Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación Rusa
Instituto Tecnológico de Biysk (sucursal)
institución educativa estatal
educación profesional superior
"Universidad Técnica Estatal de Altai
a ellos. yo Polzunov"
R.G. Gareeva
síntesis de filtros de frecuencia lineal
Biisk
Editorial de la Técnica Estatal de Altai
Universidad. yo Polzunova
CDU 621.372.54(076.5)
Revisor: Alexandrovich V.M., Ph.D.,
profesor adjunto IUS BTI AltSTU
Gareeva, R.G.
CON
G 20
síntesis de filtros de frecuencia lineal: pautas para la implementación del trabajo de laboratorio en la disciplina "Transformación de señales de medición" / R.G. Gareeva; alternativa estado tecnología un-t, BTI. - Biisk: Alt. estado tecnología un-ta, 2011. - 21 p.
Pautas contener resumen información teórica sobre los filtros eléctricos, sus tipos y principales características. El problema de diseñar filtros continuos tipo Butterworth se considera en detalle. bajas frecuencias, y sobre su base: filtros de paso de banda y filtros de paso alto.
CDU 621.372.54(076.5)
Revisado y aprobado
En una reunión del departamento de MCIA.
Acta No. 10 de 30 de diciembre de 2010
© Gareeva R.G., 2011
BTI AltSTU, 2011
| 1 PARTE TEÓRICA…………………………………….…. | 4 |
| 1.1 Filtros eléctricos……………………………….………… | 4 |
| 1.2 Tipos de filtros eléctricos………………..………..……. | 4 |
| 1.3 Propiedades de los filtros implementados físicamente…………..…… | 6 |
| 1.4 Características de potencia de los filtros……………………. | 8 |
| 1.5 Etapas de síntesis de filtros eléctricos…………………….. | 9 |
| 1.6 Síntesis de filtros continuos de paso bajo……..…..…… | 9 |
| 1.7 Síntesis de filtros de paso alto…………………………..… | 16 |
| 1.8 Síntesis de filtros pasabanda………………………………..… | 17 |
| 2 PARTE PRÁCTICA…………… …………………………… | 18 |
| 2.1 Opciones de tareas.……………….…………………………. | 18 |
| 2.2 Propósito y objetivos trabajo de laboratorio.…...…………………… | 18 |
| 2.3 Protección del trabajo de laboratorio……………………………… | 19 |
| LITERATURA………………….……………………………….…… | 20 |
La filtración o filtrado es un proceso tecnológico muy extendido y aplicado.
Filtros eléctricos llamados dispositivos incluidos en un circuito eléctrico y diseñados para hacer pasar corrientes o voltajes de ciertas frecuencias y atenuar corrientes o voltajes de otras frecuencias. Los filtros eléctricos están hechos de inductores, capacitores y resistencias.
La teoría de los filtros generalmente se divide en dos grandes áreas, estrechamente relacionadas entre sí: análisis y síntesis. La tarea del análisis es encontrar las características externas e internas del sistema eléctrico, cuya estructura está predeterminada, por ejemplo, en la forma diagrama de circuito. La tarea de síntesis es diametralmente opuesta: la característica externa, como el coeficiente de transferencia de voltaje de frecuencia, la resistencia de entrada o salida, etc., se considera conocida. Se requiere encontrar una estructura de circuito que implemente esta característica.
A diferencia del análisis, la síntesis en cadena es generalmente un procedimiento ambiguo. Por lo tanto, entre el conjunto de estructuras con las mismas propiedades, es necesario encontrar la que sea óptima en cierto sentido. Por tanto, siempre es deseable que el circuito sintetizado contenga el mínimo número posible de elementos. En muchos casos, es necesario que el circuito sea insensible a la elección de los valores de los elementos incluidos en él.
Considere el problema más simple de sintetizar filtros de frecuencia, que son cuadripolos lineales formados por elementos L, CON Y R. Los datos iniciales para la síntesis en todos los casos vendrán dados por las características amplitud-frecuencia.
1.2 Tipos de filtros eléctricos
Existen los siguientes tipos de filtros:
1) Filtros de paso bajo (LPF). El objetivo principal de tales dispositivos es transmitir señales a la salida con una atenuación mínima, cuyas frecuencias no excedan una frecuencia de corte dada, llamada frecuencia de corte del filtro . Las señales de mayor frecuencia deben atenuarse significativamente.
Para un filtro de paso bajo con una frecuencia de corte, la respuesta de frecuencia de amplitud (AFC) ideal se describe mediante la fórmula
Y se muestra en la figura 1.
Figura 1 - Filtro de paso bajo
2) Filtros de paso alto (HPF). El propósito principal del HPF es la atenuación máxima de las señales cuyas frecuencias no excedan la frecuencia de corte especificada y la atenuación mínima de las señales con frecuencias más altas (Figura 2).
Figura 2 - Filtro de paso alto
3) Filtros de paso de banda
(PF). Los filtros de paso de banda deben pasar señales con frecuencias que están en una cierta banda cerca de la frecuencia 
llamado frecuencia central de banda de paso
, o varias frecuencias 
... (en este caso el filtro se llama multibanda
) (Figura 3).
Figura 3 - Filtro de paso de banda
4)Filtros de muesca (trampa)
(RF). El propósito principal de tales filtros es suprimir señales cuyas frecuencias son importantes 
o ubicado en una banda estrecha en relación con la frecuencia (Figura 4).
Figura 4 - Filtro de muesca
Consideremos una característica del sistema más general que la frecuencia: la función de transferencia 
. En la mayoría de los casos prácticos, se obtiene reemplazando la variable 
en respuesta de frecuencia 
a una variable 
, donde es la abscisa de convergencia.
La función de transferencia se introduce por analogía con la respuesta de frecuencia. 
según la proporción:
,
Dónde 
– Imágenes de Laplace de funciones 
:
, 
.
Para sistemas lineales con parámetros constantes Función de transmisión parece:
, (1)
Dónde 
es un valor constante;
son las raíces del polinomio numerador (ceros de la función de transferencia);
son las raíces del polinomio del denominador (polos de la función de transferencia).
Para la estabilidad de un filtro eléctrico es necesario que los polos de su función de transferencia tengan parte real negativa, es decir que estén ubicados en el semiplano izquierdo del plano complejo, formando pares complejos conjugados (Figura 5) .
Figura 5 - Ubicación de los polos de un sistema estable
Suelen agregar Condición adicional es el número de ceros de la función de transferencia GRAMO(pag) no debe exceder el número de polos (el grado del polinomio del numerador de la función debe ser menor que el grado del polinomio del denominador metro norte).
A diferencia de los polos, los ceros de la función GRAMO(pag) de un sistema lineal estable se puede ubicar tanto en el semiplano izquierdo como en el derecho de la variable pag. Los sistemas que no tienen ceros de la función de transferencia en el semiplano derecho se llaman fase mínima .
Ubicación de los ceros de función GRAMO(pag) está relacionado con la estructura topológica de la cadena. En la teoría de circuitos, se demuestra que cualquier red de cuatro terminales para la cual la transmisión de la señal de entrada a salida puede detenerse por completo al romper una sola rama será la fase mínima. Para filtros eléctricos, es necesario que el sistema sea de fase mínima.
Para la viabilidad física de un filtro eléctrico, se debe satisfacer el criterio de Paley-Wiener: la respuesta de frecuencia debe ser tal que exista la integral
(2)
Las características de frecuencia consideradas anteriormente de los filtros ideales (Figuras 1-4) son obviamente irrealizables, ya que la desaparición de la función H() hace imposible la existencia de la integral (2).
Las características ideales deben aproximarse mediante tales dependencias analíticas. H(), que tendería a cero, pero no lo alcanzó.
A la hora de calcular el grado de transmisión o no transmisión por un filtro de una señal de una determinada frecuencia, es conveniente utilizar características de potencia o energía.
Relación de transferencia de potencia Es costumbre llamar al cuadrado del módulo de la respuesta de frecuencia:
A diferencia de la respuesta de frecuencia compleja, la función 
es real, lo que es mucho más conveniente para configurar los datos iniciales al sintetizar el filtro. Según la fórmula (3), el coeficiente de transferencia de potencia es una función par de la frecuencia.
Si en la función en lugar de la variable sustituimos la variable pag, luego obtén función de transferencia de potencia :
. (4)
La fórmula (4) establece el siguiente hecho: si el punto 
es un punto singular (cero o polo) de la función GRAMO(pag), entonces la función k pag (pag) tendrá el mismo punto singular que para 
así que con 
En otras palabras, los puntos singulares de la función de transferencia de potencia tienen simetría de cuadrante , es decir, se ubican en el plano complejo, teniendo un centro de simetría en el origen (Figura 6). Esta propiedad permite restaurar la función de transferencia. GRAMO(pag) por la función conocida k pag (pag).
Figura 6 - Polos en simetría de cuadrante
La síntesis de filtros de frecuencia generalmente comienza con la elección de alguna función idealizada que describa la dependencia de la frecuencia del coeficiente de transferencia de potencia. k pag ().
Dado que la respuesta de frecuencia idealizada, por regla general, no es físicamente realizable, la segunda etapa de la síntesis consiste en su aproximación por una función tal que pueda pertenecer a un sistema físicamente realizable.
Según el tipo de función de transferencia, implementación circuitos, es decir, reciben un diagrama de circuito del filtro, incluidas las clasificaciones de los elementos entrantes.
Históricamente, la implementación de filtros comenzó con filtros continuos, para los cuales ya se han creado dispositivos estándar, se han compilado libros de referencia, etc. Los filtros continuos sirven como prototipos para filtros discretos.
Comencemos con una consideración de las características físicamente realizables de los filtros de paso bajo, ya que al usar un filtro de paso bajo, puede obtener filtros de otros tipos.
Para un filtro de paso bajo con una frecuencia de corte, la dependencia de frecuencia ideal del coeficiente de transferencia de potencia se describe mediante la fórmula
(es decir, las frecuencias físicas >0) y se muestra en la Figura 7.
Figura 7 - Coeficiente de transferencia de potencia para LPF
Esta función no está disponible para sistemas físicos, ya que contradice el criterio de Paley-Wiener (2).
El problema de seleccionar una función de aproximación admisible es ambiguo. Un corte pronunciado se puede aproximar mediante numerosas funciones, pero cada vez tendrá que enfrentarse a contradicciones: atenuar la señal en la banda de paso 
, o suprimirlo débilmente fuera de la banda de paso 
, o ambos juntos.
1.6.1 Filtros Butterworth
Una forma de aproximar la respuesta de paso bajo ideal es usar un factor de transferencia de potencia de la siguiente forma:
, (5)
Dónde 
– adimensional frecuencia normalizada
;
norte es un entero llamado orden de filtrado .
En el caso general, el coeficiente de transferencia de potencia (5) puede contener un factor de escala arbitrario.
Un filtro de paso bajo que tiene tales propiedades de frecuencia se llama filtro con máxima respuesta plana o Filtro Butterworth (llamado así por el científico que propuso la función de aproximación (5)). Para cualquier norte se implementa este tipo de filtro.
En la banda de paso del filtro Butterworth, es decir, en , el coeficiente de transferencia de potencia disminuye suavemente al aumentar la frecuencia. De particular interés es la suavidad (ausencia de pulsaciones) de la función considerada.
En la frecuencia de corte, independientemente del orden del sistema, 
. Cuanto mayor sea el orden norte, con mayor precisión se describe la respuesta ideal de baja frecuencia (Figura 8).
El orden del filtro generalmente se selecciona en función de los requisitos para atenuar señales con frecuencias 
. Para evaluar el grado de atenuación de la señal, se utiliza el valor
Expresado en decibelios.
Figura 8 - Coeficiente de transferencia de potencia de los filtros Butterworth en norte= 1 y norte= 5
En 
, es decir. a la frecuencia de la señal de entrada, la atenuación introducida por el filtro es 
.
Si la frecuencia de la señal es mucho más alta que la frecuencia de corte del filtro ( 
), entonces de la fórmula (5) se sigue que 
, y la atenuación es 
1.6.2 Función de transferencia del filtro Butterworth
Para sintetizar aún más la estructura del circuito, es necesario pasar del coeficiente de transferencia de potencia seleccionado en el formulario (5) a la función de transferencia GRAMO(pag). Para hacer esto, introducimos la frecuencia compleja normalizada 
y escriba la función de transferencia de potencia como:
, (7)
Como es claro que en el avion 
función 
no tiene ceros y tiene 2 norte
polos, que son las raíces de la ecuación
, (8)
Usando la notación polar, escribimos la raíz en la forma:
Todas las raíces de la ecuación (8) se encuentran en un círculo de radio unitario centrado en el origen, por lo que 
. Por eso,
Finalmente obtenemos 
Considere por separado los órdenes de filtros pares e impares.
1) norte - número par.
En este caso
Dónde 
.
por ejemplo, para 
obtenemos cuatro raíces correspondientes a los ángulos:
.
Para 
obtenemos ocho raíces correspondientes a los ángulos:
La ubicación de las raíces en el plano complejo para los ejemplos dados se muestra en la Figura 9.
Figura 9 - Polos de relación de transferencia de potencia
Filtro Butterworth en norte= 2 y norte= 4
2) norte - número impar.
En este caso
Dónde 
.
por ejemplo, para 
obtenemos dos raíces correspondientes a los ángulos: 
Para 
obtenemos seis raíces correspondientes a los ángulos:
La ubicación de las raíces para los ejemplos dados se muestra en la Figura 10.
Figura 10 - Polos de relación de transferencia de potencia
Filtro Butterworth en norte= 1 y norte= 3
La regla general para cualquier norte es como sigue: todos los polos están ubicados a la misma distancia entre sí, igual a 
. Para filtros impares, hay dos raíces ubicadas en el eje real; no hay raíces reales para filtros con números pares.
Para pasar a la función de transferencia del filtro Butterworth, expandimos el denominador de la función 
por factores:
Ahora usaremos el hecho de que los polos de la función de transferencia de potencia tienen simetría de cuadrante, es decir, su configuración de número y ubicación en ambos semiplanos es la misma. Esto nos permite considerar que solo los polos ubicados en el semiplano izquierdo corresponden al filtro sintetizado. Sus "copias especulares" en el semiplano derecho se refieren a la función 
y no se tienen en cuenta, por lo que la función de transferencia del filtro Butterworth tomará la forma (la numeración de las raíces en el semiplano izquierdo es de 1 a norte):
Filtro Butterworth de primer orden.
Tenemos: 
; 
Elija una raíz estable: .
La función de transferencia se escribirá como:
.
Dado que 
, finalmente obtenemos:
. (11)
Por lo tanto, en el proceso de aproximación a la característica ideal de un filtro de paso bajo con una frecuencia de corte dada utilizando la aproximación de Butterworth de primer orden, el polo 
.
Filtro Butterworth de segundo orden.
Tenemos: 
.
Según (9) 
Elegimos raíces estables y las numeramos:
Para enlaces de segundo orden, las raíces siempre serán complejas conjugadas.
La función de transferencia del enlace tomará la forma:
.
Hagamos la transición 
(12)
La expresión general para la función de transferencia de los enlaces de segundo orden es:
, (13)
Dónde 
es la frecuencia de oscilación natural del sistema;
z es el coeficiente de atenuación del sistema (en 
enlace se llama oscilatorio
, en 
– aperiódico
).
De una comparación de las funciones (12) y (13) se deduce que el filtro Butterworth de segundo orden es un enlace oscilatorio con un coeficiente de amortiguamiento 
y una frecuencia de oscilación natural igual a la frecuencia de corte del filtro 
. 
Filtro Butterworth de tercer orden.
Tenemos: 
Y
Elegimos raíces estables y las numeramos.
La primera raíz corresponde al vínculo de primer orden con la función de transferencia 
.
.
Por lo tanto, los filtros Butterworth de orden impar son una conexión en serie de un enlace de primer orden y varios enlaces de segundo orden con diferentes coeficientes de atenuación. Los filtros de orden par se construyen conectando enlaces de segundo orden en serie con diferentes coeficientes de atenuación.
1.7 Sintetizar el filtro de paso alto
El filtro de paso alto está diseñado para pasar, con baja atenuación, oscilaciones cuyas frecuencias superan la frecuencia de corte. 
. Si se conoce la implementación del filtro de paso bajo, se puede obtener de forma bastante sencilla un circuito de filtro de paso alto con la misma frecuencia de corte. Esto se hace usando una técnica conocida en la teoría de circuitos como conversión de frecuencia
.
Pasemos de la variable R, utilizado para describir el LPF, a una nueva variable de frecuencia 
, tal que Hz, a una frecuencia igual a 
Hz, proporcionaría una atenuación de la señal no peor que 
base de datos
2. Basándose en el paso 1, sintetice un filtro de paso de banda Butterworth, cuya frecuencia central de paso de banda sea 2 veces más alta que la frecuencia de corte del filtro de paso bajo.
Opcion 2.
1. Realizar la síntesis del filtro paso bajo Butterworth, que estaría a una frecuencia de corte igual a 
Hz, a una frecuencia igual a Hz, proporcionaría una atenuación de la señal no peor que dB.
2. Sobre la base del paso 1, sintetice un filtro Butterworth de paso alto, cuya frecuencia de corte sea igual a la frecuencia de corte del filtro de paso bajo.
2.2 Finalidad y objetivos del trabajo de laboratorio
apuntar el trabajo de laboratorio es la síntesis de los filtros Butterworth varios tipos(LPF, HPF, PF), proporcionando una atenuación de señal determinada.
Para lograr este objetivo, es necesario resolver los siguientes tareas :
2.3 Protección del trabajo de laboratorio
La defensa de los trabajos de laboratorio se realiza durante el cuatrimestre según el horario de clases. Se lleva a cabo en forma de entrevista individual si el estudiante tiene una parte de programa que contiene la solución de la tarea, y un informe que debe incluir el tema y propósito del trabajo de laboratorio, partes teóricas y prácticas, así como una conclusión o conclusiones.
LITERATURA
Gareeva Renata Gegelevna
síntesis de filtros de frecuencia lineal
disciplina "Conversión de señales de medición"
Redactor Solovieva S.V.
Firmado para su publicación el 15 de febrero de 2011. Formato 6084 1/16
conversión p.l. - 1.2. Uch.-ed. yo - 1.3
Impresión - risografía, copia
aparato "RISO EZ300"
Circulación 65 ejemplares. Orden 2011-43
Editorial del Estado de Altai
Universidad Tecnica
656038, Barnaúl, Avenida Lenin, 46
El diseño original fue preparado por IIO BTI AltSTU
Impreso en IIO BTI AltSTU
59305, Biysk, c. Trofímova, 27
Teoría general de la síntesis de lineal circuitos electricos no está incluido en el objetivo del curso "Circuitos y señales de radio".
En este capítulo se analizan solo algunas cuestiones particulares y específicas para la síntesis de circuitos de radio:
síntesis de cuadripolos activos en forma de conexión en cascada de enlaces elementales que no interactúan (desacoplados) de primer o segundo orden;
construcción de circuitos selectivos que no contienen inductores (circuitos integrados);
elementos de síntesis de circuitos discretos (digitales) y la relación entre la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase de los filtros digitales.
La síntesis de circuitos analógicos en este capítulo se lleva a cabo únicamente en el dominio de la frecuencia, es decir, de acuerdo con una función de transferencia dada; para circuitos digitales, la síntesis también se considera para una respuesta de impulso dada (brevemente).
Se sabe que la función de transferencia de un cuadripolo lineal está determinada únicamente por sus ceros y polos en el plano - (circuitos analógicos) o en el plano z (circuitos digitales). Por lo tanto, la expresión "síntesis por una función de transferencia dada" es equivalente a la expresión "síntesis por ceros y polos dados de la función de transferencia". La teoría existente de síntesis cuadripolar considera circuitos cuya función de transferencia tiene un número finito de ceros y polos, en otras palabras, circuitos que consisten en un número finito de enlaces con parámetros agrupados. El material que se presenta a continuación se centra en cuadripolos sin un número grande enlaces que son típicos para filtros de paso bajo, filtros de paso alto, filtros de barrera, etc., ampliamente utilizados en dispositivos electrónicos.
Conferencia número 15.
Diseño (síntesis) de filtros digitales lineales.
Bajo diseño (síntesis) filtro digital comprender la elección de dichos coeficientes de la función del sistema (transferencia), en la que las características del filtro resultante satisfacen los requisitos especificados. Estrictamente hablando, la tarea de diseño también incluye la elección de una estructura de filtro adecuada (ver Lección 14), teniendo en cuenta la precisión finita de los cálculos. Esto es especialmente cierto cuando se implementan filtros en forma de hardware (en forma de LSI especializados o procesadores de señales digitales). Por tanto, en general, el diseño de un filtro digital consta de los siguientes pasos:
Los métodos para sintetizar filtros digitales se pueden clasificar según varios criterios:
En la práctica, a menudo se prefieren los filtros FIR por las siguientes razones. Primero, los filtros FIR brindan la capacidad de calcular con precisión la señal de salida con una entrada limitada sobre la convolución que no requiere el truncamiento de la respuesta de impulso. En segundo lugar, los filtros con una respuesta de impulso finito pueden tener una respuesta de fase estrictamente lineal en la banda de paso, lo que le permite diseñar filtros con una respuesta de amplitud que no distorsiona señales de entrada. En tercer lugar, los filtros FIR son siempre estables y, con la introducción de un retardo finito apropiado, son físicamente realizables. Además, los filtros FIR se pueden implementar no solo en esquemas no recursivos, sino también utilizando formas recursivas.
Tenga en cuenta las desventajas de los filtros FIR:
Una de las opciones para el diseño de filtros digitales está asociada a una determinada secuencia de muestras de la respuesta al impulso, las cuales se utilizan para obtener y analizar su respuesta en frecuencia (ganancia en frecuencia).
Obtenemos la condición bajo la cual el filtro no recursivo tiene una respuesta de fase estrictamente lineal. La función del sistema de dicho filtro tiene la forma:
, (15.1)
donde los coeficientes de filtro son muestras de respuesta de impulso. La transformada de Fourier es la respuesta de frecuencia del filtro, periódica en frecuencia con un período. Lo representamos para una secuencia real en la forma: Obtenemos las condiciones bajo las cuales la respuesta de impulso del filtro asegurará la estricta linealidad de su respuesta de fase. Esto último significa que la característica de fase debería verse como:
(15.2)
donde es el retardo de fase constante expresado en términos del número de intervalos de muestreo. Escribimos la respuesta de frecuencia en la forma:
(15.3)
Igualando las partes real e imaginaria, obtenemos:
, (15.4)
. (15.5)
Dónde:
. (15.6)
Hay dos soluciones posibles ecuaciones (15.6). Uno (cuando) no interesa, el otro corresponde al caso. Multiplicando en cruz los términos de la ecuación (15.6), obtenemos:
(15.7)
Dado que la ecuación (15.7) tiene la forma de una serie de Fourier, la solución de la ecuación debe satisfacer las siguientes condiciones:
, (15.8)
y (15.9)
De la condición (15.8) se deduce que para cada uno solo hay un retraso de fase, bajo el cual se puede lograr una linealidad estricta de la característica de fase del filtro. De (15.9) se deduce que para uno dado que satisfaga la condición (15.8), la respuesta al impulso debe tener una simetría bien definida.
Es conveniente considerar el uso de las condiciones (15.8) y (15.9) por separado para los casos de par e impar. Si es un número impar, entonces un número entero, es decir, el retraso en el filtro es igual a un número entero de intervalos de muestreo. En este caso, el centro de simetría cae sobre la referencia. Si es un número par, entonces es un número fraccionario y el retraso en el filtro es igual a un número no entero de intervalos de muestreo. Por ejemplo, obtenemos, y el centro de simetría de la respuesta al impulso se encuentra en el medio entre dos lecturas.
Los valores de los coeficientes de respuesta de impulso se utilizan para calcular la respuesta de frecuencia de los filtros FIR. Se puede demostrar que para una respuesta de impulso simétrica con un número impar de muestras, la expresión para una función real que toma valores positivos y negativos es:
, (15.10)
Dónde
La mayoría de las veces, cuando se diseña un filtro FIR, se comienza con la respuesta de frecuencia requerida (o deseada) y luego se calculan los coeficientes del filtro. Hay varios métodos para calcular dichos filtros:método de diseño en ventana, método de muestreo de frecuencia, método para calcular el filtro óptimo (según Chebyshev).Considere la idea del diseño de ventanas utilizando el filtro de paso bajo FIR como ejemplo.
En primer lugar, se establece la respuesta de frecuencia deseada del filtro diseñado. Por ejemplo, tomemos una respuesta de frecuencia continua ideal de un filtro de paso bajo con una ganancia igual a la unidad en frecuencias bajas e igual a cero en frecuencias que exceden algunos frecuencia de corte . Una representación discreta de un filtro de paso bajo ideal es una característica periódica, que se puede establecer mediante muestras en un intervalo de periodicidad igual a la frecuencia de muestreo. La determinación de los coeficientes del filtro de paso bajo utilizando métodos DFT inversos (ya sea analíticamente o utilizando un programa DFT inverso) produce una secuencia de muestras de respuesta de impulso que es infinita en ambas direcciones, que tiene la forma de una función clásica.
Para obtener un filtro no recursivo implementable de un orden dado, se trunca esta secuencia y se selecciona de ella un fragmento central de la longitud requerida. El truncamiento simple de muestras de respuesta de impulso es consistente con el usoventana rectangular, dado funcion especial Debido al truncamiento de la muestra, la respuesta de frecuencia dada originalmente se distorsiona, ya que es una convolución en el dominio de frecuencia de la respuesta de frecuencia discreta y la DFT de la función de ventana:
, (15.11)
donde DFT Como resultado, se produce ondulación en la banda de paso de la respuesta de frecuencia debido a los lóbulos laterales.
Para mitigar los efectos anteriores y, sobre todo, para reducir el nivel de lóbulos en la banda de parada, la respuesta de impulso truncada se multiplica por una función de peso (ventana) que disminuye gradualmente hacia los bordes. Por lo tanto, el método de diseño de filtros FIR con ventanas es un método para reducir los espacios entre ventanas mediante el uso de ventanas no rectangulares. En este caso, la función de peso (ventana) debe tener las siguientes propiedades:
Las ventanas Hamming, Kaiser, Blackman, Chebyshev, etc. se utilizan como funciones de peso.
La ciencia refina la mente;
El aprendizaje agudiza la memoria.
Kozma Prutkov
capitulo 15
ELEMENTOS DE SÍNTESIS DE CIRCUITOS LINEALES ESTACIONARIOS
15.1. Temas en estudio
CON síntesis de redes bipolares analógicas. Síntesis de cuadripolos estacionarios según una respuesta de frecuencia dada. Filtros Butterworth y Chebyshev.
Direcciones. Al estudiar los problemas, es necesario comprender claramente la ambigüedad de resolver el problema de sintetizar redes de dos terminales y formas específicas de resolver el problema según Foster y Cauer, así como adquirir la capacidad de determinar la posibilidad de implementar uno. u otra función de la impedancia de entrada de una red de dos terminales. Al sintetizar filtros eléctricos basados en filtros prototipo, es importante comprender las ventajas y desventajas de la aproximación de Chebyshev y Butterworth de las características de atenuación. Es necesario poder calcular rápidamente los parámetros de elementos de cualquier tipo de filtros (LPF, HPF, BPF) utilizando fórmulas de conversión de frecuencia.
15.2. Breve información teórica
En teoría de circuitos, se acostumbra hablar de síntesis estructural y paramétrica. La tarea principal de la síntesis estructural es la elección de la estructura (topología) del circuito que satisfaga las propiedades predeterminadas. En la síntesis paramétrica, solo se determinan los parámetros y el tipo de elementos del circuito, cuya estructura se conoce. En lo que sigue, sólo se discutirá la síntesis paramétrica.
Como punto de partida en la síntesis de redes de dos terminales, se suele utilizar la resistencia de entrada
Si se da una función, entonces puede ser implementada por un circuito pasivo bajo las siguientes condiciones: 1) todos los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador son reales y positivos; 2) todos los ceros y polos están en el semiplano izquierdo o en el eje imaginario, y los polos y ceros en el eje imaginario son simples; estos puntos son siempre reales o forman pares conjugados complejos; 3) los grados superior e inferior de los polinomios del numerador y el denominador difieren en no más de uno. También se debe tener en cuenta que el procedimiento de síntesis no es único, es decir, la misma función de entrada se puede implementar de varias maneras.
Como estructuras iniciales de las redes de dos terminales sintetizadas, se suelen utilizar circuitos de Foster, que son una conexión en serie o en paralelo relativa a los terminales de entrada, respectivamente, de varias resistencias y conductancias complejas, así como circuitos de escalera de Cauer.
El método de síntesis de redes de dos terminales se basa en el hecho de que una entrada determinada funciona o se somete a una serie de simplificaciones sucesivas. Al mismo tiempo, en cada etapa, se asigna una expresión, que se asocia con un elemento físico del circuito sintetizado. Si todos los componentes de la estructura seleccionada se identifican con elementos físicos, entonces se resuelve el problema de síntesis.
La síntesis de cuadripolos se basa en la teoría de filtros prototipo de paso bajo. Posibles opciones prototipo LPF se muestran en la fig. 15.1.
En el cálculo, se puede utilizar cualquiera de los esquemas, ya que sus características son idénticas. Designaciones en la fig. 15.1 tienen el siguiente significado: - la inductancia de una bobina en serie o la capacitancia de un capacitor en paralelo; – resistencia del generador si , o conductividad del generador si ; – resistencia de carga, si o conductividad de carga, si.
Los valores de los elementos de los prototipos están normalizados para que la frecuencia de corte. La transición de filtros prototipo normalizados a otro nivel de resistencias y frecuencias se realiza mediante las siguientes transformaciones de los elementos del circuito:
;
.
Los valores con trazos se refieren al prototipo normalizado, y sin trazos, a la cadena transformada. El valor inicial para la síntesis es la atenuación de la potencia de trabajo, expresada en decibelios:
, dB,
es la potencia máxima del generador con resistencia interna y fem, es la potencia de salida en la carga.
Por lo general, la dependencia de la frecuencia se aproxima por la característica más plana (Butterworth) (Fig. 15.2, A)
Dónde 
.
El valor de la atenuación operativa correspondiente a la frecuencia de corte suele elegirse igual a 3 dB. en donde . Parámetro norte es igual al número de elementos de circuito activos y determina el orden del filtro.
La teoría de circuitos generalmente se divide en dos grandes áreas, estrechamente relacionadas entre sí: análisis y síntesis. La tarea del análisis es encontrar las características externas e internas de un circuito eléctrico, cuya estructura está predeterminada, por ejemplo, en forma de diagrama de circuito. La tarea de la síntesis de circuitos es diametralmente opuesta: la característica externa, como el coeficiente de transferencia de voltaje de frecuencia, la resistencia de entrada o salida, etc., se considera conocida. Se requiere encontrar una estructura de circuito que implemente esta característica.
A diferencia del análisis, la síntesis en cadena es generalmente un procedimiento ambiguo. Por lo tanto, entre el conjunto de estructuras con las mismas propiedades, es necesario encontrar la que sea óptima en cierto sentido. Por tanto, siempre es deseable que el circuito sintetizado contenga el mínimo número posible de elementos. En muchos casos, es necesario que el circuito sea insensible a la elección de los valores de los elementos incluidos en él.
La síntesis de circuitos es un área desarrollada de la ingeniería de radio teórica moderna. Se han desarrollado una serie de métodos de síntesis, a veces muy complejos, que el lector puede familiarizarse por sí mismo. Los métodos de síntesis de circuitos han adquirido una importancia excepcionalmente grande en relación con la introducción de sistemas de diseño asistidos por computadora para dispositivos de ingeniería de radio.
En este capítulo estudiaremos el problema más simple de sintetizar filtros de frecuencia, que son cuadripolos lineales estacionarios formados por los elementos L, C y R. Los datos iniciales para la síntesis en todos los casos vendrán dados por las características de amplitud-frecuencia.
Los cuadripolos se denominan circuitos eléctricos que parecen una "caja negra" con dos pares de abrazaderas disponibles. Un par es la entrada, el otro es la salida de la señal. En modo operativo, una fuente de señal está conectada a la entrada y los terminales de salida están cargados con resistencias de carga.
Se supone que el lector está familiarizado con los métodos de análisis de cuadripolos, que se presentan en el curso de teoría de circuitos. El material de esta sección arroja luz sobre ciertos aspectos esenciales para la síntesis de cuadripolos.
La propiedad más importante de un cuadripolo estacionario lineal es que cuatro amplitudes complejas a cualquier frecuencia de acción externa están relacionadas por dos ecuaciones algebraicas lineales. Dos amplitudes complejas elegidas arbitrariamente pueden tomarse como cantidades independientes, mientras que las otras dos deben determinarse en términos de ellas. Esto sirve como base para la descripción matricial de los cuadripolos lineales. Por lo tanto, a menudo se usa una matriz de transferencia (-matriz), suponiendo que el voltaje y la corriente en la salida son variables independientes. Donde
Los coeficientes A, B, C y D tienen diferentes dimensiones físicas y se pueden determinar a partir de experimentos de ralentí y cortocircuito. Las matrices de transferencia son especialmente convenientes para describir la conexión en cascada de cuadripolos, ya que la matriz resultante es el producto de matrices de enlaces individuales.
Si se dan la matriz de la red de cuatro terminales y la resistencia de carga, se pueden calcular las llamadas funciones de circuito, que incluyen, por ejemplo:
a) impedancia de entrada
b) resistencia de transferencia
c) coeficiente de transferencia de voltaje de frecuencia
Las funciones del circuito dependen en el caso general de la frecuencia. Cualquier función del circuito se expresa a través de los elementos de la matriz cuadripolar ya través de la resistencia de carga. Entonces, dividiendo los lados izquierdo y derecho de la ecuación (13.1) entre sí, encontramos que la impedancia de entrada
De manera similar, el coeficiente de transferencia de voltaje de frecuencia
Prestemos atención al hecho de que la función depende de la dirección de la transferencia de energía en el sistema. Si la fuente y la carga se invierten, la ganancia de frecuencia se introduce en la dirección inversa (carga a la izquierda):
En el futuro, no solo la variable sino también la frecuencia compleja se utilizará como argumento del coeficiente de transferencia de frecuencia, es decir, junto con la función, más características generales- Función de transmisión. La función de transferencia de un cuadripolo tiene todas las propiedades de las funciones de transferencia de sistemas estacionarios lineales consideradas en el Cap. 8.
Así, un cuadripolo lineal con parámetros constantes corresponde a la función
donde es un valor constante. Si el circuito es estable, entonces los polos deben ubicarse en el semiplano izquierdo, formando pares conjugados complejos.
Por lo general, se introduce una condición adicional: el número de polos de la función debe exceder el número de ceros, es decir, en un punto infinitamente distante, no debe haber un polo, sino un cero de la función de transferencia. Entonces la respuesta de impulso del circuito
resulta ser limitado, porque con un radio infinitamente grande del contorno de integración C, el factor exponencial del integrando puede "extinguir" la integral a lo largo del arco.
A diferencia de los polos, los ceros de la función de un cuadripolo lineal estable se pueden ubicar tanto en el semiplano izquierdo como en el derecho de la variable . De hecho, si esto solo significa que en algunos la imagen del voltaje de salida se desvanece. Esto no contradice las propiedades de los sistemas estables.
Los cuadripolos que no tienen ceros de la función de transferencia en el semiplano derecho se denominan circuitos de fase mínima. Si hay ceros en el semiplano derecho, estos cuadripolos se denominan circuitos de fase no mínima.
Esta terminología está asociada a las siguientes circunstancias. Considere el plano de la frecuencia compleja, en el que se indican algunos puntos en los semiplanos izquierdo y derecho. Sean estos puntos los ceros de la función de transferencia de la red de cuatro terminales. Si el circuito está bajo acción externa armónica, de modo que estos puntos correspondan a dos vectores en el plano complejo: los cuales corresponden a los factores correspondientes en el numerador de la fórmula (13.5). Ambos vectores giran y cambian su longitud a medida que cambia la frecuencia, la diferencia entre ellos es que el vector con cambio de frecuencia de a aumenta el ángulo de fase de la ganancia de frecuencia en radianes, mientras que el vector en las mismas condiciones disminuye la fase en la misma cantidad . El coeficiente de transferencia del cuadripolo es una función racional fraccionaria, cuyo cambio en el argumento
Por lo tanto, con el mismo número de ceros y polos, el circuito de fase no mínima proporciona un mayor valor absoluto del cambio de fase del coeficiente de transmisión en comparación con el circuito de fase mínima.
La ubicación de los ceros de la función está relacionada con la estructura topológica del circuito. En la teoría de circuitos, se muestra que cualquier red de cuatro terminales con la siguiente propiedad será de fase mínima: la transmisión de señales de entrada a salida puede detenerse por completo interrumpiendo una sola rama. En particular, los circuitos de fase mínima serán cualquier cuadripolo de la estructura de escalera.
Los cuadripolos de fase no mínima tienen, por regla general, la estructura de circuitos puente (cruzados), en los que la señal de salida pasa a través de dos o más canales. El circuito de fase no mínima más simple es un cuadripolo de puente simétrico formado por elementos. Aquí, como es fácil de ver, la función de transferencia de voltaje
Esta función tiene un solo cero que está en el semiplano derecho.
Sin embargo, la estructura del puente no garantiza automáticamente que el circuito pertenezca a la clase de fase no mínima. En cada caso aparte es necesario comprobar la presencia o ausencia de ceros de la función de transferencia en el semiplano derecho.
La función de transferencia de cualquier cuadrupolo estable en el semiplano derecho de la variable es una función analítica. Si, además, esta red de cuatro terminales pertenece al número de circuitos del tipo de fase mínima, entonces su función de transferencia en el semiplano derecho tampoco tiene ceros. Esto significa que la función es analítica.
De acuerdo con el material del cap. 5 los valores límite de las partes real e imaginaria de la función en el eje imaginario, es decir, en están interconectados por un par de transformaciones de Hilbert:
Por lo tanto, realizando el AFC dado de una red de cuatro terminales de tipo de fase mínima, es imposible obtener ningún PFC en este caso.
Con base en las propiedades de las transformadas de Hilbert, se puede argumentar, por ejemplo, que si la respuesta de frecuencia de una red de dos terminales de fase mínima alcanza un máximo en alguna frecuencia, entonces el PFC en la vecindad de esta frecuencia pasa por cero .
Si el cuadripolo pertenece a la clase de circuitos de fase no mínima, entonces la respuesta de frecuencia y la respuesta de fase son independientes entre sí. Entre los circuitos de fase no mínima, los llamados cuadripolos de transmisión total juegan un papel particularmente importante, en los que el módulo del coeficiente de transmisión es constante y no depende de la frecuencia. Un ejemplo es una red puente simétrica de cuatro terminales, para la cual, de acuerdo con la igualdad (13.6)
Se utilizan cuadripolos similares para la corrección de fase de las señales. Permiten compensar parcialmente las distorsiones en la forma de las señales que han pasado a través de los dispositivos de ingeniería de radio.
