a 2 - a 3 = 0.
A lineáris függés, amint az a definícióból látható, ekvivalens (k ≥ 2 esetén) azzal a ténnyel, hogy a rendszer legalább egyik vektora a többi vektorának lineáris kombinációja.
Ha a rendszer két a 1, a 2 vektorból áll, akkor a rendszer lineáris függése azt jelenti, hogy az egyik vektor arányos a másikkal, mondjuk a 1 = λа 2 ; háromdimenziós esetben ez ekvivalens az a 1 és a 2 vektorok kollinaritásával. Ugyanígy három vektor I rendszerének lineáris függése a közönséges térben azt jelenti, hogy ezek a vektorok egysíkúak. A lineáris függés fogalma tehát a kollinearitás és a koplanaritás fogalmának természetes általánosítása.
Könnyen belátható, hogy az (5) rendszerből származó e 1 , e 2 , ..., e n vektorok lineárisan függetlenek. Ezért egy n-dimenziós térben n lineárisan független vektorból álló rendszer létezik. Kimutatható, hogy bármely rendszer több vektorok lineárisan függő.
Az L n n-dimenziós tér n lineárisan független vektorából álló a 1 , a 2 , ... és n rendszert bázisának nevezzük.
Az L n tér bármely a vektorát felbontjuk, ráadásul egyedi módon egy tetszőleges a 1 , a 2 , ..., a n bázis vektorai szerint:
a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n .
Ez a tény az alap meghatározása alapján könnyen megállapítható.
Folytatva a háromdimenziós térrel való analógiát, n-dimenziós esetben a b vektorok skaláris szorzatát is meghatározhatjuk beállítással
a b = α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n.
Ezzel a meghatározással a háromdimenziós vektorok skaláris szorzatának minden fő tulajdonsága megmarad. Az a és b vektorokat ortogonálisnak nevezzük, ha skalárszorzatuk nulla:
α 1 β 1 + α 2 β 2 + ... + α n β n = 0.
A lineáris kódok elméletében egy másik fontos fogalmat használnak - az altér fogalmát. Az L n tér V részhalmazát e tér alterének nevezzük, ha
1) bármely V-hez tartozó a, b vektor esetén az a + b összegük is V-hez tartozik;
2) bármely a vektorhoz, amely V-hez tartozik, és bármely λ valós számhoz, a λa vektor is V-hez tartozik.
Például az (5) rendszerből származó e 1 , e 2 vektorok összes lineáris kombinációjának halmaza az L n tér altere lesz.
A lineáris algebrában bebizonyosodott, hogy bármely V altérben létezik olyan lineárisan független a 1 , a 2 , ..., a k vektorrendszer, hogy az altér bármely a vektora ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja:
a = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + ... + λ k a k.
Ezt a vektorrendszert az V altér bázisának nevezzük.
A tér és az altér definíciójából egyenesen következik, hogy az L n tér a vektorösszeadás művelete szempontjából kommutatív csoport, és bármelyik V altere ennek a csoportnak egy alcsoportja. Ebben az értelemben figyelembe vehetjük például az L n tér kosetjeit a V altérhez képest.
Végezetül hangsúlyozzuk, hogy ha egy n-dimenziós számtani tér elméletében a valós számok (azaz a valós számok mezőjének elemei) helyett egy tetszőleges F mező elemeit vesszük figyelembe, akkor az összes megadott definíció és tény fentebb érvényben maradna.
A kódoláselméletben fontos szerepe van annak az esetnek, amikor az F mező egy Z p maradékmező, amely, mint tudjuk, véges. Ebben az esetben a megfelelő n-dimenziós tér is véges, és, mint jól látható, p n elemet tartalmaz.
A tér fogalma, akárcsak a csoport és a gyűrű fogalma, szintén megenged egy axiomatikus definíciót. A részletekért hivatkozzunk a Feederre bármely lineáris algebra tanfolyamra.
Lineáris kombináció. Lineáris ugar és független vektorrendszerek.
vektorok lineáris kombinációja
Vektorok lineáris kombinációja 
hívás vektor
Ahol 
- lineáris kombinációs együtthatók. Ha 
a kombinációt triviálisnak nevezzük, ha nem triviális.
A vektorok lineáris függése és függetlensége
Rendszer 
lineárisan függő melyik 
Rendszer 
lineárisan független 
A vektorok lineáris függésének kritériuma
Annak érdekében, hogy a vektorok 
(r > 1) lineárisan függőek, szükséges és elegendő, hogy ezen vektorok legalább egyike a többi vektor lineáris kombinációja legyen.
Lineáris térdimenzió
lineáris tér V hívott n-dimenziós (dimenzióval rendelkezik n), ha tartalmazza:
1) létezik n lineárisan független vektorok;
2) bármilyen rendszer n + 1 vektorok lineárisan függő.
Megnevezések: n= homályos V;.
A vektorok rendszerét ún lineárisan függő, ha létezik nem nulla számok halmaza úgy, hogy egy lineáris kombináció
A vektorok rendszerét ún lineárisan független, ha a lineáris kombináció egyenlőségétől nulláig
nulla következik minden együtthatók
Kérdés kb lineáris függőség vektorok általános esetben arra a kérdésre redukálódnak, hogy létezik-e nullától eltérő megoldás egy homogén lineáris egyenletrendszerre, amelynek együtthatói megegyeznek ezen vektorok megfelelő koordinátáival.
A vektorrendszer „lineáris függése”, „lineáris függetlensége” fogalmainak jól elsajátításához hasznos a következő típusú problémák megoldása:
Lineáris ugar.A lineáris parlagút I és II kritériumai.
Vektoros rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha a rendszer egyik vektora a rendszer többi vektorának lineáris kombinációja.
Bizonyíték. Legyen a vektorrendszer lineárisan függő. Aztán van egy ilyen együtthatókészlet 
, hogy , és legalább egy együttható különbözik nullától. Tegyünk úgy, mintha. Akkor
vagyis a rendszer fennmaradó vektorainak lineáris kombinációja.
Legyen a rendszer egyik vektora a többi vektor lineáris kombinációja. Tegyük fel, hogy ez egy vektor, azaz 
. Nyilvánvaló, hogy. Azt találtuk, hogy a rendszervektorok lineáris kombinációja egyenlő nullával, és az egyik együttható nullától eltérő (egyenlő -val).
Ajánlat10 . 7 Ha egy vektorrendszer tartalmaz egy lineárisan függő alrendszert, akkor az egész rendszer lineárisan függő.
Bizonyíték.
Legyen az alrendszer a vektorok rendszerében 
, , lineárisan függő, azaz , és legalább egy együttható különbözik nullától. Ezután lineáris kombinációt készítünk. Nyilvánvaló, hogy ez a lineáris kombináció egyenlő nullával, és az együtthatók között van egy nullától eltérő egy.
A vektorrendszer alapja, її a főhatvány.
Egy nem nulla vektorrendszer alapja egy vele egyenértékű lineárisan független alrendszer. A nulla rendszernek nincs alapja.
1. tulajdonság: Egy lineáris független rendszer alapja egybeesik önmagával.
Példa: Lineárisan független vektorok rendszere, mivel egyik vektor sem fejezhető ki lineárisan a többivel.
2. tulajdonság: (alapfeltétel) Egy adott rendszer lineárisan független alrendszere akkor és csak akkor az alapja, ha maximálisan lineárisan független.
Bizonyíték: Adott rendszer Szükségesség Hagyja alapját. Ekkor definíció szerint, és ha , ahol , a rendszer lineárisan függő, mivel lineárisan degenerálódik -on keresztül, tehát maximálisan lineárisan független. Megfelelőség Legyen egy maximálisan lineárisan független alrendszer, akkor ahol . lineárisan függő lineárisan degenerálódik tehát a rendszer bázisán keresztül .
3. tulajdonság: (fő alaptulajdon) A rendszer minden vektora egyedi módon degenerálódik a bázison keresztül.
Bizonyíték Hagyja, hogy a vektor kétféleképpen degenerálódjon a bázison keresztül, majd: , akkor
A vektorrendszer rangja.
|
Meghatározás: Egy lineáris térben a nullától eltérő vektorrendszer rangja az alapjában lévő vektorok száma. Egy nullrendszer rangja értelemszerűen nulla. Rangsor tulajdonságai: 1) Egy lineárisan független rendszer rangja egybeesik vektorainak számával. 2) Egy lineárisan függő rendszer rangja kisebb, mint vektorainak száma. 3) Az ekvivalens rendszerek rangja azonos -rankrank. 4) Egy alrendszer rangja kisebb vagy egyenlő, mint a rendszer rangja. 5) If és rankrank, akkor van közös alapjuk. 6) A rendszer rangja nem változik, ha hozzáadunk egy vektort, amely a rendszer többi vektorának lineáris kombinációja. 7) A rendszer rangja nem változik, ha eltávolítunk belőle egy vektort, amely a fennmaradó vektorok lineáris kombinációja. |
Egy vektorrendszer rangjának meghatározásához a Gauss-módszert kell használnia, hogy a rendszert háromszög vagy trapéz alakúra hozza.
Egyenértékű vektorrendszerek.
Példa:
Alakítsuk át a vektoradatokat egy mátrixba, hogy megtaláljuk az alapot. Kapunk: 
Most a Gauss-módszerrel trapéz alakúvá alakítjuk a mátrixot:
1) A fő mátrixunkban töröljük a teljes első oszlopot, kivéve az első sort a másodikból kivonjuk az elsőt szorozva az elsővel, kivonjuk az elsőt szorozva a harmadikból, és nem vonunk ki semmit a negyedikből az első elem óta. a negyedik sorból, azaz az első oszlop és a negyedik sor metszéspontja nulla. Megkapjuk a mátrixot: 
2) Most a mátrixban cserélje fel a 2., 3. és 4. sort a könnyebb megoldás érdekében, hogy legyen az elem helyén. Változtassuk meg a negyedik sort a második helyett, a másodikat a harmadik helyett és a harmadikat a negyedik helyett. Megkapjuk a mátrixot: 
3) A mátrixban az elem alatti összes elemet töröljük. Mivel a mátrixunk eleme ismét egyenlő nullával, a negyedik sorból nem vonunk le semmit, a harmadikhoz pedig hozzáadjuk a másodikat szorozva. Megkapjuk a mátrixot: 
4) Ismét cserélje fel a mátrix 3. és 4. sorát. Megkapjuk a mátrixot: 
5) A mátrixban add hozzá a harmadik sort a negyedikhez, szorozva 5-tel. Kapunk egy mátrixot, amelynek háromszög alakú lesz: 
Rendszerek, rangjaik a rang tulajdonságai miatt egybeesnek, és rangjuk megegyezik a rangfokozattal
Megjegyzések: 1) A hagyományos Gauss-módszerrel ellentétben, ha egy mátrixsorban minden elem osztható egy bizonyos számmal, akkor a mátrix tulajdonságai miatt nincs jogunk a mátrixsort kicsinyíteni. Ha egy sort egy bizonyos számmal szeretnénk csökkenteni, akkor a teljes mátrixot ezzel a számmal kell csökkentenünk. 2) Ha egy lineárisan függő sort kapunk, akkor kivehetjük a mátrixunkból, és helyettesíthetjük egy nulla sorral. Példa:
Azonnal világos, hogy a második sort az elsőn keresztül fejezzük ki, ha az elsőt megszorozzuk 2-vel. Ebben az esetben a teljes második sort nullára cserélhetjük. Kapunk: 
Ennek eredményeként, ha a mátrixot háromszög vagy trapéz alakúra redukáltuk, ahol nincsenek lineárisan függő vektorai, a mátrix összes nem nulla vektora lesz a mátrix alapja, és számuk a rang.
Itt van egy példa egy vektorrendszerre is gráf formájában: Adott egy rendszer, ahol , , és . Ennek a rendszernek az alapja nyilvánvalóan a és vektorok lesznek, mivel a vektorok ezeken keresztül fejeződnek ki. Ebben a rendszerben grafikus formaígy fog kinézni:
Elemi átalakulás. Lépett elmerendszerek.
Elemi mátrix transzformációk a mátrix olyan transzformációi, amelyek eredményeként a mátrixok ekvivalenciája megmarad. Így az elemi transzformációk nem változtatják meg az e mátrix által ábrázolt lineáris algebrai egyenletrendszer megoldáshalmazát.
A Gauss-módszerben elemi transzformációkat használnak a mátrix háromszög- vagy lépcsős formába hozására.
Elemi karakterlánc-transzformációk hívott:
Egyes lineáris algebrai kurzusokban a mátrixsorok permutációját nem különböztetjük meg külön elemi transzformációként, mivel bármely két mátrixsor permutációja megkapható a mátrix bármely sorát megszorozva egy konstanssal, és bármely sorhoz hozzáadva. a mátrix egy másik sora szorozva a konstanssal, .
A elemi oszloptranszformációk.
Elemi átalakulások megfordítható.
A jelölés azt jelzi, hogy a mátrix elemi transzformációkkal nyerhető (vagy fordítva).
A vezető elemek az első sorban vannak - , a második sorban - 
, a negyedik sorban 
. Ne feledje, hogy a sor vezető elemének nem kell az egyetlennek lennie (lásd a második sort).
Tétel. Bármely mátrix véges számú elemi sortranszformációval redukálható redukált formára.
Bizonyíték.
Hadd nézzen ki így a mátrix
A redukált mátrix definícióját használjuk.
Ha az első sor nulla, lépjünk tovább a másodikra, és így tovább, amíg nem találunk egy nem nulla sort. Egy nem nulla karakterláncban (legyen ez a -edik karakterlánc) válasszunk ki egy nem nulla elemet (legyen ez az elem).
A következő elemi transzformációkat hajtjuk végre a mátrixon:
Nyilvánvalóan ezután a -edik oszlop minden eleme nullává válik, kivéve az elemet. Ezután kiválasztjuk a következő nem nulla sort, amelynek van egy nem nulla eleme, és hasonló transzformációkat hajtunk végre a mátrix soraival. Véges számú lépésnél végigmegyünk az összes nem nulla sort, ezután kapunk egy mátrixot, amely definíció szerint redukálva lesz.
14. példa Legyen 
. Csökkentsük a mátrixot redukált formára.
Megoldás.
Vegyünk vezető elemnek (a vezető elemek zárójelekkel lesznek kiemelve), és hajtsuk végre a jelzett átalakításokat:
A következő lépésben az elemet vesszük vezetőnek, végrehajtjuk a jelzett transzformációkat, és ennek eredményeként megkapjuk.
Mátrix, mátrixok típusai, műveletek mátrixokon.
A mátrixok típusai:
1. Négyszögletes: mÉs n- tetszőleges pozitív egész számok
2. Négyzet: m=n
3. mátrix sor: m=1. Például (1 3 5 7) - sok gyakorlati problémában egy ilyen mátrixot vektornak neveznek
4. Mátrix oszlop: n=1. Például
5. Átlós mátrix: m=nÉs a ij =0, Ha i≠j. Például
6. Identitásmátrix: m=nÉs
7. Nulla mátrix: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. háromszög mátrix: a főátló alatti összes elem 0.
9. Szimmetrikus mátrix:m=nÉs aij=aji(azaz a főátlóhoz képest szimmetrikus helyeken egyenlő elemek vannak), és ezért A"=A
Például,
10. Ferde mátrix: m=nÉs a ij =-a ji(azaz ellentétes elemek a főátlóhoz képest szimmetrikus helyeken állnak). Ezért a főátlón nullák vannak (mert at i=j nekünk van a ii =-a ii)
Műveletek a mátrixokon:
1. Kiegészítés
2. Kivonás mátrixok - elemenkénti művelet
3. Munka mátrixok számhoz - elemenkénti művelet
4. Szorzás A*B mátrixok a szabály szerint sor oszloponként(az A mátrix oszlopainak számának meg kell egyeznie a B mátrix sorainak számával)
A mk *B kn =C mnés minden egyes elemet ij-vel mátrixok Cmn egyenlő az A mátrix i-edik sora elemeinek a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemei szorzataival, azaz.
Mutassuk meg egy példa segítségével a mátrixszorzás működését
5. Az A mátrix transzponálása. A transzponált mátrix jelölése A T vagy A "
,Például 
A sorok és oszlopok felcserélődnek
A mátrixokkal végzett műveletek tulajdonságai:
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
2. Másod- és harmadrendű determinánsok (alapfogalmak, tulajdonságok, számítások)
1. tulajdonság. A determináns nem változik az átültetés során, azaz.
Bizonyíték.
Megjegyzés. A következő minősítő tulajdonságok csak karakterláncokhoz kerülnek megfogalmazásra. Az 1. tulajdonságból következik, hogy az oszlopok is ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek.
2. tulajdonság. Ha a determináns sorának elemeit megszorozzuk egy bizonyos számmal, a teljes determináns ezzel a számmal megszorozódik, azaz.
.
Bizonyíték.
3. tulajdonság. A null karakterláncú determináns 0.
Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása a 2. tulajdonságból következik k = 0 esetén.
4. tulajdonság. Egy meghatározó, aminek kettő van egyenlő sorok, egyenlő 0-val.
Bizonyíték.
5. ingatlan. Az a determináns, amelynek két sora arányos, 0.
A bizonyítás a 2. és 4. tulajdonságból következik.
6. ingatlan. Ha a determináns két sorát felcseréljük, akkor azt -1-gyel megszorozzuk.
Bizonyíték.
7. ingatlan.
Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása önállóan elvégezhető az 1.5 definícióval talált egyenlőség bal és jobb oldalának értékeinek összehasonlításával.
ingatlan 8. A determináns értéke nem változik, ha az egyik sor elemeit hozzáadjuk egy másik sor megfelelő elemeihez, megszorozva ugyanazzal a számmal.
Kisebb. Algebrai összeadás. Laplace tétele.
A háromszög alakúra redukálás módja az adott determináns olyan transzformációjából áll, amikor az egyik átlójának egyik oldalán lévő összes eleme nullával egyenlő.
8. példa Számítsd ki a determinánst
Redukálás háromszög alakúra.
Megoldás. Vonjuk ki a determináns első sorát a többi sorából. Akkor kapunk
.
Ez a determináns egyenlő a főátló elemeinek szorzatával. Így van
Megjegyzés. A fentiekben leírtak általánosíthatók n-edrendű determinánsokra.
Mátrix redukálása lépcsős formára. Sorok és oszlopok elemi átalakításai.
Elemi mátrix transzformációk a következő transzformációkat nevezzük:
ÉN. Egy mátrix két oszlopának (sorának) permutációja.
II. Egy mátrix egy oszlopának (sorának) minden elemét megszorozzuk ugyanazzal a nullától eltérő számmal.
III. Egy oszlop (sor) elemeihez hozzáadva egy másik oszlop (sor) megfelelő elemeit, megszorozva ugyanazzal a számmal.
Az eredeti mátrixból véges számú elemi transzformációval kapott mátrixot nevezzük egyenértékű . Ezt jelzik.
Az elemi transzformációkat a mátrixok egyszerűsítésére használják, amelyeket a jövőben különféle problémák megoldására használnak.
A mátrix lépcsőzetes formába hozásához (1.4. ábra) a következő lépéseket kell végrehajtania.
1. Az első oszlopban válasszon ki egy nullától eltérő elemet ( vezető elem ). Egy karakterlánc vezető elemmel ( vezető vonal ), ha nem az első, cserélje ki az első sor helyére (I. típusú konverzió). Ha az első oszlopban nincs vezető elem (minden elem egyenlő nullával), akkor ezt az oszlopot kizárjuk, és a mátrix többi részében folytatjuk a vezető elem keresését. Az átalakítások akkor érnek véget, ha az összes oszlopot kizárjuk, vagy a mátrix többi részében minden elem nulla.
2. Ossza el a vezető sor összes elemét a vezető elemmel (II-es típusú transzformáció). Ha a vezető sor az utolsó, akkor az átalakításnak ezzel kell véget érnie.
3. A bevezető alatti minden sorhoz adjuk hozzá a kezdősort, megszorozva egy olyan számmal, hogy a bevezető alatti elemek nullával egyenlőek legyenek (III. típusú transzformáció).
4. Miután kizárta a mérlegelésből azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában a vezető elem található, folytassa az 1. lépéssel, amelyben az összes leírt művelet a mátrix többi részére vonatkozik.
Példa 1.29. Konvertálás lépésmátrixba
.
...
...
.
