Lección número 13.
Matrices multidimensionales
El concepto de arreglos multidimensionales
Uso del operador ":" en arreglos multidimensionales
Acceso a un solo elemento de una matriz multidimensional
Eliminación de una dimensión en una matriz multidimensional
Crear páginas llenas de constantes y números al azar
unión de arreglos
Cálculo del número de dimensiones de una matriz y determinación del tamaño de las dimensiones
Permutaciones de dimensiones de matriz
Cambiar las dimensiones de las matrices
Quitar las dimensiones de la unidad
En esta lección, abordaremos problemas relacionados con tipos de datos más complejos, que incluyen matrices multidimensionales.
El concepto de arreglos multidimensionales
En MATLAB, un arreglo bidimensional es un caso especial de un arreglo multidimensional. Las matrices multidimensionales se caracterizan por tener una dimensión mayor que dos. A tales arreglos se les puede dar una interpretación visual. Por lo tanto, una matriz (arreglo bidimensional) se puede escribir en una hoja de papel en forma de filas y columnas que consisten en elementos de la matriz. Entonces, un cuaderno con tales hojas puede considerarse una matriz tridimensional, un estante en un gabinete con cuadernos, una matriz de cuatro dimensiones, un gabinete con muchos estantes, una matriz de cinco dimensiones, etc. En este libro, casi en ninguna parte, a excepción de esta sección, nos ocuparemos de las matrices, cuya dimensión es superior a dos, pero sigue siendo útil conocer las capacidades de MATLAB en términos de especificación y uso de matrices multidimensionales.
En nuestra literatura, los conceptos de "tamaño" y "dimensión" de arreglos son casi sinónimos. Sin embargo, tienen significados claramente diferentes en este libro, así como en la documentación y la literatura de MATLAB. Bajo dimensión arrays se entiende como el número de dimensiones en la representación espacial de arrays, y bajo tamaño - el número de filas y columnas (mxn) en cada dimensión de la matriz.
Uso del operador ":" en arreglos multidimensionales
Cuando normalmente se especifican arreglos (usando el carácter de punto y coma ";"), el número de filas (filas) del arreglo es 1 más que el número de caracteres ":", pero el arreglo permanece bidimensional. El operador ":" (dos puntos) facilita la realización de operaciones para aumentar la dimensión de las matrices. Demos un ejemplo de la formación de una matriz tridimensional agregando nueva pagina. Tengamos una matriz bidimensional inicial M con un tamaño de 3x3:
» M=
METRO =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Para agregar una nueva página con el mismo tamaño, puede expandir M de la siguiente manera:
» M(:.:.2)=
M(:.:.l) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
M(:.:.2) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Veamos qué contiene ahora la matriz M cuando se especifica explícitamente:
» m
M(:,:.1)=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
M(:.:.2) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Como puede ver, los números en las expresiones M(:.:, 1) y M(:,:,2) significan el número de página.
Acceso a un solo elemento de una matriz multidimensional
Para llamar al elemento central primero de la primera y luego de la segunda página, debe escribir las siguientes expresiones:
»M(2.2,1)
respuesta =
» MS2.2.2)
respuesta =
Por lo tanto, en matrices multidimensionales, se utiliza la misma regla de indexación que en matrices unidimensionales y bidimensionales. elemento arbitrario, por ejemplo, una matriz tridimensional se proporciona como M(1.j.k), donde 1 es el número de fila, j es el número de columna y k es el número de página. Este elemento se puede mostrar, o puede asignarle un valor dado x: M(1,j,k)=x.
Eliminar una dimensión en una matriz multidimensional
Ya hemos señalado la posibilidad de eliminar columnas individuales asignándoles los valores de un vector de columna vacío. Esta técnica se puede extender fácilmente a páginas y, en general, a las dimensiones de una matriz multidimensional. Por ejemplo, la primera página de la matriz resultante M se puede eliminar de la siguiente manera:
» M(:.:.1)=
METRO =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
Es fácil ver que solo queda la segunda página en esta matriz y que la dimensión de la matriz ha disminuido en 1: se ha vuelto bidimensional.
Creación de páginas llenas de constantes y números aleatorios
Si hay una constante numérica después del signo de asignación, la parte correspondiente de la matriz contendrá elementos que contengan esta constante. Por ejemplo, creemos una matriz a partir de la matriz M (ver el ejemplo anterior) cuya segunda página contiene unos:
»M(:.:..2)=1
M(:.:,1) =
10 11 12
13 14 15
16 17 18
M(:.:.2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Ahora reemplacemos la primera página de la matriz con una página con cero elementos:
»M(:.:.1)=0
M(:.:.1)=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
M(:.:,2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Uso de las funciones unos, ceros, rand y randn
Las funciones ones (crear arreglos con elementos individuales), zeros (crear arreglos con cero elementos) y rand o randn (crear arreglos con números aleatorios distribuidos uniforme y normalmente, respectivamente) también se pueden usar para crear arreglos multidimensionales. A continuación se dan ejemplos:
»E=unos(3.3.2)
E(:.:.1)=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
E(:.:,2) =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
» Z=ceros(2,2,3) Z(:,:.l) =
Z(:.:.2) =
Z(:.:,3) =
» R=randn(3,2.2) R(:.:.l) =
1.6656-1.1465
0.1253 1.1909
0.2877 1.1892
R(:.:,2) =
0.0376-0.1867
0.3273 0.7258
0.1746 -0.5883
Estos ejemplos son bastante obvios y no requieren comentarios especiales. Sin embargo, preste atención a la facilidad de especificar los tamaños de las matrices para cada dimensión. Además, debe tenerse en cuenta que si al menos una dimensión de la matriz es cero, la matriz estará vacía:
» A=aleatorio(3,3,3,0)
un =
Matriz vacía: 3 por 3 por 3 por 0
como se ve desde este ejemplo, matriz vacía se devuelve con el comentario apropiado.
unión de arreglos
Para crear arreglos multidimensionales, use lo descrito anteriormente para matrices funcion especial gato concatenado:
cat(DIM,A,B) - devuelve el resultado de combinar dos matrices A y B a lo largo de la dimensión DIM;
cat(2.A.B) - devuelve una matriz [А.В] en la que se combinan las filas (concatenación horizontal);
cat(1, A.B) - devuelve una matriz [A:B] en la que se combinan las columnas (concatenación vertical);
B=cat(DIM.Al,A2,...) - concatena un conjunto de matrices de entrada Al, A2,... a lo largo de la dimensión DIM.
Las funciones cat(DIM,C(:)) y cat(DIM.C.FIELD) proporcionan, respectivamente, la concatenación (unión) de celdas de un arreglo de celdas (ver lección 15) o estructuras de un arreglo de estructuras (ver lección 14) que contiene matrices numéricas en una sola matriz. Los siguientes son ejemplos del uso de la función cat:
» М1=
» М2=
M2 =
» catd.Ml.M2)
respuesta =
5B
» gato(2.Ml.M2)
respuesta =
1 2 5 6
3 4 7 8
» M-gato(3.Ml.M2) M(:,:.l) =
M(:,:,2) =
Trabajando con Dimensiones
Cálculo del número de dimensiones de una matriz
La función ndims(A) devuelve la dimensión de la matriz A (si es mayor o igual a dos). Pero si el argumento de entrada es una matriz de Java o una matriz de matrices de Java, esta función devolverá 2 independientemente del tamaño de la matriz. El siguiente ejemplo ilustra el uso de la función ndims:
» M=rand(2:3:4:5):
» ndims(M)
respuesta =
4
Cálculo del tamaño de una dimensión de matriz
La función de tamaño se utiliza para calcular el tamaño de cada dimensión de matriz:
M = size(A.DIM) devuelve el tamaño de la dimensión especificada por el escalar DIM como un vector de fila de tamaño 2. Para una matriz A bidimensional o unidimensional, size(A.l) devuelve el número de filas y size(A, 2) el número de columnas;
Para matrices N-dimensionales, A para tamaño n>2 (A) devuelve un vector de fila N-dimensional que representa la paginación de la matriz, el último componente de este vector es N. El vector no contiene datos sobre las dimensiones de la unidad (aquellas donde el vector de fila o el vector de columna, es decir, tamaño (A, DIM) == l). La excepción son las matrices Java N-dimensionales de matrices java, que devuelven el tamaño de la matriz de nivel más alto.
En general, cuando el tamaño del argumento de entrada es una matriz java, el número de columnas devuelto siempre es 1 y el número de filas (filas) es igual al tamaño (longitud) de la matriz java.
Si ze(A) devuelve el tamaño de las primeras N dimensiones del arreglo A;
D = tamaño (A), para mxn la matriz A devuelve un vector fila de dos elementos, en el que el primer componente es el número de filas m, y el segundo componente es el número de columnas n;
Size(A) devuelve el número de filas y columnas en diferentes tipos de salidas (salidas en la terminología de MATLAB).
Permutaciones de dimensiones de matriz
Si representamos una matriz multidimensional como páginas, entonces su permutación es una permutación de las dimensiones de la matriz. Para una matriz bidimensional, la permutación a menudo significa transposición- sustitución de filas por columnas y viceversa. Las siguientes funciones generalizan la transposición de matrices al caso de arreglos multidimensionales y proporcionan la permutación de las dimensiones de los arreglos multidimensionales:
Permutar (A, ORDEN): reorganiza las dimensiones de la matriz A en el orden determinado por el vector de permutación ORDEN. El vector ORDEN es una de las posibles permutaciones de todos los enteros del 1 al NORTE, Dónde NORTE- dimensión de la matriz A;
ipermuteCA, ORDEN) - el inverso de permute: permute(permute(A. ORDEN), ORDEN)=A
Los siguientes son ejemplos de estas funciones y la función de tamaño:
» A=:
» B=;
» C=;
» D=gato(3.A,B.C)
D(:,:,l) =
9 10
11 12
» tamaño (D)
respuesta =
2 2 3
» tamaño(permutar(D.))
respuesta =
3 2 2
»tamaño(ipermutar(D.))
respuesta =
2 2 3
» ipermutar(permutar(D,),)
respuesta(:. :,2) =
respuesta(:.:,3) =
9 10
11 12
Cambiar las dimensiones de las matrices
El cambio dimensional se implementa mediante la función shiftdim:
B=shiftdim(X,N) - cambio de dimensiones en la matriz X por N. Si M>0, entonces el cambio de las dimensiones ubicadas a la derecha se realiza hacia la izquierda, y las N primeras dimensiones a la izquierda se doblan hasta el final de la matriz, es decir, las dimensiones se mueven en sentido contrario a las agujas del reloj. si m<0, сдвиг выполняется вправо, причем N первых размерностей, сдвинутых вправо, замещаются единичными размерностями;
Shiftdim(X) Devuelve la matriz B con el mismo número de elementos que la matriz X, pero con las dimensiones iniciales de la unidad eliminadas. La salida NSHIFTS muestra el número de dimensiones eliminadas. Si X es un escalar, la función no cambia X , V , NSHIFTS.
El siguiente ejemplo ilustra el uso de la función shiftdim:
» A=aleatorio(1.2.3,4):
»=cambiodim(A)
B(:.:.l) =
2.1707-1.01060.5077
0.05920.6145 1.6924
B(:.:,2) =
0.5913 0.3803 -0.0195
0.6436-1.0091-0.0482
B(:.:.3) =
0.0000 1.0950 0.4282
0.3179-1.87400.8956
B(:.:,4) =
0.7310 0.0403 0.5689
0.5779 0.6771 -0.2556
Quitar las dimensiones de la unidad
La función squeeze(A) devuelve una matriz con todas las dimensiones de la unidad eliminadas. Una dimensión unitaria es una dimensión en la que size(A. dim) == 1. Pero si
A es una matriz unidimensional o bidimensional (matriz o vector), entonces la función devolverá la misma matriz A. El siguiente ejemplo explica cómo funciona squeeze:
» A=aleatorio(1.2.1.3.1):
» B=apretar(A)
0.6145 1.6924 -0.6436
0.5077 0.5913 0.3803
Tenga en cuenta que la matriz de cinco dimensiones A se convierte en una matriz de 2 dimensiones con un tamaño de 2x3.
¿Qué hemos aprendido de nuevo?
En esta lección hemos aprendido:
Crear arreglos multidimensionales.
Utilice el operador ":" en matrices multidimensionales.
Acceda a elementos individuales de arreglos multidimensionales.
Eliminar dimensiones de una matriz multidimensional.
Cree matrices llenas de constantes y números aleatorios.
Realice la fusión de matrices.
Calcule el número de dimensiones de la matriz y determine el tamaño de cada dimensión.
Reorganice, cambie y elimine dimensiones individuales en matrices multidimensionales.
Los arreglos son los objetos principales en el sistema. MATLAB : en las versiones 4.x, soloarreglos unidimensionales- vectores - y arreglos bidimensionales - matrices; en la versión 5.0 es posible utilizar arreglos multidimensionales - tensores. A continuación se describen las funciones de formación de arreglos y matrices, operaciones sobre matrices, matrices especiales dentro del sistema Versiones MATLAB 4.x.
|
CONV, DESCONV |
Convolución de arreglos unidimensionales |
Sintaxis:
Z = conv(x, y)
= desconv(z, x)
Descripción:
si se da arreglos unidimensionalesx e y de longitud m = longitud (x) y n = longitud (y), respectivamente, entonces la convolución z es una matriz unidimensional de longitud m + n -1, cuyo k-ésimo elemento está determinado por la fórmula
La función z = conv(x, y) calcula la convolución z de dos matrices unidimensionales x e y.
Considerando estos arreglos como muestras de dos señales, podemos formular el teorema de convolución de la siguiente forma:
Si X = fft() e Y = fft() son transformadas de Fourier de tamaño consistente de señales x e y, entonces conv(x, y) = ifft(X.*Y) es verdadera.
En otras palabras, la convolución de dos señales es equivalente a multiplicar las transformadas de Fourier de estas señales.
La función = deconv(z, x) realiza el inverso de la convolución. Esta operación es equivalente a determinar la respuesta de impulso del filtro. Si la relación z = conv(x, y) es válida, entonces q = y, r = 0.
Funciones relacionadas: Caja de herramientas de procesamiento de señales.
1. Guía del usuario de Signal Processing Toolbox. Natick: MathWorks, Inc., 1993.
Configuración de la plantilla de matrices y vectores (Matrix...)
La operación Matriz... (Matrices) proporciona la definición de vectores o matrices.Como sabes, una matriz es un objeto dado por su nombre en forma de arreglo de datos usos de MathCAD arreglos unidimensionalesvectores y matrices propias bidimensionales
La matriz se caracteriza por el número de filas (Rows) y el número de columnas (Columns). Así, el número de elementos de una matriz o su dimensión es igual a Filas x Columnas Los elementos de las matrices pueden ser números, constantes, variables e incluso expresiones matemáticas En consecuencia, las matrices pueden ser numéricas y simbólicas
Si usa la operación Matriz..., aparecerá una pequeña ventana en la ventana actual, lo que le permitirá establecer la dimensión de un vector o matriz (ver Fig. 515 a la derecha).Para hacer esto, debe especificar el número de filas Filas y el número de columnas Columnas Insertar (Insertar) en la ventana, puede generar una plantilla de matriz o vector (el vector tiene uno de los parámetros de dimensión igual a 1)
La plantilla contiene paréntesis y pequeños rectángulos oscuros que indican dónde ingresa valores (numéricos o de caracteres) para elementos de un vector o matriz. Uno de los rectángulos puede activarse (marcándolo con el cursor del ratón). Al mismo tiempo, se encuentra en una esquina. Esto indica que en él se ingresarán los valores del elemento correspondiente. Usando las teclas del cursor, puede desplazarse horizontalmente a través de todos los rectángulos e ingresar todos los elementos de un vector o matriz.
Arroz. 5. 15 Salida de plantillas vectoriales y matriciales y su relleno.
Mientras se ingresan los elementos de vectores o matrices, se muestran plantillas vacías sin ningún comentario. Sin embargo, si termina de ingresar antes de que las plantillas estén completamente llenas, el sistema mostrará un mensaje de error y la plantilla vacía se volverá roja. La salida de una matriz inexistente o una indicación errónea de sus índices también se muestra en rojo.
Si utiliza la operación Insertar (Inclusión) con una plantilla de matriz ya derivada, la matriz se expande y su tamaño aumenta. El botón Eliminar (borrar) le permite eliminar la expansión de la matriz eliminando una fila o columna de ella.
Cada elemento de la matriz se caracteriza por una variable indexada, y su posición en la matriz se indica mediante dos índices: uno indica el número de fila, el otro el número de columna. Para un conjunto de variables indexadas, primero debe ingresar el nombre de la variable y luego saltar al conjunto de índices presionando la tecla que ingresa el carácter]. Primero se especifica el índice de la fila, seguido del índice de la columna, separados por comas. También se dan ejemplos de la salida de variables indexadas (elementos de la matriz M) en la fig. 5.14.
Una matriz degenerada en una fila o una columna es un vector. Sus elementos son variables indexadas con un índice. El límite inferior de los índices viene dado por el valor de la variable del sistema ORIGEN. Por lo general, su valor se establece en 0 o 1.
Las operaciones con variables simples se han considerado anteriormente. Sin embargo, es difícil usarlos para describir datos complejos, como una señal aleatoria que ingresa a la entrada del filtro, o para almacenar un cuadro de imagen, etc. Por lo tanto, los lenguajes de alto nivel brindan la capacidad de almacenar valores como matrices. En MatLab, este papel lo desempeñan los vectores y las matrices.
El siguiente es un ejemplo de definición de un vector llamado a, y que contiene los valores 1, 2, 3, 4:
un = ; % vector fila
Para acceder a uno u otro elemento del vector, se utiliza la siguiente construcción de lenguaje:
disipar(a(1)); % muestra el valor del primer elemento del vector
disp(a(2)); % muestra el valor del segundo elemento del vector
disipar(a(3)); % muestra el valor del tercer elemento del vector
disipar(a(4)); % muestra el valor del cuarto elemento del vector
aquellos. debe especificar el nombre del vector y, entre paréntesis, escribir el número de índice del elemento con el que desea trabajar. Por ejemplo, para cambiar el valor del segundo elemento de la matriz a 10, basta con escribir
a(2) = 10; % de cambio en el valor del segundo elemento por 10
A menudo existe la necesidad de determinar el número total de elementos en un vector, es decir, determinando su tamaño. Esto se puede hacer usando la función length() de la siguiente manera:
N = longitud(a); % (N=4) número de elementos de matriz a
Si desea especificar un vector de columna, esto se puede hacer así
un = ; % vector de columna
b = '; % vector de columna
en este caso, el acceso a los elementos de los vectores se realiza de la misma forma que para los vectores fila.
Cabe señalar que los vectores se pueden componer no solo de números o variables individuales, sino también de vectores. Por ejemplo, el siguiente fragmento de código muestra cómo se puede crear un vector a partir de otro:
un = ; % vector inicial a =
b = ; % segundo vector b =
Aquí el vector b consta de seis elementos y se basa en el vector a. Usando esta técnica, es posible aumentar el tamaño de los vectores durante la operación del programa:
un = ; % de aumento del vector a por un elemento
La desventaja del método descrito para especificar (iniciar) vectores es la dificultad para determinar vectores de gran tamaño, que consisten, por ejemplo, en 100 o 1000 elementos. Para resolver este problema, MatLab tiene funciones para inicializar vectores con ceros, unos o valores aleatorios:
a1 = ceros (1, 100); % vector fila, 100 elementos con
% valores nulos
a2 = ceros (100, 1); % vector columna, 100 elementos con
% valores nulos
a3 = unos(1, 1000); % vector fila, 1000 elementos con
% valores individuales
a4 = unos(1000, 1); % vector columna, 1000 elementos con
% valores individuales
a5 = rand(1000, 1); % vector columna, 1000 elementos co
% valores aleatorios
Las matrices en MatLab se definen de manera similar a los vectores, con la única diferencia de que se especifican ambas dimensiones. Aquí hay un ejemplo de cómo inicializar una matriz de identidad de 3x3:
mi = ; % matriz identidad 3x3
mi = ; % matriz identidad 3x3
Puede definir cualquier otra matriz de la misma manera, así como usar las funciones zeros(), ones() y rand() anteriores, por ejemplo:
A1 = ceros (10,10); % matriz cero 10x10 elementos
A2 = ceros (10); % matriz cero 10x10 elementos
A3 = unos(5); % matriz 5x5, compuesta por unos
A4 = rand(100); % matriz 100x100, de números aleatorios
Para acceder a los elementos de una matriz se utiliza la misma sintaxis que para los vectores, pero con la indicación de la fila y columna donde se encuentra el elemento requerido:
A = ; % matriz 3x3
pantalla(A(2,1)); % de visualización del elemento que está en
% en la segunda línea de la primera columna, es decir 4
disipar(A(1,2)); % de visualización del elemento en
% en la primera fila de la segunda columna, es decir 2
También es posible seleccionar la parte especificada de la matriz, por ejemplo:
B1 = A(:,1); %B1 = - selección de la primera columna
B2 = A(2,:); %B2 = - resaltar la primera fila
B3 = A(1:2,2:3); % B3 = - selección de los dos primeros
% filas y 2.ª y 3.ª columnas de la matriz A.
La dimensión de cualquier matriz o vector en MatLab se puede determinar utilizando la función size(), que devuelve el número de filas y columnas de la variable especificada como argumento:
a = 5; % variablea
A = ; % vector fila
B = ; % matriz 2x3
tamaño(a) % 1x1
tamaño(A) % 1x3
tamaño (B) % 2x3
Función ndims(A) devuelve la dimensión de la matriz A (si es mayor o igual a dos). Pero si el argumento de entrada es una matriz de Java o una matriz de matrices de Java, esta función devolverá 2 independientemente del tamaño de la matriz. El siguiente ejemplo ilustra el uso de la función ndims:
> > M = rand(2: 3: 4: 5):
> > ndims(M)
respuesta =
Para calcular el tamaño de cada dimensión de la matriz, utilice la función tamaño:
Para matrices N-dimensionales, A para tamaño n>2 (A) devuelve un vector de fila N-dimensional que representa la paginación de la matriz, el último componente de este vector es N. El vector no contiene datos sobre las dimensiones de la unidad (aquellas donde el vector de fila o el vector de columna, es decir, tamaño (A, DIM) == l). La excepción son las matrices Java N-dimensionales de matrices java, que devuelven el tamaño de la matriz de nivel más alto.
En general, cuando el tamaño del argumento de entrada es una matriz java, el número de columnas devuelto siempre es 1 y el número de filas (filas) es igual al tamaño (longitud) de la matriz java.
Si representamos una matriz multidimensional como páginas, entonces su permutación es una permutación de las dimensiones de la matriz. Para una matriz bidimensional, la permutación a menudo significa transposición- sustitución de filas por columnas y viceversa. Las siguientes funciones generalizan la transposición de matrices al caso de arreglos multidimensionales y proporcionan la permutación de las dimensiones de los arreglos multidimensionales:
Los siguientes son ejemplos del uso de estas funciones y las funciones tamaño:
> > A = [ 1 2: 3 4 ]:
> > B = [ 5 6 ; 78];
> > C = [ 9 10 ; 11 12];
> > D = gato(3.A,B.C)
D(:,:, 1) =
1 2
3 4
9 10
11 12
> > tamaño(D)
respuesta =
2 2 3
> > tamaño(permutar(D.[ 3 2 1 ]))
respuesta =
3 2 2
> > tamaño(ipermute(D.[ 2 1 3 ]))
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