Para verificar si el programa funciona correctamente, formaremos una matriz de lecturas como la suma de dos sinusoides sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) y la deslizaremos en el programa. El programa dibujó lo siguiente:
fig.1 Gráfico de la función temporal de la señal
fig.2 Gráfico de espectro de señal
En el gráfico de espectro hay dos palos (armónicos) de 5 Hz con una amplitud de 0,5 V y 10 Hz, con una amplitud de 1 V, todo como en la fórmula de la señal original. ¡Todo está bien, programador bien hecho! El programa está funcionando correctamente.
Esto significa que si aplicamos una señal real de una mezcla de dos sinusoides a la entrada del ADC, obtendremos un espectro similar que consta de dos armónicos.
Total, nuestro real señal medida, duración 5 seg, digitalizado por el ADC, es decir representado discreto cuenta, tiene discreto no periódico rango.
Desde un punto de vista matemático, ¿cuántos errores hay en esta frase?
fig.4 Espectro de funciones
¡Algo no está bien! El armónico de 10 Hz se dibuja normalmente, pero en lugar de un palo de 5 Hz, aparecieron varios armónicos incomprensibles. Buscamos en Internet, qué y cómo...
En, dicen que se deben agregar ceros al final de la muestra y el espectro se dibujará normal.
fig.5 Ceros terminados hasta 5 segundos
fig.6 Obtuvimos el espectro
Todavía no es lo que era a los 5 segundos. Tienes que lidiar con la teoría. Vamos a Wikipedia- fuente de conocimiento.
(1), donde:
K - número de función trigonométrica (número de componente armónico, número armónico)
T - segmento donde se define la función (duración de la señal)
Ak - amplitud del k-ésimo componente armónico,
?k - fase inicial del k-ésimo componente armónico
¿Qué significa "representar una función como la suma de una serie"? Esto quiere decir que sumando los valores de las componentes armónicas de la serie de Fourier en cada punto, obtendremos el valor de nuestra función en ese punto.
(Más estrictamente, la desviación estándar de la serie de la función f(x) tenderá a cero, pero a pesar de la convergencia estándar, la serie de Fourier de la función, en términos generales, no es necesaria para converger puntualmente a ella. Ver https: //ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)
Esta serie también se puede escribir como:
(2),
donde , k-ésima amplitud del complejo.
La relación entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes fórmulas:
Tenga en cuenta que todas estas tres representaciones de la serie de Fourier son completamente equivalentes. A veces, cuando se trabaja con series de Fourier, es más conveniente utilizar los exponentes del argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, utilizar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero nos conviene usar la fórmula (1), donde la serie de Fourier se representa como una suma de ondas cosenos con las correspondientes amplitudes y fases. En cualquier caso, es incorrecto decir que el resultado de la transformada de Fourier de la señal real serán las amplitudes complejas de los armónicos. Como dice correctamente la wiki, "La transformada de Fourier (?) es una operación que asigna una función de una variable real a otra función, también de una variable real".
Total:
La base matemática del análisis espectral de señales es la transformada de Fourier.
La transformada de Fourier nos permite representar una función continua f(x) (señal) definida sobre el segmento (0, T) como la suma de un número infinito (serie infinita) de funciones trigonométricas (seno y/o coseno) con ciertas amplitudes y fases, también consideradas en el segmento (0, T). Tal serie se llama serie de Fourier.
Hay algunos puntos más que necesitan ser entendidos para poder aplicación correcta Transformadas de Fourier para análisis de señales. Si consideramos la serie de Fourier (la suma de las sinusoides) en todo el eje X, entonces podemos ver que fuera del segmento (0, T), la función representada por la serie de Fourier repetirá periódicamente nuestra función.
Por ejemplo, en el gráfico de la Fig. 7, la función original está definida en el segmento (-T \ 2, + T \ 2), y la serie de Fourier representa una función periódica definida en todo el eje x.
Esto se debe a que las sinusoides mismas son funciones periódicas, respectivamente, y su suma será una función periódica.
fig.7 Representación de una función original no periódica por una serie de Fourier
De este modo:
Nuestra función original es continua, no periódica, definida en algún intervalo de longitud T.
El espectro de esta función es discreto, es decir, se presenta como una serie infinita de componentes armónicos, la serie de Fourier.
De hecho, una cierta función periódica está definida por la serie de Fourier, que coincide con la nuestra en el segmento (0, T), pero esta periodicidad no es esencial para nosotros.
Los periodos de las componentes armónicas son múltiplos del segmento (0, T) sobre el que se define la función original f(x). En otras palabras, los períodos armónicos son múltiplos de la duración de la medición de la señal. Por ejemplo, el período del primer armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T en el que se define la función f(x). El periodo del segundo armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T/2. Y así sucesivamente (ver Fig. 8).
fig.8 Períodos (frecuencias) de los componentes armónicos de la serie de Fourier (¿aquí T = 2?)
En consecuencia, las frecuencias de los componentes armónicos son múltiplos de 1/T. Es decir, las frecuencias de los componentes armónicos Fk son iguales a Fk= k\T, donde k varía de 0 a?, por ejemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (a frecuencia cero - componente constante).
Sea nuestra función original una señal registrada durante T=1 seg. Entonces el periodo del primer armónico será igual a la duración de nuestra señal T1=T=1 seg y la frecuencia del armónico es de 1 Hz. El periodo del segundo armónico será igual a la duración de la señal dividida por 2 (T2=T/2=0.5 seg) y la frecuencia es de 2 Hz. Para el tercer armónico T3=T/3 seg y la frecuencia es de 3 Hz. Etcétera.
El paso entre armónicos en este caso es de 1 Hz.
Así, una señal con una duración de 1 segundo se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 1 Hz.
Para aumentar la resolución 2 veces a 0,5 Hz, es necesario aumentar la duración de la medición 2 veces, hasta 2 segundos. Una señal con una duración de 10 segundos se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 0,1 Hz. No hay otras formas de aumentar la resolución de frecuencia.
Existe una manera de aumentar artificialmente la duración de la señal agregando ceros a la matriz de muestras. Pero no aumenta la resolución de frecuencia real.
El esquema habitual para medir y digitalizar una señal es el siguiente.
fig.9 Esquema del canal de medición
La señal del transductor de medición llega al ADC durante un período de tiempo T. Las muestras de señal (muestra) obtenidas durante el tiempo T se transfieren a la computadora y se almacenan en la memoria.
fig.10 Señal digitalizada - N lecturas recibidas en el tiempo T
¿Cuáles son los requisitos para los parámetros de digitalización de señales? Un dispositivo que convierte una señal analógica de entrada en un código discreto ( señal digital) se denomina convertidor de analógico a digital (ADC) (Wiki).
Uno de los principales parámetros del ADC es la frecuencia de muestreo máxima (o frecuencia de muestreo, frecuencia de muestreo en inglés): la frecuencia de toma de muestras de una señal continua en el tiempo durante su muestreo. Medido en hercios. ((Wiki))
De acuerdo con el teorema de Kotelnikov, si una señal continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, entonces puede restaurarse de forma completa y única a partir de sus muestras discretas tomadas a intervalos de tiempo. 
, es decir. con frecuencia Fd? 2*Fmax, donde Fd - frecuencia de muestreo; Fmax - frecuencia máxima del espectro de la señal. En otras palabras, la tasa de muestreo de la señal (ADC sample rate) debe ser al menos 2 veces la frecuencia máxima de la señal que queremos medir.
¿Y qué pasará si tomamos lecturas con una frecuencia más baja que la requerida por el teorema de Kotelnikov?
En este caso, se produce el efecto de "aliasing" (también conocido como efecto estroboscópico, efecto muaré), en el que la señal de alta frecuencia después de la digitalización se convierte en una señal de baja frecuencia que en realidad no existe. En la fig. 5 ondas sinusoidales rojas de alta frecuencia son la señal real. La onda sinusoidal azul de baja frecuencia es una señal ficticia que resulta del hecho de que más de la mitad de un período de una señal de alta frecuencia tiene tiempo de pasar durante el tiempo de muestreo.
Arroz. 11. La aparición de una señal falsa de baja frecuencia cuando la tasa de muestreo no es lo suficientemente alta
Para evitar el efecto de aliasing, se coloca un filtro anti-aliasing especial frente al ADC - LPF (filtro de paso bajo), que pasa las frecuencias por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y corta las frecuencias más altas.
Para calcular el espectro de una señal a partir de sus muestras discretas, se utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT). Observamos una vez más que el espectro de una señal discreta está "por definición" limitado por la frecuencia Fmax, que es menos de la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por lo tanto, el espectro de una señal discreta se puede representar por la suma de un número finito de armónicos, en contraste con la suma infinita de la serie de Fourier de una señal continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. De acuerdo con el teorema de Kotelnikov, la frecuencia armónica máxima debe ser tal que represente al menos dos muestras, por lo que el número de armónicos es igual a la mitad del número de muestras de la señal discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, entonces el número de armónicos en el espectro será igual a N/2.
Considere ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).
Comparando con la serie de Fourier
Vemos que coinciden, excepto que el tiempo en la DFT es discreto y el número de armónicos está limitado a N/2, la mitad del número de muestras.
Las fórmulas DFT están escritas en variables enteras adimensionales k, s, donde k son los números de muestras de señal, s son los números de componentes espectrales.
El valor de s muestra el número de oscilaciones completas del armónico en el período T (la duración de la medición de la señal). La transformada discreta de Fourier se utiliza para encontrar las amplitudes y fases de los armónicos. método numérico, es decir. "en la computadora"
Volviendo a los resultados obtenidos al principio. Como se mencionó anteriormente, al expandir una función no periódica (nuestra señal) en una serie de Fourier, la serie de Fourier resultante en realidad corresponde a una función periódica con un período T. (Fig. 12).
fig.12 Función periódica f(x) con período Т0, con período de medición Т>T0
Como puede verse en la Fig. 12, la función f(x) es periódica con período Т0. Sin embargo, debido a que la duración de la muestra de medida T no coincide con el periodo de la función T0, la función obtenida como serie de Fourier tiene una discontinuidad en el punto T. Como resultado, el espectro de esta función será contener un gran número de armónicos de alta frecuencia. Si la duración de la muestra de medida T coincidiera con el periodo de la función T0, entonces sólo el primer armónico (una sinusoide con un periodo igual a la duración de la muestra) estaría presente en el espectro obtenido tras la transformada de Fourier, ya que la función f (x) es una sinusoide.
En otras palabras, el programa DFT "no sabe" que nuestra señal es una "pieza de una onda sinusoidal", sino que trata de representar una función periódica como una serie, que tiene un hueco debido a la inconsistencia de las piezas individuales de la onda sinusoidal.
Como resultado, aparecen armónicos en el espectro, que en total deberían representar la forma de la función, incluida esta discontinuidad.
Así, para obtener el espectro "correcto" de la señal, que es la suma de varias sinusoides con diferentes periodos, es necesario que en el periodo de medida de la señal quepa un número entero de periodos de cada sinusoide. En la práctica, esta condición puede cumplirse durante una duración suficientemente larga de la medición de la señal.
Fig.13 Ejemplo de la función y espectro de la señal del error cinemático de la caja de cambios
Con una duración más corta, la imagen se verá "peor":
Fig.14 Un ejemplo de la función y el espectro de la señal de vibración del rotor
En la práctica, puede ser difícil entender dónde están los "componentes reales" y dónde están los "artefactos" causados por la no multiplicidad de los períodos de los componentes y la duración de la muestra de la señal o los "saltos y rupturas" de la forma de onda Por supuesto, las palabras "componentes reales" y "artefactos" no se citan en vano. La presencia de muchos armónicos en el gráfico de espectro no significa que nuestra señal en realidad "conste" de ellos. Es como pensar que el número 7 "consiste" en los números 3 y 4. El número 7 se puede representar como la suma de los números 3 y 4; esto es correcto.
Así es nuestra señal… o mejor dicho, ni siquiera “nuestra señal”, sino que una función periódica compilada repitiendo nuestra señal (muestreo) se puede representar como una suma de armónicos (sinusoides) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes para la práctica (véanse las figuras anteriores), es posible relacionar los armónicos obtenidos en el espectro con procesos reales que son de naturaleza cíclica y contribuyen significativamente a la forma de la señal.
2. La señal está representada por un conjunto de valores reales y su espectro está representado por un conjunto de valores reales. Las frecuencias armónicas son positivas. El hecho de que a los matemáticos les resulte más conveniente representar el espectro de forma compleja utilizando frecuencias negativas no significa que “sea correcto” y que “siempre se deba hacer así”.
3. La señal medida en el intervalo de tiempo T se determina solo en el intervalo de tiempo T. Lo que sucedió antes de que comenzáramos a medir la señal y lo que sucederá después de eso, esto es desconocido para la ciencia. Y en nuestro caso, no es interesante. La DFT de una señal de tiempo limitado da su espectro "real", en el sentido de que, bajo ciertas condiciones, permite calcular la amplitud y frecuencia de sus componentes.
Materiales usados y otros materiales útiles.
Cualquier onda de forma compleja se puede representar como la suma de ondas simples.
Joseph Fourier estaba interesado en describir en términos matemáticos cómo viaja el calor a través de objetos sólidos ( cm. De intercambio de calor). Quizás su interés por la calidez estalló mientras estaba en el norte de África: Fourier acompañó a Napoleón en una expedición francesa a Egipto y vivió allí durante algún tiempo. Para lograr su objetivo, Fourier tuvo que desarrollar nuevos métodos matemáticos. Los resultados de su investigación se publicaron en 1822 en la obra "Teoría analítica del calor" ( Theorie analytique de la chaleur), donde explicó cómo analizar complejos problemas físicos descomponiéndolos en varios más simples.
El método de análisis se basó en el denominado series de Fourier. De acuerdo con el principio de interferencia, la serie comienza con la descomposición de una forma compleja en formas simples; por ejemplo, un cambio en la superficie de la tierra se debe a un terremoto, cambios en la órbita de un cometa debido a la influencia de la atracción de varios planetas, un cambio en el flujo de calor debido a su paso a través de un obstáculo de forma irregular hecho de material termoaislante. Fourier demostró que una forma de onda compleja puede representarse como la suma de ondas simples. Como regla general, las ecuaciones que describen los sistemas clásicos se resuelven fácilmente para cada una de estas ondas simples. Fourier pasó a mostrar cómo estos soluciones simples se puede resumir para obtener la solución de todo el problema complejo como un todo. (Matemáticamente hablando, una serie de Fourier es un método para representar una función como una suma de armónicos: seno y coseno, por lo que el análisis de Fourier también se conoce como análisis armónico).
Hasta la llegada de las computadoras a mediados del siglo XX, los métodos de Fourier y similares eran las mejores armas del arsenal científico para atacar las complejidades de la naturaleza. Desde el advenimiento métodos integrados Los científicos de Fourier pudieron usarlos para resolver no solo problemas simples que pueden resolverse mediante la aplicación directa de las leyes de la mecánica de Newton y otras ecuaciones fundamentales. De hecho, muchos de los grandes logros de la ciencia newtoniana en el siglo XIX habrían sido imposibles sin el uso de los métodos propuestos por primera vez por Fourier. En el futuro, estos métodos se utilizaron para resolver problemas en varios campos, desde la astronomía hasta la ingeniería mecánica.
Jean-Baptiste Joseph Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
matemático francés. Nacido en Auxerre; a la edad de nueve años se quedó huérfano. Ya desde muy joven mostró aptitud para las matemáticas. Fourier fue educado en una escuela eclesiástica y una escuela militar, luego trabajó como profesor de matemáticas. A lo largo de su vida participó activamente en la política; Fue arrestado en 1794 por defender a las víctimas del terror. Tras la muerte de Robespierre, fue puesto en libertad; participó en la creación de la famosa Escuela Politécnica (Ecole Polytechnique) en París; su posición le proporcionó un trampolín para avanzar bajo el régimen de Napoleón. Acompañó a Napoleón a Egipto, fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Al regresar a Francia en 1801, fue nombrado gobernador de una de las provincias. En 1822 se convirtió en secretario permanente de la Academia Francesa de Ciencias, una posición influyente en el mundo científico de Francia.
Mathcad tiene herramientas integradas de transformada rápida de Fourier (FFT) que simplifican enormemente el procedimiento de análisis espectral aproximado.
FFT- algoritmo rápido para transferir información sobre la función dada por 2 metro(metro- entero) muestras en el dominio del tiempo, en el dominio de la frecuencia.
elementos:
Fig.3 Análisis espectral usando FFT
Función fft( v )implementa FFT directo devuelve FFT directo 2 metro-vector dimensional v, Dónde v- un vector cuyos elementos almacenan los conteos de la función F(t). El resultado será un vector. A dimensiones 1 + 2 metro- 1 con elementos complejos - muestras en el dominio de la frecuencia. De hecho, las partes real e imaginaria del vector son los coeficientes de Fourier un k Y b k lo que simplifica enormemente su adquisición.
Función sift( v) implementa la FFT inversa - devuelve la FFT inversa para el vector v con elementos complejos. Vector v tiene 1 + 2 metro – 1
Filtración señales análogas
Ø Filtrado de definición- selección de una señal útil de su mezcla con una señal de interferencia - ruido. El tipo más común de filtrado es el filtrado de frecuencia. Si se conoce la región de frecuencias ocupada por la señal útil, basta con seleccionar esta región y suprimir aquellas regiones que están ocupadas por ruido.
Usando una FFT directa, la señal ruidosa se convierte del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, creando un vector F de 64 componentes de frecuencia.
Luego se realiza la transformación de filtrado usando la función de Heaviside
F (X) - Función de paso Heaviside.
Devuelve 1 si X 0; de lo contrario 0.
Señal filtrada (vector gramo) se somete a una FFT inversa y produce un vector de señal de salida h.
La comparación de las dependencias temporales de las señales original y de salida muestra que la señal de salida repite casi por completo la señal de entrada y está libre en gran medida del ruido de alta frecuencia que enmascara la señal útil.
Figura 4. Filtrado de señales analógicas
La figura 4 ilustra la técnica de filtrado usando la FFT Primero, se sintetiza la señal original, representada por 128 muestras del vector v. Luego se agrega ruido a esta señal usando un generador números al azar (función segundo ) y se forma un vector de 128 muestras de la señal ruidosa.
.
Procedimiento para realizar trabajos de laboratorio.
Ejercicio 1. Calcule los primeros seis pares de coeficientes de la expansión de Fourier de la función F(t) en el segmento .
Construya gráficos de armónicos 1, 2 y 3.
Realizar la síntesis armónica de una función. F(t) para armónicos 1, 2 y 3. Muestre los resultados de la síntesis gráficamente.
opciones de trabajo 1
| № | F(t) | número de opción | F(t) | número de opción | F(t) |
| cos e |sen 3 t| |
Tarea 2. Realizar análisis espectrales clásicos y síntesis de funciones F(t). Muestra gráficamente los espectros de amplitudes y fases, resultado de la síntesis espectral de la función F(t).
Tarea 3. Realice análisis espectrales numéricos y síntesis de funciones. F(t). Para hacer esto, debe configurar funcion original F(t) discretamente en 32 muestras. Muestra gráficamente los espectros de amplitudes y fases, resultado de la síntesis espectral de la función F(t).
Tarea 4. Realizar análisis espectrales y síntesis de funciones F(t) utilizando la FFT. Para esto necesitas:
establecer la función original F(t) discretamente en 128 muestras;
realizar una FFT directa usando la función fft y mostrar gráficamente los espectros encontrados de amplitudes y fases de los primeros seis armónicos;
realizar una FFT inversa utilizando la función si t y mostrar gráficamente el resultado de la síntesis espectral de la función F(t).
Tarea 5. Realizar filtrado de funciones F(t) usando FFT:
Sintetizar una función F(t) en forma de una señal útil representada por 128 muestras del vector v;
a una señal útil v adjuntar ruido con una función segundo (segundo(2) - 1) y formar un vector de 128 muestras de la señal ruidosa s;
convertir señal con ruido s del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia utilizando la FFT directa (función fft). El resultado es una señal. F de 64 componentes de frecuencia;
· realizar una transformación de filtrado utilizando la función de Heaviside (parámetro de filtrado = 2);
usando la función si t realice la FFT inversa y obtenga el vector de señal de salida h;
trazar señal útil v y la señal obtenida filtrando la señal ruidosa s.
Tema 1. "Lógica proposicional"
Ejercicio
1. Determinar si la fórmula dada es idénticamente verdadera.
2. Escriba este enunciado como una fórmula de la lógica de las proposiciones. Construya la negación de este enunciado en forma de una fórmula que no contenga signos de negación externos. Traducir al lenguaje natural.
3. Determinar si el razonamiento dado es correcto (comprobar si la conclusión se deriva de la conjunción de premisas).
Variantes de tareas individuales del tema LP.
Opción número 1
3. Si una persona ha tomado una decisión y se la educa adecuadamente, entonces superará todos los deseos que compiten entre sí. La persona ha tomado una decisión, pero no ha superado los deseos en competencia. Por lo tanto, fue educado incorrectamente.
Opción número 2
2. Está lloviendo y está nevando.
3. Si este fenómeno es mental, entonces se debe a una influencia externa sobre el cuerpo. Si es fisiológico, también se debe a influencias externas en el cuerpo. Este fenómeno no es mental ni fisiológico. Por lo tanto, no se debe a influencias externas en el cuerpo.
Opción número 3
2. Es buen estudiante o buen deportista.
3. Si el sospechoso cometió el robo, entonces fue preparado cuidadosamente o tuvo cómplices. Si el robo se hubiera preparado cuidadosamente, si hubiera cómplices, se habría robado mucho. Poco se ha robado. Así que el sospechoso es inocente.
Opción número 4
2. Si la rueda de acero se calienta, su diámetro aumentará.
3. Si el precio de los valores sube o la tasa de interés baja, entonces el precio de las acciones baja. Si la tasa de interés cae, entonces el precio de las acciones no baja o el precio de los valores no sube. El precio de las acciones baja. En consecuencia, la tasa de interés disminuye.
Opción número 5
3. O el testigo no fue intimidado o, si Henry se suicidó, se encontró la nota. Si el testigo fue intimidado, entonces Henry no se suicidó. La nota ha sido encontrada. En consecuencia, Henry se suicidó.
Opción número 6
2. Está estudiando en el instituto o en cursos de idiomas extranjeros.
3. Si un filósofo es dualista, entonces no es materialista. Si no es materialista, entonces es dialéctico o metafísico. No es un metafísico. Por lo tanto, es dialéctico o dualista.
Opción número 7
2. Es capaz y diligente.
3. Si la inversión de capital permanece constante, entonces aumentará el gasto público o surgirá el desempleo. Si el gasto público no aumenta, los impuestos se reducirán. Si se reducen los impuestos y la inversión de capital permanece constante, entonces el desempleo no aumentará. El desempleo no aumentará. En consecuencia, el gasto público aumentará.
Opción número 8
2. Este libro es complejo y poco interesante.
3. Si los datos iniciales son correctos y el programa funciona correctamente, entonces se obtiene el resultado correcto. El resultado es incorrecto. Por lo tanto, los datos de entrada son incorrectos o el programa no funciona correctamente.
Opción número 9
2. Es a la vez un segador, un suizo y un jugador en la tubería.
3. Si los precios son altos, entonces los salarios son altos. Los precios son altos o se aplican controles de precios. Si se aplican controles de precios, entonces no hay inflación. Hay inflación. Por lo tanto, los salarios son altos.
Opción número 10
2. Si el agua se enfría, su volumen disminuirá.
3. Si estoy cansado, quiero irme a casa. Si tengo hambre, quiero ir a casa o ir a un restaurante. Estoy cansado y hambriento. Por eso quiero ir a casa.
Opción número 11
2. Si el número termina en cero, es divisible por 5.
3. Si hace frío mañana, me pondré una chaqueta abrigada si la manga está remendada. Mañana hará frío y la manga no se remendará. Así que no usaré una chaqueta abrigada.
Opción número 12
2. Un cuerpo sin apoyo cae al suelo.
3. Si nieva, será difícil conducir el automóvil. Si es difícil conducir, llegaré tarde si no salgo temprano. Está nevando y me iré temprano. Así que no llegaré tarde.
Opción número 13
2. Ivan y Peter conocen a Fedor.
3. Si una persona dice una mentira, entonces está engañada o deliberadamente engaña a otros. Esta persona no está diciendo la verdad y claramente no se engaña. Así que deliberadamente engaña a los demás.
Opción número 14
2. Este libro es útil e interesante.
3. Si fuera inteligente, vería su error. Si hubiera sido sincero, se lo habría confesado. Sin embargo, no es inteligente ni sincero. En consecuencia, o no ve su error, o no lo admite.
Opción número 15
2. Este actor actúa en el teatro y no actúa en el cine.
3. Si una persona es materialista, entonces reconoce la cognoscibilidad del mundo Si una persona reconoce la cognoscibilidad del mundo, entonces no es agnóstica. Por lo tanto, si una persona no es un materialista consistente, entonces es un agnóstico.
Opción número 16
2. Si se burlan de un perro, morderá.
3. Si hay justicia en el mundo, entonces la gente malvada no puede ser feliz. Si el mundo es la creación de un genio malvado, entonces la gente malvada puede ser feliz. Entonces, si hay justicia en el mundo, entonces el mundo no puede ser la creación de un genio maligno.
Opción número 17
2. Si eres dueño idioma en Inglés, puedes hacer el trabajo.
3. Si Ivanov trabaja, entonces recibe un salario. Si Ivanov estudia, recibe una beca. Pero Ivanov no recibe un salario ni recibe una beca. Por lo tanto, no trabaja ni estudia.
Opción número 18
2. Si la función es impar, entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.
3. Si me acuesto, no aprobaré el examen. Si estudio de noche, tampoco aprobaré el examen. Por lo tanto, no aprobaré el examen.
Opción número 19
2. Si un número es divisible por 3, entonces la suma de sus dígitos es divisible por 3.
3. Si voy a la primera conferencia mañana, tendré que levantarme temprano. Si voy a una discoteca por la noche, me acostaré tarde. Si me acuesto tarde y me levanto temprano, me sentiré mal. Por lo tanto, debo saltarme la primera conferencia o no ir a la discoteca.
Opción número 20
2. Si una palabra se coloca al comienzo de una oración, entonces se escribe con mayúscula.
3. Si X 0 y y 0, entonces X 2 + y 2 > 0. Si X= 0 y y= 0, entonces la expresión ( X – y):(X + y) no tiene sentido. No es cierto que X 2 + y 2 > 0. Por lo tanto, la expresión ( X – y):(X + y).
Opción número 21
2. Ivan y Marya se aman.
3. Si el libro que estoy leyendo es inútil, entonces no es difícil. Si el libro es difícil, entonces no es interesante. Este libro es complejo e interesante. Entonces ella es útil.
Opción número 22
2. El soldado que no sueña con ser general es malo.
3. Si llueve mañana, me pondré un impermeable. Si hay viento, me pondré una chaqueta. Por lo tanto, si no hay lluvia y viento, no usaré impermeable ni chaqueta.
Opción número 23
2. Si la serie converge, entonces su término común tiende a cero.
3. Si no es cobarde, actuará de acuerdo con sus propias convicciones. Si es honesto, entonces no es un cobarde. Si no es honesto, no admitirá su error. Admitió su error. Así que no es un cobarde.
Opción número 24
2. Ni Iván ni Fedor son excelentes estudiantes.
3. Si es terco, puede cometer errores. Si es honesto, no es terco. Si no es obstinado, no puede estar equivocado y ser honesto al mismo tiempo. Entonces él no es terco.
Opción número 25
2. Iván o Peter conocen a Fedor.
3. Si el salario se paga a tiempo, entonces se esperan elecciones o una acción de protesta. El salario fue pagado a tiempo. No se esperan elecciones. Por lo tanto, se espera una acción de protesta.
Opción número 26
2. Si haces un algoritmo y escribes un programa, puedes resolver este problema.
3. Si una persona practica deportes, entonces está saludable. Si una persona está sana, entonces es feliz, esta persona practica deportes. Entonces él es feliz.
Opción número 27
2. Por la noche iremos al hockey o lo veremos en la televisión.
3. Anton está sobrecargado de trabajo o enfermo. Si está demasiado cansado, se irrita. Él no se enfada. Por lo tanto, está enfermo.
Opción número 28
2. Si no duermo lo suficiente o tengo hambre, no puedo hacer ejercicio.
3. Si la empresa se enfoca en fortalecer el marketing, entonces tiene la intención de obtener una gran ganancia con el lanzamiento de nuevos productos. Si la empresa prevé la expansión de la red de distribución, entonces tiene la intención de recibir grandes ganancias del aumento de las ventas. La empresa tiene la intención de fortalecer el marketing o va a ampliar la red de ventas, por lo tanto, tiene la intención de obtener una gran ganancia.
Opción número 29
2. Si no se reducen los impuestos, los pequeños productores quebrarán y abandonarán la producción.
3. El contrato se ejecutará cuando y solo cuando la casa esté terminada en febrero. Si la casa está terminada en febrero, podemos mudarnos en marzo. El contrato se cumplirá, por lo tanto, podemos mudarnos en marzo.
Opción número 30
2. Si nuestro equipo no gana el primer lugar, nos quedaremos en casa y entrenaremos.
3. El programa planeado tendrá éxito si el enemigo es tomado por sorpresa o si su posición está mal defendida. Puedes tomarlo por sorpresa si es descuidado. No será descuidado si su posición está mal defendida. Entonces el programa fallará.
Tema 2. Regresión de pares lineales
Este tema incluye la implementación de seis trabajo de laboratorio dedicado a la construcción y estudio de una ecuación de regresión lineal de la forma
Ejemplo 1.1.
Para determinar la relación entre la producción de carbón móvil por trabajador (variable Y, medido en toneladas) y el espesor de la veta de carbón (variable X, medido en metros) en 10 minas, se realizaron estudios, cuyos resultados se presentan en la tabla.
| i | ||||||||||
| x yo | ||||||||||
| y yo |
Laboratorio #1
Cálculo de los coeficientes de la ecuación LR
objetivo del trabajo Cálculo de los coeficientes de la ecuación de regresión lineal sobre una muestra espacial.
Razones estimadas. Los coeficientes determinados sobre la base del método de los mínimos cuadrados son la solución del sistema de ecuaciones
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos
,
Dónde mXY es el valor muestral del momento de correlación determinado por la fórmula:
,
es el valor muestral de la varianza de la cantidad X, determinada por la fórmula:
Solución
Calculamos estos coeficientes utilizando una hoja de cálculo de Excel. La figura muestra un fragmento de un documento de Excel en el que:
a) se colocan los datos de la tabla;
b) se programa el cálculo de los coeficientes del sistema;
c) el cálculo está programado b 0 , b 1 según las fórmulas.
Tenga en cuenta que la función de Excel PROMEDIO ( rango de celdas).
Como resultado de los cálculos programados, obtenemos
b 0 = –2.75; b 1 = 1.016,
y la ecuación de regresión misma toma la forma
Ejercicio. Usando la ecuación de regresión obtenida, determine la productividad del minero si el espesor de la capa de carbón es:
a) 8,5 metros (interpolación de datos);
b) 14 metros (extrapolación de datos).
Arroz. 1. Cálculo de coeficientes de regresión lineal
Laboratorio #2
Cálculo del coeficiente de correlación de la muestra
Objetivo del trabajo. Cálculo del coeficiente de correlación muestral para una muestra espacial.
Razones estimadas. El coeficiente de correlación de la muestra está determinado por la relación
Dónde 
, 
, .
Solución
Fragmento de un documento de Excel que calcula los valores: coeficiente de correlación
Arroz. 2. Cálculo del coeficiente de correlación
Laboratorio #3
Cálculo de Estimaciones de las Varianzas del LR Pareado
Objetivo del trabajo. Calcular puntuaciones para las varianzas de los coeficientes b 0 , b 1 ,.
Razones estimadas. Las estimaciones de las varianzas de los coeficientes se determinan mediante las fórmulas:
, 
Dónde 
- estimación de la varianza.
Solución. La figura 3 muestra un fragmento de un documento de Excel en el que se calculan las estimaciones de varianzas. Darse cuenta de
· los valores de los coeficientes son tomados del trabajo de laboratorio N° 1 y las celdas (B1, B2) en las que se encuentran tienen direccionamiento absoluto ($B$1, $B$2) en las expresiones que calculan los valores de regresión;
El valor (celda B19) se toma del trabajo de laboratorio No. 1. Obtenemos los siguientes valores:
.
Arroz. 3. Cálculo de estimaciones para coeficientes de varianza
Laboratorio #4
Funciones de Excel para coeficientes LR emparejados
Objetivo del trabajo. Calcule los coeficientes de una ecuación de regresión lineal sobre una muestra espacial usando funciones de Excel.
Aquí hay algunas funciones estadísticas de Excel que son útiles para construir una regresión lineal por pares.
Función INTERCEPTAR.
SEGMENTO DE LÍNEA( Rango de valores_ ; Rango de valores_ ).
Función INCLINACIÓN. Calcula el coeficiente y la inversión tiene la forma
INCLINACIÓN( Rango de valores_ ; Rango de valores_ ).
Función de PRONÓSTICO. Calcula el valor de una regresión lineal por pares dado el valor de la variable independiente (indicada por ) y la inversión es
PRONÓSTICO( ; Rango de valores_ ;Rango de valores_ ).
Función STOSHYX. Calcula una estimación de la desviación estándar de las perturbaciones y la inversión tiene la forma (YX - letras latinas):
STOSHYX( Rango de valores_ ; Rango de valores_ ).
Solución. Se muestra un fragmento de un documento de Excel que calcula los valores requeridos. Tenga en cuenta el uso de direccionamiento absoluto al calcular.
Arroz. 4. Uso de funciones de Excel
Ejercicio. Compare los valores calculados con los valores obtenidos en los Laboratorios #1 y #3.
Laboratorio #5
Construcción de una estimación de intervalo para la función LR emparejada
Objetivo del trabajo. Construyendo una estimación de intervalo para la función de regresión 
con confiabilidad g = 0.95, utilizando para ello la ecuación de regresión, construida en el trabajo de laboratorio No. 1.
Razones estimadas. Estimación de intervalo (intervalo de confianza) para (para un valor dado) con confiabilidad (probabilidad de confianza) igual a g está determinada por la expresión
La estimación de la varianza de la función tiene la forma
,
Dónde - estimación de la varianza.
Así, dos cantidades (depende de ) y , calculadas usando la función de Excel:
STUDRASP().
Solución. Los valores de los límites inferior y superior del intervalo se calcularán para 
.
En la figura se muestra un fragmento del documento que realiza estos cálculos.
Figura 5. Construyendo una estimación de intervalo para
Los valores, , (celdas B16:B18) y coeficientes (B1:B2) se toman de laboratorios anteriores. Valor = STEUDRASP() = 2.31.
Laboratorio #6
Comprobación de la significación de la ecuación LR por el criterio de Fisher
Objetivo del trabajo. De acuerdo con la tabla, evalúe al nivel a = 0.05 el significado de la ecuación de regresión
,
construido en el trabajo de laboratorio No. 1.
Razones estimadas. Una ecuación de regresión por pares es significativa con un nivel de significación a si se cumple la siguiente desigualdad:
Dónde F gramo; 1; norte-2 – valores de cuantiles de nivel g F-distribuciones con números de grados de libertad k 1 = 1 y k 2 = norte – 2.
Para calcular el cuantil, puedes usar la siguiente expresión
FPAR().
Las cantidades están determinadas por las expresiones:
,
.
El criterio a menudo se llama criterio de pescador o Criterio F.
Solución. Se muestra un fragmento de un documento de Excel que calcula los valores qe, y el criterio F. En columna D Los valores se calculan mediante la fórmula. Los valores de los coeficientes se toman del trabajo de laboratorio No. 1.
Se obtienen los siguientes valores , , . Cálculo del cuantil F 0,95; 1; 8 = 5,32. La desigualdad se satisface porque 24.04 > 5.32 y por lo tanto la ecuación de regresión significativa con un nivel de significancia a = 0.05.
Arroz. 6. Cálculo del valor de F - criterio
Tema 3 Regresión no lineal por pares
Este tema incluye dos prácticas de laboratorio sobre la creación de una ecuación de regresión de pares no lineales. La muestra espacial para construir la regresión se toma del siguiente ejemplo.
Ejemplo La tabla muestra los valores de la variable independiente (ingreso familiar en miles de rublos) y los valores de la variable dependiente (participación del gasto en bienes duraderos como porcentaje del gasto total).
| 13.4 | 15.4 | 16.5 | 18.6 | 19.1 |
Laboratorio #7
Construyendo una regresión no lineal usando
Agregar comandos de línea de tendencia
objetivo del trabajo Usando muestreo espacial, es necesario construir una ecuación de regresión no lineal de la forma usando el comando "Agregar línea de tendencia" y calcular el coeficiente de determinación.
Comando "Añadir línea de tendencia". Se utiliza para resaltar la tendencia (cambios lentos) en el análisis de series temporales.
Sin embargo, este comando también se puede utilizar para construir una ecuación de regresión no lineal, considerando la variable independiente como tiempo.
Este comando le permite construir las siguientes ecuaciones de regresión:
lineal
polinomio 
();
logarítmico
ley de potencia;
exponencial.
Para construir una de las regresiones enumeradas, debe realizar los siguientes pasos:
Paso 1. En la hoja de Excel seleccionada, ingrese los datos de origen en columnas 
.
Paso 2 Con base en estos datos, construya un gráfico en el sistema de coordenadas cartesianas.
Paso 3 Coloque el cursor en el gráfico construido, haga clic botón derecho del ratón y en el aparecido Menú de contexto ejecutar comando Añadir línea de tendencia
Etapa 4 En el cuadro de diálogo que aparece, active la pestaña "Tipo" y seleccione la ecuación de regresión deseada.
Arroz. 2.1. Construyendo un gráfico basado en datos iniciales
Arroz. 2.2. Selección del tipo de ecuación de regresión
Paso 5 Activar la pestaña "Opciones" y "habilitar" opciones que necesitamos:
· "Mostrar ecuación en el diagrama" - el diagrama mostrará la ecuación de regresión seleccionada con los coeficientes calculados;
Arroz. 2.3. Configuración de opciones de salida de información
· "Pon en el diagrama el valor de la confianza de aproximación (R^2)" - el diagrama mostrará el valor del coeficiente de determinación (para regresión no lineal - el índice de determinación), calculado por la fórmula
· Si es necesario realizar un pronóstico de acuerdo con la ecuación de regresión construida, debe especificar el número de períodos de pronóstico.
El propósito de otras opciones queda claro a partir de sus nombres.
Paso 6 Después de configurar todas las opciones enumeradas, haga clic en el botón "Aceptar" y la fórmula de la ecuación de regresión construida y el valor del índice de determinación (resaltado en oscuro) aparecerán en el diagrama.
Arroz. 2.4. Gráfica y ecuación de la regresión construida
Solución.
La construcción de la ecuación se lleva a cabo de acuerdo con los pasos descritos anteriormente. Obtenemos la ecuación
,
para el cual el coeficiente de determinación es . Tal valor indica una buena correspondencia de la ecuación construida con los datos iniciales.
Laboratorio #8
Elegir la mejor regresión no lineal
Objetivo del trabajo. Utilizando el muestreo espacial y el comando Agregar línea de tendencia, cree seis ecuaciones de regresión no lineal (se crea una ecuación polinomial con y ), determine para cada ecuación el coeficiente de determinación (se muestra el valor), el coeficiente de determinación reducido (se calcula el valor) y, usando el valor máximo, encuentre la mejor ecuación de regresión no lineal.
Coeficiente de determinación reducido. El coeficiente de determinación caracteriza la proximidad de la regresión construida a los datos originales, que contienen un componente aleatorio "indeseable". Obviamente, al construir un polinomio de quinto orden a partir de los datos, obtenemos un valor "ideal", pero dicha ecuación contiene no solo una variable independiente, sino también un componente, y esto reduce la precisión del uso de la ecuación construida para el pronóstico.
Por lo tanto, al elegir una ecuación de regresión, es necesario tener en cuenta no solo el valor, sino también la "complejidad" de la ecuación de regresión, determinada por el número de coeficientes de la ecuación.
Tal contabilidad se implementa con éxito en los llamados coeficiente de determinación dado:
,
donde es el número de coeficientes de regresión calculados. Se puede ver que a aumento constante disminuye el valor de . Si el número de coeficientes para las ecuaciones de regresión comparadas es el mismo (por ejemplo, ), entonces la selección de la mejor regresión se puede realizar de acuerdo con el valor . Si el número de coeficientes cambia en las ecuaciones de regresión, entonces tal selección es conveniente en términos de .
Solución. Para construir cada ecuación, realizamos los pasos 2 a 6 (para la primera ecuación, también el paso 1) y colocamos seis ventanas en un documento, en las que se muestran las ecuaciones de regresión encontradas de la ecuación y el valor. Luego la fórmula de la ecuación y ponla en la tabla. A continuación, calculamos el coeficiente de determinación reducido e ingresamos estos valores en la tabla también.
Como la "mejor" ecuación de regresión, elegimos la ecuación que tiene el mayor valor del coeficiente de determinación reducido. Tal ecuación es una función de potencia (en la tabla, la línea con esta función está resaltada en gris).
,
teniendo valor = 0.9901.
| № | La ecuacion | ||
 | 0.949 | 0.938 | |
| 0.9916 | 0.9895 | ||
| (polinomio, ) | 0.9896 | 0.9827 | |
 (polinomio, ) | 0.9917 | 0.9792 | |
| | 0.9921 | 0.9901 | |
 | 0.9029 | 0,8786 |
Ejercicio. Determine el valor de la ecuación de regresión "peor".
Tema 4. Regresión lineal múltiple
Este tema incluye realizar trabajos de laboratorio sobre la construcción y el estudio de una ecuación de regresión lineal múltiple de la forma
La muestra espacial para construir esta ecuación se toma del siguiente ejemplo.
Ejemplo Datos sobre la minería itinerante del carbón por trabajador (variable Y), espesor del yacimiento (variable X 1 y el nivel de mecanización del trabajo en la mina (variable X 2) que caracterizan el proceso de extracción de carbón en 10 minas se dan en la tabla. Suponiendo que entre las variables Y, X 1 , X 2 hay dependencia lineal, es necesario encontrar una expresión analítica para esta dependencia, es decir, construir una ecuación de regresión lineal.
| el mio numero i | x yo 1 | x i 2 , es decir matriz un contacto Asistente de funciones y seleccione la categoría deseada de funciones, luego especifique el nombre de la función y configure los rangos de celdas correspondientes, b) ingrese el nombre de la función desde el teclado; configure los rangos de celdas correspondientes. Transposición de matriz se realiza mediante la función TRANSPONER (categoría de funciones - Referencias y arreglos TRANSPORTE ( rango de celdas), donde parámetro rango de celdas especifica todos los elementos de la matriz transpuesta (o vector). Multiplicación de matrices se realiza mediante la función MULTIP (categoría de función - Matemático). Una llamada a una función tiene la forma: MULTIP( rango_1; rango_2), donde parámetro rango_1 especifica los elementos de la primera de las matrices multiplicadas, y el parámetro rango_2 - elementos de la segunda matriz. En este caso, las matrices multiplicadas deben tener las dimensiones adecuadas (si la primera matriz es, la segunda es, entonces el resultado será una matriz). Inversión de matriz (cálculo de la matriz inversa) se realiza con la ayuda de la función INBR (categoría de funciones - Matemático). La llamada a la función se ve así: MOB ( rango de celdas), donde parámetro rango de celdas especifica todos los elementos de la matriz invertible, que deben ser cuadrados y no singulares. Al usar estas funciones se debe seguir el siguiente procedimiento: · seleccionar un fragmento de celdas, en el que se ingresará el resultado de la ejecución de funciones matriciales (en este caso, se deben tener en cuenta los tamaños de las matrices iniciales); · introducir una expresión aritmética, que contiene una apelación a la matriz funciones de excel; · presione las teclas al mismo tiempo, , . Si esto no se hace, entonces solo se calcula un elemento la matriz o vector resultante. Módulo de regresión de modo Análisis de los datos. procesador de hojas de calculo Excel contiene módulo Análisis de los datos. Este módulo le permite realizar análisis estadísticos de datos de muestra (construcción de histogramas, cálculo de características numéricas, etc.). Modo de trabajo Regresión de este módulo realiza el cálculo de los coeficientes de regresión lineal múltiple con variables, la construcción de intervalos de confianza y la prueba de significancia de la ecuación de regresión. Para llamar al modo Regresión módulo Análisis de los datos necesario: elemento del menú de acceso Servicio; En el menú que aparece, ejecute el comando Análisis de los datos; en la lista de modos de funcionamiento del módulo Análisis de los datos Seleccionar modo Regresión y haga clic en el botón De acuerdo . Después de llamar al modo Regresión Aparece un cuadro de diálogo en la pantalla en el que se configuran los siguientes parámetros: 1. Intervalo de entrada Y - se ingresa un rango de direcciones de celdas que contienen valores (las celdas deben formar una columna).
Arroz. 3.2. Cuadro de diálogo Modo de regresión 2. Intervalo de entrada X - Se ingresa un rango de direcciones de celdas que contienen los valores de las variables independientes. Los valores de cada variable están representados por una columna. El número de variables no es más de 16 (es decir, ). 3. Etiquetas - incluido si la primera línea en el rango de entrada contiene un encabezado. En este caso, los nombres estándar se crearán automáticamente. 4. Nivel de confiabilidad - cuando esta opción está habilitada, la confiabilidad se establece al construir intervalos de confianza. 5. Cero constante– cuando este parámetro está habilitado, el coeficiente . 6. Intervalo de salida - cuando está habilitado, el campo está activado, en el que debe ingresar la dirección de la celda superior izquierda del rango de salida, que contiene celdas con los resultados de los cálculos de modo Regresión. 7. Nueva hoja de trabajo - cuando esta opción está habilitada, se abre una nueva hoja, en la que, a partir de la celda A1, se insertan los resultados de la operación del modo Regresión. 8. Nuevo libro de trabajo- cuando esta opción está habilitada, se abre un nuevo libro en la primera hoja de la cual, a partir de la celda A1, se insertan los resultados de la operación de modo Regresión. 9. Restos - inclusión calcula la columna que contiene los residuos 10. Residuos estandarizados - cuando se incluye, se calcula la columna que contiene los residuos estandarizados. Después de eso, el modo Regresión y establezca los parámetros requeridos en el cuadro de diálogo. Tenga en cuenta que debido a la gran "anchura" de las tablas en las que se muestran los resultados de la operación del modo Regresión, algunos de los resultados se colocan en otras celdas. Demos una breve interpretación de los indicadores, cuyos valores se calculan en el modo. Regresión. Inicialmente, considere los indicadores, unidos por el nombre Estadísticas de regresión(ver figura 3.3). Múltiple - la raíz cuadrada del coeficiente de determinación. cuadrado- coeficiente de determinación .
Arroz. 3.3. Resultados del modo de regresión normalizado cuadrado es el coeficiente de determinación reducido (ver fórmula (2.1)). Error estándar es una estimación de la desviación estándar. Observaciones es el número de observaciones. Análisis espectral El análisis espectral es una amplia clase de métodos de procesamiento de datos basados en su representación de frecuencia o espectro. El espectro se obtiene descomponiendo la función original, en función del tiempo (series temporales) o de las coordenadas espaciales (por ejemplo, imágenes), en base a alguna función periódica. El más utilizado para el procesamiento espectral es el espectro de Fourier obtenido sobre la base del seno (expansión de Fourier, transformada de Fourier). El significado principal de la transformada de Fourier es que la función no periódica original de una forma arbitraria, que no se puede describir analíticamente y, por lo tanto, es difícil de procesar y analizar, se representa como un conjunto de senos o cosenos con diferentes frecuencias, amplitudes y valores iniciales. etapas. En otras palabras, una función compleja se transforma en un conjunto de funciones más simples. Cada sinusoide (u onda coseno) con una determinada frecuencia y amplitud, obtenida como resultado de la descomposición de Fourier, se denomina componente espectral o harmónica. Los componentes espectrales forman espectro de Fourier. Visualmente, el espectro de Fourier se representa como un gráfico, en el que la frecuencia circular, denotada por la letra griega "omega", se traza a lo largo del eje horizontal, y la amplitud de los componentes espectrales, generalmente denotada por letra latina A. Entonces, cada componente espectral se puede representar como una referencia, cuya posición horizontal corresponde a su frecuencia y la altura corresponde a su amplitud. Un armónico con frecuencia cero se llama componente constante(en la representación del tiempo es una línea recta). Incluso un simple análisis visual del espectro puede decir mucho sobre la naturaleza de la función de la que se deriva. Es intuitivamente claro que los cambios rápidos en los datos iniciales dan lugar a componentes en el espectro con alto frecuencia, y lentos con bajo. Por lo tanto, si la amplitud de los componentes en él disminuye rápidamente con el aumento de la frecuencia, entonces la función original (por ejemplo, una serie de tiempo) es uniforme, y si el espectro contiene componentes de alta frecuencia con una gran amplitud, entonces la función original será contienen fluctuaciones bruscas. Entonces, para una serie de tiempo, esto puede indicar un gran componente aleatorio, la inestabilidad de los procesos descritos por ella, la presencia de ruido en los datos. La manipulación espectral se basa en la manipulación del espectro. De hecho, si reducimos (suprimimos) la amplitud de los componentes de alta frecuencia y luego, basándonos en el espectro modificado, restauramos la función original realizando la transformada inversa de Fourier, entonces se suavizará debido a la eliminación de los componentes de alta frecuencia. componente de frecuencia Para una serie temporal, por ejemplo, esto significa eliminar la información sobre las ventas diarias, que se ven muy afectadas por factores aleatorios, y dejar tendencias más estables, como la estacionalidad. Puede, por el contrario, suprimir componentes con una frecuencia baja, lo que le permitirá eliminar los cambios lentos y dejar solo los rápidos. En el caso de una serie temporal, esto supondría la supresión del componente estacional. Al aplicar el espectro de esta manera, se puede lograr el cambio deseado en los datos originales. El suavizado de series de tiempo más utilizado consiste en eliminar o reducir la amplitud de los componentes de alta frecuencia en el espectro. Para manipular los espectros, se utilizan filtros, algoritmos que pueden controlar la forma del espectro, suprimir o mejorar sus componentes. jefe propiedad cualquier filtrar es su característica de amplitud-frecuencia (AFC), cuya forma depende de la transformación del espectro. Si el filtro pasa solo componentes espectrales con una frecuencia por debajo de una determinada frecuencia de corte, se denomina filtro de paso bajo (LPF) y se puede utilizar para suavizar los datos, limpiarlos de ruido y valores anómalos. Si el filtro pasa los componentes espectrales por encima de una determinada frecuencia de corte, se denomina filtro de paso alto (HPF). Se puede usar para suprimir cambios lentos, como la estacionalidad en una serie de datos. Además, se utilizan muchos otros tipos de filtros: filtros de paso medio, filtros de trampa y filtros de paso de banda, así como otros más complejos que se utilizan en el procesamiento de señales en electrónica. Elegir el tipo y la forma. respuesta frecuente filtro, puede lograr la transformación deseada de los datos originales mediante el procesamiento espectral. Al realizar el filtrado de frecuencia de datos para suavizar y eliminar el ruido, es necesario especificar correctamente el ancho de banda del filtro de paso bajo. Si se establece demasiado alto, el grado de suavizado será insuficiente y el ruido no se suprimirá por completo. Si es demasiado estrecho, junto con el ruido, los cambios que traen información útil. si en aplicaciones tecnicas Existen criterios estrictos para determinar las características óptimas de los filtros, luego, en las tecnologías analíticas, es necesario utilizar principalmente métodos experimentales. El análisis espectral es uno de los métodos de procesamiento de datos más eficientes y mejor desarrollados. Filtrado de frecuencia es solo una de sus muchas aplicaciones. Además, se utiliza en correlación y análisis estadístico, síntesis de señales y funciones, construcción de modelos, etc. El método de análisis se basó en la denominada serie de Fourier. La serie comienza con la descomposición de una forma compleja en formas simples. Fourier demostró que una forma de onda compleja puede representarse como la suma de ondas simples. Como regla general, las ecuaciones que describen los sistemas clásicos se resuelven fácilmente para cada una de estas ondas simples. Fourier continuó mostrando cómo estas soluciones simples se pueden resumir para dar una solución al problema complejo como un todo. (Matemáticamente hablando, una serie de Fourier es un método para representar una función como una suma de armónicos: seno y coseno, por lo que el análisis de Fourier también se conoce como "análisis armónico"). Según la hipótesis de Fourier, no hay función que no pueda expandirse en una serie trigonométrica. Veamos cómo se puede hacer esta expansión. Considere el siguiente sistema de funciones ortonormales en el intervalo [–π, π]: (1, cos(t), Guiado por el hecho de que este sistema funciones es ortonormal, la función f(t) en el intervalo [π, –π] se puede aproximar de la siguiente manera: f(t) = α0 + α1 ... + β1 Los coeficientes α n , β n se calculan a través del producto escalar de la función y la función base de acuerdo con las fórmulas discutidas anteriormente y se expresan de la siguiente manera: α 0 = un norte = βn = La expresión (6) se puede escribir en forma comprimida de la siguiente manera: f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + … B 1 sen(t) + b 2 sen(2t) + b 3 sen(3t)+… (7) un 0 = 2α 0 = y n = bn= Como para n = 0 cos(0) = 1, la constante a 0 /2 expresa forma general coeficiente a n en n = 0. Los coeficientes a n y b n se denominan coeficientes de Fourier, y la representación de la función f(t) según la fórmula (7) se denomina expansión en una serie de Fourier. A veces, la expansión de la serie de Fourier, presentada de esta forma, se denomina expansión de la serie de Fourier real, y los coeficientes se denominan coeficientes de Fourier reales. Se introduce el término "real" para distinguir esta descomposición de la descomposición compleja. Analicemos las expresiones (8) y (9). El coeficiente a 0 es el valor medio de la función f(t) en el segmento [–π, π] o la componente constante de la señal f(t). Los coeficientes a n y b n (para n > 0) son las amplitudes de las componentes coseno y seno de la función (señal) f(t) con una frecuencia angular igual a n. En otras palabras, estos coeficientes establecen la magnitud de los componentes de frecuencia de las señales. Por ejemplo, cuando hablamos de una señal de sonido con frecuencias bajas (por ejemplo, los sonidos de un bajo), esto significa que los coeficientes a n y b n son mayores para valores menores de n, y viceversa -en altas- vibraciones de sonido de frecuencia (por ejemplo, el sonido de un violín) es mayor para valores más grandes de n. La oscilación del período más largo (o la frecuencia más baja), representada por la suma de a 1 cos(t) yb 1 sen(t) se denomina oscilación de frecuencia fundamental o primer armónico. Una oscilación con un período igual a la mitad del período de la frecuencia fundamental es el segundo armónico, una oscilación con un período igual a 1/n de la frecuencia fundamental es el n-armónico. Por lo tanto, al expandir la función f(t) en una serie de Fourier, podemos hacer la transición del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Tal transición suele ser necesaria para revelar características de la señal que son "invisibles" en el dominio del tiempo. Tenga en cuenta que las fórmulas (8) y (9) son aplicables para una señal periódica con un período igual a 2π. En el caso general, una señal periódica con período T se puede expandir en una serie de Fourier, luego se usa el segmento [–T/2, T/2] en la expansión. El periodo del primer armónico es igual a T y las componentes serán cos(2πt/T) y sin(2πt/T), las componentes del n-armónico serán cos(2πtn/T) y sin(2πtn /T). La función f(t) en el intervalo [–T/2,T/2] se puede aproximar de la siguiente manera: f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + … B 1 sen(2πt/T) + b 2 sen(4πt/T) + b 3 sen(6πt/T)+…, (10) un norte = bn= Si denotamos la frecuencia angular del primer armónico ω 0 = 2π/T, entonces los componentes del n-armónico toman la forma cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) y f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + … B 1 sen(ω 0 t) + b 2 sen(2ω 0 t) + b 3 sen(3ω 0 t)+…= = donde los coeficientes de Fourier se calculan mediante las fórmulas: un norte = segundo norte = Materiales temáticos:
Actualizado: 28/11/2021
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pecado (t), 
porque(2t), 
pecado (2t), 
porque(3t), 
pecado(3t), …, 
cos(nt), 
pecado(nt),… ).
cos(t) + α2 
porque(2t) + 
α3 cos(3t) + …
sen(t) + β2 
sen(2t) + β3 
pecado(3t)+… (6)
,
,
.
,
un norte = 
,
(8)
β norte=
.
(9)
,
.
,
(11)
,
.
