A rendszerek működésének MM folyamatainak felépítésében a kezdeti információ a vizsgált (tervezett) S rendszer céljára és működési feltételeire vonatkozó adatok. Ez az információ határozza meg a modellezés fő célját, az MM-re vonatkozó követelményeket, az absztrakció szintjét és a választást. egy matematikai modellezési séma.
koncepció matematikai séma lehetővé teszi számunkra, hogy a matematikát ne számítási módszernek tekintsük, hanem gondolkodásmódnak, fogalmak megfogalmazásának eszközének, ami a legfontosabb az átmenetben a verbális leírástól a működési folyamatának formalizált ábrázolásához. néhány MM.
Szőnyeg használatakor. A rendszer kutatóját elsősorban a megjelenítés megfelelőségének sémája kell, hogy érdekelje a vizsgált rendszerben a valós folyamatok konkrét sémái formájában, és nem az a lehetőség, hogy választ (megoldási eredményt) kapjon. konkrét kutatási kérdés.
Például az IVS működési folyamatának kollektív felhasználásra történő megjelenítése sorbanállási sémák hálózata formájában lehetővé teszi a rendszerben előforduló folyamatok jó leírását, de a bejövő folyamok és szolgáltatásfolyamatok összetett törvényei mellett nem teszi lehetővé explicit formában történő eredmények elérését.
matematikai séma láncszemként határozható meg a rendszer működési folyamatának értelmes leírásától formalizált leírásáig, figyelembe véve a külső környezet hatását. Azok. van egy lánc: leíró modell - matematikai séma - szimulációs modell.
Minden egyes S rendszert tulajdonságok halmaza jellemez, amelyek olyan értékekként értelmezhetők, amelyek tükrözik a szimulált objektum (valós rendszer) viselkedését, és figyelembe veszik annak működési feltételeit a külső környezettel (rendszerrel) kölcsönhatásban. .
Az S MM rendszer felépítésénél meg kell oldani a teljességének kérdését. A modellezés teljességét elsősorban a „System S – E környezet” határok megválasztása szabályozza. Meg kell oldani az MM egyszerűsítésének feladatát is, amely segít a rendszer főbb tulajdonságainak kiemelésében, elvetve a modellezés szempontjából a másodlagos célokat.
A szimulációs objektum MM-je, azaz. Az S rendszerek egy valós rendszer működési folyamatát leíró mennyiségek halmazaként ábrázolhatók, és általános esetben a következő részhalmazokat alkotják:
X beállítása - bemeneti műveletek Sx i X-en, i=1…n x ;
A környezeti hatások összessége v l V, l=1…n v ;
A rendszer belső (intrinzik) paramétereinek halmazah k H, k=1…n h ;
Az y j Y, j=1…n y rendszer kimeneti jellemzőinek halmaza.
A felsorolt halmazokban meg lehet különböztetni a szabályozott és a nem szabályozott mennyiségeket. Általános esetben X, V, H, Y olyan diszjunkt halmazok, amelyek determinisztikus és sztochasztikus komponenseket is tartalmaznak. Az E bemeneti műveletek és az S belső paraméterek független (exogén) változók, Kimeneti jellemzők - függő változók (endogén). Az S működési folyamatot F S operátor írja le:
(1)
Kimeneti pálya.F S - a működés törvénye Az S.FS lehet függvény, funkcionális, logikai feltételek, algoritmus, táblázat vagy a szabályok szóbeli leírása.
Működő algoritmus A S - módszer a kimeneti jellemzők megszerzésére, figyelembe véve a bemeneti hatásokat 
Nyilvánvalóan ugyanaz az F S különböző módon megvalósítható, pl. sokféle A S használatával.
Az (1) reláció a modellező objektum viselkedésének matematikai leírása t időben, azaz. tükrözi azt dinamikus tulajdonságok. (1) az S rendszer dinamikus modellje. A statikus MM feltételekhez vannak X, V, H leképezések Y-be, azaz. 
(2)
Az (1), (2) összefüggések megadhatók képletekkel, táblázatokkal stb.
A kapcsolatok bizonyos esetekben a rendszer tulajdonságain keresztül is megszerezhetők bizonyos időpontokban, amelyeket állapotoknak nevezünk.
Az S rendszer állapotait vektorok jellemzik:
És 
, Ahol 
pillanatnyilag t l (t 0 , T)
pillanatnyilag t ll (t 0 , T) stb. k=1…n Z .
Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) egy pont koordinátái a k-dimenziós fázistérben. A folyamat minden egyes megvalósítása valamilyen fázispályának felel meg.
Az összes lehetséges állapotérték halmazát () a modellező objektum Z állapotterének nevezzük, és z k Z.
S rendszerállapot a t 0 időintervallumban
; (3)
másképp: . (5)
Idő módban S a szimulációs intervallumon (t 0, T) mind folytonos, mind diszkrétnek tekinthető, azaz. hosszúságok szegmensén kvantálva.t.
Így egy objektum MM-je alatt változók () véges halmazát értjük, a köztük lévő és a jellemzők közötti matematikai kapcsolatokkal együtt.
A modellezést determinisztikusnak nevezzük, ha az F, Ф operátorok determinisztikusak, azaz. egy adott bemenet esetében a kimenet determinisztikus. A determinisztikus modellezés a sztochasztikus modellezés speciális esete. A gyakorlatban az objektumok modellezésekor a rendszerelemzés területén a kutatás kezdeti szakaszában racionálisabb a tipikus matematikai sémák használata: dif. egyenletek, véges és valószínűségi automaták, QS stb.
Nem birtokolni. olyan fokú általánosság, mint a modellek (3), (4), jellemző matematikai sémák előnye az egyszerűség és az áttekinthetőség, de az alkalmazási lehetőség jelentős szűkítése mellett.
Mint meghatározó modellek, amikor véletlenszerű tényt nem veszünk figyelembe a vizsgálat során, a folytonos időben működő rendszerek ábrázolására differenciál-, integrál- és egyéb egyenleteket, a diszkrét időben működő rendszereket pedig véges automatákkal és véges differencia sémákkal.
A sztochasztikus modellek kezdetén (a véletlenszerű tényező figyelembevételével) a diszkrét idejű rendszerek ábrázolására valószínűségi automatákat, a folytonos idejű rendszereket pedig queuing rendszerekkel (QS) használnak. Nagy gyakorlati jelentőséggel bírnak az automatizált vezérlőrendszereket is magában foglaló komplex egyedi irányítási rendszerek vizsgálatában az ún összesítő modellek.
Az aggregatív modellek (rendszerek) lehetővé teszik a kutatási objektumok széles körének leírását, ezen objektumok rendszerszerűségének megjelenítésével. Az aggregatív leírás során egy összetett objektumot véges számú részre (alrendszerre) osztanak, miközben fenntartják a kapcsolatokat, biztosítva a részek kölcsönhatását.
A figyelmébe ajánljuk cikkünkben példákat kínálunk matematikai modellekre. Emellett figyelmet fordítunk a modellalkotás szakaszaira, és elemezünk néhány matematikai modellezéssel kapcsolatos problémát.
Egy másik kérdésünk a közgazdaságtan matematikai modelljei, amelyek definícióját egy kicsit később fogjuk bemutatni. Javasoljuk, hogy beszélgetésünket a „modell” fogalmával kezdjük, röviden fontoljuk meg besorolásukat, és térjünk át fő kérdéseinkre.
Gyakran halljuk a „modell” szót. Mi az? Ennek a kifejezésnek számos definíciója van, ezek közül csak három:
A korábban elmondottak alapján egy kis következtetést vonhatunk le: a modell lehetővé teszi egy összetett rendszer vagy objektum részletes tanulmányozását.
Az összes modell számos kritérium szerint osztályozható:
Az információs modellek viszont jelekre és verbálisra oszlanak. És ikonikus – számítógépen és nem számítógépen. Most térjünk át egy matematikai modell példáinak részletes vizsgálatára.
Ahogy sejthető, a matematikai modell egy tárgy vagy jelenség bizonyos jellemzőit tükrözi speciális matematikai szimbólumok segítségével. A matematikára azért van szükség, hogy a világ törvényeit a maga sajátos nyelvén modellezzük.
A matematikai modellezés módszere meglehetősen régen, több ezer évvel ezelőtt keletkezett, e tudomány megjelenésével együtt. Ennek a modellezési módszernek a kidolgozásához azonban a számítógépek (elektronikus számítógépek) megjelenése adta a lökést.
Most térjünk át az osztályozásra. Bizonyos jelek szerint is végrehajtható. Ezeket az alábbi táblázat mutatja be.
Javasoljuk, hogy álljunk meg és nézzük meg közelebbről az utolsó osztályozást, mivel az tükrözi a modellezés általános mintáit és a készülő modellek céljait.
Ebben a fejezetben azt javasoljuk, hogy részletesebben foglalkozzunk a leíró matematikai modellekkel. Annak érdekében, hogy minden nagyon világos legyen, adunk egy példát.
Először is ezt a nézetet leíró jellegűnek nevezhetjük. Ez abból adódik, hogy egyszerűen számításokat, előrejelzéseket készítünk, de az esemény kimenetelét semmilyen módon nem tudjuk befolyásolni.
A leíró matematikai modell szembetűnő példája a Naprendszerünk kiterjedéseit betörő üstökös repülési útvonalának, sebességének, Földtől való távolságának kiszámítása. Ez a modell leíró jellegű, mivel az összes kapott eredmény csak figyelmeztethet bennünket valamilyen veszélyre. Sajnos az esemény kimenetelét nem tudjuk befolyásolni. A kapott számítások alapján azonban bármilyen intézkedést meg lehet tenni az élet megőrzése érdekében a Földön.
Most beszélünk egy kicsit a gazdasági és matematikai modellekről, amelyekre különféle helyzetek lehetnek példák. Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek bizonyos körülmények között segítenek megtalálni a helyes választ. Bizonyos paraméterekkel kell rendelkezniük. Hogy ez nagyon világos legyen, vegyünk egy példát a mezőgazdasági részből.
Magtárunk van, de a gabona nagyon hamar megromlik. Ebben az esetben meg kell választanunk a megfelelő hőmérsékleti rendszert és optimalizálnunk kell a tárolási folyamatot.
Így definiálhatjuk az "optimalizálási modell" fogalmát. Matematikai értelemben ez egy (lineáris és nem lineáris) egyenletrendszer, amelynek megoldása segít megtalálni az optimális megoldást egy adott gazdasági helyzetben. Egy matematikai modellre (optimalizálásra) gondoltunk egy példát, de még egy dolgot szeretnék hozzátenni: ez a típus az extrém problémák osztályába tartozik, segít leírni a gazdasági rendszer működését.
Megjegyezzük még egy árnyalatot: a modellek eltérő természetűek lehetnek (lásd az alábbi táblázatot).
Most megkérjük Önt, hogy beszéljen egy kicsit a többcélú optimalizálás matematikai modelljéről. Előtte példát adtunk egy matematikai modellre a folyamat optimalizálására bármely kritérium szerint, de mi van akkor, ha sok van belőlük?
A többszempontú feladat markáns példája a nagy csoportok megfelelő, egészséges és egyben gazdaságos táplálkozásának megszervezése. Ilyen feladatokkal gyakran találkoznak a hadseregben, iskolai étkezdékben, nyári táborokban, kórházakban stb.
Milyen kritériumok vonatkoznak ránk ebben a feladatban?
Mint látható, ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe. Ez azt jelenti, hogy egy probléma megoldása során meg kell keresni az optimális megoldást, egyensúlyt a két kritérium között.
A játékmodellekről szólva meg kell érteni a „játékelmélet” fogalmát. Egyszerűen fogalmazva, ezek a modellek a valós konfliktusok matematikai modelljeit tükrözik. Csak azt érdemes megérteni, hogy a valódi konfliktusokkal ellentétben a játék matematikai modelljének megvannak a maga sajátos szabályai.
Most adok egy minimális információt a játékelméletből, ami segít megérteni, mi az a játékmodell. Tehát a modellben szükségszerűen vannak felek (két vagy több), amelyeket általában játékosoknak neveznek.
Minden modell rendelkezik bizonyos jellemzőkkel.
A játékmodell lehet páros vagy több. Ha két alanyunk van, akkor a konfliktus páros, ha több - többszörös. Antagonisztikus játék is megkülönböztethető, nulla összegű játéknak is nevezik. Ez egy olyan modell, amelyben az egyik résztvevő nyeresége egyenlő a másik veszteségével.
Ebben a részben a szimulációs matematikai modellekre összpontosítunk. Példák a feladatokra:
Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek a lehető legközelebb állnak a valós folyamatokhoz. Összességében a természetben bármilyen megnyilvánulást utánoznak. Az első esetben például modellezhetjük egy kolóniában a hangyák számának dinamikáját. Ebben az esetben megfigyelheti az egyes egyének sorsát. Ebben az esetben a matematikai leírást ritkán használják, gyakrabban vannak írott feltételek:
Így egy nagy rendszer leírására használják. A matematikai következtetés a kapott statisztikai adatok feldolgozása.
Nagyon fontos tudni, hogy van néhány követelmény az ilyen típusú modellekkel szemben, amelyek között megtalálhatók az alábbi táblázatban szereplő követelmények.
Sokoldalúság | Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy ugyanazt a modellt használja azonos típusú objektumok csoportjainak leírásakor. Fontos megjegyezni, hogy az univerzális matematikai modellek teljesen függetlenek a vizsgált tárgy fizikai természetétől. |
Megfelelőség | Itt fontos megérteni, hogy ez a tulajdonság lehetővé teszi a valós folyamatok leghelyesebb reprodukálását. Az üzemeltetési feladatoknál a matematikai modellezésnek ez a tulajdonsága nagyon fontos. Egy modellre példa a gázrendszer használatának optimalizálásának folyamata. Ebben az esetben a számított és a tényleges mutatókat összehasonlítják, ennek eredményeként ellenőrzik az összeállított modell helyességét. |
Pontosság | Ez a követelmény magában foglalja azoknak az értékeknek az egybeesését, amelyeket a matematikai modell és a valós objektumunk bemeneti paramétereinek kiszámításakor kapunk. |
gazdaság | A gazdaságosság követelményét bármely matematikai modell esetében a megvalósítási költségek jellemzik. Ha a modellel végzett munka kézzel történik, akkor ki kell számítani, hogy mennyi időbe telik egy probléma megoldása ezzel a matematikai modellel. Ha számítógéppel segített tervezésről beszélünk, akkor az idő és a számítógép memória mutatóit számítják ki |
Összességében a matematikai modellezésben négy szakaszt szokás megkülönböztetni.
Ebben a részben röviden kiemeljük a problémát.Példák a feladatokra:
A közgazdasági-matematikai modell egy gazdasági absztrakciót jelenít meg, amelyet matematikai kifejezésekkel és jelekkel fejeznek ki.
Példák a számítógépes matematikai modellekre:
A számítógépes modell egy objektum vagy rendszer képe, amely a következőképpen jelenik meg:
Ugyanakkor ez a modell tükrözi a rendszer felépítését és összefüggéseit.
Arról már beszéltünk, hogy mi is az a gazdasági-matematikai modell. A probléma megoldására most egy példát veszünk figyelembe. Elemeznünk kell a termelési programot, hogy azonosítsuk a tartalékot a nyereség növelésére a választék eltolódásával.
Nem fogjuk teljesen megvizsgálni a problémát, csak egy gazdasági és matematikai modellt építünk fel. Feladatunk kritériuma a profitmaximalizálás. Ekkor a függvény alakja: Л=р1*х1+р2*х2… a maximumra törekszik. Ebben a modellben p az egységenkénti nyereség, x a megtermelt egységek száma. Továbbá a felépített modell alapján számításokat és összegzést kell végezni.
Feladat. A halász a következő fogással tért vissza:
Hány halat vett a boltban?
Tehát egy példa a probléma matematikai modelljének megalkotására a következő. A halak teljes számát x-szel jelöljük. A feltételt követve 0,2x a déli szélességi körökben élő halak száma. Most egyesítjük az összes rendelkezésre álló információt, és megkapjuk a probléma matematikai modelljét: x=0,2x+8. Megoldjuk az egyenletet, és megkapjuk a választ a fő kérdésre: vett 10 halat a boltban.
Modellezés A modellezés egy valós rendszer (eredeti) vizsgálata oly módon, hogy azt egy új objektumra cseréljük a modelljével, amely egy bizonyos tárgymegfeleléssel rendelkezik, és lehetővé teszi funkcionális jellemzőinek előrejelzését, pl. modellezéskor nem magával a tárggyal kísérleteznek, hanem a tárggyal, amit helyettesítőnek neveznek.
A modellezési folyamat több szakaszból áll:
1. A probléma megfogalmazása és a vizsgálandó valós tárgy tulajdonságainak meghatározása.
2. Valós tárgy tanulmányozásának nehézségére vagy lehetetlenségére vonatkozó kijelentés.
3. Modellválasztás, egyrészt a tárgy jól működő alaptulajdonságai, másrészt könnyen kutatható. A modellnek tükröznie kell az objektum fő tulajdonságait, és nem lehet grammatikai.
4. A modell tanulmányozása a célnak megfelelően.
5. Az objektum és a modell megfelelőségének ellenőrzése. Ha nincs meccs, akkor az első négy pontot meg kell ismételni.
A modellezési problémák megoldásának klasszikus és szisztematikus megközelítése létezik. A módszer lényege a következő: A vizsgálandó valós objektumot külön komponensekre osztjuk Dés válassza ki a célokat C a modell egyedi komponenseinek kialakítása NAK NEK. Ezután a kiinduló adatok alapján modellkomponensek készülnek, amelyek összességét, összefüggéseiket figyelembe véve, modellbe vonják össze. Ez a módszer induktív, azaz. a modell felépítése a konkréttól az általános felé halad.
A klasszikus módszert viszonylag egyszerű rendszerek, például automatikus vezérlőrendszerek modellezésére használják. Rendszerszemléletű A módszer lényege, hogy a kiindulási adatok alapján D, amelyek a külső környezet elemzéséből ismertek, figyelembe véve a rendszerre rótt korlátozásokat és a célnak megfelelően C, követelmények alakulnak ki Tés tárgymodellek. Ezen követelmények alapján épül fel egy alrendszer Pés az alrendszerek elemei Eés az önéletrajz kiválasztási kritériumot felhasználva kiválasztják a legjobb modellt, azaz. a modell felépítése az általánostól a konkrét felé halad.
A rendszerszemléletet komplex rendszerek modellezésére használják.
A modellezés típusainak osztályozása 1. A modell felépítésének módja szerint a) Elméleti (analitikai) - a belső szerkezetre vonatkozó adatok szerint épülnek fel a fizikai adatokból fakadó összefüggések alapján. b) Formális - a kilépés és a rendszerbe való belépés kapcsolatának megfelelően. A fekete doboz elve alapján épül fel c) Kombinált.2. A változók időbeli változtatásával. a) Statikus b) Dinamikus A statikus modell az objektum állapotát írja le, és nem tartalmaz deriváltokat xÉs nál nél(bemeneti és kimeneti) jelek időben A b) matematikai modell a térfogat statikáját írja le a hossz mentén elosztott koordinátákkal A dinamikus modell időben tranziens folyamatokat ír le és deriváltokat tartalmaz nál néléndt.A dinamikus modellt a megszerzési módtól függően a tranziens impulzus vagy frekvenciaválasz differenciálegyenleteként ábrázoljuk átviteli függvény formájában.Az összevont paraméterű objektumok dinamikáját közönséges differenciálegyenletek írják le, az objektumok pedig az elosztott paramétereket differenciálegyenletek írják le a frekvencia deriváltokban.3. Változómodulok térbeli koordinátáktól való függése szerint.a) Elosztott paraméterekkel.b) Összevont paraméterekkel.4. A felépítés elve szerint.a) Sztochasztikus.b) Determinisztikus.Ha xÉs nál nél(bemeneti és kimeneti) állandó vagy ismert értékek (determinisztikus), akkor a modellt sztochasztikusnak nevezzük. xÉs nál nél véletlen (valószínű) változók, akkor a modellt sztochasztikusnak nevezzük.
A sztochasztikus modellek valószínű elemeket tartalmaznak, és egy működő objektum statikus vizsgálata eredményeként kapott függőségi rendszert képviselnek.
A determinisztikus funkcionális függőségek elméleti megközelítéssel felépített rendszere.
A determinisztikus modelleknek számos előnye van. Működő objektum hiányában is fejleszthetők, ahogy az a tervezésben gyakran előfordul. Minőségileg és pontosabban jellemzik az objektumban végbemenő folyamatokat még mennyiségileg nem kellően pontos modellparaméterek jelenlétében is.
Ha a modellező objektumról szóló információ nem kellően teljes körű, vagy jelentős összetettsége miatt lehetetlen az összes bemeneti műveletet modell formájában leírni, és a nem megfigyelt változók befolyása a kimeneti koordinátákra jelentős, akkor statikus modellt használnak.
5. A modellparaméterek változóktól való függése szerint.
a) Függő (nemlineáris).
b) Független (lineáris).
Ha a modell paraméterei (együtthatói) a változóktól függenek, vagy az utóbbiak multiplikatívak, akkor a modell nemlineáris.
A modell lineárisnak tekinthető, ha a bemeneti műveletre adott válasz folyamatos, és ha a modell paraméterei additívak.
A mennyiségek adatképessége az a tulajdonság, hogy az egész objektum nagyságának értéke megegyezik az egész megfelelő frekvenciájának értékeinek összegével az objektum bármely részekre osztása esetén.
Az értékek multiplikativitása az a tulajdonság, hogy az egész tárgy értékének értéke egyenlő az egész megfelelő részei értékének szorzatával az objektum bármely részekre osztása esetén.
6. A modell alkalmazkodóképessége szerint.
a) Alkalmazkodó.
b) Nem alkalmazkodó.
Az adaptív modell olyan modell, amelynek szerkezete és paraméterei úgy módosulnak, hogy a modell kimeneti változói és az objektum közötti hiba mértéke minimális legyen.
Fel vannak osztva keresésre és nem keresésre.
A keresési modellekben az automatikus optimalizáló úgy változtatja a modell paramétereit, hogy az objektum kimeneti modelljei közötti hiba minimális mértékét kapja meg.
2. előadás
Matematikai modellezési sémák
A rendszer matematikai modelljének felépítésének alapvető megközelítései
A matematikai modell felépítésében, a rendszerek működési folyamatában a kiinduló információ a vizsgált rendszer céljára és állapotára vonatkozó adatok. Ez az információ határozza meg a rendszermodellezés fő célját Sés lehetővé teszi a követelmények és a kidolgozott matematikai modell megfogalmazását M.
A matematikai séma a folyamat működési folyamatának értelmesről a formális leírására való átmenet láncszeme, figyelembe véve a külső környezet hatását, pl. van egy lánc: leíró modell → matematikai séma → matematikai modell.
Minden rendszer S tulajdonságok összessége jellemzi, amelyek tükrözik a rendszer viselkedését és működésének feltételeit a külső környezettel való kölcsönhatásban ε .
A modell teljességét elsősorban a rendszer általi határválasztás szabályozza Sés a külső környezet E.
A modell egyszerűsítésének feladata a rendszer főbb tulajdonságainak kiemelését segíti elő, a másodlagosakat elvetve.
Vezessük be a következő jelölést:
1) A rendszer bemeneti műveleteinek összessége
.
2) A környezeti hatások összessége
.
3) Belső vagy szabadalmaztatott rendszerparaméterek halmaza
.
4) A rendszer kimeneti jellemzőinek összessége
A rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek felépítésében a kezdeti információ a vizsgált (tervezett) rendszer céljára és működési feltételeire vonatkozó adatok, amelyek meghatározzák a modellezés fő célját, és lehetővé teszik számunkra, hogy megfogalmazzuk a kidolgozott matematikai követelményeket. modell . matematikai séma láncszemként határozható meg a rendszer működési folyamatának értelmes leírásától formális leírásáig, figyelembe véve a külső környezet hatását, pl. van egy lánc "leíró modell - matematikai séma - matematikai [analitikai és (és) szimulációs] modell".
A szimulációs objektum, azaz rendszer modellje S, egy valós rendszer működési folyamatát leíró mennyiségek halmazaként ábrázolható, és általános esetben a következő részhalmazokat alkotja:
összesített beviteli műveletek a rendszerhez - x i;
összesített környezeti hatások– n l;
összesített belső (saját) paraméterek rendszerek - h k;
összesített kimeneti jellemzők rendszerek - y j.
Ugyanakkor a felsorolt részhalmazokban megkülönböztethetők a szabályozott és nem szabályozott változók. Általában x i, n l, h k, y j diszjunkt részhalmazok elemei X, V, H, Y determinisztikus és sztochasztikus komponenseket is tartalmaznak.
Rendszer modellezésekor S bemeneti hatások, környezeti hatások Eés a rendszer belső paraméterei az független (exogén) változók, amelyek vektoros formában a formával rendelkeznek
és a rendszer kimeneti jellemzői az függő (endogén) változók vektoros formában pedig az alakjuk van
A rendszer működési folyamata S időben leírta az üzemeltető Fs , amely általános esetben az exogén változókat endogén változókká alakítja át a következő alakviszonyoknak megfelelően:
. (2.1)
A rendszer kimeneti jellemzőinek időbeli függésének halmaza y j(t) minden fajtához hívják kilépési pálya. A függőséget (2.1) nevezzük az S rendszer működésének törvényeés jelöltük F s .Általános esetben a rendszer működésének törvénye F s megadható függvényként, funkcionális, logikai feltételként, algoritmikus és táblázatos formában, vagy szóbeli megfelelési szabályként.
Nagyon fontos a rendszer leírása és tanulmányozása szempontjából S az a koncepció műveleti algoritmus A s, amely a kimeneti jellemzők megszerzésére szolgáló módszerként értendő, figyelembe véve a bemeneti műveleteket , környezeti hatások és saját rendszerparamétereket . Nyilvánvaló, hogy ugyanaz a rendszerműködési törvény többféleképpen is megvalósítható, pl. sokféle algoritmus segítségével A s .
A relációk (2.1) a modellezés objektumának (rendszerének) időbeli viselkedésének matematikai leírása. , azok. dinamikus tulajdonságait tükrözik. Ezért az ilyen típusú matematikai modelleket általában ún dinamikus modellek (rendszerek).
Statikus modellek esetén a matematikai leírás (2.1) a modellezett objektum tulajdonságainak két részhalmaza közötti leképezés. YÉs [ X, V, H], amely vektor formában úgy írható fel
. (2.2)
A (2.1) és (2.2) relációk többféleképpen megadhatók: analitikusan (képletek segítségével), grafikusan, táblázatos formában stb. Számos esetben a rendszer tulajdonságain keresztül kaphatunk ilyen kapcsolatokat S meghatározott időpontokban hívják Államok. A rendszer állapota S vektorok jellemzik
És 
,
Ahol z ’ 1 =z 1 (t ’),z ’ 2 =z 2 (t ’), …, z' k = z k ( t'), ebben a pillanatban t ’’ Î( t 0 , T); z ’’ 1 =z 1 (t ’’), z ’’ 2 =z 2 (t ’’), …, z'' k = z k ( t'') ebben a pillanatban t ’’ Î( t 0 , T) stb., .
Ha figyelembe vesszük a rendszer működésének folyamatát S egymást követő állapotváltásként z 1 (t), z 2 (t), ..., z k ( t), akkor egy pont koordinátáiként értelmezhetők k-dimenziós fázistér, és a folyamat minden egyes megvalósítása valamilyen fázispályának felel meg. Az összes lehetséges állapotérték halmazát hívják állapottér szimulációs objektum Z, és z k О Z.
A rendszer állapotai S akkor t0<t*£ T teljesen a kezdeti feltételek határozzák meg 
[Ahol z 0 1 =z 1 (t 0), z 0 2 =z 2 (t 0), ..., z 0 k = z k ( t 0)], a bemeneti hatások , a belső paraméterek és a külső környezeti hatások, amelyek egy bizonyos időn keresztül történtek t*– t 0, két vektoregyenlet segítségével:
; (2.3)
. (2.4)
Az első egyenlet, a kezdeti állapot és az exogén változók ismeretében, meghatározza a vektorfüggvényt , a második pedig az állapotok kapott értékét tekintve endogén változók a rendszer kimenetén . Így a "bemenet - állapotok - kimenet" objektum egyenletlánca lehetővé teszi a rendszer jellemzőinek meghatározását:
Általános esetben az idő a rendszermodellben S szimulációs intervallumon (0, T) folytonos és diszkrét is, azaz. időegységek hosszúságú szegmenseire kvantálva, amikor , ahol a mintavételi intervallumok száma.
Így, alatt az objektum matematikai modellje(valós rendszer) a változók véges részhalmazát érti 
a köztük és a jellemzők közötti matematikai összefüggésekkel együtt.
Ha a szimulációs objektum matematikai leírása nem tartalmaz véletlenszerűségi elemeket, vagy azokat nem veszik figyelembe, pl. ha feltételezhetjük, hogy ebben az esetben nincs sztochasztikus hatása a külső környezetnek és a belső paramétereknek, akkor a modell ún. meghatározó abban az értelemben, hogy a jellemzőket a determinisztikus bemeneti műveletek egyedileg határozzák meg
. (2.6)
Nyilvánvaló, hogy a determinisztikus modell a sztochasztikus modell speciális esete.
A fenti matematikai összefüggések általános formájú matematikai sémák, és lehetővé teszik a rendszerek széles osztályának leírását. A rendszertervezés és rendszerelemzés területén az objektumok modellezésének gyakorlatában azonban a rendszer tanulmányozásának kezdeti szakaszában ésszerűbb a tipikus matematikai sémák: differenciálegyenletek, véges és valószínűségi automaták, sorrendszerek, Petri-hálók stb.
A tipikus matematikai sémák, amelyek nem rendelkeznek olyan általánosságfokkal, mint a vizsgált modellek, az egyszerűség és az áttekinthetőség, de az alkalmazási lehetőségek jelentős szűkítésével rendelkeznek. Determinisztikus modellként, ha a vizsgálat során véletlenszerű tényezőket nem veszünk figyelembe, a folytonos időben működő rendszerek ábrázolására differenciál-, integrál-, integro-differenciális és egyéb egyenleteket, a működő rendszerek ábrázolására pedig véges automatákat és véges állapotú gépeket használunk. diszkrét időben.különbségsémák. Sztochasztikus modellként (véletlenszerű tényezők figyelembevételével) a valószínűségi automaták a diszkrét idejű rendszerek, a sorba állító rendszerek pedig a folytonos idejű rendszerek ábrázolására szolgálnak stb.
A felsorolt tipikus matematikai sémák természetesen nem mondhatják maguknak, hogy ezek alapján leírhatják a nagy információs és vezérlőrendszerekben előforduló összes folyamatot. Az ilyen rendszerek esetében bizonyos esetekben ígéretesebb az aggregatív modellek alkalmazása. Az aggregatív modellek (rendszerek) lehetővé teszik a kutatási objektumok széles körének leírását, ezen objektumok rendszerszerűségének megjelenítésével. Az aggregatív leírás során egy összetett objektumot (rendszert) véges számú részre (alrendszerre) osztanak, miközben fenntartják a részek kölcsönhatását biztosító kapcsolatokat.
Így a rendszerek működési folyamatainak matematikai modelljeinek megalkotásakor a következő főbb megközelítések különböztethetők meg: folytonos-determinisztikus (például differenciálegyenletek); diszkrét-determinisztikus (véges automaták); diszkrét sztochasztikus (valószínűségi automaták); folytonos-sztochasztikus (sorrendező rendszerek); általánosított, vagy univerzális (aggregatív rendszerek).
5. előadás.
Folyamatosan determinisztikus modellek (D-sémák)
Tekintsük a folytonosan determinisztikus megközelítés jellemzőit matematikai modellként differenciálegyenletekkel. Differenciál egyenletek olyan egyenleteknek nevezzük, amelyekben az ismeretlenek egy vagy több változó függvényei, és az egyenlet nemcsak függvényeket, hanem azok különböző rendű származékait is tartalmazza. Ha az ismeretlenek sok változó függvényei, akkor az egyenleteket hívjuk parciális differenciálegyenletek, egyébként, ha csak egy független változó függvényét vesszük figyelembe, az egyenleteket hívjuk közönséges differenciálegyenletek(ÓDA) .
Általában az ilyen matematikai modellekben az időt független változóként használják, amelytől az ismeretlen kívánt függvények függenek. t. Ekkor a matematikai összefüggés a determinisztikus rendszerekre (2.6) általános formában a következő lesz
Ahol 
És 
- n-dimenziós vektorok; egy vektorfüggvény, amely néhány ( n+ 1)-dimenziós halmaz és folytonos. Mivel az ilyen típusú matematikai sémák a vizsgált rendszer dinamikáját tükrözik, i.e. viselkedését időben, úgy hívják D-sémák(az angol dynamic-ból).
A legegyszerűbb esetben az ODE alakja a következő:
,
Ahol h 0 , h 1 , h 2 – rendszerparaméterek; z(t) – a rendszer állapota egy adott időpontban t.
Ha a vizsgált rendszer kölcsönhatásba lép a környezettel E , akkor van egy bemenet x(t) és egy ilyen rendszer folytonosan determinisztikus modellje így fog kinézni:
.
A matematikai modell általános sémája szempontjából x(t) a bemeneti (vezérlő) művelet és a rendszer állapota S ebben az esetben kimeneti jellemzőnek tekinthető, azaz. tételezzük fel, hogy a kimeneti változó megegyezik a rendszer adott időpontban fennálló állapotával y=z.
A rendszermérnöki problémák megoldása során a nagy rendszerek menedzselésének problémáinak nagy jelentősége van. Figyelmet kell fordítani az automatikus vezérlőrendszerekre - a dinamikus rendszerek speciális esetét írja le D- sémákat, és gyakorlati sajátosságaik miatt külön modellosztályba sorolják. Az automatikus vezérlés folyamatait leírva általában egy valós objektum reprezentációjához ragaszkodnak két rendszer formájában: vezérlő és menedzselt (vezérlő objektum).
. 6. előadás.
Diszkrét-determinisztikus modellek (F-sémák)
A diszkrét-determinisztikus megközelítés jellemzőit a rendszerek működési folyamatának formalizálásának szakaszában fogjuk megvizsgálni az automaták elméletének matematikai apparátusként való felhasználásának példáján. Az automataelmélet az elméleti kibernetika egy része, amely matematikai modelleket - automatákat - vizsgál. Ezen elmélet alapján a rendszert olyan automataként ábrázolják, amely diszkrét információkat dolgoz fel, és csak a megengedett időpontokban változtatja meg belső állapotait. Az „automata” fogalma a konkrétan vizsgált rendszerek természetétől, az absztrakció elfogadott szintjétől és az általánosság megfelelő fokától függően változik. Az automatát úgy lehet felfogni, mint valamilyen eszközt (fekete dobozt), amelyre bemeneti jeleket adnak és kimenőjeleket vesznek fel, és amelyeknek lehetnek belső állapotai. Véges automatának nevezzük azt az automatát, amelynek belső állapothalmaza, következésképpen a kimeneti jelek halmaza véges halmaz. Absztrakt módon egy véges automata (az angol véges automatából) egy matematikai sémaként ábrázolható, amelyet hat elem jellemez: egy véges halmaz. x bemeneti jelek (bemeneti ábécé); véges halmaz Y kimeneti jelek (kimeneti ábécé); véges halmaz Z belső állapotok (belső ábécé vagy állapotok ábécéje); kezdeti állapot z 0 Î Z; átmeneti funkció j(z, x); kimeneti funkció y(z, x).
Az automata adott F-rendszer: 
– diszkrét automataidőben működik, melynek pillanatai ciklusok, pl. egyenlő időintervallumok egymás mellett, amelyek mindegyike megfelel a bemeneti és kimeneti jelek és a belső állapotok állandó értékeinek. Ha kijelöljük az állapotot, valamint a megfelelő bemeneti és kimeneti jeleket t- mu megüt t= 0, 1, 2, ..., át z(t),x(t),y(t).Ahol z(0)=z 0 , z(t)Î Z, x(t)Î X, y(t)Î Y. Egy absztrakt állapotgépnek egy bemeneti és egy kimeneti csatornája van. A diszkrét idő minden pillanatában F- a gép egy bizonyos állapotban van z(t) a készletből Z az automata állapotaiban és a kezdeti időpillanatban t=0 mindig kezdeti állapotban van z(0)=z 0 . Ebben a pillanatban t, képesnek lenni z(t),
az automata képes érzékelni egy jelet a bemeneti csatornán x(t)Î xés adjon jelet a kimeneti csatornán nál nél(t)=y[z(t), x(t)], átmegy az államba z(t+1)=j[z(t), x(t)], x(t)Î X, y(t)Î Y. Egy absztrakt véges automata a bemeneti ábécé szavak halmazának valamilyen leképezését valósítja meg x a kimeneti ábécé szavak halmazává Y. Más szóval, ha a véges állapotú gép bemenete a kezdeti állapotra van állítva z 0 , adja meg a beviteli ábécé betűit valamilyen sorrendben x(0),x(1),x(2),..., azaz bemeneti szó, akkor az automata kimenetén a kimeneti ábécé betűi jelennek meg nál nél(0), y(1), nál nél(2), ..., a kimeneti szót alkotva. Így a véges automata működése a következő séma szerint történik: mindegyikben t- m lépés az automata bemenetére, amely állapotban van z(t), adnak valamilyen jelet x(t),
amire úgy reagál, hogy ( t+1) ciklus új állapotba z(t+1) és valamilyen kimeneti jelet bocsát ki.
Az állapotok száma szerint megkülönböztetünk memóriás és memória nélküli véges automatákat. A memóriával rendelkező automatáknak több állapotuk van, míg a memória nélküli automatáknak (kombinációs vagy logikai áramkörök) csak egy állapotuk van. A diszkrét időszámlálás természete szerint a véges automatákat szinkron és aszinkron részekre osztják. Szinkronban F-automatákban az időpontokat, amikor az automata "beolvassa" a bemeneti jeleket, kényszerszinkronizáló jelek határozzák meg. Aszinkron F- az automata folyamatosan olvassa a bemeneti jelet, és ezért egy kellően hosszú, állandó értékű bemeneti jelre reagál X, többször is tud állapotot váltani, megfelelő számú kimenetet állítva elő, egészen addig, amíg el nem ér egy adott bemeneti jellel már nem változtatható stabil állapotot.
Diszkrét sztochasztikus modellek (P-sémák)
Tekintsük a matematikai sémák felépítésének jellemzőit a vizsgált rendszer működési folyamatának formalizálásának diszkrét-sztochasztikus megközelítésében. Mivel ebben a megközelítésben az idődiszkretizálás lényege hasonló marad a véges automatákéhoz, nyomon követjük a sztochaszticitási tényező hatását az ilyen automaták változataira, nevezetesen a valószínűségi (sztochasztikus) automatákra.
Általánosságban a valószínűségi automata úgy definiálható, mint egy memóriával rendelkező diszkrét lépésről lépésre információátalakító, amelynek működése minden lépésben csak a benne lévő memória állapotától függ, és statisztikailag leírható. A valószínűségi automaták sémáinak alkalmazása fontos a statisztikailag szabályos véletlenszerű viselkedést mutató diszkrét rendszerek tervezésének módszereinek kidolgozásához, az ilyen rendszerek algoritmikus képességeinek tisztázásához és alkalmazásuk célszerűségének határainak alátámasztásához, valamint a szintézis problémák megoldásához. adott korlátokat kielégítő diszkrét sztochasztikus rendszerek választott kritériumához.
Bemutatjuk a matematikai fogalmat R- géppuska ,
számára bevezetett fogalmakat használva F-gép .
Vegye figyelembe a készletet G, melynek elemei minden lehetséges pár ( x i , z s), Ahol x i,És z s a bemeneti részhalmaz elemei xés az állapotok részhalmazai Z illetőleg. Ha két ilyen függvény van jÉs y, majd segítségükkel a leképezéseket G® ZÉs G® Y, akkor azt mondják 
determinisztikus típusú automatát határoz meg. Mutassunk be egy általánosabb matematikai sémát. Hadd F az összes lehetséges alakpár halmaza ( z k , y i) Ahol a j a kimeneti részhalmaz egyik eleme Y. Megköveteljük, hogy a készlet bármely eleme G indukált a forgatáson F néhány elosztási törvény a következő formában:
Elemek F … (z 1 ,y 1) … (z 1 ,y 2) … … (z K , y J -1) (z K , y J)
(x i z k) … b 11 b 12 … b K (J -1 ) b KJ
ahol ,
Ahol bkj az automata állapotba való átmenetének valószínűsége zkés egy jel megjelenése a kimeneten j-nél, ha képes volt rá z sés a bemenetén ekkor jel érkezett x i. Az ilyen eloszlások száma, táblázatok formájában, megegyezik a halmaz elemeinek számával G. Jelölje ezen táblázatok halmazát BAN BEN, majd a négy elemet 
valószínűségi automatának nevezzük ( R- automatikus) .
7. előadás.
Folyamatos sztochasztikus modellek (Q-sémák)
A folytonos-sztochasztikus megközelítés jellemzőit a sorbanállási rendszerek, mint tipikus matematikai sémák példáján fogjuk figyelembe venni, amelyeket nevezünk. K- sémák . A sorbanállási rendszerek matematikai sémák egy osztálya, amelyet a sorban állás elméletében és különféle alkalmazásokban fejlesztettek ki a rendszerek működési folyamatainak formalizálására, amelyek alapvetően szolgáltatási folyamatok.
Szolgáltatási folyamatként a gazdasági, ipari, műszaki és egyéb, fizikai természetükben változatos rendszerek működési folyamatai ábrázolhatók, például távoli terminálokról származó számítógépes információk feldolgozására szolgáló alkalmazások stb. Ugyanakkor az ilyen objektumok működését a szolgáltatásra vonatkozó kérések (követelmények) véletlenszerű megjelenése és a szolgáltatás véletlenszerű időpontokban történő befejezése jellemzi, pl. működésük folyamatának sztochasztikus jellege. Bármely elemi szolgáltatási aktusban két fő összetevő különböztethető meg: az alkalmazás általi szolgáltatás elvárása és az alkalmazás tényleges szolgáltatása. Ez néhányként ábrázolható én th hangszer szolgáltatás P i, amely az alkalmazások egy akkumulátorából áll Szia, amely egyszerre tartalmazhat alkalmazásokat, ahol L i H- kapacitás én-edik meghajtó, és az alkalmazás szolgáltatási csatornája (vagy csak a csatorna) K i . A szervizeszköz minden eleméhez P i eseményfolyamok érkeznek: az akkumulátorba Szia - alkalmazásfolyamat w i csatornánként K i - szolgáltatási folyamat u i .
A bonyolultabb szerkezeti kapcsolatokkal és viselkedési algoritmusokkal rendelkező rendszerek modellezési gyakorlatában nem külön kiszolgáló eszközöket használnak formalizálásra, hanem K- sok elemi szolgáltatási eszköz összetételéből kialakított sémák P i(sorozó hálózatok). Ha csatornák K i különböző szolgáltató eszközök párhuzamosan kapcsolódnak, akkor van egy többcsatornás szolgáltatás (többcsatornás K-rendszer) , és ha az eszközök P iés párhuzamos összetételük sorba van kötve, akkor van többfázisú szolgáltatás (többfázisú K- rendszer). Így a feladathoz K-Sémáknak konjugációs operátort kell használniuk R, tükrözve a struktúra elemei (csatornák és meghajtók) egymás közötti kapcsolatát. Tegyen különbséget nyitott és zárt között K-rendszer . Nyisd ki K-séma esetén a kiszolgált kérések kimeneti folyama nem érkezhet újra egyetlen elemhez sem, azaz nincs visszacsatolás, és zárva K- sémák vannak visszacsatolások, amelyek szerint a kérések a be-kilépési mozgással ellentétes irányban mozognak.
A karakterisztikák becslésének lehetőségei a sorelméleti analitikus modellek segítségével nagyon korlátozottak az alakban formalizált rendszerek kutatási és tervezési gyakorlatának követelményeihez képest. K- sémák. A szimulációs modellek összehasonlíthatatlanul nagyobb lehetőségeket kínálnak, lehetővé téve a vizsgálatot K- korlátozás nélkül adott.
Hálózati modellek (N-diagramok)
Az objektumok modellezésének gyakorlatában gyakran szükséges az ok-okozati összefüggések formalizált leírásával és elemzésével kapcsolatos problémák megoldása összetett rendszerekben, ahol több folyamat párhuzamosan fut egyszerre. A jelenleg legelterjedtebb formalizmus, amely párhuzamos rendszerek és folyamatok szerkezetét és kölcsönhatását írja le, a Petri-hálók (az angol Petri Nets-ből).
Formálisan a Petri-háló ( N-séma) a következő alak négyesével van megadva:
,
Ahol BAN BEN– pozícióknak nevezett szimbólumok véges halmaza; D– átmeneteknek nevezett szimbólumok véges halmaza; én– bemeneti funkció (közvetlen beesési funkció); O- kimeneti függvény (inverz incidencia függvény). Tehát a beviteli függvény én megjeleníti az átmenetet d j több kimeneti pozícióra b iÎ én(d j), és a kimeneti függvény RÓL RŐL megjeleníti az átmenetet d j több kimeneti pozícióra b iÎ D(d j).
Grafikusan N-séma bipartit orientált multigráfként van ábrázolva, amely pozíciók és átmenetek halmaza. Grafikon N-sémák kétféle csomóponttal rendelkezik: pozíciók és átmenetek, amelyeket 0, illetve 1 jelöl. Hozzávetőleges ívek kapcsolják össze a pozíciókat és az átmeneteket, és minden ív egy halmaz elemétől (pozíció vagy átmenet) egy másik halmaz eleméhez (átmenet vagy pozíció) irányul. Grafikon N-sémák egy multigráf, mivel lehetővé teszi több ív létezését egyik csúcstól a másikig.
Csökkentett reprezentáció N-sémák csak a szimulált rendszer statikájának (események és feltételek kapcsolatának) tükrözésére használható, de nem teszi lehetővé a szimulált rendszer működésének dinamikájának a modellben való tükrözését. Egy objektum dinamikus tulajdonságainak ábrázolására egy jelölő (jelölő) funkció kerül bevezetésre M: B®(0, 1, 2, ...). Jelzés M van néhány absztrakt objektum, az úgynevezett címkék (chipek), pozíciókhoz rendelve N-sémák, továbbá az egyes pozíciókhoz tartozó pontok száma változhat. Amikor grafikus feladat N-sémák a jelölést úgy jelenítjük meg, hogy a megfelelő számú pontot helyezzük a csúcspozíciókon belülre (ha nagy a pontok száma, írjunk be számokat). Megjelölve (megjelölve) N-sémaöttel írható le 
és a Petri-háló és a címkézés kombinációja M.
Működés N-sémák a jelölésről a jelölésre való átmenet tükrözi. A kezdeti jelölést a következővel jelöljük M 0:BAN BEN®(0, 1, 2, ...). A jelölés változása az egyik átmenet működése következtében következik be d jÎ D hálózatok. Az átmenet kiváltásának szükséges feltétele d j van b iÎ én (dj){M(b i)³ 1), hol M(b i)- pozíció jelölés b i .Átmenet d j, amelyre a megadott feltétel teljesül, működésre kész állapotként vagy gerjesztett átmenetként definiálható.
Kombinált modellek (A-diagramok)
A rendszerek működési folyamatainak formális leírásának legismertebb általános megközelítése a Ya.P. Buslenko. Ez a megközelítés lehetővé teszi a folytonos és diszkrét, determinisztikus és sztochasztikus rendszerek viselkedésének leírását, azaz a vizsgált rendszerekhez képest általánosított (univerzális) és a koncepción alapul. aggregatív rendszer(az angol aggregate system-ből), ami egy általános forma formális sémája, amit mi fogunk nevezni A-séma.
A modellezési eszközök és a számítógépes szimulációs módszerrel megoldott problémák elemzése elkerülhetetlenül ahhoz a következtetéshez vezet, hogy a modellalkotás és a gépi megvalósítás során felmerülő problémák átfogó megoldása csak akkor lehetséges, ha a modellezési rendszerek alapulnak. egyetlen formális matematikai modellen.séma, azaz. A-séma. Egy ilyen sémának egyszerre több funkciót is el kell látnia: megfelelő matematikai leírásnak kell lennie a modellező objektumról, azaz a rendszerről S, alapul szolgálnak a modell gépi megvalósításához szükséges algoritmusok és programok felépítéséhez M, egyszerűsített változatban (speciális esetekben) lehetővé teszi az analitikai vizsgálatok elvégzését.
Ezek a követelmények némileg ellentmondanak egymásnak. alapján általánosított megközelítés keretein belül azonban A-sémák Található köztük némi kompromisszum.
A matematikában általában és különösen az alkalmazott matematikában kialakult hagyomány szerint aggregatív megközelítéssel először a modellezés tárgyának formális definícióját adják meg - egy aggregatív rendszert, amely az objektumok rendszerszerűségét tükröző matematikai séma. tanulmányozás alatt. Az összesített leírásban egy összetett objektumot (rendszert) véges számú részre (alrendszerre) osztanak, miközben fenntartják az interakciójukat biztosító kapcsolatokat. Ha viszont a kapott alrendszerek némelyike meglehetősen bonyolultnak bizonyul, akkor particionálásuk folyamata addig tart, amíg olyan alrendszerek nem jönnek létre, amelyek a vizsgált modellezési probléma körülményei között matematikai leírásra alkalmasnak tekinthetők. Egy ilyen dekompozíció eredményeként egy komplex rendszert egymással összekapcsolt elemek többszintű struktúrájaként ábrázolnak, amelyek különböző szintű alrendszerekké egyesülnek.
Mint elem A-sémák az aggregátumok cselekményei, és az aggregátumok közötti kapcsolat (a rendszeren belül Sés a környezettel E) a konjugációs operátor használatával történik R. Nyilvánvalóan maga az aggregátum tekinthető A-diagram, azaz a következő szint elemeire (aggregátumaira) bontható. Bármely aggregátumot a következő halmazok jellemeznek: időpontok T, bemenet xés hétvégéken Y jelek, állapotok Z az idő minden pillanatában t. Az egység akkori állapota tÎ T ként jelölve z(t)Î Z, míg a bemeneti és kimeneti jelek x(t)Î xÉs nál nél(t)Î Y illetőleg.
A nagy rendszereknek van egy osztálya, amelyek bonyolultságuk miatt nem formalizálhatók egyetlen egységek matematikai sémáival, ezért ezeket különálló egységek valamilyen felépítésével formalizálják. A n, , amit aggregatív rendszernek, ill A-séma. Valami valós rendszer leírására S mint A-sémák mindkét egyedi egység leírása szükséges A nés a köztük lévő kapcsolatokat.
Működés A-sémák információfeldolgozással kapcsolatos. Minden benne keringő információ A-séma, külsőre és belsőre osztva. A külső információ olyan külső objektumoktól származik, amelyek nem részei a vizsgált sémának, a belső információkat pedig maga a rendszer egységei állítják elő. A-sémák. közötti információcsere A-sémaés a külső környezet E pólusoknak nevezett aggregátumokon keresztül történik A-sémák. Ebben az esetben a bemeneti pólusokat megkülönböztetjük A-sémák, melyek azok az egységek, amelyek kapnak x-üzenetek és kimeneti pólusok A-sémák, amelynek kimeneti információja nál nél-üzenetek. Azokat az aggregátumokat, amelyek nem pólusok, belsőnek nevezzük.
1. Grafikus modellek
2. Szimulációs modellek
3. Matematikai modellek
4. Optimális tervezési folyamatok modellezése
5. Globális folyamatok modellezése
7. Ökológiai rendszerek és folyamatok modellezése
8. Objektum információs modellek
9. Rendszerelemzés
10. Statisztikai modellek
11. Táblázatos modellek
12. Formalizálás és modellezés
Az informatika iskolai szakában hagyományosan a formalizálás és a modellezés értelmes sora van. A modell fogalma alapvető, általános tudományos fogalmakra vonatkozik, a modellezés pedig a valóság megismerésének a különböző tudományok által használt módszere.
Gyakorlatilag az összes természet- és társadalomtudományban a modellek felépítése és használata hatékony kutatási eszköz. A valós tárgyak és folyamatok annyira sokrétűek és összetettek, hogy a tanulmányozásuk legjobb módja egy olyan modell felépítése, amely a valóságnak csak egy részét tükrözi, és ezért sokszor egyszerűbb ennél a valóságnál. A számítástechnika kutatás-fejlesztésének tárgya a számítástechnikai eszközök és technológiák használatához kapcsolódó információmodellezés módszertana. Ebben az értelemben az ember arról beszél számítógépes szimuláció. Az informatika interdiszciplináris jelentősége nagyrészt éppen a számítógépes modellezés bevezetésében nyilvánul meg különböző tudományos és alkalmazott területeken: fizika és technológia, biológia és orvostudomány, közgazdaságtan, menedzsment és még sok más.
Számítógépes modellezés magában foglalja egy információs modell számítógépen való megvalósításának folyamatát és egy szimulációs objektum kutatását ennek a modellnek a segítségével - számítási kísérlet elvégzése. Számítógépes szimuláció segítségével számos tudományos és ipari probléma megoldódik.
Az információs modellezés a modellező objektumra vonatkozó adatok formalizálásához kapcsolódik (lásd " Formalizálás és modellezés”). Az információs modell felépítése a modellezés céljainak meghatározásával és a modellező objektum komplex rendszerként történő elemzésével kezdődik, amelyben ki kell emelni a modellben tükröződő tulajdonságokat és a köztük lévő kapcsolatokat (lásd „ Rendszer elemzése"). Az információs modellek különböznek a modellező objektumról szóló információk megjelenítésének formájában. Matematikai modellekhasználja a matematika nyelvét a modellezés tárgyának ábrázolására. A matematikai modellek külön típusa statisztikai modellek- feldolgozás orientált tömeges adatok(például lakossági felmérések), amelyekben van egy elem a véletlennek. A modellező objektumról táblázatos formában rendezett adatok vannak táblázatos modell. Az építéshez grafikus eszközöket használnak grafikus modellek. A programozásnak a múlt század végén kialakult objektum-orientált megközelítése új paradigmát adott az információs modellezésben: objektum információs modellezés. Azokat a számítógépes modelleket, amelyek olyan összetett rendszerek viselkedését reprodukálják, amelyekhez nincs egyértelmű matematikai apparátus, ún. szimulációs modellek.
A számítógépes információs modellezést különféle természetű folyamatok leírására és elemzésére használják. A fizikai tudományok rendelkeznek a legnagyobb tapasztalattal e tekintetben (lásd Fizikai rendszerek és folyamatok modellezése”). A számítógépes modellezés segít a fontos környezeti problémák megoldásában (lásd Ökológiai rendszerek és folyamatok modellezése”). Az információs modellezés fontos szerepet játszik a közgazdaságtanban és a menedzsmentben. Ezen a területen a legfontosabb feladatok a tervezési feladatok (lásd " Optimális tervezési folyamatok modellezése”). A tudósok számítógépes szimuláció segítségével olyan globális problémát is megpróbálnak megoldani, mint az emberi civilizáció sorsa (lásd Globális folyamatok modellezése”).
A grafikus modellek választéka meglehetősen nagy. Nézzünk meg néhányat közülük.
Vizuális eszköz a rendszerek összetételének és szerkezetének megjelenítésére (lásd " Rendszertan”) grafikonok.
Vegyünk egy példát. Van egy szóbeli leírás egy területről: „Kerületünk öt faluból áll: Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino és Myshkino. Gépjármű utakat fektetnek le: Dedkino és Babkino, Dedkino és Koshkino, Babkino és Myshkino, Babkino és Koshkino, Koshkino és Repkino között. Ebből a leírásból meglehetősen nehéz elképzelni ezt a területet. Ugyanez az információ sokkal könnyebben érzékelhető diagram segítségével (lásd ábra). Ez nem a terület térképe. Itt a sarkalatos pontokhoz vezető útirányokat nem tartják be, a léptéket nem tartják be. Ez a séma csupán öt falu létezésének tényét és a köztük lévő közúti kapcsolatot tükrözi. Ilyen diagram, amely a rendszer elemi összetételét és a kötések szerkezetét mutatja, nak, nek hívják számol.
A grafikon alkotórészei a csúcsokÉs borda. Az ábrán a csúcsok körökként láthatók. rendszerelemek, és az élek vonalként jelennek meg - ez van kapcsolatokat(kapcsolat) elemek között. Ezt a grafikont tekintve könnyen megérthető egy adott területen az útrendszer felépítése.
A megszerkesztett gráf lehetővé teszi például a kérdés megválaszolását: mely falvakon kell átmenni Repkinóból Myshkinóba? Látható, hogy két út lehetséges: 1) R K B M és) R K D B M. Következhetünk-e ebből, hogy az 1. út rövidebb, mint a 2.? Nem, te nem tudod. Ez a grafikon nem tartalmaz mennyiségi jellemzőket. Ez nem egy térkép, ahol a léptéket tiszteletben tartják, és meg lehet mérni a távolságot.
A következő ábrán látható grafikon mennyiségi jellemzőket tartalmaz. A szélek közelében lévő számok az utak hosszát jelzik kilométerben. Ez egy példa súlyozott grafikon. A súlyozott gráf tartalmazhat mennyiségi jellemzők nemcsak kapcsolatokat, hanem csúcsokat is. Például a csúcsok jelezhetik az egyes falvak lakosságát. A súlyozott gráf adatai alapján kiderül, hogy az első út hosszabb, mint a második.
Az ilyen gráfokat is nevezik hálózat. A hálózat jellemző számos különböző útvonal mozgásának lehetősége az élek mentén néhány csúcspár között. A hálózatokra jellemző a zárt utak jelenléte is, amelyeket ún ciklusok. Ebben az esetben van egy ciklus: K D B K.
A vizsgált ábrákon minden él két pont közötti útkapcsolat meglétét jelzi. De az útkapcsolat mindkét irányban ugyanúgy működik: ha B-ből M-be vezethető az út, akkor M-ből B-be is (feltesszük, hogy kétirányú forgalom van). Ilyen grafikonok tájékozatlan, és ezek kapcsolatait ún szimmetrikus.
A következő ábra egy grafikon minőségileg eltérő példáját mutatja.
Vércsoport-kompatibilitási grafikon
Ez a példa az orvostudományhoz kapcsolódik. Köztudott, hogy a különböző emberek különböző vércsoportokkal rendelkeznek. Négy vércsoport létezik. Kiderült, hogy amikor vért adnak át egyik személyről a másikra, nem minden csoport kompatibilis. A grafikon a vérátömlesztés lehetséges lehetőségeit mutatja. A vércsoportok a grafikon csúcsai a megfelelő számokkal, és a nyilak jelzik annak lehetőségét, hogy egy vércsoportot át kell adni egy másik vércsoportú személynek. Ez a grafikon például azt mutatja, hogy az I. csoportba tartozó vért bármely személynek át lehet adni, és az I. vércsoportú személy csak a saját csoportjának vérét fogadja el. Az is látható, hogy egy IV-es vércsoportú embernek bármilyen, de saját vére csak ugyanabba a csoportba kerülhet.
Adott gráf csúcsai közötti kapcsolatok aszimmetrikusés ezért irányított vonalak nyilakkal ábrázolják. Az ilyen vonalakat ún ívek(ellentétben az irányítatlan gráfok éleivel). Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező gráfot nevezzük orientált. Az ugyanazt a csúcsot elhagyó és belépő vonalat hívjuk hurok. Ebben a példában négy hurok van.
Nem nehéz belátni a vérátömlesztési rendszer modelljének grafikon formájában történő ábrázolásának előnyeit ugyanazon szabályok szóbeli leírásához képest. A grafikon könnyen érthető és megjegyezhető.
Fa - a hierarchikus szerkezet grafikonjaA rendszerek nagyon gyakori típusai a hierarchikus felépítésű rendszerek. Hierarchikus struktúra természetesen akkor keletkezik, ha az objektumok vagy egyes tulajdonságaik alárendeltségi viszonyban állnak (beágyazás, öröklődés). Az adminisztratív irányítási rendszerek általában hierarchikus felépítésűek, amelyek elemei között alárendeltségi viszonyok jönnek létre. Például: az üzem igazgatója - az üzletek vezetői - a részlegek vezetői - a művezetők - a munkások. A rendszereknek van egy hierarchikus felépítése is, melynek elemei között egyesek másokba való előfordulási viszonyai vannak.
A hierarchikus szerkezeti gráfot ún fa. A fa fő tulajdonsága, hogy bármelyik két csúcsa között csak egy út van. A fák nem tartalmaznak ciklusokat és hurkokat.
Nézze meg a grafikont, amely államunk hierarchikus közigazgatási struktúráját tükrözi: az Orosz Föderáció hét közigazgatási körzetre oszlik; kerületek régiókra (megyékre és nemzeti köztársaságokra) vannak felosztva, amelyek városokat és egyéb településeket foglalnak magukban. Az ilyen gráfot ún fa.
Az Orosz Föderáció közigazgatási struktúrájának fája
A fának van egy fő csúcsa, amelyet ún fa gyökere. Ez a csúcs látható felül; tőle származzon ágak fa. A fa szintjeit a gyökértől számítjuk. A gyökérhez közvetlenül kapcsolódó csúcsok alkotják az első szintet. A kapcsolatok tőlük a második szint tetejére mennek, és így tovább. A fa minden csúcsának (a gyökér kivételével) van egy a kezdeti vertex az előző szinten, és lehet halmaza generált csúcsok a következő szinten. Ezt a kapcsolattípust ún egy a sokhoz". Azokat a csúcsokat nevezzük, amelyeknek nincs gyerekük levelek(gráfunkon ezek városokat jelölő csúcsok).
Kutatási eredmények grafikus modellezéseA tudományos grafika általános célja a következőképpen fogalmazható meg: a láthatatlan és az absztrakt „láthatóvá” tétele. Az utolsó szót idézőjelek közé kell tenni, mivel ez a „megjelenés” gyakran nagyon feltételes. Megtekinthető-e a hőmérséklet-eloszlás egy inhomogénen felhevült, összetett alakú test belsejében anélkül, hogy több száz mikroszenzort helyeznénk bele, azaz lényegében tönkretennénk? - Igen, lehetséges, ha van egy megfelelő matematikai modell, és ami nagyon fontos, az ábrán szereplő egyes konvenciók észleléséről való egyetértés. Látható-e a fémércek föld alatti eloszlása feltárás nélkül? Egy idegen bolygó felszínének szerkezete a radar eredményei szerint? Ezekre és sok más kérdésre a válasz igen, lehetséges, a számítógépes grafika és az azt megelőző matematikai feldolgozás segítségével.
Sőt, lehet „látni” valamit, ami szigorúan véve egyáltalán nem felel meg a „látni” szónak. Így a kémia és a fizika metszéspontjában keletkezett tudomány - a kvantumkémia - lehetőséget ad arra, hogy „meglássuk” a molekula szerkezetét. Ezek a képek az absztrakció csúcsát és konvenciórendszert jelentik, hiszen az atomi világban a részecskékről (magok, elektronok stb.) megszokott fogalmaink alapvetően nem alkalmazhatók. A számítógép képernyőjén egy molekula sokszínű „képe” azonban hasznosabb azok számára, akik megértik konvencionálisságának teljes mértékét, mint a számítások eredményeként létrejövő számok ezrei.
Kontúrok
A számítási kísérlet eredményeinek feldolgozásának standard technikája a vonalak (felületek) építése, ún izolinák(izofelületek), amelyek mentén valamilyen függvénynek állandó értéke van. Ez egy nagyon elterjedt technika a skaláris tér jellemzőinek megjelenítésére folytonos közeg közelítésében: izotermák - egyenlő hőmérsékletű vonalak, izobárok - egyenlő nyomású vonalak, folyadék- vagy gázáramlási függvény izolinjai, amelyek segítségével könnyen lehet képzeljük el áramlásukat, az ökológiai populáció izolációit a talajon, izolálja a káros szennyeződések koncentrációját a környezetben stb.
Az áram izovonalai
Az ábra egy téglalap alakú áramlási tartományban egy egyenlőtlenül melegített folyadék áramlási függvényének izolinjait mutatja. Ebből a képből egyértelműen meg lehet ítélni az áramlatok irányát és intenzitását.
Feltételes színek, feltételes kontraszt
A modern tudományos grafika másik érdekes technikája a feltételes színezés. A tudomány különféle alkalmazásaiban a legszélesebb körben alkalmazható, és a számítógépes szimulációs eredmények legkényelmesebb megjelenítésére szolgáló technikák összessége.
A hőmérsékletmezők különböző vizsgálatai során felmerül az eredmények vizuális megjelenítésének problémája, például a hőmérsékletek meteorológiai térképeken. Ehhez izotermákat rajzolhat a térkép hátterére. De még több vizualizáció érhető el, mivel a legtöbb ember hajlamos a vöröset „forrónak”, a kéket pedig „hidegnek” érzékelni. A spektrum mentén a vörösből a kékbe való átmenet közbenső hőmérsékleteket tükröz.
Ugyanezt meg lehet tenni a hőmérsékleti mező szemléltetésekor mind egy megmunkált alkatrész felületén, mind egy távoli bolygó felszínén.
Komplex szerves molekulák modellezésekor a számítógép többszínű kép formájában is tud eredményeket produkálni, ahol a hidrogénatomok egy színnel, a szénatomok más színnel, stb., az atomot pedig egy golyóval (körrel) ábrázolják. , amelyen belül a színsűrűség az elektronsűrűség eloszlásának megfelelően változik. Amikor ásványokat keresnek repülőgépekről vagy űrműholdakról készült légifelvételek segítségével, a számítógépek feltételes színes képeket készítenek a sűrűségeloszlásról a Föld felszíne alatt.
A feltételes színekkel és kontrasztokkal rendelkező képek a tudományos grafika legerősebb módszerei. Nemcsak lapos, hanem háromdimenziós (háromdimenziós) objektumok szerkezetének megértését is lehetővé teszi, a kutató számára a megismerés egyik csodálatos módszerét adja.
A grafikus információmodellezés tanulmányozását nem szabad összetéveszteni a grafikus információfeldolgozási technológiák tanulmányozásával. Amikor a hallgatók elkezdik a modellezést tanulni, általában már ismerik a számítógépes grafika alapvető technológiáit: ismerik az egyszerű grafikus szerkesztők használatát, tudják, hogyan kell diagramokat készíteni táblázatba vagy más alkalmas programba.
Az egyszerű grafikus modellek felépítése gráfok és hierarchikus struktúrák formájában már megfelelő a számítástechnika alapszakon a „Formalizálás és modellezés” témakör tanulmányozásának részeként. A család genealógiai fájának felépítése, az iskolavezetés hierarchikus rendszere stb. egy viszonylag egyszerű tevékenység, amely a legtöbb diák számára elérhető. Ebben az esetben célszerű a számítógépes grafikus rendszerek szemléltető képességeit kihasználni.
Ami a tudományos grafikai modellek programozáson keresztül történő önálló megvalósítását illeti, ez egy fokozott nehézségű anyag, amelynek gyakorlati fejlesztése alkalmas profilinformatikai kurzusban vagy a modellezés elmélyült tanulmányozását célzó szabadon választható kurzus részeként. fizikai és egyéb folyamatokról.
szimulációs modell kölcsönható elemek összetett rendszerének viselkedését reprodukálja. A szimulációs modellezést a következő körülmények (egyidejűleg mindegyik vagy néhány) fennállása jellemzi:
A modellezés tárgya egy összetett inhomogén rendszer;
· a szimulált rendszerben vannak véletlenszerű viselkedési tényezők;
Szükséges az idő múlásával kialakuló folyamat leírásának beszerzése;
· Alapvetően lehetetlen szimulációs eredményeket elérni számítógép használata nélkül.
A szimulált rendszer egyes elemeinek állapotát egy paraméterkészlet írja le, amelyeket a számítógép memóriájában táblázatok formájában tárolunk. A rendszer elemeinek kölcsönhatásait algoritmikusan írjuk le. A modellezés lépésről lépésre történik. Minden szimulációs lépésnél a rendszerparaméterek értékei változnak. A szimulációs modellt megvalósító program a rendszer állapotának változását tükrözi, táblázatok formájában megadja kívánt paramétereinek értékeit időbeli lépésekben vagy a rendszerben előforduló események sorrendjében. A szimuláció eredményeinek megjelenítéséhez gyakran használnak grafikus ábrázolást, beleértve a grafikus ábrázolást. élénk.
Determinisztikus szimulációA szimulációs modell egy valós folyamat (szimuláció) utánzására épül. Például egy kolóniában a mikroorganizmusok számának változását (dinamikáját) modellezve sok különálló objektumot lehet figyelembe venni, és nyomon követni mindegyik sorsát, bizonyos feltételeket szabva a túléléshez, szaporodáshoz.
stb. Ezeket a feltételeket általában szóban határozzák meg. Például: egy bizonyos idő elteltével a mikroorganizmus két részre oszlik, majd egy újabb (hosszabb) idő elteltével elpusztul. A leírt feltételek teljesülése algoritmikusan valósul meg a modellben.
Egy másik példa: a molekulák mozgásának modellezése egy gázban, amikor minden molekulát egy bizonyos irányú és mozgási sebességű golyóként ábrázolunk. Két molekula vagy egy molekula kölcsönhatása az érfallal az abszolút rugalmas ütközés törvényei szerint megy végbe, és algoritmikusan könnyen leírható. A rendszer integrál (általános, átlagolt) jellemzőinek megszerzése a szimulációs eredmények statisztikai feldolgozásának szintjén történik.
Egy ilyen számítógépes kísérlet valójában azt állítja, hogy egy teljes körű kísérletet reprodukál. A kérdésre: „Miért kell ezt csinálni?” a következő választ adhatjuk: a szimulációs modellezés lehetővé teszi, hogy „tiszta formában” kiemeljük a mikroesemények fogalmába ágyazott hipotézisek következményeit (vagyis a rendszerelemek szintjén), megkímélve azokat a többi hatástól. olyan tényezők, amelyek elkerülhetetlenek egy teljes körű kísérlet során, amelyekről talán nem is tudunk.gyanítjuk. Ha egy ilyen modellezés a folyamatok mikroszintű matematikai leírásának elemeit is tartalmazza, és ha a kutató nem tűzi ki feladatának az eredmények szabályozására szolgáló stratégia megtalálását (például egy mikroorganizmus-telep számának szabályozását), akkor a különbség a szimulációs modell és a matematikai (leíró) között meglehetősen önkényesnek bizonyul.
A szimulációs modellek fentebb bemutatott példái (mikroorganizmus-kolónia evolúciója, molekulák mozgása a gázban) arra vezetnek, hogy meghatározó rendszerek leírása . Hiányoznak belőlük a valószínűségi, véletlenszerű események elemei a szimulált rendszerekben. Vegyünk egy példát egy olyan rendszer modellezésére, amely rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal.
Véletlenszerű folyamatok modelljeiKi ne állt volna sorban, és türelmetlenül azon töprengett, hogy tud-e vásárolni (vagy bérleti díjat fizetni, körhintázni stb.) a rendelkezésére álló idő egy részében? Vagy megpróbálom felhívni a segélyszolgálatot telefonon, és többször is rövid sípszóra koppanva idegeskedni, és értékelni, hogy sikerül-e vagy sem? Az ilyen „egyszerű” feladatokból a 20. század elején a matematikának egy új ága született - sorban állás elmélet, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika apparátusával, differenciálegyenletekkel és numerikus módszerekkel. Később kiderült, hogy ennek az elméletnek számos lehetősége van a gazdaságban, a katonai ügyekben, a termelés megszervezésében, a biológiában és az ökológiában stb.
Számítógépes szimuláció sorban állási problémák megoldásában, formában megvalósítva statisztikai vizsgálati módszer(Monte Carlo módszer) fontos szerepet játszik. Az analitikai módszerek lehetőségei a valós sorbanállási problémák megoldására igen korlátozottak, míg a statisztikai tesztelés módszere univerzális és viszonylag egyszerű.
Tekintsük ennek az osztálynak a legegyszerűbb problémáját. Van egy bolt egy eladóval, amely véletlenszerűen tartalmazza a vásárlókat. Ha az eladó szabad, akkor azonnal elkezdi kiszolgálni a vevőt, ha több vevő lépett be egyszerre, akkor sor épül. Sok más hasonló helyzet létezik:
javítási terület a járműparkban és az autóbuszokban, amelyek meghibásodás miatt elhagyták a vonalat;
· a sürgősségi osztály és a sérülés miatt (azaz előjegyzési rendszer nélkül) érkező betegek;
Telefonközpont egy bejárattal (vagy egy telefonszolgáltatóval) és az előfizetők, akiket, ha a bejárat foglalt, sorba állítanak (egy ilyen rendszert néha alkalmaznak);
· helyi hálózati szerver és személyes gépek a munkahelyen, amelyek üzenetet küldenek egy olyan szervernek, amely egyszerre legfeljebb egy üzenetet képes fogadni és feldolgozni.
Az üzletbe érkező vásárlók véletlenszerű folyamata. Az egymást követő vevőpárok érkezése közötti időintervallumok független véletlenszerű események, amelyek valamilyen törvény szerint eloszlanak, és csak számos megfigyeléssel állapíthatók meg (vagy ennek valamilyen elfogadható változatát veszik modellezésre). A probléma második véletlenszerű folyamata, amelynek semmi köze az elsőhöz, a szolgáltatás időtartama az egyes ügyfelek számára.
Az ilyen modellezési rendszerek célja számos kérdés megválaszolása. Egy viszonylag egyszerű kérdés: mennyi az átlagos idő, amikor sorba kell állni a fenti valószínűségi változók adott eloszlási törvényei mellett? Nehezebb kérdés: mi a szolgálati várakozási idők megoszlása a sorban? Ugyanilyen nehéz kérdés: a bemeneti eloszlások paramétereinek milyen arányainál fog bekövetkezni az a válság, amelybe az újonnan belépő vásárló sora soha nem fog eljutni? Ha átgondolja ezt a viszonylag egyszerű feladatot, a lehetséges kérdések megsokszorozódnak.
A modellezési megközelítés általánosságban így néz ki. Használt matematikai képletek - a kezdeti valószínűségi változók eloszlásának törvényei; a használt numerikus állandók az ezekben a képletekben szereplő empirikus paraméterek. Nem oldottak meg olyan egyenleteket, amelyeket a probléma analitikai vizsgálatához használnának. Ehelyett a sor utánzata van, amelyet számítógépes programok segítségével játszanak ki, amelyek véletlen számokat generálnak adott eloszlási törvényekkel. Ezután az adott modellezési célok által meghatározott mennyiségek kapott értékeinek összességének statisztikai feldolgozása történik. Például megtalálják az eladók optimális számát a bolt működésének különböző időszakaihoz, ami biztosítja a sorok hiányát. Az itt használt matematikai apparátus ún a matematikai statisztika módszerei.
Az „Ökológiai rendszerek és folyamatok modellezése” című cikk 2 a szimuláció egy másik példáját írja le: a „ragadozó-zsákmány” rendszer számos modelljének egyikét. Az ilyen kapcsolatokban lévő fajok egyedei bizonyos szabályok szerint véletlenszerű elemeket tartalmaznak, mozognak, a ragadozók zsákmányt esznek, mindkettő szaporodik stb. Egy ilyen modell nem tartalmaz matematikai képleteket, hanem az eredmények statisztikai feldolgozását igényli.
Példa egy determinisztikus szimulációs modellalgoritmusra
Tekintsünk egy szimulációs modellt az élő szervezetek populációjának evolúciójáról, az „Élet” néven, amely könnyen megvalósítható bármely programozási nyelven.
Játékalgoritmus felépítéséhez vegyen figyelembe egy négyzetes mezőt n+ 1 oszlopok és sorok normál számozással 0-tól n. A kényelem kedvéért a szélső határoszlopokat és sorokat „holt zónaként” definiáljuk, ezek csak kisegítő szerepet töltenek be.
A mező bármely belső cellájához koordinátákkal ( én, j) 8 szomszédot határozhat meg. Ha a sejt „él”, akkor ráfestjük, ha „halott”, akkor azt üres.
Határozzuk meg a játékszabályokat. Ha a sejt ( én, j) „él”, és több mint három „élő” sejt veszi körül, elpusztul (a túlnépesedés következtében). Egy „élő” sejt akkor is elpusztul, ha a környezetében kettőnél kevesebb „élő” sejt van (a magánytól). Egy „halott” sejt életre kel, ha három „élő” sejt jelenik meg körülötte.
A kényelem kedvéért bevezetünk egy kétdimenziós tömböt A, melynek elemei 0 értéket vesznek fel, ha a megfelelő cella üres, és 1 értéket, ha a cella „él”. Ezután a cella állapotának meghatározására szolgáló algoritmus a koordinátával ( én, j) a következőképpen definiálható:
S:= A + A +
A + A
A + A +
A + A;
Ha(A=1) És((S > 3) Vagy
(S<)) Akkor B:= 0;
Ha(A=0) És(S=3)
Ekkor B := 1;
Itt van egy tömb B meghatározza a mező koordinátáit a következő lépésben. Minden belső cellához én= 1-től n– 1 és j= 1-től n- 1 a fenti igaz. Vegye figyelembe, hogy a következő generációk is hasonlóan vannak meghatározva, csak az átcsoportosítási eljárást kell végrehajtani:
I:= 1 Nak nek N-1 Tedd
J esetén:= 1 Nak nek N-1 Tedd
A := B;
A kijelzőn kényelmesebb a mező állapotát nem mátrixban, hanem grafikus formában megjeleníteni.
Csak meg kell határozni a játéktér kezdeti konfigurációjának beállítási eljárását. A cellák kezdeti állapotának véletlenszerű meghatározásánál az algoritmus megfelelő
I:= 1 Nak nek K Tedd
Begin K1:= Random(N - 1);
K2:= Véletlen (N - 1) + 1;
A felhasználó számára érdekesebb, hogy maga állítsa be a kezdeti konfigurációt, ami könnyen megvalósítható. Az ezzel a modellel végzett kísérletek eredményeként például olyan élő szervezetek stabil letelepedését találhatjuk, amelyek soha nem halnak meg, változatlanok maradnak, vagy egy bizonyos idővel megváltoztatják konfigurációjukat. Abszolút instabil (a második generációban elpusztul) a "kereszt" letelepítése.
A számítástechnika alapszakon a hallgatók a „Bevezetés a programozásba” rész részeként megvalósíthatják az „Élet” szimulációs modellt. A szimulációs modellezés alaposabb elsajátítására középiskolában kerülhet sor egy profil- vagy választható informatika szakon. Ezt a lehetőséget a következőkben tárgyaljuk.
A tanulmány eleje egy előadás a véletlenszerű folyamatok szimulációs modellezéséről. Az orosz iskolában a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika fogalma még csak most kezd bekerülni a matematika kurzusába, és a tanárnak fel kell készülnie arra, hogy bevezetőt készítsen ebbe a világnézet és a matematikai kultúra kialakítása szempontjából legfontosabb anyagba. Hangsúlyozzuk, hogy a tárgyalt fogalmak körének elemi bevezetéséről beszélünk; ez 1-2 óra alatt megtehető.
Ezt követően egy adott eloszlási törvény mellett véletlen számsorozatok számítógépen történő generálásával kapcsolatos technikai kérdéseket tárgyaljuk. Ebben az esetben támaszkodhat arra, hogy minden univerzális programozási nyelvben van egy véletlenszám-érzékelő, amely egyenletesen oszlik el a 0-tól 1-ig terjedő szegmensen. Ebben a szakaszban nem helyénvaló belemenni a végrehajtási elvek nehéz kérdésébe. A rendelkezésre álló véletlenszám-generátorok alapján megmutatjuk, hogyan lehet rendezni
a) egyenletes eloszlású véletlenszámok generátora bármely intervallumon [ a, b];
b) véletlenszám-generátor szinte minden eloszlási törvényhez (például egy intuitív módon világos „kiválasztás-elutasítás” módszerrel).
A fent leírt sorbanállási probléma vizsgálatát célszerű a sorbanállási problémák megoldásának történetével kezdeni (a telefonközponti igények kiszolgálásának Erlang-probléma). Ezt követi a legegyszerűbb probléma átgondolása, amely egy eladóval rendelkező üzletben sorképzés és kiszolgálás példáján fogalmazható meg. Vegye figyelembe, hogy a modellezés első szakaszában a valószínűségi változók bemeneti eloszlását egyformán valószínűnek tételezhetjük fel, ami bár nem reális, de számos nehézséget kiküszöböl (véletlen számok generálásához egyszerűen használhatja a programozási nyelvbe épített érzékelőt ).
Felhívjuk a hallgatók figyelmét arra, hogy az ilyen típusú rendszerek modellezése során milyen kérdések merülnek fel elsősorban. Először is, ez néhány valószínűségi változó átlagos értékének (matematikai elvárásainak) kiszámítása. Például átlagosan mennyi ideig kell sorban állnia a pultnál? Vagy: keresse meg az átlagos időt, amit az eladó a vevőre vár.
A tanár feladata különösen annak elmagyarázása, hogy a mintaátlagok maguk is valószínűségi változók; egy másik, azonos méretű mintában eltérő értékkel rendelkeznek (nagy mintaméret esetén nem térnek el túlságosan egymástól). További lehetőségek is lehetségesek: felkészültebb közönségben olyan konfidenciaintervallum-becslési módszert mutathatunk be, amelyben a megfelelő valószínűségi változók matematikai elvárásait megtaláljuk adott megbízhatósági valószínűségekre (matematikai statisztikából ismert módszerekkel, igazolási kísérlet nélkül). Egy kevésbé felkészült közönségben egy pusztán empirikus megállapításra szorítkozhatunk: ha több azonos méretű mintában az átlagértékek valamilyen tizedesjegyben egybeestek, akkor ez a jel nagy valószínűséggel helyes. Ha a szimuláció nem éri el a kívánt pontosságot, a minta méretét növelni kell.
Egy matematikailag még felkészültebb közönségben feltehető a kérdés: mi a statisztikai modellezés eredményeként kapott valószínűségi változók eloszlása, ha figyelembe vesszük a bemeneti paramétereket jelentő valószínűségi változók eloszlását? Mivel a megfelelő matematikai elmélet bemutatása ebben az esetben lehetetlen, korlátozni kell magunkat az empirikus módszerekre: a végső eloszlások hisztogramjainak elkészítésére és összehasonlítására több tipikus eloszlásfüggvénnyel.
A modellezés elsődleges készségeinek kidolgozása után egy valósághűbb modellre térünk át, amelyben a véletlenszerű események bemeneti folyamai el vannak osztva, például Poisson szerint. Ez megköveteli a hallgatóktól, hogy elsajátítsák a véletlen számsorozatok generálásának módszerét a megadott eloszlási törvény szerint.
A vizsgált problémában, mint minden összetettebb, sorokkal kapcsolatos problémában, kritikus helyzet állhat elő, amikor a sor idővel korlátlanul növekszik. A kritikus helyzet megközelítésének modellezése az egyik paraméter növekedésével a legfelkészültebb hallgatók számára érdekes kutatási feladat.
A sorra vonatkozó feladat példáján egyszerre több új koncepció és készség kerül kidolgozásra:
véletlen folyamatok fogalmai;
a szimulációs modellezés fogalmai és alapkészségei;
optimalizálási szimulációs modellek felépítése;
· többszempontú modellek felépítése (a legracionálisabb ügyfélszolgálat problémáinak megoldása az üzlettulajdonos érdekeivel összhangban).
Matematikai modell - a modellező objektum hozzávetőleges leírása, matematikai szimbólumokkal kifejezve.
A matematikai modellek a matematikával együtt jelentek meg sok évszázaddal ezelőtt. A matematikai modellezés fejlődéséhez óriási lökést adott a számítógépek megjelenése. A számítógépek használata számos olyan matematikai modell elemzését és gyakorlatba ültetését tette lehetővé, amelyek korábban nem voltak alkalmasak analitikus kutatásra. Számítógéppel megvalósított matematikai modell hívott számítógépes matematikai modell, A célzott számítások elvégzése számítógépes modell segítségével hívott számítási kísérlet.
A számítógépes matematikai modellezés szakaszait az ábra mutatja. Első fázis- a modellezési célok meghatározása. Ezek a célok eltérőek lehetnek:
1) modellre van szükség ahhoz, hogy megértsük, hogyan működik egy adott tárgy, mi a szerkezete, alapvető tulajdonságai, a fejlődés törvényei és a külvilággal való interakció (megértés);
2) a modellre azért van szükség, hogy megtanuljunk egy objektumot (vagy folyamatot) kezelni, és meghatározzuk a legjobb kezelési módokat adott célok és kritériumok szerint (menedzsment);
3) a modellre azért van szükség, hogy előre jelezzük a meghatározott módszerek és hatásformák megvalósításának közvetlen és közvetett következményeit az objektumra (előrejelzés).
Magyarázzuk meg példákkal. Legyen a vizsgálat tárgya egy folyadék- vagy gázáramlás kölcsönhatása egy testtel, amely akadályozza ezt az áramlást. A tapasztalatok azt mutatják, hogy az áramlási ellenállás ereje a test oldaláról növekszik az áramlási sebesség növekedésével, de bizonyos kellően nagy sebességnél ez az erő hirtelen csökken, hogy a sebesség további növelésével ismét növekedjen. Mi okozta az ellenállási erő csökkenését? A matematikai modellezés lehetővé teszi, hogy egyértelmű választ kapjunk: az ellenállás hirtelen csökkenése pillanatában az áramvonalas test mögött a folyadék vagy gáz áramlásában keletkező örvények elkezdenek leszakadni tőle, és az áramlás elviszi őket.
Példa egy teljesen más területről: békésen együtt élve két, közös táplálékbázissal rendelkező egyedfaj stabil populációival, „hirtelen” drámaian megváltozik a számuk. És itt a matematikai modellezés lehetővé teszi (bizonyos bizonyossággal) az ok megállapítását (vagy legalábbis egy bizonyos hipotézis megcáfolását).
A modellezés másik lehetséges célja az objektumkezelés koncepciójának kidolgozása. Milyen repülési módot válasszunk annak érdekében, hogy a repülés biztonságos és gazdaságilag legelőnyösebb legyen? Hogyan ütemezzünk több száz típusú munkát egy nagy létesítmény építésekor, hogy az a lehető leghamarabb véget érjen? Sok ilyen probléma szisztematikusan felmerül a közgazdászok, a tervezők és a tudósok előtt.
Végül, az objektumra gyakorolt bizonyos hatások következményeinek előrejelzése egyszerű fizikai rendszerekben viszonylag egyszerű, biológiai, gazdasági, társadalmi rendszerekben pedig rendkívül bonyolult – a megvalósíthatóság határán. Ha egy vékony rúdban a hőterjedés módjának megváltozására vonatkozó kérdésre viszonylag könnyű válaszolni az alkotó ötvözetének változásával, akkor összehasonlíthatatlanul nehezebb nyomon követni (megjósolni) a konstrukció felépítésének környezeti és éghajlati következményeit. nagy vízerőmű vagy az adójogszabályok változásának társadalmi következményei. Talán itt is jelentősebb segítséget nyújtanak a jövőben a matematikai modellezési módszerek.
A második szakasz: a modell bemeneti és kimeneti paramétereinek meghatározása; a bemeneti paraméterek felosztása változásaik kimenetre gyakorolt hatásának fontossági foka szerint. Ezt a folyamatot rangsorolásnak vagy rang szerinti osztásnak nevezik (lásd . “Formalizálás és modellezés”).
A harmadik szakasz: matematikai modell felépítése. Ebben a szakaszban a modell absztrakt megfogalmazásáról egy meghatározott matematikai reprezentációval rendelkező megfogalmazásra való átmenet történik. A matematikai modell egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségrendszerek, differenciálegyenletek vagy ilyen egyenletrendszerek stb.
A negyedik szakasz: a matematikai modell tanulmányozására szolgáló módszer kiválasztása. Leggyakrabban numerikus módszereket használnak, amelyek jól használhatók a programozásban. Egyazon probléma megoldására általában több módszer is alkalmas, amelyek pontosságban, stabilitásban stb. A teljes modellezési folyamat sikere gyakran a módszer helyes megválasztásán múlik.
Az ötödik szakasz: az algoritmus kidolgozása, a számítógépes program összeállítása és hibakeresése nehezen formalizálható folyamat. A programozási nyelvek közül sok matematikai modellező szakember a FORTRAN-t részesíti előnyben: mind a hagyományok, mind a fordítók (számítási munkához) felülmúlhatatlan hatékonysága és a matematikai módszerek szabványos programjainak hatalmas, gondosan hibakeresett és optimalizált könyvtárai miatt. azt. A feladat jellegétől és a programozó hajlamaitól függően olyan nyelvek is használatban vannak, mint a PASCAL, BASIC, C.
Hatodik szakasz: a program tesztelése. A program működését egy ismert válaszú tesztfeladaton teszteljük. Ez csak a kezdete egy olyan tesztelési eljárásnak, amelyet nehéz formálisan kimerítő módon leírni. A tesztelés általában akkor ér véget, amikor a felhasználó szakmai tulajdonságainak megfelelően helyesnek tartja a programot.
A hetedik szakasz: a tényleges számítási kísérlet, amely során kiderül, hogy a modell megfelel-e egy valós objektumnak (folyamatnak). A modell kellően adekvát a valós folyamathoz, ha a számítógépen kapott folyamat egyes jellemzői adott pontossággal egybeesnek a kísérletileg kapott jellemzőkkel. Ha a modell nem felel meg a valós folyamatnak, akkor visszatérünk az előző szakaszok valamelyikéhez.
A matematikai modellek osztályozása többféle elv alapján történhet. Lehetőség van a modellek tudományágak szerinti osztályozására (matematikai modellek fizikában, biológiában, szociológiában stb.). Az alkalmazott matematikai apparátus szerint osztályozható (közönséges differenciálegyenletek használatán alapuló modellek, parciális differenciálegyenletek, sztochasztikus módszerek, diszkrét algebrai transzformációk stb.). Végül, ha a modellezés általános feladataiból indulunk ki a különböző tudományokban, függetlenül a matematikai apparátustól, a következő osztályozás a legtermészetesebb:
leíró (leíró) modellek;
· optimalizálási modellek;
· többszempontú modellek;
játékmodellek.
Magyarázzuk meg ezt példákkal.
Leíró (leíró) modellek. Például a Naprendszert betörő üstökös mozgásának szimulációi segítségével megjósolják repülési útvonalát, a Földtől elhaladó távolságot stb. Ebben az esetben a modellezés céljai leíró jellegűek, hiszen az üstökös mozgását nem lehet befolyásolni, valamit megváltoztatni benne.
Az optimalizálási modellek olyan folyamatok leírására szolgálnak, amelyek befolyásolhatók egy adott cél elérésére tett kísérlet során. Ebben az esetben a modell egy vagy több befolyásolható paramétert tartalmaz. Például egy magtár termikus rezsimjének megváltoztatásával célul tűzhetjük ki egy ilyen rezsim kiválasztását a maximális szemkonzerválás elérése érdekében, pl. optimalizálja a tárolási folyamatot.
többszempontú modellek. Gyakran előfordul, hogy egyszerre több paraméterben kell optimalizálni a folyamatot, és a célok nagyon ellentmondásosak lehetnek. Például az élelmiszerárak és az ember élelemszükségletének ismeretében élettanilag helyesen és egyben a lehető legolcsóbban kell megszervezni az étkezést nagy létszámú csoportok számára (hadseregben, nyári gyerektáborban stb.). Nyilvánvaló, hogy ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe; a modellezésnél több szempontot is figyelembe kell venni, amelyek között egyensúlyt kell keresni.
A játékmodellek nem csak a számítógépes játékokhoz köthetők, hanem nagyon komoly dolgokhoz is. Például egy csata előtt, ha hiányos információk állnak rendelkezésre a szembenálló hadseregről, a parancsnoknak tervet kell kidolgoznia: milyen sorrendben hozzon csatába bizonyos egységeket stb., figyelembe véve az ellenség lehetséges reakcióját. A modern matematikának van egy speciális része - a játékelmélet -, amely a hiányos információk körülményei között történő döntéshozatali módszereket vizsgálja.
A számítástechnika iskolai kurzusban a hallgatók az alaptanfolyam részeként kapnak egy kezdeti ötletet a számítógépes matematikai modellezésről. Középiskolában a matematikai modellezés elmélyülten tanulható egy fizika és matematika osztályok általános műveltségi kurzusában, valamint egy választható szakkörben.
A középiskolai számítógépes matematikai modellezés oktatásának fő formái az előadások, a laboratóriumi és a kreditórák. Általában az egyes új modellek létrehozásának és tanulmányozásának előkészítése 3-4 órát vesz igénybe. Az anyag bemutatása során olyan feladatok kerülnek kitűzésre, amelyeket a jövőben a tanulóknak önállóan kell megoldaniuk, általánosságban megfogalmazva a megoldási módok körvonalazódnak. Kérdések fogalmazódnak meg, amelyekre a válaszokat a feladatok végrehajtása során kell megszerezni. Kiegészítő irodalom van feltüntetve, amely lehetővé teszi a segédinformációk beszerzését a feladatok sikeresebb elvégzéséhez.
Az új anyagok tanulmányozása során az órák megszervezésének formája általában előadás. A következő modell tárgyalásának befejezése után a hallgatók rendelkezésére állnak a további munkához szükséges elméleti információk és feladatsor. A feladatra való felkészülés során a tanulók kiválasztják a megfelelő megoldási módot, valamilyen ismert privát megoldással tesztelik a kidolgozott programot. Abban az esetben, ha a feladatellátás során felmerülő nehézségek merülnek fel, konzultációra kerül sor, javaslatot tesznek ezen szakaszok szakirodalmi részletesebb kidolgozására.
A számítógépes modellezés oktatásának gyakorlati része szempontjából leginkább a projektek módszere a releváns. A feladatot oktatási projekt formájában fogalmazzák meg a tanuló számára, és több tanórán keresztül hajtják végre, a fő szervezeti forma ebben az esetben a számítógépes laboratóriumi munka. A modellezés tanulása tanulási projekt módszerrel különböző szinteken valósítható meg. Az első a projekt megvalósítási folyamatának problémafelvetése, amelyet a tanár vezet. A második a projekt megvalósítása a diákok által, tanári irányítás mellett. A harmadik egy oktatási kutatási projekt hallgatói általi önálló megvalósítása.
A munka eredményeit numerikus formában, grafikonok, diagramok formájában kell bemutatni. Ha lehetséges, a folyamat dinamikusan jelenik meg a számítógép képernyőjén. A számítások elvégzése és az eredmények beérkezése után azokat elemzik, összevetik az elméletből ismert tényekkel, megerősítik a megbízhatóságot és érdemi értelmezést végeznek, amelyet ezt követően írásos jelentésben tükröznek.
Ha az eredmények kielégítik a tanulót és a tanárt, akkor a munka befejezettnek minősül, és ennek utolsó szakasza a beszámoló elkészítése. A jelentés rövid elméleti információkat tartalmaz a vizsgált témáról, a probléma matematikai megfogalmazását, a megoldási algoritmust és annak indoklását, számítógépes programot, a program eredményeit, az eredmények elemzését és következtetéseit, a hivatkozások listáját.
Ha minden jelentés elkészült, a tesztülésen a tanulók röviden beszámolnak az elvégzett munkáról, megvédik projektjüket. Ez a projektcsapat hatékony jelentési formája az osztálynak, beleértve a probléma felállítását, formális modell felépítését, a modellel végzett munka módszereinek megválasztását, a modell számítógépen való megvalósítását, a kész modellel való munkát, az eredmények értelmezését, előrejelzés. Ennek eredményeként a tanulók két osztályzatot kaphatnak: az elsőt - a projekt kidolgozottságáért és megvédésének sikerességéért, a másodikat - a programért, annak algoritmusának, felületének optimalitásáért stb. A hallgatók az elméleti felmérések során is jegyeket kapnak.
Lényeges kérdés, hogy milyen eszközöket használjunk az iskolai informatika tanfolyamon a matematikai modellezéshez? A modellek számítógépes megvalósítása elvégezhető:
táblázat segítségével (általában MS Excel);
· programok létrehozásával hagyományos programozási nyelveken (Pascal, BASIC stb.), valamint azok modern verzióiban (Delphi, Visual Basic for Application stb.);
· matematikai feladatok megoldására szolgáló speciális szoftvercsomagok (MathCAD, stb.) segítségével.
Általános iskolai szinten úgy tűnik, hogy az első gyógymód a preferált. Azonban középiskolában, amikor a programozás a modellezés mellett a számítástechnika kiemelt témája, kívánatos modellezési eszközként bevonni. A programozás során a matematikai eljárások részletei a hallgatók számára hozzáférhetővé válnak; ráadásul egyszerűen kénytelenek elsajátítani, és ez is hozzájárul a matematikai oktatáshoz. Ami a speciális szoftvercsomagok használatát illeti, ez egy profilszámítástechnikai kurzusban célszerű más eszközök kiegészítéseként.
4. Globális folyamatok modellezéseA különféle tudományokban (fizika, biológia, közgazdaságtan stb.) használt modellek viszonylag elszigetelt folyamatok, jelenségek matematikai képei. Mindegyik lehetővé teszi egy adott tudomány vagy tevékenységtípus szempontjából fontos problémák megoldását. De mindez – egyetemes emberi jelentőségét tekintve – alulmúlja az emberek számára legjelentősebb kérdést: mi a közeljövője az emberiség egészének? Hogyan fog fejlődni a világ a belátható jövőben? Hangsúlyozzuk, hogy nem egy adott országra vagy társadalomra vonatkozó politikai vagy gazdasági előrejelzésekről beszélünk, hanem az emberiség egészéről – mi a jövője (mindannyian a Földön élünk)?
A jelenlegi életben az embereknek sok sajátos problémájuk van, és kevésbé hajlamosak ilyen általános gondolkodásra. Az egyén élete túl rövid, és még egy-két évszázaddal ezelőtt is alig lehetett észrevenni egy ember élete során a világban bekövetkezett globális változásokat, még akkor sem, ha egy meglehetősen viharos korszakot élt. De a 20. században az események üteme olyan felgyorsult, mint még soha az emberiség történetében. Egyre gyakrabban kezdtek el hangzani a jövőbeli globális katasztrófák jóslatai: a természet halála az ipari szennyezés miatt, a sztratoszférában „ózonlyukak” megjelenése, amelyek megvédenek minket a kozmikus sugárzástól, az oxigénszaporító létesítmények kimerülése a hatalmas erdőirtás miatt, stb. Még egy kevésbé katasztrofális esemény – például a természeti erőforrások kimerülése – radikális változásokat idézhet elő az emberiség életmódjában, és különösen a ma legiparosodottabb országokban.
Az emberiség jövőjét hatalmas számú folyamat határozza meg, részben általa irányított, részben nem, és ezek a folyamatok annyira összefüggenek, és olyan ellentmondásos következményekkel járnak, hogy csak a matematikai modellezésük a teljes ésszerű halmazukban, modern számítógépeken megvalósítható. minőségileg helyes előrejelzést adni. Bármilyen nagy is a valóság elkerülhetetlen eldurvulása egy ilyen szimulációban, annyi kiemelkedően fontos tényező van, hogy még a legerősebb elme sem tudja nyomon követni kölcsönhatásukat.
A megfelelő modellek, nevezett globális(átfogó), először a múlt század 70-es éveiben jelent meg. A leghíresebb modellek a WORLD-1 (MIR-1), WORLD-2, WORLD-3, amelyeket a Massachusetts Institute of Technology (USA) alkalmazottainak egy csoportja fogalmazott meg és tanulmányozott D.Kh. vezetésével. Meadows és D. Forrester. Munkájuk eredménye egy időben szenzációt keltett a világban, mert az események lehetséges alakulására vonatkozó forgatókönyvek többsége a világvégének nevezhető döntőbe vezetett (persze a emberiség). A szerzők ugyanakkor többször is hangsúlyozták, hogy itt nem egy előre meghatározott jövőről van szó, hanem az emberiség fejlődésének útjainak megválasztásáról, amelyek között vannak a stabilitáshoz, az emberiség virágzó létéhez vezetők is.
Mi lehet az oka az esetleges instabilitásnak? Az ipari forradalom kitörése utáni korszak emberi életére jellemző volt a számos mutató gyors - sokszor exponenciálisan gyors - növekedése. A Föld népességének megduplázódási periódusa megközelítőleg 40 év (egy ilyen állandó periódus jelenléte az exponenciális növekedés jellemző vonása). A biológusok és az ökológusok jól tudják, hogy a népesség exponenciális növekedése legtöbbször katasztrófával végződik – a létezését alátámasztó források kimerülnek. Egy faj létezése szempontjából ez nem tragédia (kivéve az egyedi eseteket, amikor egy adott faj egy populációra redukálódik). Korunkban azonban az emberiség szinte minden erőforrását felhasználta a kiterjedt növekedésre és terjeszkedésre "széles körben". Az ipari termelés volumene a 20. században is szinte exponenciálisan nőtt, évi átlagosan 3,3%-os növekedési ütem mellett. Ez a természeti erőforrások – ásványok, tiszta víz, tiszta levegő – kimerüléséhez vezet. A fosszilis tüzelőanyagok elégetése és az erdők kimerülése következtében a légkör egyik stabil szénvegyületének (dioxid) tartalma harmadával nőtt a század eleje óta; potenciálisan ez globális felmelegedéshez vezet a Földön a legkatasztrofálisabb következményekkel. Minél több ember, annál több élelemre van szükség, és a világ ásványi műtrágyáinak kijuttatása exponenciálisan növekszik, mintegy 15 évvel megduplázva. Világos és minden modellezés nélkül, hogy egy ilyen élet mindennek és mindennek féktelen növekedésével nem tarthat sokáig - és most a „hosszú” két-három generáció élettartamához hasonlítható.
Az események ilyen lefolyásának következményeinek nyomon követésének nehézsége abban is rejlik, hogy az emberiség sorsát befolyásoló minden egyes globális folyamatot nem lehet egyértelműen „jónak” vagy „rossznak” nevezni. Például a műtrágyatermelés növekedése az élelmiszertermelés növekedéséhez vezet - ez „jó”. De „rossz”, hogy ugyanez a folyamat a tiszta édesvíz utánpótlás csökkenéséhez vezet, amit a talajon esővel a folyókba és földalatti forrásokba jutó műtrágyák rontanak el. Ezen túlmenően a műtrágya-termelés növekedése az energiatermelés növelésének szükségességét, valamint az ezzel járó kémiai és hőszennyezést a talajban, a légkörben stb. Az ilyen helyzeteknek az emberiség fejlődésére gyakorolt hatását csak úgy lehet mérlegelni, ha minden tényezőt egyidejűleg figyelembe veszünk.
Vannak-e lehetőségek az emberi fejlődés katasztrofális következményeinek elkerülésére? A modellezés eredményeként az alábbi három szabály fogalmazódott meg, amelyek betartása a modellek készítői szerint a globális fenntarthatósághoz szükséges:
1. Megújuló erőforrások (erdő, víz, hal stb.) esetében a fogyasztás mértéke nem haladhatja meg a természetes regeneráció mértékét.
2. A nem megújuló erőforrások (szén, olaj, érc stb.) esetében a felhasználás mértéke nem haladhatja meg azok megújulókkal való helyettesítésének mértékét (nap- és szélenergia fejlesztése, erdőtelepítés stb.) és a az új technológiák fejlesztési üteme a változás forrásainak biztosítása érdekében; hogy például az olaj eltűnése után biztosítva legyen egy új erőforrásból származó energia beáramlása.
3. A szennyező anyagok esetében a maximális kibocsátási arány nem haladhatja meg azt a sebességet, amellyel ezeket az anyagokat feldolgozzák, és nem veszíthetik el környezetre káros tulajdonságaikat.
Jelenleg az emberiséget sajnos nem ezek a szabályok vezérlik. Ha az elmúlt évszázadokban ez nem jelentett veszélyt a faj egészére, akkor mára megváltozott a helyzet.
Röviden írjuk le az egyik globális modellt - WORLD-3 (MIR-3). A modell öt szektorból áll:
tartós szennyezés;
nem megújuló erőforrások;
· népesség;
mezőgazdaság (élelmiszertermelés, termőföldek termékenysége, területfejlesztés);
Közgazdaságtan (ipari termelés, szolgáltatás termelés, munkahelyek).
Az elsődleges kapcsolatok kezdeti, például:
népesség és az ipari tőke állománya;
népesség és a megművelt terület területe;
· a megművelt földterület és az ipari tőke mennyisége;
· a lakosságszám és a szolgáltató szektor fővárosa;
· a szolgáltató szektor és az ipari tőke tőkéje stb.
Minden szektorban az összes elsődleges összefüggést matematikai összefüggések követik és fejezik ki. Szükség szerint figyelembe veszik az anyagi és információs késleltetési folyamatokat, mivel mondjuk a lakosság reakciója a táplálkozás javítására nem azonnali, hanem késleltetett. Ez jellemző a legtöbb vizsgált folyamatra.
A WORLD-3 modell leíró és optimalizáló funkciókkal rendelkezik. Fő célja, hogy bemutassa a gazdaság (a fogalom tágabb értelmében) lehetséges útjait, hogy elérje a bolygó olyan népességét, amelyet a környezet korlátlanul el tud tartani. Nem jósol egy adott ország fejlődését, nem old meg semmilyen helyi kérdést. A modell feltételezi, hogy létezik egy globális közösség a Földön.
A populációdinamika olyan szerves jellemző, amely minden tényezőt magában foglal. Tisztán spekulatívan kétféle stabil dinamika lehetséges (folyamatos növekedés vagy az egyensúly zökkenőmentes megközelítése), és háromféle instabil, amely a megengedett határok túllépésével jár (oszcillációk az ezt követő stacionárius állapot elérésével, kaotikus oszcillációk és összeomlás, azaz az eltűnés). a faj). A folyamatos növekedés teljesen irreálisnak tűnik, az instabil dinamika utolsó része tragédia az emberiség számára, az éles ingadozások mögött pedig, ahogy sejthető, háborúk, járványok, éhínség állnak – ami a valóságban gyakran megtörténik.
A VILÁG-modellre jellemző kapcsolatokat, amelyek matematikai eszközökkel keresnek kifejezéseket (differenciál- és „közönséges” egyenletek), az ábrán láthatók. Megmutatja a népesség, az ipari tőke, a megművelt földterület és a környezetszennyezés közötti kapcsolatokat. Az ábrán minden nyíl ok-okozati összefüggés jelenlétét jelzi, amely lehet azonnali vagy késleltetett, pozitív vagy negatív.
A lakosságszám, a tőke, a mezőgazdasági termelés és a környezetszennyezés visszacsatolási körei
A pozitív és negatív visszacsatolás fogalma az automatikus vezérlés elméletéből származik (kibernetika rész). Két elem közötti ok-okozati összefüggést ún negatív, ha az egyik elem változását átvisszük a másodikba, onnan visszatér az elsőhöz és az eredetivel ellentétes irányba változtatja (elnyomja), ill. pozitív ha ez a változás az elsőhöz visszatérve megerősíti azt. Ha nem két elem van, hanem több, akkor kb visszacsatolás, amelyen a jel egy körben halad át, visszatérve a forráshoz és befolyásolva azt.
Az ilyen rajzok egy része grafikusan kimeríti a WORLD modellt. Azonban minden nyíl mögött elsődleges összefüggések, és mindegyik mögött számos paramétert tartalmazó egyenlet található. Valójában ezeknek a paramétereknek az értékei határozzák meg az eredményeket, ezért elemzésükben számos szűk szakember és sok empirikus (statisztikai) adat vesz részt, amelyeket több tucat referenciakönyvben, ENSZ-jelentésben és egyes államokban gyűjtöttek össze. A WORLD-3 modellben az egymással összefüggő változók száma 225, és még több paraméter van.
Az emberi fejlődés közzétett „forgatókönyvei” a VILÁG-modellek alapján az 1900-tól 2100-ig tartó időszakot fedik le. A már eltelt első 100 év lehetővé teszi a modell „hangolását”, megbízhatóságának mértékét.
A forgatókönyvek közül az első azon a hipotézisen alapul, hogy minden nagy változások, globális politikai kataklizmák nélkül, az erőforrások kímélése és a környezetszennyezés csökkentése érdekében tett erőfeszítések nélkül fog fejlődni. A modell megjósolja egy ilyen fejlemény katasztrofális következményeit.
A WORLD modell ugyanakkor lehetővé teszi a szabályozott fejlődés útjainak megtalálását, ami a fő változók zökkenőmentes („szigmoid”) viselkedéséhez vezet. Ez az út az önmérséklethez és a továbbfejlesztett ipari és mezőgazdasági technológiákra való átálláshoz kapcsolódik.
A tervezés a gazdasági és vezetői tevékenység legfontosabb szakasza. A tervezés tárgya lehet egy alegység vagy a teljes vállalkozás, ipar vagy mezőgazdaság, egy régió, végül egy állam tevékenysége.
A tervezési probléma megfogalmazása általános esetben a következő:
Van néhány tervezett mutató: x, Y, …;
Néhány forrás áll rendelkezésre: R 1, R 2, ..., melynek köszönhetően ezek a tervezett mutatók elérhetők;
· van egy bizonyos stratégiai cél, a tervezett mutatók értékétől függően, amelyre a tervezésnek irányulnia kell.
Optimális tervezési probléma a tervezett mutatók értékeinek meghatározása a korlátozott erőforrások figyelembevételével, a stratégiai cél elérésének függvényében.
Mondjunk példákat. Legyen a tervezés tárgya egy óvoda. Csak két tervezett mutatóra szorítkozunk: a gyermeklétszámra és a pedagóguslétszámra. Az óvoda tevékenységének fő forrásai a finanszírozás mértéke és a helyiségek mérete. Mik a stratégiai célok? Természetesen ezek egyike a gyermekek egészségének megőrzése, erősítése. E cél mennyiségi mércéje az óvodások előfordulásának minimalizálása.
Egy másik példa az állam gazdasági tevékenységének tervezése. Természetesen ez túl bonyolult feladat egy részletes elemzéshez. Nagyon sok a tervezett mutató: különféle ipari és mezőgazdasági termékek előállítása, szakemberképzés, villamosenergia-termelés, a közszférában dolgozók bére és még sok minden más. Az erőforrások közé tartozik: a munkaképes lakosság száma, az állami költségvetés, a természeti erőforrások, az energia, a közlekedési rendszerek lehetőségei stb. Természetesen az ilyen típusú erőforrások mindegyike korlátozott. Emellett a legfontosabb erőforrás a terv megvalósítására szánt idő.
A stratégiai célok kérdése ebben az esetben nagyon bonyolult. Az állam sok ilyennel rendelkezik, de a történelem különböző időszakaiban a prioritások változhatnak. Például háború idején a fő cél a maximális védelmi képesség, az ország katonai ereje. Békeidőben, modern civilizált államban a lakosság maximális életszínvonalának elérése legyen a kiemelt cél.
Az optimális tervezési problémák megoldása legtöbbször bonyolult és csak emberi tapasztalat (empirikus módszerek) segítségével megközelíthetetlen. Az ilyen problémák megoldásához a matematikai modell A, amely kapcsolatot hoz létre a feladat paraméterei között. Ennélfogva, az optimális tervezést matematikai modellezéssel végezzük. A valós helyzetekre vonatkozó ilyen modellek általában nem alkalmasak analitikus megoldásra, ezért számítógépen megvalósított numerikus megoldási módszereket alkalmaznak.
Példa az optimális tervezés matematikai modelljére
Tekintsünk egy egyszerű példát, amelynek segítségével képet kaphatunk az optimális tervezési problémák egyik osztályáról.
Az iskolai cukrászda süteményeket és süteményeket készít. A raktár korlátozott kapacitása miatt naponta legfeljebb 700 termék készíthető el. A munkanap a cukrászdában 8 órás. Mivel a sütemények előállítása munkaigényesebb, így ha csak azokat gyártják, akkor naponta legfeljebb 250, míg 1000 pite (ha egyidőben nem készül sütemény) 1000 db. Egy sütemény ára kétszer olyan magas, mint egy pite. Olyan napi termelési tervet kell készíteni, amely a cukrászdának a legnagyobb bevételt biztosítja.
Fogalmazzuk meg ezt a problémát matematikailag. A tervezett mutatók a következők:
x - napi terv a lepények kiadására;
y - sütemények gyártásának napi terve.
A termelési erőforrások a következők:
Munkaidő - 8 óra;
· Tárolási kapacitás - 700 hely.
A feltételekből következő arányokat a műhely korlátozott idejére és a raktár kapacitására kapjuk meg, i. a termékek teljes száma. A probléma megfogalmazásából az következik, hogy egy torta elkészítése 4-szer több időt vesz igénybe, mint 1 pite. Ha jelzi a pite elkészítésének idejét t min., akkor a torta elkészítési ideje 4 t min. Ezért a teljes gyártási idő x piték és y sütemények tx + 4ty=(x+ 4y)t. De ez az idő nem lehet több, mint a munkanap hossza. Ez magában foglalja az egyenlőtlenséget ( x + 4y)t 8 ? 60, vagy ( x + 4y)t 480.
Mivel egy munkanapon 1000 pite készíthető el, ezért 480/1000 = 0,48 percet szánunk egyre. Ezt az értéket az egyenlőtlenségbe behelyettesítve a következőt kapjuk: ( x + 4y) ? 0,48 480. Innen x + 4y 1000. A termékek összlétszámának korlátozása nyilvánvaló egyenlőtlenséget ad x+ y 700.
A kapott két egyenlőtlenséghez hozzá kell adni a mennyiségek értékeinek pozitivitásának feltételeit xÉs y(nem lehet negatív piték és sütemények száma). Ennek eredményeként egy egyenlőtlenségi rendszert kaptunk:
x + 4y 1000,x + y 700, x 0, y 0 ()
Formalizáljuk a stratégiai célt: a maximális bevétel megszerzését. A bevétel az összes eladott termék értéke. Legyen egy pite ára r rubel. A probléma állapotának megfelelően egy torta ára kétszer annyi, i.e. 2 r rubel. Ezért a naponta megtermelt összes kibocsátás költsége egyenlő rx + 2ry = r(x + 2y). A termelés célja a bevétel maximalizálása. Az írott kifejezést függvényének tekintjük x,y:F(x, y)= r(x + 2y). Mert a r egy állandó, akkor a maximális érték F(x, y) értékét a kifejezés maximális értékével érjük el x + 2y. Ezért olyan függvénynek, amelynek maximuma megfelel a stratégiai célnak, vehetjük
f(x, y) = x + 2y ()
Ezért az optimális terv megszerzése a következő matematikai feladatra redukálódott: keresse meg a tervezett x és y mutatók azon értékeit, amelyek kielégítik az egyenlőtlenségrendszert()és megadja a célfüggvény maximális értékét().
A fenti példa a problémák osztályába tartozik lineáris programozás. Az optimális tervezési elméletben több problémaosztály is létezik, amelyek közül a lineáris programozás a legegyszerűbb. Az ilyen problémák megoldására szolgáló matematikai módszerek tanulmányozása túlmutat az iskolai oktatás céljain.
Logikátlan lenne ugyanakkor az optimális tervezési problémák elméleti megfogalmazására szorítkozni. A modern információs technológiák lehetővé teszik az optimális tervezés (és különösen a lineáris programozás) egyes problémáinak megoldását anélkül, hogy behatolnának az alkalmazott matematikai módszerek lényegébe. Ilyen eszközök különösen az Excel táblázatban érhetők el, és ezek alapján a tanulók megmutathatják, hogyan oldhatnak meg konkrét problémákat. A szóban forgó eszköz a Megoldás keresése, a megfelelő parancs az Eszközök menüben található. Röviden leírjuk, hogyan kell a jelzett eszközt használni a fenti probléma megoldására.
Először készítsünk egy táblázatot az optimális tervezési probléma megoldásához.
A B5 és C5 cellák az értékek számára vannak fenntartva x(pitekészítés terve) és y(tortakészítés terve). Az egyenlőtlenségek bal oldali részei a B oszlopban, a jobb oldali részek a D oszlopban vannak; jelek"<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.
Hívjuk fel az optimalizáló programot, és mondjuk meg neki, hogy hol vannak az adatok. Ehhez hajtsa végre a Yu Service Yu Megoldás keresése parancsot. A megfelelő űrlap megnyílik a képernyőn. A következő algoritmus szerint járunk el:
1. Adja meg a cella koordinátáját a célfüggvénnyel. Esetünkben ez a B15. (Ne feledje, hogy ha először a B15-ös cellára helyezi a kurzort, akkor a bejegyzés automatikusan megtörténik.)
2. Jelölje be az „Egyenlő a maximális értékkel” négyzetet, pl. Mondjuk meg a programnak, hogy a célfüggvény maximumát szeretnénk megtalálni.
3. A „Cellák megváltoztatása” mezőbe írja be a B5:C5 értéket, azaz. megmondjuk, hogy milyen hely van fenntartva a változók - tervezett mutatók - értékeinek.
4. A „Korlátozások” mezőbe írja be a kényszeregyenlőtlenségekre vonatkozó információkat, amelyek így néznek ki: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. A korlátozások az alábbiak szerint vannak megadva:
Kattintson a „Hozzáadás” gombra;
A megjelenő „Kényszer hozzáadása” párbeszédpanelen írjon be egy hivatkozást a B10 cellára, válassza ki az egyenlőtlenség jelet „<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.
5. Zárja be a Kényszer hozzáadása párbeszédpanelt. Előttünk az elkészített „Megoldás keresése” űrlap.
6. Kattintson a „Futtatás” gombra - az optimális megoldás a B5 és C5 cellákban jelenik meg (600 és 100), valamint a B15 cellában a 800 - a célfüggvény maximális értéke.
A fizikai tudomány Isaac Newton (XVII-XVIII. század) óta elválaszthatatlanul kapcsolódik a matematikai modellezéshez. I. Newton felfedezte a mechanika alapvető törvényeit, az egyetemes gravitáció törvényét, és a matematika nyelvén írja le azokat. I. Newton (G. Leibnizzel együtt) kidolgozta a differenciál- és integrálszámítást, amely a fizika matematikai apparátusának alapja lett. Minden későbbi fizikai felfedezést (termodinamika, elektrodinamika, atomfizika stb. területén) matematikai nyelven leírt törvények és elvek formájában mutattak be, i.e. matematikai modellek formájában.
Azt mondhatjuk, hogy elméletileg bármely fizikai probléma megoldása az matematikai modellezés. A probléma elméleti megoldásának lehetőségét azonban korlátozza matematikai modelljének összetettségi foka. A matematikai modell minél összetettebb, minél összetettebb a segítségével leírt fizikai folyamat, és annál problémásabb egy ilyen modell számítási alkalmazása.
A legegyszerűbb helyzetben a probléma megoldása analitikusan „manuálisan” érhető el. A legtöbb gyakorlati szempontból fontos helyzetben a modell matematikai összetettsége miatt nem lehet analitikus megoldást találni. Ebben az esetben használja numerikus módszerek problémamegoldás, melynek hatékony megvalósítása csak számítógépen lehetséges. Más szóval a komplex matematikai modelleken alapuló fizikai kutatást a számítógépes matematikai modellezés. Ebben a tekintetben a 20. században a fizika elméleti és kísérleti hagyományos felosztásával együtt új irány jött létre - a „számítógépes fizika”.
A fizikai folyamatok számítógépen történő tanulmányozását számítási kísérletnek nevezzük. Így a számítási fizika hidat épít az elméleti fizika, amelyből matematikai modelleket merít, és a kísérleti fizika között, egy virtuális fizikai kísérletet valósítva meg számítógépen. A számítási eredmények feldolgozása során a számítógépes grafika alkalmazása biztosítja ezen eredmények láthatóságát, ami a legfontosabb feltétele annak, hogy a kutató észlelje és értelmezze.
Példa egy fizikai folyamat matematikai modellezéséreA mechanika alaptörvénye Newton második törvénye, amely a testre ható erőt, annak tömegét és az erő hatásából adódó gyorsulást hozza összefüggésbe. Az iskolai fizikában ez a törvény a következő formában jelenik meg:
Ez azt jelenti, hogy az erő és a tömeg állandó. Ebben az esetben a gyorsulás is állandó érték lesz. Ezért az (1) egyenlet egy állandó tömegű test egyenletesen gyorsuló mozgását modellezi állandó erő hatására.
Ennek a modellnek az alkalmazhatósága korlátozott. Változó tömegű és változó erejű testek mozgásának kiszámítására nem használható. Például egy rakéta repülése során tömege csökken az üzemanyag kiégése miatt, pl. A tömeg az idő függvénye: m(t). Ennek eredményeként a gyorsulás is változóvá válik, és a matematikai modell megváltozik:
Figyelembe vesszük, hogy a gyorsulás a sebesség deriváltja ( v) időben, és írja le a tömeg időbeli változásának függvényét (legyen lineáris); a következő matematikai mozgásmodellt kapjuk:
(2)
Itt m 0 - a rakéta kezdeti tömege, q(kg / s) - olyan paraméter, amely meghatározza az üzemanyag égésének sebességét. A (2) egyenlet egy differenciálegyenlet, szemben az (1) lineáris algebrai egyenlettel. A matematikai modell bonyolultabbá vált! A (2) egyenlet megoldása sokkal nehezebb, mint az (1). Ha az erő időbeli változásának lehetőségét is figyelembe vesszük F(t) (a rakétamotor kilövés közbeni tolóereje változó), akkor a modell még bonyolultabb lesz:
(3)
Amikor a testek a légkörben (vagy folyékony közegben) mozognak, figyelembe kell venni a közeg ellenállását - a súrlódási erőt. A súrlódási erőnek két összetevője van: arányos a test sebességének első hatványával és arányos a test négyzetével. Most a mozgásegyenlet a következő formában lesz:
,
(4), (5)
Itt k 1 És k 2 - tapasztalati együtthatók. Az (5) egyenlet a sebességet az elmozdulással kapcsolja össze. A (4)–(5) modell közelebb került a fizikailag valós helyzethez, de matematikai szempontból bonyolultabbá vált. Használatával gyakorlatilag fontos kérdésekre kaphat választ. Például: adott F(t) annak meghatározására, hogy mennyi ideig és milyen magasságban éri el a rakéta az első kozmikus sebességet. Vagy oldjuk meg az inverz problémát: mekkora legyen a hajtómű tolóereje, hogy a rakéta adott magasságon elérje az első űrsebességet? Figyelembe véve azt is, hogy az együtthatók k 1 És k 2 - változók, mivel ezek függnek a légköri levegő sűrűségétől, ami a magassággal csökken, ezért a (4)–(5) matematikai modell meglehetősen bonyolulttá válik. A fent megfogalmazott problémák ilyen modellen alapuló megoldása numerikus módszereket és számítógépet igényel.
A numerikus módszerek az olyan módszerek, amelyek bármely matematikai probléma megoldását számtani számításokra redukálják. Mutassuk meg a numerikus megoldási módszer alkalmazását egy egyszerűbb mechanikai feladat példáján, mint a rakétarepülés. Tekintsük az állandó tömegű test szabadesésének problémáját mállandó gravitáció hatására. A légellenállást figyelembe vevő mozgásegyenletek (erről fentebb volt szó) a következő alakúak:
,
(6)
Itt v- a sebességvektor függőleges komponense. Legyen a test kezdeti magassága a talaj felett s 0 és a kezdeti sebesség - v 0 .
Megmutatjuk az Euler-módszernek nevezett módszer alkalmazását egy zuhanó test mozgásának kiszámítására. A számítás a kezdeti időponttól kezdve történik t= 0 kis véges időlépéssel
(n = 0, 1, 2, …). (8)
A (7) egyenlethez hasonló megközelítést alkalmazva megkapjuk az Euler-módszer képletét a zuhanó test időbeli elmozdulásának kiszámítására:
A sebesség és az elmozdulás kezdeti értékeivel és a (8), (9) képletekkel lépésről lépésre kiszámítható az értékek vÉs s egymást követő időpontokban. Ez a folyamat könnyen programozható, a kapott eredmények numerikus táblázat formájában jelennek meg és grafikusan jelenítik meg.
Az eredmények elemzése és értelmezéseAz ábra a test esési sebességének numerikusan kapott időfüggésének grafikus feldolgozásának eredményét mutatja egy bizonyos paraméterkészlet esetén. m, k 1 és k 2 .
Az esés sebességének időfüggősége, figyelembe véve a légellenállást
A függőségnek semmi köze a sebesség lineáris változásához, amelyet a légellenállás figyelembevétele nélkül kapunk. A sebesség állandó értéket ér el, amikor a légellenállás erejét a gravitációs erőhöz közelíti. Ha egyenlőek, a mozgás egységessé válik.
Megjegyzendő, hogy az állandósult sebességi határérték analitikusan kiszámítható, numerikus módszerek alkalmazása nélkül. Egyenlet a (6) képletben dv/dt(gyorsulás) nullára, azt kapjuk, hogy az állandó sebesség egyenlő lesz
E modell alapján lehetséges például egy optimalizálási probléma megoldása a következő feltétel megfogalmazásával: az ejtőernyős egy bizonyos magasságból ugrik és repül anélkül, hogy kinyitná az ejtőernyőt; milyen magasságban (vagy mennyi idő után) nyissa ki az ejtőernyőjét, hogy a leszállás idejére biztonságos sebessége legyen? Egy másik probléma: hogyan függ össze az ugrás magassága az ejtőernyő keresztmetszeti területével (tartalmazza k 2) hogy a leszállási sebesség biztonságos legyen?
A leírt numerikus módszer alkalmazásakor jelentős probléma az időlépés megválasztása t. Ettől az értéktől függ a kapott eredmények pontossága és a számítási eljárás stabilitása. Mindezeket a problémákat a „Numerical Methods” vagy „Computational Mathematics” nevű matematikai tudományág tanulmányozza.
A hallgatók megismertetése a fizikai folyamatok számítógépes modelljeivel az informatika alapszakon a demonstrációs példák szintjén történhet. Az ábrán egy kiképzési bemutató látható, amely egy ágyúból kilőtt lövedék repülését szimulálja. A tanulók számára kitűzött feladat azoknak a paramétereknek (kezdeti sebesség és lövési szög) kiválasztása, amelyek biztosítják, hogy a lövedék célba találjon (ez a program a digitális oktatási források szövetségi gyűjteményében található). Hasonló fejlesztések más oktatási forrásokban is elérhetők.
Egy ágyúból kilőtt lövedék repülése
A fizikai és matematikai profil felsőbb osztályaiban a fizikai folyamatok modellezésének kérdéseit be kell építeni a profilképzési programba. A testek mozgásához kapcsolódó modellező objektumok alábbi listáját kínáljuk:
A testek mozgása, a környezet ellenállásának figyelembevételével (szabadesés, a horizonttal ferdén dobott test mozgása, rakéta felszállása stb.);
· az inga oszcilláló mozgása, figyelembe véve a közeg ellenállását, kényszerrezgéseket, rezonanciát stb.;
· égitestek mozgása (két test probléma);
· töltött részecskék mozgása elektromos mezőben.
A fizikai folyamatok leírásához folytonos közeg közelítésében és elektromágneses terekben más típusú problémák is kapcsolódnak, amelyek alapján a fizikai folyamatok modellezése megvalósítható:
· hővezetési folyamat modellezése stb.;
· statikus - elektromos és mágneses - terek eloszlásának modellezése.
Fentebb egy test légkörben való szabadesésének modellezési példáját elemeztük részletesen, amelyben differenciálegyenleteket és azok megoldására szolgáló numerikus módszereket alkalmazunk. Ha a tanulók matematikai felkészültsége nem elegendő ennek a megközelítésnek a megértéséhez, akkor lehetőség van egy matematikai modell azonnali felépítésére véges differenciális formában, differenciálegyenletek alkalmazása nélkül. Mutatjuk, hogyan kell alkalmazni ezt a megközelítést.
Emlékeztetjük a tanulókat, hogy a gyorsulás az időegységenkénti sebességnövekedés, a sebesség pedig az időegységenkénti elmozdulás növekedése: 
.
A közelítő egyenlőség jelei azt jelzik, hogy ezek az arányok minél pontosabbak, minél kisebb az intervallum t; határon belül t 0 pontossá válnak.
Ha valamikor t 0 érték s jelentése van utca 0), és az értéket v- jelentése v(t 0), majd a következő alkalommal t 1 = t 0 + t lesz:
Feltételezzük, hogy a gyorsulás ebben az időszakban nem változott, és egyenlő maradt a(t 0). Itt is az F jelölést használjuk 0 = F(t0), m = m(t0), azaz Ez azt jelenti, hogy az erő és a tömeg általában változó lehet.
Az értékek kiszámításakor vÉs s a következő pillanatokban ugyanezt megteheti. Ha az értékek ismertek v iÉs s i ebben a pillanatban t i, Azt
Így az Euler-módszer ugyanazokat a képleteket kapjuk, de módszertanilag eltérően. Ebben az esetben a differenciálegyenleteket egyáltalán nem említik.
Ennek és a hasonló modelleknek a megalkotásakor a hallgatóknak figyelniük kell arra, hogy a folytonos idő hosszszegmensekre való felosztásánál t megnyilvánul az informatika egyik alapgondolata az információmegjelenítés diszkrét formájának univerzalitásáról, amely mind a számítógép tervezésében, mind az informatika számos alkalmazásában megjelenik.
Vegye figyelembe, hogy számos számítógépes program egyszerű fizikai folyamatokat szimulál. Olyan párbeszédes felületet valósítanak meg, amely lehetővé teszi a paraméterek bevitelét, táblázatok, grafikonok, mozgóképek megjelenítését a képernyőn. Használatuk során azonban rejtve maradnak a folyamatot meghatározó fizikai törvényszerűségek, a modell korlátai, javításának lehetőségei. Az ilyen programok inkább szemléltető, tényfeltáró jellegűek. Az informatikát profilszinten tanuló hallgatóknak a matematikai modellek részletes elemzésére és önálló programfejlesztésre kell irányulniuk.
