Le informazioni iniziali nella costruzione dei processi MM del funzionamento dei sistemi sono dati sullo scopo e sulle condizioni operative del sistema S studiato (progettato). Queste informazioni determinano lo scopo principale della modellazione, i requisiti per MM, il livello di astrazione e la scelta di uno schema di modellizzazione matematica.
concetto schema matematico ci permette di considerare la matematica non come un metodo di calcolo, ma come un metodo di pensiero, un mezzo per formulare concetti, che è importantissimo nel passaggio da una descrizione verbale a una rappresentazione formalizzata del processo del suo funzionamento sotto forma di alcuni MM.
Quando si utilizza il tappetino. In primo luogo, il ricercatore del sistema dovrebbe essere interessato allo schema dell'adeguatezza della visualizzazione sotto forma di schemi specifici di processi reali nel sistema in esame, e non alla possibilità di ottenere una risposta (risultato della soluzione) a una specifica domanda di ricerca.
Ad esempio, la rappresentazione del processo di funzionamento dello SVI ad uso collettivo sotto forma di una rete di schemi di accodamento consente di descrivere bene i processi che avvengono nel sistema, ma con leggi complesse dei flussi in entrata e dei flussi di servizio, non consente di ottenere risultati in forma esplicita.
Schema matematico può essere definito come un collegamento nella transizione da una descrizione significativa a una descrizione formalizzata del processo di funzionamento del sistema, tenendo conto dell'impatto dell'ambiente esterno. Quelli. c'è una catena: modello descrittivo - schema matematico - modello di simulazione.
Ogni specifico sistema S è caratterizzato da un insieme di proprietà, intese come valori che riflettono il comportamento dell'oggetto simulato (sistema reale) e tengono conto delle condizioni per il suo funzionamento in interazione con l'ambiente esterno (sistema) E .
Quando si costruisce un sistema MM S, è necessario risolvere il problema della sua completezza. La completezza della modellazione è regolata principalmente dalla scelta dei confini "Sistema S - ambiente E". Dovrebbe essere risolto anche il compito di semplificare il MM, che aiuta a evidenziare le proprietà principali del sistema, scartando gli obiettivi secondari in termini di modellazione.
MM dell'oggetto di simulazione, ad es. i sistemi S possono essere rappresentati come un insieme di grandezze che descrivono il processo di funzionamento di un sistema reale e che formano nel caso generale i seguenti sottoinsiemi:
Set X - azioni di input su Sx i X, i=1…n x ;
La totalità delle influenze ambientali v l V, l=1…n v ;
L'insieme dei parametri interni (intrinseci) del sistemah k H, k=1…n h ;
L'insieme delle caratteristiche di output del sistema y j Y, j=1…n y .
Negli insiemi enumerati è possibile distinguere quantità controllate e non controllate. Nel caso generale, X, V, H, Y sono insiemi disgiunti che contengono sia componenti deterministiche che stocastiche. Le azioni di input E ei parametri interni S sono variabili indipendenti (esogene)., Caratteristiche di uscita - variabili dipendenti (endogene). Il processo di funzionamento S è descritto dall'operatore F S:
(1)
Traiettoria di uscita.F S - la legge del funzionamento S.FS può essere una funzione, funzionale, condizioni logiche, algoritmo, tabella o descrizione verbale delle regole.
Algoritmo funzionante A S - metodo per ottenere le caratteristiche di output, tenendo conto degli effetti di input 
Ovviamente, lo stesso FS può essere implementato in modi diversi, ad es. utilizzando molti diversi A S .
La relazione (1) è una descrizione matematica del comportamento dell'oggetto di modellazione nel tempo t, cioè lo riflette proprietà dinamiche. (1) è il modello dinamico del sistema S. Per condizioni MM statiche, ci sono mappature X, V, H in Y, cioè 
(2)
Le relazioni (1), (2) possono essere date da formule, tabelle, ecc.
Inoltre, le relazioni in alcuni casi possono essere ottenute attraverso le proprietà del sistema in specifici momenti nel tempo, chiamati stati.
Gli stati del sistema S sono caratterizzati da vettori:
E 
, Dove 
al momento t l (t 0 , T)
al momento t ll (t 0 , T), ecc. k=1…n Z .
Z 1 (t), Z 2 (t)… Z k (t) sono le coordinate di un punto nello spazio delle fasi k-dimensionale. Ogni implementazione del processo corrisponderà a una traiettoria di fase.
L'insieme di tutti i possibili valori degli stati () è chiamato lo spazio degli stati dell'oggetto di modellazione Z, e z k Z.
Stato del sistema S nell'intervallo di tempo t 0
; (3)
Altrimenti: . (5)
Il tempo nel mod. S può essere considerato sull'intervallo di simulazione (t 0 , T) sia continuo che discreto, cioè quantizzato su un segmento di lunghezze.t.
Pertanto, sotto MM di un oggetto intendiamo un insieme finito di variabili () insieme a relazioni matematiche tra loro e caratteristiche.
La modellazione è detta deterministica se gli operatori F, Ф sono deterministici, cioè per un particolare input, l'output è deterministico. La modellazione deterministica è un caso speciale della modellazione stocastica. In pratica, modellando oggetti nel campo dell'analisi dei sistemi nelle fasi iniziali della ricerca, è più razionale utilizzare schemi matematici tipici: dif. equazioni, automi finiti e probabilistici, QS, ecc.
Non possedere. un tale grado di generalità come i modelli (3), (4), tipici schemi matematici presentano il vantaggio della semplicità e della chiarezza, ma con un notevole restringimento delle possibilità di applicazione.
COME deterministico modelli, quando un fatto casuale non viene preso in considerazione nello studio, vengono utilizzate equazioni differenziali, integrali e di altro tipo per rappresentare sistemi che operano in tempo continuo e automi finiti e schemi alle differenze finite vengono utilizzati per rappresentare sistemi che operano in tempo discreto.
All'inizio dei modelli stocastici (tenendo conto del fattore casuale), gli automi probabilistici vengono utilizzati per rappresentare i sistemi con tempo discreto e i sistemi di accodamento (QS) vengono utilizzati per rappresentare i sistemi con tempo continuo. Di grande importanza pratica nello studio di complessi sistemi di gestione individuale, che includono sistemi di controllo automatizzati, sono i cosiddetti aggregativo Modelli.
I modelli aggregati (sistemi) consentono di descrivere un'ampia gamma di oggetti di ricerca con una visualizzazione della natura sistemica di questi oggetti. È durante la descrizione aggregativa che un oggetto complesso viene suddiviso in un numero finito di parti (sottosistemi), pur mantenendo le connessioni, garantendo l'interazione delle parti.
Nell'articolo portato alla tua attenzione, offriamo esempi di modelli matematici. Inoltre, presteremo attenzione alle fasi di creazione dei modelli e analizzeremo alcuni dei problemi associati alla modellazione matematica.
Un altro nostro problema sono i modelli matematici in economia, esempi dei quali prenderemo in considerazione una definizione poco dopo. Proponiamo di iniziare la nostra conversazione con il concetto stesso di "modello", considerare brevemente la loro classificazione e passare alle nostre domande principali.
Spesso sentiamo la parola "modello". Che cos'è? Questo termine ha molte definizioni, eccone solo tre:
Sulla base di tutto ciò che è stato detto in precedenza, possiamo trarre una piccola conclusione: il modello consente di studiare in dettaglio un sistema o un oggetto complesso.
Tutti i modelli possono essere classificati in base a una serie di caratteristiche:
I modelli informativi, a loro volta, si dividono in segnici e verbali. E iconico - su computer e non. Passiamo ora a una considerazione dettagliata di esempi di un modello matematico.
Come puoi immaginare, un modello matematico riflette alcune caratteristiche di un oggetto o fenomeno utilizzando speciali simboli matematici. La matematica è necessaria per modellare le leggi del mondo nel suo specifico linguaggio.
Il metodo della modellazione matematica è nato molto tempo fa, migliaia di anni fa, insieme all'avvento di questa scienza. Tuttavia, l'impulso per lo sviluppo di questo metodo di modellazione è stato dato dalla comparsa dei computer (computer elettronici).
Passiamo ora alla classificazione. Può anche essere eseguito secondo alcuni segni. Sono presentati nella tabella sottostante.
Proponiamo di fermarci e dare un'occhiata più da vicino all'ultima classificazione, poiché riflette i modelli generali di modellazione e gli obiettivi dei modelli che vengono creati.
In questo capitolo, proponiamo di soffermarci più in dettaglio sui modelli matematici descrittivi. Per rendere tutto molto chiaro, verrà fornito un esempio.
Per cominciare, questa visione può essere definita descrittiva. Ciò è dovuto al fatto che facciamo semplicemente calcoli e previsioni, ma non possiamo in alcun modo influenzare l'esito dell'evento.
Un esempio lampante di modello matematico descrittivo è il calcolo della traiettoria di volo, della velocità, della distanza dalla Terra di una cometa che ha invaso le distese del nostro sistema solare. Questo modello è descrittivo, poiché tutti i risultati ottenuti possono solo avvertirci di un qualche tipo di pericolo. Sfortunatamente, non possiamo influenzare l'esito dell'evento. Tuttavia, sulla base dei calcoli ottenuti, è possibile adottare qualsiasi misura per preservare la vita sulla Terra.
Ora parleremo un po 'di modelli economici e matematici, esempi dei quali possono essere varie situazioni. In questo caso parliamo di modelli che aiutano a trovare la risposta giusta in determinate condizioni. Devono avere alcuni parametri. Per renderlo molto chiaro, considera un esempio dalla parte agraria.
Abbiamo un granaio, ma il grano si deteriora molto rapidamente. In questo caso, dobbiamo scegliere il giusto regime di temperatura e ottimizzare il processo di conservazione.
Possiamo quindi definire il concetto di "modello di ottimizzazione". In senso matematico, questo è un sistema di equazioni (lineari e non), la cui soluzione aiuta a trovare la soluzione ottimale in una particolare situazione economica. Abbiamo considerato un esempio di modello matematico (ottimizzazione), ma vorrei aggiungere un'altra cosa: questo tipo appartiene alla classe dei problemi estremi, aiutano a descrivere il funzionamento del sistema economico.
Notiamo un'altra sfumatura: i modelli possono essere di natura diversa (vedi la tabella sotto).
Ora vi invitiamo a parlare un po' del modello matematico dell'ottimizzazione multiobiettivo. Prima di ciò, abbiamo fornito un esempio di un modello matematico per ottimizzare un processo secondo un criterio qualsiasi, ma cosa succede se ce ne sono molti?
Un esempio lampante di un compito multicriterio è l'organizzazione di un'alimentazione corretta, sana e allo stesso tempo economica di grandi gruppi di persone. Tali compiti si incontrano spesso nell'esercito, nelle mense scolastiche, nei campi estivi, negli ospedali e così via.
Quali criteri ci vengono dati in questo compito?
Come puoi vedere, questi obiettivi non coincidono affatto. Ciò significa che quando si risolve un problema, è necessario cercare la soluzione ottimale, un equilibrio tra i due criteri.
Parlando di modelli di gioco, è necessario comprendere il concetto di "teoria dei giochi". In poche parole, questi modelli riflettono modelli matematici di conflitti reali. Vale solo la pena capire che, a differenza di un vero conflitto, un modello matematico di gioco ha le sue regole specifiche.
Ora fornirò un minimo di informazioni dalla teoria dei giochi, che ti aiuteranno a capire cos'è un modello di gioco. E così, nel modello ci sono necessariamente partiti (due o più), che di solito vengono chiamati giocatori.
Tutti i modelli hanno determinate caratteristiche.
Il modello di gioco può essere accoppiato o multiplo. Se abbiamo due soggetti, il conflitto è accoppiato, se più - multiplo. Si può anche distinguere un gioco antagonista, chiamato anche gioco a somma zero. Questo è un modello in cui il guadagno di uno dei partecipanti è uguale alla perdita dell'altro.
In questa sezione, ci concentreremo sui modelli matematici di simulazione. Esempi di compiti sono:
In questo caso si tratta di modelli il più vicino possibile a processi reali. In generale, imitano qualsiasi manifestazione in natura. Nel primo caso, ad esempio, possiamo modellare la dinamica del numero di formiche in una colonia. In questo caso, puoi osservare il destino di ogni individuo. In questo caso, la descrizione matematica è usata raramente, più spesso ci sono condizioni scritte:
Pertanto, vengono utilizzati per descrivere un sistema di grandi dimensioni. La conclusione matematica è l'elaborazione dei dati statistici ricevuti.
È molto importante sapere che ci sono alcuni requisiti per questo tipo di modello, tra cui quelli riportati nella tabella sottostante.
Versatilità | Questa proprietà consente di utilizzare lo stesso modello quando si descrivono gruppi di oggetti dello stesso tipo. È importante notare che i modelli matematici universali sono completamente indipendenti dalla natura fisica dell'oggetto in studio. |
Adeguatezza | Qui è importante capire che questa proprietà consente la riproduzione più corretta dei processi reali. Nei problemi operativi, questa proprietà della modellazione matematica è molto importante. Un esempio di modello è il processo di ottimizzazione dell'utilizzo di un impianto a gas. In questo caso, vengono confrontati gli indicatori calcolati e quelli effettivi, di conseguenza viene verificata la correttezza del modello compilato. |
Precisione | Questo requisito implica la coincidenza dei valori che otteniamo durante il calcolo del modello matematico e dei parametri di input del nostro oggetto reale |
economia | Il requisito di economia per qualsiasi modello matematico è caratterizzato dai costi di implementazione. Se il lavoro con il modello viene eseguito manualmente, è necessario calcolare quanto tempo ci vorrà per risolvere un problema utilizzando questo modello matematico. Se parliamo di progettazione assistita da computer, vengono calcolati gli indicatori del tempo e della memoria del computer |
In totale, è consuetudine distinguere quattro fasi nella modellazione matematica.
In questa sezione, evidenzieremo brevemente il problema.Esempi di attività possono essere:
Il modello economico-matematico mostra un'astrazione economica, che si esprime utilizzando termini e segni matematici.
Esempi di un modello matematico computerizzato sono:
Un modello computerizzato è un'immagine di un oggetto o di un sistema, presentato come:
Allo stesso tempo, questo modello riflette la struttura e le interconnessioni del sistema.
Abbiamo già parlato di cos'è un modello economico-matematico. Un esempio di risoluzione del problema sarà considerato in questo momento. Dobbiamo analizzare il programma di produzione per identificare la riserva per aumentare i profitti con uno spostamento dell'assortimento.
Non considereremo a fondo il problema, ma costruiremo solo un modello economico e matematico. Il criterio del nostro compito è la massimizzazione del profitto. Allora la funzione ha la forma: Û=р1*х1+р2*х2… tendente al massimo. In questo modello, p è il profitto per unità, x è il numero di unità prodotte. Inoltre, sulla base del modello costruito, è necessario effettuare calcoli e riassumere.
Compito. Il pescatore tornò con il seguente pescato:
Quanti pesci ha comprato al negozio?
Quindi, un esempio di costruzione di un modello matematico di questo problema è il seguente. Indichiamo il numero totale di pesci come x. Seguendo la condizione, 0,2x è il numero di pesci che vivono alle latitudini meridionali. Ora combiniamo tutte le informazioni disponibili e otteniamo un modello matematico del problema: x=0.2x+8. Risolviamo l'equazione e otteniamo la risposta alla domanda principale: ha comprato 10 pesci nel negozio.
Modellazione La modellazione è lo studio di un sistema reale (originale), sostituendolo con un nuovo oggetto con il suo modello, che ha una certa corrispondenza oggettiva con esso e consente di prevederne le caratteristiche funzionali, ad es. durante la modellazione, sperimentano non con l'oggetto stesso, ma con l'oggetto, che è chiamato sostituto.
Il processo di modellazione comprende diverse fasi:
1. Enunciazione del problema e determinazione delle proprietà dell'oggetto reale da indagare.
2. Una dichiarazione della difficoltà o impossibilità di studiare un oggetto reale.
3. La scelta di un modello, proprietà di base ben funzionanti dell'oggetto da un lato e facilmente suscettibili di ricerca dall'altro. Il modello dovrebbe riflettere le proprietà principali dell'oggetto e non dovrebbe essere grammaticale.
4. Studio del modello in accordo con l'obiettivo.
5. Verifica dell'adeguatezza dell'oggetto e del modello. Se non c'è corrispondenza, i primi quattro punti devono essere ripetuti.
Esiste un approccio classico e sistematico alla risoluzione dei problemi di modellazione. L'essenza del metodo è la seguente: l'oggetto reale da studiare è diviso in componenti separate D e selezionare gli obiettivi C formazione dei singoli componenti del modello A. Quindi, sulla base dei dati iniziali, vengono creati i componenti del modello, la cui totalità, tenendo conto delle loro relazioni, viene combinata in un modello. Questo metodo è induttivo, cioè la costruzione del modello procede dal particolare al generale.
Il metodo classico viene utilizzato per modellare sistemi relativamente semplici, come i sistemi di controllo automatico. Approccio sistemico L'essenza del metodo è quella, basata sui dati iniziali D, che sono noti dall'analisi dell'ambiente esterno, tenendo conto delle restrizioni imposte al sistema e in conformità con l'obiettivo C, si formano i requisiti T e modelli di oggetti. Sulla base di questi requisiti, viene costruito un sottosistema P ed elementi di sottosistemi E e utilizzando il criterio di selezione del CV, viene selezionato il modello migliore, ovvero la costruzione del modello procede dal generale al particolare.
L'approccio sistemico viene utilizzato per modellare sistemi complessi.
Classificazione dei tipi di modellazione 1. Secondo il metodo di costruzione di un modello a) Teorico (analitico) - sono costruiti in base ai dati sulla struttura interna sulla base delle relazioni derivanti dai dati fisici. b) Formale - secondo il rapporto tra uscita ed entrata nel sistema. È costruito sulla base del principio della scatola nera c) Combinato.2. Modificando le variabili nel tempo. a) Statico. b) Dinamico. Il modello statico descrive lo stato dell'oggetto e non contiene derivati X E A(input e output) segnali nel tempo Il modello matematico b) descrive la statica del volume con coordinate distribuite lungo la lunghezza Il modello dinamico descrive i processi transitori nel tempo e contiene le derivate Aiodt Il modello dinamico, a seconda del metodo di ottenimento, è rappresentato come un'equazione differenziale dell'impulso transitorio o della risposta in frequenza sotto forma di una funzione di trasferimento.La dinamica degli oggetti con parametri concentrati è descritta da equazioni differenziali ordinarie e oggetti con i parametri distribuiti sono descritti da equazioni differenziali in derivate di frequenza.3. Secondo la dipendenza dei moduli variabili dalle coordinate spaziali.a) A parametri distribuiti.b) A parametri concentrati.4. Per il principio di costruzione.a) Stocastico.b) Deterministico.Se X E A(input e output) valori costanti o noti (deterministico), allora il modello è detto stocastico X E A variabili casuali (probabili), allora il modello è detto stocastico.
I modelli stocastici contengono elementi probabili e rappresentano un sistema di dipendenze ottenuto come risultato di uno studio statico di un oggetto operativo.
Deterministico è un sistema di dipendenze funzionali costruito utilizzando un approccio teorico.
I modelli deterministici hanno una serie di vantaggi. Si possono sviluppare anche in assenza di un oggetto funzionante, come spesso accade nel design. Caratterizzano qualitativamente e più correttamente i processi che si verificano nell'oggetto anche in presenza di parametri del modello che non sono quantitativamente sufficientemente accurati.
Se le informazioni sull'oggetto di modellazione non hanno una completezza sufficientemente elevata o, a causa della sua notevole complessità, è impossibile descrivere tutte le azioni di input sotto forma di un modello e l'influenza delle variabili non osservate sulle coordinate di output è significativa, allora viene utilizzato un modello statico.
5. Secondo la dipendenza dei parametri del modello dalle variabili.
a) Dipendente (non lineare).
b) Indipendente (lineare).
Se i parametri (coefficienti) del modello dipendono dalle variabili o queste ultime sono moltiplicative, allora il modello è non lineare.
Il modello è considerato lineare con una risposta continua all'azione di input e con additività dai parametri del modello.
L'adatività delle quantità è la proprietà che il valore della grandezza dell'intero oggetto è uguale alla somma dei valori delle corrispondenti frequenze del tutto in qualsiasi divisione dell'oggetto in parti.
La moltiplicazione dei valori è la proprietà che il valore del valore dell'intero oggetto è uguale al prodotto del valore del valore delle parti corrispondenti del tutto in qualsiasi divisione dell'oggetto in parti.
6. Secondo l'adattabilità del modello.
a) Adattivo.
b) Non adattivo.
Un modello adattivo è un modello la cui struttura e parametri vengono modificati in modo tale che una certa misura dell'errore tra le variabili di output del modello e l'oggetto sia minima.
Si dividono in ricerca e non ricerca.
Nei modelli di ricerca, l'ottimizzatore automatico varia i parametri del modello in modo da ottenere la misura minima dell'errore tra i modelli di output dell'oggetto.
Lezione n. 2
Schemi di modellazione matematica
Approcci di base alla costruzione di un modello matematico del sistema
Le informazioni iniziali nella costruzione di un modello matematico, il processo di funzionamento dei sistemi sono dati sullo scopo e sulle condizioni del sistema in esame. Queste informazioni definiscono l'obiettivo principale della modellazione del sistema S e consente di formulare i requisiti e il modello matematico sviluppato M.
Uno schema matematico è un collegamento nella transizione da una descrizione significativa a una descrizione formale del processo di funzionamento del processo, tenendo conto dell'impatto dell'ambiente esterno, ad es. c'è una catena: modello descrittivo → schema matematico → modello matematico.
Ogni sistema S caratterizzato da un insieme di proprietà che riflettono il comportamento del sistema e le condizioni per il suo funzionamento in interazione con l'ambiente esterno ε .
La completezza del modello è controllata principalmente dalla scelta del confine da parte del sistema S e ambiente esterno E.
Il compito di semplificare il modello aiuta ad evidenziare le proprietà principali del sistema, scartando quelle secondarie.
Introduciamo la seguente notazione:
1) La totalità delle azioni di input sul sistema
.
2) La totalità delle influenze ambientali
.
3) Un insieme di parametri di sistema interni o proprietari
.
4) La totalità delle caratteristiche di uscita del sistema
Le informazioni iniziali nella costruzione di modelli matematici dei processi di funzionamento dei sistemi sono dati sullo scopo e sulle condizioni operative del sistema studiato (progettato), che determinano lo scopo principale della modellazione e ci consentono di formulare i requisiti per la matematica sviluppata modello . Schema matematico può essere definito come un collegamento nella transizione da una descrizione significativa a una descrizione formale del processo di funzionamento del sistema, tenendo conto dell'impatto dell'ambiente esterno, vale a dire esiste una catena "modello descrittivo - schema matematico - modello matematico [analitico e (e) simulazione]".
Modello dell'oggetto di simulazione, cioè sistema S, può essere rappresentato come un insieme di grandezze che descrivono il processo di funzionamento di un sistema reale e che formano nel caso generale i seguenti sottoinsiemi:
aggregato azioni di input al sistema - x io;
aggregato influenze ambientali– nl;
aggregato parametri interni (propri). sistemi - HK;
aggregato caratteristiche di uscita sistemi - e j.
Allo stesso tempo, le variabili controllate e non controllate possono essere distinte nei sottoinsiemi elencati. Generalmente x io, nl, HK, e j sono elementi di sottoinsiemi disgiunti X, V, H, Y e contengono sia componenti deterministiche che stocastiche.
Quando si modella un sistema S influenze di ingresso, influenze ambientali E e i parametri interni del sistema sono variabili indipendenti (esogene), che in forma vettoriale hanno la forma
e le caratteristiche di uscita del sistema sono variabili dipendenti (endogene). e in forma vettoriale hanno la forma
Processo operativo del sistema S descritto nel tempo dall'operatore FS , che nel caso generale trasforma le variabili esogene in endogene secondo relazioni della forma:
. (2.1)
L'insieme delle dipendenze delle caratteristiche di output del sistema rispetto al tempo e j(T) per tutti i tipi è chiamato traiettoria di uscita. Viene chiamata la dipendenza (2.1). la legge di funzionamento del sistema S e denotato Fs. Nel caso generale, la legge del funzionamento del sistema Fs può essere data come funzione, condizioni funzionali, logiche, in forme algoritmiche e tabulari, o come regola di corrispondenza verbale.
Molto importante per la descrizione e lo studio del sistema Sè il concetto algoritmo operativo A s, che è inteso come un metodo per ottenere caratteristiche di output, tenendo conto delle azioni di input , influenze ambientali e propri parametri di sistema . È ovvio che la stessa legge di funzionamento del sistema può essere implementata in modi diversi, ad es. utilizzando molti algoritmi diversi COME .
Le relazioni (2.1) sono una descrizione matematica del comportamento dell'oggetto (sistema) di modellazione nel tempo , quelli. riflettere le sue proprietà dinamiche. Pertanto, vengono solitamente chiamati modelli matematici di questo tipo modelli dinamici (sistemi).
Per i modelli statici, la descrizione matematica (2.1) è una mappatura tra due sottoinsiemi delle proprietà dell'oggetto modellato Y E [ X, V, H], che in forma vettoriale può essere scritta come
. (2.2)
Le relazioni (2.1) e (2.2) possono essere specificate in vari modi: analiticamente (usando formule), graficamente, tabulamente, ecc. In un certo numero di casi, tali relazioni possono essere ottenute attraverso le proprietà del sistema S in orari specifici, chiamato stati. Stato del sistema S caratterizzato da vettori
E 
,
Dove z.z ’ 1 =z 1 (T ’),z.z ’ 2 =z 2 (T ’), …, z.z' k = z.z K ( T'), nel momento T ’’ Î( T 0 , T); z.z ’’ 1 =z.z 1 (T ’’), z.z ’’ 2 =z.z 2 (T ’’), …, z.z'' K = z.z K ( T'') nel momento T ’’ Î( T 0 , T) eccetera., .
Se consideriamo il processo di funzionamento del sistema S come un successivo cambiamento di stato z.z 1 (T), z.z 2 (T), ..., z.z K ( T), allora possono essere interpretati come le coordinate di un punto in K-spazio delle fasi dimensionale, e ogni realizzazione del processo corrisponderà a una traiettoria di fase. Viene chiamato l'insieme di tutti i possibili valori di stato spazio statale oggetto di simulazione z, E z.z k О z.
Stati del sistema S al momento t0<T*£ T completamente determinato dalle condizioni iniziali 
[Dove z.z 0 1 =z 1 (T 0), z.z 0 2 =z.z 2 (T 0), ..., z.z 0 K = z.z K ( T 0)], influenze di input, parametri interni e influenze ambientali, che hanno avuto luogo in un periodo di tempo T*– t 0 , utilizzando due equazioni vettoriali:
; (2.3)
. (2.4)
La prima equazione, dati lo stato iniziale e le variabili esogene, definisce la funzione vettoriale , e il secondo in termini di valore ottenuto degli stati sono variabili endogene all'uscita del sistema . Pertanto, la catena di equazioni dell'oggetto "input - stati - output" consente di determinare le caratteristiche del sistema:
Nel caso generale, il tempo nel modello di sistema S può essere considerato sull'intervallo di simulazione (0, T) sia continuo che discreto, cioè quantizzato in segmenti della lunghezza di unità di tempo ciascuno, quando , dove è il numero di intervalli di campionamento.
Così, sotto modello matematico dell'oggetto(di un sistema reale) comprendere un sottoinsieme finito di variabili 
insieme alle relazioni matematiche tra loro e le caratteristiche.
Se la descrizione matematica dell'oggetto della simulazione non contiene elementi di casualità o non vengono presi in considerazione, i.e. se possiamo supporre che in questo caso non ci siano effetti stocastici dell'ambiente esterno e parametri interni stocastici, allora il modello si chiama deterministico nel senso che le caratteristiche sono univocamente determinate da azioni di input deterministiche
. (2.6)
Ovviamente, il modello deterministico è un caso particolare del modello stocastico.
Le suddette relazioni matematiche sono schemi matematici di forma generale e ci permettono di descrivere un'ampia classe di sistemi. Tuttavia, nella pratica della modellazione di oggetti nel campo dell'ingegneria dei sistemi e dell'analisi dei sistemi, nelle fasi iniziali dello studio del sistema, è più razionale utilizzare schemi matematici tipici: equazioni differenziali, automi finiti e probabilistici, sistemi a code, reti di Petri, ecc.
Non possedendo un tale grado di generalità come i modelli considerati, i tipici schemi matematici presentano i vantaggi della semplicità e della chiarezza, ma con un significativo restringimento delle possibilità di applicazione. Come modelli deterministici, quando i fattori casuali non vengono presi in considerazione nello studio, vengono utilizzate equazioni differenziali, integrali, integro-differenziali e di altro tipo per rappresentare sistemi che operano in tempo continuo e automi finiti e macchine a stati finiti vengono utilizzati per rappresentare sistemi che operano in tempi discreti schemi di differenza. Come modelli stocastici (che tengono conto di fattori casuali), gli automi probabilistici vengono utilizzati per rappresentare sistemi con tempo discreto e i sistemi di accodamento vengono utilizzati per rappresentare sistemi con tempo continuo, ecc.
Gli schemi matematici tipici elencati, ovviamente, non possono pretendere di essere in grado di descrivere sulla base di tutti i processi che si verificano nei grandi sistemi di informazione e controllo. Per tali sistemi, in alcuni casi, è più promettente utilizzare modelli aggregativi. I modelli aggregati (sistemi) consentono di descrivere un'ampia gamma di oggetti di ricerca con una visualizzazione della natura sistemica di questi oggetti. È durante la descrizione aggregativa che un oggetto complesso (sistema) viene suddiviso in un numero finito di parti (sottosistemi), pur mantenendo le connessioni che assicurano l'interazione delle parti.
Pertanto, nella costruzione di modelli matematici dei processi di funzionamento dei sistemi, si possono distinguere i seguenti approcci principali: continuo-deterministico (ad esempio, equazioni differenziali); discreto-deterministico (automi finiti); stocastico discreto (automi probabilistici); continuo-stocastico (sistemi a coda); generalizzato o universale (sistemi aggregativi).
Lezione 5 .
Modelli continuamente deterministici (schemi D)
Considera le caratteristiche di un approccio continuamente deterministico che utilizza equazioni differenziali come modelli matematici come esempio. Equazioni differenziali tali equazioni sono chiamate in cui le incognite sono funzioni di una o più variabili e l'equazione include non solo funzioni, ma anche le loro derivate di vari ordini. Se le incognite sono funzioni di molte variabili, vengono chiamate le equazioni equazioni alle derivate parziali, altrimenti, quando si considera una funzione di una sola variabile indipendente, vengono chiamate le equazioni equazioni differenziali ordinarie(ODE) .
Di solito, in tali modelli matematici, il tempo viene utilizzato come variabile indipendente da cui dipendono le funzioni sconosciute desiderate. T. Allora sarà la relazione matematica per i sistemi deterministici (2.6) in forma generale
Dove 
E 
- N vettori dimensionali; è una funzione vettoriale definita su alcuni ( n+ 1)-insieme dimensionale ed è continuo. Poiché schemi matematici di questo tipo riflettono la dinamica del sistema in esame, cioè il suo comportamento nel tempo, sono chiamati Schemi D(dall'inglese dinamico).
Nel caso più semplice, l'ODE ha la forma:
,
Dove H 0 , H 1 , H 2 – parametri di sistema; z.z(T) – lo stato del sistema in un determinato momento T.
Se il sistema in esame interagisce con l'ambiente E , poi c'è un ingresso X(T) e il modello continuamente deterministico di un tale sistema sarà simile a:
.
Dal punto di vista dello schema generale del modello matematico X(T) è l'azione di input (controllo) e lo stato del sistema S in questo caso può essere considerata una caratteristica di uscita, cioè assumere che la variabile di output corrisponda allo stato del sistema in un dato momento y=z.
Quando si risolvono i problemi dell'ingegneria dei sistemi, i problemi di gestione di grandi sistemi sono di grande importanza. Si dovrebbe prestare attenzione ai sistemi di controllo automatico, un caso speciale di sistemi dinamici descritti da D- schemi e assegnati in una classe separata di modelli a causa delle loro specifiche pratiche. Descrivendo i processi di controllo automatico, di solito aderiscono alla rappresentazione di un oggetto reale sotto forma di due sistemi: controllo e gestito (oggetto di controllo).
. Lezione 6 .
Modelli deterministici discreti (schemi F)
Considereremo le caratteristiche dell'approccio deterministico discreto nella fase di formalizzazione del processo di funzionamento dei sistemi utilizzando l'esempio dell'utilizzo della teoria degli automi come apparato matematico. La teoria degli automi è una sezione della cibernetica teorica che studia i modelli matematici: gli automi. Sulla base di questa teoria, il sistema è rappresentato come un automa che elabora informazioni discrete e cambia i suoi stati interni solo in tempi ammissibili. Il concetto di "automa" varia a seconda della natura dei sistemi specificatamente studiati, del livello di astrazione accettato e dell'appropriato grado di generalità. L'automa può essere pensato come un dispositivo (scatola nera) a cui vengono applicati i segnali di ingresso e vengono prelevati i segnali di uscita e che può avere alcuni stati interni. Un automa finito è un automa il cui insieme di stati interni e, di conseguenza, l'insieme dei segnali di uscita sono insiemi finiti. In astratto, un automat finito (dall'inglese finite automat) può essere rappresentato come uno schema matematico caratterizzato da sei elementi: un insieme finito X segnali di ingresso (alfabeto di ingresso); insieme finito Y segnali di uscita (alfabeto di uscita); insieme finito z stati interni (alfabeto interno o alfabeto degli stati); stato iniziale z.z 0 Î z; funzione di transizione J(z, x); funzione di uscita si(z, x).
L'automa dato F-schema: 
– opera nel tempo discreto dell'automa, i cui momenti sono cicli, cioè intervalli di tempo uguali adiacenti l'uno all'altro, ciascuno dei quali corrisponde a valori costanti dei segnali di ingresso e uscita e stati interni. Se designiamo lo stato, così come i segnali di ingresso e uscita corrispondenti a T- mu battere a T= 0, 1, 2, ..., attraverso z.z(T),X(T),si(T).In cui z.z(0)=z.z 0 , z.z(T)Î z, X(T)Î X, a(T)Î Y. Una macchina a stati astratta ha un ingresso e un canale di uscita. In ogni momento del tempo discreto F- la macchina è in un certo stato z.z(T) dall'insieme z stati dell'automa e al momento iniziale del tempo T=0 è sempre nello stato iniziale z.z(0)=z.z 0 . Nel momento T, essendo in grado z.z(T),
l'automa è in grado di percepire un segnale sul canale di ingresso X(T)Î X e dare un segnale sul canale di uscita A(T)=si[z.z(T), X(T)], passando nello stato z.z(T+1)=j[z(t), x(t)], X(T)Î X, a(T)Î Y. Un automa finito astratto implementa una mappatura dell'insieme di parole nell'alfabeto di input X in un insieme di parole nell'alfabeto di output Y. In altre parole, se l'input della macchina a stati finiti è impostato sullo stato iniziale z.z 0 , fornisce le lettere dell'alfabeto di input in una sequenza X(0),X(1),X(2),..., cioè parola di input, quindi l'output dell'automa apparirà le lettere dell'alfabeto di output A(0), si(1), A(2), ..., formando la parola di output. Pertanto, il funzionamento dell'automa finito avviene secondo il seguente schema: in ciascuno T- m passo all'ingresso dell'automa, che è nello stato z.z(T), viene dato un segnale X(T),
a cui reagisce andando a ( T+1)esimo ciclo verso un nuovo stato z.z(T+1) ed emettendo un segnale di uscita.
In base al numero di stati si distinguono automi finiti con memoria e senza memoria. Gli automi con memoria hanno più di uno stato, mentre gli automi senza memoria (combinazione o circuiti logici) hanno un solo stato. Secondo la natura del conteggio del tempo discreto, gli automi finiti sono divisi in sincroni e asincroni. In sincrono F-negli automi, i punti temporali in cui l'automa "legge" i segnali di ingresso sono determinati dai segnali di sincronizzazione forzata. Asincrono F- l'automa legge continuamente il segnale di ingresso e, quindi, reagisce a un segnale di ingresso sufficientemente lungo e di valore costante X, può cambiare stato più volte, producendo il numero appropriato di uscite, fino a raggiungere uno stato stabile che non può più essere cambiato da un dato segnale di ingresso.
Modelli stocastici discreti (schemi P)
Consideriamo le caratteristiche della costruzione di schemi matematici nell'approccio discreto-stocastico alla formalizzazione del processo di funzionamento del sistema in esame. Poiché l'essenza della discretizzazione del tempo in questo approccio rimane simile a quelle considerate negli automi finiti, tracceremo anche l'influenza del fattore di stocasticità sulle varietà di tali automi, vale a dire, gli automi probabilistici (stocastici).
In termini generali, una macchina automatica probabilistica può essere definita come un discreto convertitore di informazioni passo-passo con memoria, il cui funzionamento in ogni fase dipende solo dallo stato della memoria in esso contenuto e può essere descritto statisticamente. L'uso di schemi di automi probabilistici è importante per lo sviluppo di metodi per la progettazione di sistemi discreti che esibiscono un comportamento casuale statisticamente regolare, per chiarire le capacità algoritmiche di tali sistemi e comprovare i limiti dell'opportunità del loro utilizzo, nonché per risolvere problemi di sintesi secondo al criterio scelto per sistemi stocastici discreti che soddisfano determinati vincoli.
Introduciamo il concetto matematico R- mitragliatrice ,
utilizzando i concetti introdotti per F-macchina .
Considera l'insieme G, i cui elementi sono tutte le coppie possibili ( x i , z s), Dove x io, E zs sono elementi del sottoinsieme di input X e sottoinsiemi di stati z rispettivamente. Se ci sono due di queste funzioni J E si, poi con il loro aiuto le mappature G® z E G® Sì, poi dicono così 
definisce un automa di tipo deterministico. Introduciamo uno schema matematico più generale. Permettere Fè l'insieme di tutte le possibili coppie della forma ( z k , y i) Dove a jè un elemento del sottoinsieme di output Y. Richiediamo che qualsiasi elemento dell'insieme G indotto sul set F qualche legge di distribuzione della seguente forma:
Elementi di F … (z.z 1 ,y 1) … (z.z 1 ,y 2) … … (z K , y J -1) (z K , y J)
(x io z k) … B 11 B 12 … bK (J -1 ) b KJ
In cui,
Dove bkj sono le probabilità della transizione dell'automa allo stato zk e la comparsa di un segnale in uscita in j, se ne fosse capace zs e un segnale è stato ricevuto al suo ingresso in questo momento x io. Il numero di tali distribuzioni, presentate sotto forma di tabelle, è uguale al numero di elementi dell'insieme G. Denota l'insieme di queste tabelle con IN, poi i quattro elementi 
è chiamato un automa probabilistico ( R- automatico) .
Lezione 7 .
Modelli stocastici continui (schemi Q)
Considereremo le caratteristiche dell'approccio continuo-stocastico utilizzando l'esempio dell'utilizzo di sistemi a code come tipici schemi matematici, che chiameremo Q-schemi . I sistemi di accodamento sono una classe di schemi matematici sviluppati nella teoria dell'accodamento e varie applicazioni per formalizzare i processi di funzionamento dei sistemi, che sono essenzialmente processi di servizio.
Come processo di servizio, possono essere rappresentati processi di funzionamento di sistemi economici, industriali, tecnici e di altro tipo, diversi nella loro natura fisica, ad esempio applicazioni per l'elaborazione di informazioni informatiche da terminali remoti, ecc. Allo stesso tempo, il funzionamento di tali oggetti è caratterizzato dalla comparsa casuale di richieste (requisiti) per il servizio e dal completamento del servizio in momenti casuali, ad es. natura stocastica del processo del loro funzionamento. In ogni atto di servizio elementare si possono distinguere due componenti principali: l'aspettativa di servizio da parte di una domanda e il servizio effettivo di una domanda. Questo può essere rappresentato come alcuni io servizio strumentale Pi, costituito da un accumulatore di applicazioni CIAO, che può contenere contemporaneamente applicazioni, dove L io H- capacità io-esima unità e il canale del servizio dell'applicazione (o solo il canale) Ki. Per ogni elemento del dispositivo di servizio Pi i flussi di eventi arrivano: nell'accumulatore CIAO - flusso di applicazione w io per canale Ki- flusso di servizio tu io.
Nella pratica dei sistemi di modellazione che hanno relazioni strutturali e algoritmi di comportamento più complessi, non vengono utilizzati dispositivi di servizio separati per la formalizzazione, ma Q- schemi formati dalla composizione di tanti dispositivi elementari di servizio Pi(reti di accodamento). Se i canali Ki diversi dispositivi di servizio sono collegati in parallelo, quindi esiste un servizio multicanale (multicanale Q-schema) , e se i dispositivi Pi e le loro composizioni parallele sono collegate in serie, allora c'è un servizio multifase (polifase Q- schema). Quindi, per il compito Q-gli schemi devono usare l'operatore di coniugazione R, riflettendo la relazione tra gli elementi della struttura (canali e pulsioni) tra di loro. Distinguere tra aperto e chiuso Q-schema . Aprire Q-scheme, il flusso di output delle richieste servite non può più arrivare a nessun elemento, cioè non c'è feedback, e in closed Q- schemi ci sono feedback, secondo i quali le richieste si muovono nella direzione opposta al movimento di entrata-uscita.
Le possibilità di stimare le caratteristiche utilizzando i modelli analitici della teoria delle code sono molto limitate rispetto alle esigenze della pratica di ricerca e progettazione di sistemi formalizzati nella forma Q- schemi. I modelli di simulazione hanno possibilità incomparabilmente maggiori, permettendo di indagare Q- schema, dato senza restrizioni.
Modelli di rete (N-grafici)
Nella pratica della modellazione di oggetti, è spesso necessario risolvere problemi relativi a una descrizione formalizzata e all'analisi delle relazioni causa-effetto in sistemi complessi, in cui più processi si svolgono contemporaneamente in parallelo. Il formalismo più comune attualmente, che descrive la struttura e l'interazione di sistemi e processi paralleli, sono le reti di Petri (dall'inglese Petri Nets).
Formalmente, la rete di Petri ( N-schema) è data da una quadrupla della forma:
,
Dove IN– un insieme finito di simboli chiamati posizioni; D– un insieme finito di simboli chiamati transizioni; IO– funzione di input (funzione di incidenza diretta); O- funzione di uscita (funzione di incidenza inversa). Quindi la funzione di input IO visualizza la transizione d j a più posizioni di uscita b ioÎ IO(d j) e la funzione di output DI visualizza la transizione d j a più posizioni di uscita b ioÎ D(d j).
Graficamente Schema Nè raffigurato come un multigrafo orientato bipartito, che è un insieme di posizioni e transizioni. Grafico N-schemi ha due tipi di nodi: posizioni e transizioni, rappresentate rispettivamente da 0 e 1. Gli archi approssimati collegano posizioni e transizioni, con ciascun arco diretto da un elemento di un insieme (posizione o transizione) a un elemento di un altro insieme (transizione o posizione). Grafico N-schemiè un multigrafo, poiché consente l'esistenza di più archi da un vertice all'altro.
Rappresentanza ridotta N-schemi può essere utilizzato solo per riflettere la statica del sistema simulato (la relazione di eventi e condizioni), ma non consente di riflettere nel modello la dinamica del funzionamento del sistema simulato. Per rappresentare le proprietà dinamiche di un oggetto, viene introdotta una funzione di marcatura (markup). M: B®(0, 1, 2, ...). Marcatura M c'è un'assegnazione di alcuni oggetti astratti, chiamati etichette (chips), a posizioni N-schemi, inoltre, il numero di punti corrispondente a ciascuna posizione può variare. Quando compito grafico N-schemi il markup viene visualizzato posizionando il numero corrispondente di punti all'interno delle posizioni dei vertici (quando il numero di punti è elevato, inserire i numeri). Contrassegnato (contrassegnato) Schema N può essere descritto come cinque 
ed è una combinazione di rete di Petri ed etichettatura M.
Funzionamento N-schemi riflesso dalla transizione da markup a markup. Il markup iniziale è indicato come M 0:IN®(0, 1, 2, ...). Il cambio di marcatura si verifica a seguito dell'operazione di una delle transizioni d jÎ D reti. Condizione necessaria per l'attivazione della transizione d jÈ b ioÎ io (dj){M(b i)³ 1), dove M(b io)- marcatura di posizione b io. Transizione d j, per il quale la condizione specificata è soddisfatta, è definito come in uno stato di pronto per il funzionamento o come una transizione eccitata.
Modelli combinati (diagrammi A)
L'approccio generale più noto alla descrizione formale dei processi di funzionamento dei sistemi è l'approccio proposto da Ya.P. Buslenko. Questo approccio permette di descrivere il comportamento di sistemi continui e discreti, deterministici e stocastici, ovvero, rispetto a quelli considerati, è generalizzato (universale) e si basa sul concetto sistema aggregativo(dal sistema aggregato inglese), che è uno schema formale di una forma generale, che chiameremo Uno schema.
Un'analisi degli strumenti esistenti per la modellazione dei sistemi e dei problemi risolti utilizzando il metodo della simulazione al computer porta inevitabilmente alla conclusione che una soluzione completa dei problemi che sorgono nel processo di creazione e implementazione della macchina di un modello è possibile solo se i sistemi di modellazione sono basati su un unico modello matematico formale.schema, i.e. Uno schema. Tale schema deve svolgere contemporaneamente diverse funzioni: deve essere un'adeguata descrizione matematica dell'oggetto di modellazione, cioè il sistema S, servire come base per la costruzione di algoritmi e programmi per l'implementazione automatica del modello M, consentire in una versione semplificata (per casi speciali) di condurre studi analitici.
Questi requisiti sono alquanto contraddittori. Tuttavia, nel quadro di un approccio generalizzato basato su A-schemi Qualche compromesso può essere trovato tra di loro.
Secondo la tradizione consolidata nella matematica in generale e nella matematica applicata in particolare, con un approccio aggregativo, si dà innanzitutto una definizione formale dell'oggetto della modellazione: un sistema aggregativo, che è uno schema matematico che riflette la natura sistemica degli oggetti in fase di studio. In una descrizione aggregativa, un oggetto complesso (sistema) è suddiviso in un numero finito di parti (sottosistemi), pur mantenendo le connessioni che assicurano la loro interazione. Se alcuni dei sottosistemi ottenuti, a loro volta, risultano piuttosto complessi, allora il processo del loro partizionamento continua fino a quando non si formano sottosistemi che, nelle condizioni del problema di modellazione in esame, possono essere considerati convenienti per la descrizione matematica. Come risultato di tale scomposizione, un sistema complesso è rappresentato come una struttura multilivello di elementi interconnessi combinati in sottosistemi di diversi livelli.
Come oggetto A-schemi l'aggregato agisce e la connessione tra gli aggregati (all'interno del sistema S e con l'ambiente E) viene eseguita utilizzando l'operatore di coniugazione R. Ovviamente, l'aggregato stesso può essere considerato come A-diagramma, cioè può essere suddiviso in elementi (aggregati) del livello successivo. Ogni aggregato è caratterizzato dai seguenti insiemi: punti temporali T, ingresso X e fine settimana Y segnali, stati z in ogni momento del tempo T. Lo stato dell'unità in quel momento TÎ T indicato come z.z(T)Î z, mentre i segnali di ingresso e di uscita lo sono X(T)Î X E A(T)Î Y rispettivamente.
Esiste una classe di grandi sistemi che, a causa della loro complessità, non possono essere formalizzati sotto forma di schemi matematici di singole unità, quindi sono formalizzati da una costruzione di unità separate UN, , che chiameremo il sistema aggregativo o Uno schema. Descrivere un sistema reale S COME A-schemiè necessario avere una descrizione di entrambe le singole unità UN, e le connessioni tra di loro.
Funzionamento A-schemi relative al trattamento delle informazioni. Tutte le informazioni che circolano in Uno schema, diviso in esterno e interno. Le informazioni esterne provengono da oggetti esterni che non sono elementi dello schema in esame e le informazioni interne sono generate dalle unità del sistema stesso. A-schemi. Scambio di informazioni tra Uno schema e ambiente esterno E avviene attraverso aggregati chiamati poli A-schemi. In questo caso si distinguono i poli di ingresso A-schemi, che sono le unità che ricevono X-messaggi e poli di uscita A-schemi, le cui informazioni di output sono A-messaggi. Gli aggregati che non sono poli sono detti interni.
1. Modelli grafici
2. Modelli di simulazione
3. Modelli matematici
4. Modellazione dei processi di pianificazione ottimale
5. Modellazione dei processi globali
7. Modellazione di sistemi e processi ecologici
8. Modelli informativi sugli oggetti
9. Analisi del sistema
10. Modelli statistici
11. Modelli tabulari
12. Formalizzazione e modellazione
Nel corso scolastico di informatica, c'è tradizionalmente una linea significativa di formalizzazione e modellazione. Il concetto di modello si riferisce a concetti scientifici generali fondamentali e la modellazione è un metodo di cognizione della realtà utilizzato da varie scienze.
Praticamente in tutte le scienze naturali e sociali, la costruzione e l'utilizzo di modelli è un potente strumento di ricerca. Gli oggetti e i processi reali sono così sfaccettati e complessi che il modo migliore per studiarli è costruire un modello che rifletta solo una parte della realtà e quindi molte volte più semplice di questa realtà. L'oggetto della ricerca e dello sviluppo dell'informatica è la metodologia della modellazione delle informazioni associata all'uso di apparecchiature e tecnologie informatiche. In questo senso si parla di Simulazione computerizzata. Il significato interdisciplinare dell'informatica si manifesta in gran parte proprio attraverso l'introduzione della modellazione al computer in vari campi scientifici e applicati: fisica e tecnologia, biologia e medicina, economia, management e molti altri.
Modellazione al computer include il processo di implementazione di un modello di informazioni su un computer e la ricerca di un oggetto di simulazione utilizzando questo modello, conducendo un esperimento computazionale. Con l'aiuto della simulazione al computer, molti problemi scientifici e industriali vengono risolti.
La modellazione delle informazioni è associata alla formalizzazione dei dati sull'oggetto di modellazione (vedere " Formalizzazione e Modellazione”). La costruzione di un modello informativo inizia con la definizione degli obiettivi della modellazione e l'analisi dell'oggetto di modellazione come un sistema complesso in cui è necessario evidenziare le proprietà riflesse nel modello e le relazioni tra di esse (vedi “ Analisi del sistema"). I modelli informativi differiscono nella forma di presentazione delle informazioni sull'oggetto di modellazione. Modelli matematiciutilizzare il linguaggio della matematica per rappresentare l'oggetto della modellazione. Un tipo separato di modelli matematici sono modelli statistici- orientato all'elaborazione dati di massa(ad esempio, sondaggi sulla popolazione) in cui è presente un elemento di casualità. I dati sull'oggetto di modellazione, organizzati in forma tabellare, sono modello tabulare. Gli strumenti grafici sono usati per costruire modelli grafici. L'approccio orientato agli oggetti alla programmazione emerso alla fine del secolo scorso ha dato origine a un nuovo paradigma nella modellazione delle informazioni: modellazione delle informazioni sugli oggetti. Vengono chiamati modelli di computer che riproducono il comportamento di sistemi complessi per i quali non esiste un apparato matematico univoco modelli di simulazione.
La modellazione delle informazioni al computer viene utilizzata per descrivere e analizzare processi di diversa natura. Le scienze fisiche hanno la maggiore esperienza in questo senso (vedi “ Modellazione di sistemi e processi fisici”). La modellazione al computer aiuta a risolvere importanti problemi ambientali (vedi “ Modellazione di sistemi e processi ecologici”). La modellazione delle informazioni svolge un ruolo importante nell'economia e nella gestione. Le attività più importanti in quest'area sono le attività di pianificazione (vedere " Modellazione dei processi di pianificazione ottimale”). Per mezzo della simulazione al computer, gli scienziati stanno cercando di risolvere anche un problema globale come il destino della civiltà umana (vedi " Modellazione dei processi globali”).
La varietà di modelli grafici è piuttosto ampia. Consideriamo alcuni di loro.
Un mezzo visivo per visualizzare la composizione e la struttura dei sistemi (vedi “ Sistemalogia”) sono grafici.
Considera un esempio. C'è una descrizione verbale di alcune aree: “Il nostro distretto è composto da cinque villaggi: Dedkino, Babkino, Repkino, Koshkino e Myshkino. Le strade automobilistiche sono tracciate tra: Dedkino e Babkino, Dedkino e Koshkino, Babkino e Myshkino, Babkino e Koshkino, Koshkino e Repkino”. Da questa descrizione è piuttosto difficile immaginare quest'area. Le stesse informazioni sono molto più facili da percepire con l'aiuto di un diagramma (vedi figura). Questa non è una mappa della zona. Qui le indicazioni per i punti cardinali non vengono mantenute, la scala non viene rispettata. Questo schema riflette solo il fatto dell'esistenza di cinque villaggi e il collegamento stradale tra di loro. Come diagramma che mostra la composizione elementare del sistema e la struttura dei legami, è chiamato contare.
Le parti costitutive del grafico sono picchi E costolette. I vertici sono mostrati come cerchi nella figura. elementi del sistema, e i bordi sono mostrati come linee - questo è connessioni(relazione) tra gli elementi. Osservando questo grafico è facile comprendere la struttura della viabilità in una data area.
Il grafico costruito consente, ad esempio, di rispondere alla domanda: attraverso quali villaggi devi passare per andare da Repkino a Myshkino? Si può vedere che ci sono due possibili cammini: 1) R K B M e) R K D B M. Possiamo concludere da ciò che il 1° cammino è più corto del 2°? No, non puoi. Questo grafico non contiene caratteristiche quantitative. Questa non è una mappa dove la scala è rispettata ed è possibile misurare la distanza.
Il grafico mostrato nella figura seguente contiene caratteristiche quantitative. I numeri vicino ai bordi indicano la lunghezza delle strade in chilometri. Questo è un esempio grafico ponderato. Un grafico ponderato può contenere caratteristiche quantitative non solo collegamenti, ma anche picchi. Ad esempio, i vertici possono indicare la popolazione di ciascun villaggio. Secondo i dati del grafico ponderato, risulta che il primo percorso è più lungo del secondo.
Tali grafici sono anche chiamati rete. La rete è caratterizzata la possibilità di molti percorsi diversi di muoversi lungo i bordi tra alcune coppie di vertici. Le reti sono inoltre caratterizzate dalla presenza di percorsi chiusi, che vengono chiamati cicli. In questo caso, c'è un ciclo: K D B K.
Nei diagrammi considerati, ogni spigolo indica la presenza di un collegamento stradale tra due punti. Ma il collegamento stradale funziona allo stesso modo in entrambe le direzioni: se la strada può essere percorsa da B a M, allora può essere percorsa anche da M a B (supponiamo che ci sia traffico a doppio senso). Tali grafici sono difficile, e le relative connessioni vengono chiamate simmetrico.
Un esempio qualitativamente diverso di grafico è mostrato nella figura seguente.
Grafico di compatibilità del gruppo sanguigno
Questo esempio è legato alla medicina. È noto che persone diverse hanno gruppi sanguigni diversi. Ci sono quattro tipi di sangue. Si scopre che quando il sangue viene trasfuso da una persona all'altra, non tutti i gruppi sono compatibili. Il grafico mostra le possibili opzioni per la trasfusione di sangue. I gruppi sanguigni sono i vertici del grafico con i numeri corrispondenti e le frecce indicano la possibilità di trasfondere un gruppo sanguigno a una persona con un gruppo sanguigno diverso. Ad esempio, questo grafico mostra che il sangue del gruppo I può essere trasfuso a qualsiasi persona e una persona con il gruppo sanguigno I accetta solo il sangue del proprio gruppo. Si può anche vedere che una persona con un gruppo sanguigno IV può essere trasfusa con qualsiasi, ma il suo stesso sangue può essere trasfuso solo nello stesso gruppo.
Connessioni tra i vertici di un dato grafo asimmetrico e quindi sono rappresentati da linee dirette con frecce. Tali linee sono chiamate archi(in contrasto con i bordi dei grafici non orientati). Viene chiamato un grafico con queste proprietà orientata. Viene chiamata una linea che esce e entra nello stesso vertice ciclo continuo. In questo esempio, ci sono quattro loop.
Non è difficile vedere i vantaggi di rappresentare un modello di un sistema trasfusionale sotto forma di grafico rispetto a una descrizione verbale delle stesse regole. Il grafico è facile da capire e da ricordare.
Albero - grafico della struttura gerarchicaUn tipo molto comune di sistemi sono i sistemi con una struttura gerarchica. Una struttura gerarchica nasce naturalmente quando gli oggetti o alcune delle loro proprietà sono in una relazione di subordinazione (incorporamento, ereditarietà). Di norma, i sistemi di gestione amministrativa hanno una struttura gerarchica, tra gli elementi di cui si stabiliscono relazioni di subordinazione. Ad esempio: il direttore di stabilimento - i capi bottega - i capi sezione - i capisquadra - gli operai. I sistemi hanno anche una struttura gerarchica, tra gli elementi di cui esistono relazioni di occorrenza di alcuni in altri.
Viene chiamato il grafico della struttura gerarchica albero. La proprietà principale di un albero è che esiste un solo percorso tra due dei suoi vertici. Gli alberi non contengono cicli e loop.
Guarda il grafico che riflette la struttura amministrativa gerarchica del nostro stato: la Federazione Russa è divisa in sette distretti amministrativi; i distretti sono divisi in regioni (oblast e repubbliche nazionali), che comprendono città e altri insediamenti. Tale grafico è chiamato albero.
L'albero della struttura amministrativa della Federazione Russa
L'albero ha un vertice principale, che viene chiamato radice dell'albero. Questo vertice è mostrato in alto; vieni da lei rami albero. I livelli dell'albero vengono contati dalla radice. I vertici direttamente collegati alla radice formano il primo livello. Le connessioni vanno da loro ai vertici del secondo livello e così via. Ogni vertice dell'albero (eccetto la radice) ne ha uno originale vertice al livello precedente e può avere un set generato vertici al livello successivo. Questo tipo di connessione è chiamato uno a molti". I vertici che non hanno figli sono chiamati foglie(sul nostro grafico, questi sono i vertici che denotano le città).
Modellazione grafica dei risultati della ricercaL'obiettivo generale della grafica scientifica può essere così formulato: rendere “visibile” l'invisibile e l'astratto. L'ultima parola è racchiusa tra virgolette, poiché questa "apparenza" è spesso molto condizionale. È possibile vedere la distribuzione della temperatura all'interno di un corpo riscaldato in modo disomogeneo di forma complessa senza introdurre centinaia di microsensori al suo interno, cioè, in sostanza, distruggerlo? - Sì, è possibile, se c'è un modello matematico appropriato e, cosa molto importante, un accordo sulla percezione di certe convenzioni nella figura. È possibile vedere la distribuzione dei minerali metallici nel sottosuolo senza scavi? La struttura della superficie di un pianeta alieno secondo i risultati del radar? La risposta a queste ea molte altre domande è sì, è possibile, con l'ausilio della computer grafica e dell'elaborazione matematica che la precede.
Inoltre, si può “vedere” qualcosa che, in senso stretto, non corrisponde affatto bene alla parola “vedere”. Pertanto, la scienza che è nata all'incrocio tra chimica e fisica - la chimica quantistica - ci offre l'opportunità di "vedere" la struttura della molecola. Queste immagini sono il massimo dell'astrazione e un sistema di convenzioni, poiché nel mondo atomico i nostri consueti concetti di particelle (nuclei, elettroni, ecc.) sono fondamentalmente inapplicabili. Tuttavia, l'"immagine" multicolore di una molecola sullo schermo di un computer è più utile per coloro che comprendono l'intera misura della sua convenzionalità rispetto a migliaia di numeri che sono il risultato di calcoli.
Contorni
La tecnica standard per l'elaborazione dei risultati di un esperimento computazionale è la costruzione di linee (superfici), chiamate isolines(isosuperfici), lungo la quale una funzione ha un valore costante. Si tratta di una tecnica molto comune per visualizzare le caratteristiche di un campo scalare nell'approssimazione di un mezzo continuo: isoterme - rette di uguale temperatura, isobare - rette di uguale pressione, isolinee della funzione di flusso del liquido o del gas, mediante le quali si può facilmente immagina i loro flussi, isolinee della popolazione ecologica al suolo, isolinee concentrazione di impurità nocive nell'ambiente, ecc.
Isolinee della corrente
La figura mostra le isolinee della funzione di flusso di un liquido riscaldato in modo non uniforme in una regione di flusso rettangolare. Da questa immagine si può chiaramente giudicare la direzione dei flussi di corrente e la loro intensità.
Colori condizionali, contrasto condizionale
Un'altra tecnica interessante della moderna grafica scientifica è la colorazione condizionale. Trova la più ampia applicazione in varie applicazioni della scienza ed è un insieme di tecniche per la visualizzazione più conveniente dei risultati della simulazione al computer.
In vari studi sui campi di temperatura si pone il problema della presentazione visiva dei risultati, ad esempio le temperature sulle mappe meteorologiche. Per fare ciò, puoi disegnare isoterme sullo sfondo della mappa. Ma è possibile ottenere una visualizzazione ancora maggiore, dato che la maggior parte delle persone tende a percepire il rosso come "caldo", il blu come "freddo". La transizione lungo lo spettro dal rosso al blu riflette le temperature intermedie.
Lo stesso può essere fatto quando si illustra il campo di temperatura sia sulla superficie di un pezzo lavorato che sulla superficie di un pianeta lontano.
Quando si modellano molecole organiche complesse, un computer può produrre risultati sotto forma di un'immagine multicolore, in cui gli atomi di idrogeno sono raffigurati in un colore, gli atomi di carbonio in un altro, ecc., e l'atomo è rappresentato da una palla (cerchio) , all'interno del quale la densità del colore cambia in accordo con la distribuzione della densità elettronica. Durante la ricerca di minerali utilizzando la fotografia aerea da aerei o satelliti spaziali, i computer costruiscono immagini a colori condizionali delle distribuzioni di densità sotto la superficie terrestre.
Le immagini in colori condizionali e contrasti sono il metodo più potente della grafica scientifica. Ti permette di comprendere la struttura non solo di oggetti piatti, ma anche tridimensionali (tridimensionali), offre al ricercatore uno dei meravigliosi metodi di cognizione.
Lo studio della modellazione dell'informazione grafica non deve essere confuso con lo studio delle tecnologie di elaborazione dell'informazione grafica. Quando gli studenti iniziano a studiare modellazione, di solito hanno già familiarità con le tecnologie di base della computer grafica: sanno usare semplici editor grafici, sanno costruire diagrammi in un foglio di calcolo o altro programma adatto.
La costruzione di semplici modelli grafici sotto forma di grafi e strutture gerarchiche è già appropriata nel corso di informatica di base nell'ambito dello studio dell'argomento “Formalizzazione e modellazione”. Costruire un albero genealogico della famiglia, un sistema gerarchico di gestione scolastica, ecc. è un'attività relativamente semplice accessibile alla maggior parte degli studenti. In questo caso, è opportuno utilizzare le capacità illustrative dei sistemi di computer grafica.
Per quanto riguarda l'implementazione autonoma di modelli di grafica scientifica attraverso la programmazione, si tratta di un materiale di maggiore difficoltà, il cui sviluppo pratico è appropriato in un corso di informatica di profilo o nell'ambito di un corso facoltativo finalizzato all'approfondimento della modellazione di processi fisici e di altro tipo.
modello di simulazione riproduce il comportamento di un sistema complesso di elementi interagenti. La modellazione della simulazione è caratterizzata dalla presenza delle seguenti circostanze (contemporaneamente tutte o alcune di esse):
L'oggetto della modellazione è un sistema complesso disomogeneo;
· nel sistema simulato sono presenti fattori di comportamento casuale;
È necessario ottenere una descrizione del processo che si sviluppa nel tempo;
· È fondamentalmente impossibile ottenere risultati di simulazione senza utilizzare un computer.
Lo stato di ogni elemento del sistema simulato è descritto da un insieme di parametri che vengono memorizzati nella memoria del computer sotto forma di tabelle. Le interazioni degli elementi del sistema sono descritte algoritmicamente. La modellazione viene eseguita in modalità passo-passo. Ad ogni passo della simulazione cambiano i valori dei parametri di sistema. Il programma che implementa il modello di simulazione riflette il cambiamento nello stato del sistema, fornendo i valori dei suoi parametri desiderati sotto forma di tabelle in fasi temporali o nella sequenza di eventi che si verificano nel sistema. Per visualizzare i risultati della simulazione, viene spesso utilizzata una rappresentazione grafica, incl. animato.
Simulazione deterministicaIl modello di simulazione si basa sull'imitazione di un processo reale (simulazione). Ad esempio, modellando il cambiamento (dinamica) del numero di microrganismi in una colonia, si possono considerare molti oggetti separati e monitorare il destino di ciascuno di essi, stabilendo determinate condizioni per la sua sopravvivenza, riproduzione
eccetera. Queste condizioni sono generalmente specificate verbalmente. Ad esempio: dopo un certo periodo di tempo, il microrganismo si divide in due parti e dopo un altro (più lungo) periodo di tempo muore. Il rispetto delle condizioni descritte è implementato algoritmicamente nel modello.
Un altro esempio: modellare il movimento delle molecole in un gas, quando ogni molecola è rappresentata come una palla con una certa direzione e velocità di movimento. L'interazione di due molecole o di una molecola con la parete del vaso avviene secondo le leggi della collisione assolutamente elastica ed è facilmente descritta algoritmicamente. L'ottenimento delle caratteristiche integrali (generali, medie) del sistema viene effettuato a livello di elaborazione statistica dei risultati della simulazione.
Un simile esperimento al computer afferma in realtà di riprodurre un esperimento su vasta scala. Alla domanda: "Perché hai bisogno di farlo?" possiamo dare la seguente risposta: la modellazione simulativa ci permette di individuare “in forma pura” le conseguenze delle ipotesi insite nel concetto di micro-eventi (cioè a livello di elementi di sistema), salvandole dall'influenza di altri fattori che sono inevitabili in un esperimento su larga scala, di cui potremmo anche non essere a conoscenza. Se tale modellazione include anche elementi di una descrizione matematica dei processi a livello micro e se il ricercatore non si pone il compito di trovare una strategia per regolare i risultati (ad esempio, controllando il numero di una colonia di microrganismi), allora la differenza tra il modello simulativo e quello matematico (descrittivo) risulta piuttosto arbitrario.
Gli esempi di modelli di simulazione sopra riportati (l'evoluzione di una colonia di microrganismi, il movimento di molecole in un gas) portano a deterministico descrizione dei sistemi . Mancano elementi di probabilità, casualità degli eventi nei sistemi simulati. Considera un esempio di modellazione di un sistema che ha queste qualità.
Modelli di processi casualiChi non si è messo in fila e si è chiesto con impazienza se poteva fare un acquisto (o pagare un affitto, salire su una giostra, ecc.) nel tempo a sua disposizione? Oppure, provando a chiamare l'help desk per telefono e urtando più volte su brevi segnali acustici, innervosirsi e valutare se ce la farò o no? Da tali problemi "semplici" all'inizio del XX secolo è nata una nuova branca della matematica - teoria delle code, utilizzando l'apparato della teoria della probabilità e della statistica matematica, delle equazioni differenziali e dei metodi numerici. Successivamente, si è scoperto che questa teoria ha numerosi sbocchi nell'economia, negli affari militari, nell'organizzazione della produzione, nella biologia e nell'ecologia, ecc.
Simulazione al computer nella risoluzione di problemi di accodamento, implementata nel modulo metodo di prova statistico(metodo Monte Carlo) gioca un ruolo importante. Le possibilità dei metodi analitici per risolvere i problemi di accodamento nella vita reale sono molto limitate, mentre il metodo dei test statistici è universale e relativamente semplice.
Considera il problema più semplice di questa classe. C'è un negozio con un venditore, che include casualmente gli acquirenti. Se il venditore è libero, inizia immediatamente a servire l'acquirente, se sono entrati più acquirenti contemporaneamente, viene creata una coda. Ci sono molte altre situazioni simili:
area di riparazione della flotta e degli autobus che hanno lasciato la linea a causa di un guasto;
· il pronto soccorso ei pazienti che si sono presentati all'accoglienza in occasione di un infortunio (ovvero senza un sistema di appuntamento);
Un centralino con un ingresso (o un operatore telefonico) e gli abbonati che, quando l'ingresso è occupato, vengono messi in coda (tale sistema è talvolta praticato);
· un server di rete locale e macchine personali sul posto di lavoro che inviano un messaggio a un server in grado di accettare ed elaborare non più di un messaggio alla volta.
Il processo dei clienti che arrivano al negozio è un processo casuale. Gli intervalli di tempo tra gli arrivi di una qualsiasi coppia consecutiva di acquirenti sono eventi casuali indipendenti distribuiti secondo una qualche legge, che può essere stabilita solo da numerose osservazioni (o qualche sua variante plausibile è presa per la modellazione). Il secondo processo casuale in questo problema, che non ha nulla a che fare con il primo, è la durata del servizio per ciascuno dei clienti.
Lo scopo della modellazione di sistemi di questo tipo è rispondere a una serie di domande. Una domanda relativamente semplice: qual è il tempo medio che hai per stare in fila per determinate leggi di distribuzione delle suddette variabili casuali? Una domanda più difficile è: qual è la distribuzione dei tempi di attesa del servizio in coda? Una domanda altrettanto difficile è: a quali rapporti dei parametri delle distribuzioni di input si verificherà una crisi, in cui non arriverà mai il turno dell'acquirente appena entrato? Se pensi a questo compito relativamente semplice, le possibili domande si moltiplicheranno.
L'approccio di modellazione si presenta così in termini generali. Formule matematiche utilizzate - leggi di distribuzione delle variabili casuali iniziali; le costanti numeriche utilizzate sono i parametri empirici inclusi in queste formule. Non vengono risolte equazioni che verrebbero utilizzate nello studio analitico di questo problema. Invece, c'è un'imitazione della coda, giocata con l'aiuto di programmi per computer che generano numeri casuali con determinate leggi di distribuzione. Quindi viene eseguita l'elaborazione statistica della totalità dei valori ottenuti delle quantità determinate dagli obiettivi di modellazione dati. Ad esempio, viene trovato il numero ottimale di venditori per diversi periodi di funzionamento del negozio, che garantirà l'assenza di code. L'apparato matematico usato qui è chiamato metodi di statistica matematica.
L'articolo “Modeling Ecological Systems and Processes” 2 descrive un altro esempio di simulazione: uno dei tanti modelli del sistema “predatore-preda”. Gli individui delle specie che sono in queste relazioni, secondo certe regole, contengono elementi di fortuna, si muovono, i predatori mangiano la preda, entrambi si moltiplicano e così via. Tale modello non contiene formule matematiche, ma richiede l'elaborazione statistica dei risultati.
Un esempio di un algoritmo di modello di simulazione deterministico
Si consideri un modello di simulazione dell'evoluzione di una popolazione di organismi viventi, noto come "Vita", facilmente implementabile in qualsiasi linguaggio di programmazione.
Per costruire un algoritmo di gioco, considera un campo quadrato da N+ 1 colonne e righe con numerazione regolare da 0 a N. Per comodità, definiamo le colonne e le righe di confine estreme come una "zona morta", svolgono solo un ruolo ausiliario.
Per ogni cella interna del campo con coordinate ( io, J) puoi definire 8 vicini. Se la cella è "viva", la dipingiamo sopra, se la cella è "morta", essa vuoto.
Stabiliamo le regole del gioco. Se la cella ( io, J) è “vivo” ed è circondato da più di tre cellule “viventi”, muore (per sovrappopolazione). Una cellula “vivente” muore anche se ci sono meno di due cellule “viventi” nel suo ambiente (dalla solitudine). Una cellula “morta” prende vita se intorno ad essa compaiono tre cellule “vive”.
Per comodità, introduciamo un array bidimensionale UN, i cui elementi assumono valore 0 se la cella corrispondente è vuota, e 1 se la cella è “viva”. Quindi l'algoritmo per determinare lo stato della cella con la coordinata ( io, J) può essere definito come segue:
S:= LA + LA +
A+A
LA + LA +
LA + LA;
Se(A=1) E((S > 3) O
(S<)) Poi B := 0;
Se(A=0) E(S=3)
Allora B := 1;
Ecco un array B determina le coordinate del campo nel passaggio successivo. Per tutte le celle interne da io= 1 a N– 1 e J= 1 a N- 1 quanto sopra è vero. Si noti che le generazioni successive sono definite in modo simile, è solo necessario eseguire la procedura di riassegnazione:
Per io:= 1 A N-1 Fare
Per J:= 1 A N-1 Fare
LA := SI;
Sullo schermo del display è più conveniente visualizzare lo stato del campo non in una matrice, ma in forma grafica.
Resta solo da determinare la procedura per impostare la configurazione iniziale del campo di gioco. Quando si determina in modo casuale lo stato iniziale delle celle, l'algoritmo è adatto
Per io:= 1 A K Fare
Inizio K1:= Casuale(N - 1);
K2:= Casuale(N - 1) + 1;
È più interessante per l'utente impostare da solo la configurazione iniziale, che è facile da implementare. Come risultato di esperimenti con questo modello, si possono trovare, ad esempio, insediamenti stabili di organismi viventi che non muoiono mai, rimanendo invariati o cambiando la loro configurazione con un certo periodo. Assolutamente instabile (perire nella seconda generazione) è il reinsediamento della "croce".
Nel corso di informatica di base, gli studenti possono implementare il modello di simulazione "Life" nell'ambito della sezione "Introduzione alla programmazione". Una padronanza più approfondita della modellazione della simulazione può avvenire al liceo in un profilo o in un corso facoltativo in informatica. Questa opzione sarà discussa in seguito.
L'inizio dello studio è una lezione sulla modellazione di simulazione di processi casuali. Nella scuola russa, i concetti di teoria della probabilità e statistica matematica stanno appena iniziando a essere introdotti nel corso di matematica e l'insegnante dovrebbe essere pronto a fare un'introduzione a questo materiale più importante per la formazione di una visione del mondo e di una cultura matematica. Sottolineiamo che si tratta di un'introduzione elementare alla gamma di concetti in discussione; questo può essere fatto in 1-2 ore.
Poi si discutono questioni tecniche relative alla generazione su computer di sequenze di numeri casuali con una data legge di distribuzione. In questo caso ci si può affidare al fatto che in ogni linguaggio di programmazione universale esiste un sensore di numeri casuali uniformemente distribuiti sul segmento da 0 a 1. In questa fase, non è opportuno entrare nella difficile questione dei principi della sua attuazione. Sulla base dei generatori di numeri casuali disponibili, mostriamo come puoi organizzarti
a) un generatore di numeri casuali uniformemente distribuiti su qualsiasi intervallo [ UN, B];
b) un generatore di numeri casuali per quasi tutte le leggi di distribuzione (ad esempio, utilizzando un metodo di "selezione-rifiuto" intuitivamente chiaro).
È consigliabile iniziare la considerazione del problema delle code sopra descritto con una discussione sulla storia della risoluzione dei problemi delle code (il problema di Erlang delle richieste di assistenza alla centrale telefonica). Segue la considerazione del problema più semplice, che può essere formulato utilizzando l'esempio della formazione e della manutenzione di una coda in un negozio con un venditore. Si noti che nella prima fase della modellazione si può presumere che la distribuzione di variabili casuali all'ingresso sia ugualmente probabile, il che, sebbene non realistico, elimina una serie di difficoltà (per generare numeri casuali, è sufficiente utilizzare il sensore integrato nel linguaggio di programmazione ).
Attiriamo l'attenzione degli studenti su quali domande vengono poste in primo luogo quando si modellano sistemi di questo tipo. In primo luogo, questo è il calcolo dei valori medi (aspettative matematiche) di alcune variabili casuali. Ad esempio, qual è il tempo medio di coda allo sportello? Oppure: trova il tempo medio trascorso dal venditore in attesa dell'acquirente.
Il compito dell'insegnante, in particolare, è spiegare che le stesse medie campionarie sono variabili casuali; in un altro campione della stessa dimensione, avranno valori diversi (per campioni di grandi dimensioni, non differiranno troppo l'uno dall'altro). Sono possibili ulteriori opzioni: a un pubblico più preparato, puoi mostrare un metodo per stimare gli intervalli di confidenza in cui si trovano le aspettative matematiche delle corrispondenti variabili casuali per determinate probabilità di confidenza (utilizzando metodi noti dalla statistica matematica senza tentare di comprovare). In un pubblico meno preparato, ci si può limitare a un'affermazione puramente empirica: se in più campioni di uguali dimensioni i valori medi coincidevano in qualche cifra decimale, allora molto probabilmente questo segno è corretto. Se la simulazione non riesce a raggiungere la precisione desiderata, la dimensione del campione dovrebbe essere aumentata.
In un pubblico ancora più preparato matematicamente, si può porre la domanda: qual è la distribuzione delle variabili casuali che sono i risultati della modellazione statistica, date le distribuzioni delle variabili casuali che sono i suoi parametri di input? Poiché la presentazione della corrispondente teoria matematica in questo caso è impossibile, ci si dovrebbe limitare a metodi empirici: costruire istogrammi delle distribuzioni finali e confrontarli con diverse funzioni di distribuzione tipiche.
Dopo aver elaborato le competenze primarie di questa modellazione, passiamo a un modello più realistico in cui i flussi di input di eventi casuali sono distribuiti, ad esempio, secondo Poisson. Ciò richiederà agli studenti di padroneggiare ulteriormente il metodo di generazione di sequenze di numeri casuali con la legge di distribuzione specificata.
Nel problema considerato, come in ogni problema più complesso sulle code, può verificarsi una situazione critica quando la coda cresce indefinitamente nel tempo. Modellare l'approccio a una situazione critica all'aumentare di uno dei parametri è un compito di ricerca interessante per gli studenti più preparati.
Nell'esempio dell'attività sulla coda, vengono elaborati contemporaneamente diversi nuovi concetti e abilità:
concetti di processi casuali;
concetti e competenze di base della modellazione simulativa;
costruzione di modelli di simulazione di ottimizzazione;
· costruzione di modelli multicriterio (risolvendo i problemi del servizio clienti più razionale in combinazione con gli interessi del proprietario del negozio).
Modello matematico - una descrizione approssimativa dell'oggetto modellabile, espressa mediante simboli matematici.
I modelli matematici sono apparsi insieme alla matematica molti secoli fa. Un enorme impulso allo sviluppo della modellazione matematica è stato dato dalla comparsa dei computer. L'uso dei computer ha permesso di analizzare e mettere in pratica molti modelli matematici che prima non erano stati oggetto di ricerca analitica. Modello matematico implementato al computer chiamato modello matematico informatico, UN eseguire calcoli mirati utilizzando un modello computerizzato chiamato esperimento computazionale.
Le fasi della modellazione matematica al computer sono mostrate nella figura. Primo stadio- definizione degli obiettivi di modellazione. Questi obiettivi possono essere diversi:
1) è necessario un modello per capire come funziona un particolare oggetto, qual è la sua struttura, proprietà di base, leggi di sviluppo e interazione con il mondo esterno (comprensione);
2) il modello è necessario per imparare a gestire un oggetto (o processo) e determinare i modi migliori per gestirlo per determinati obiettivi e criteri (gestione);
3) il modello è necessario per prevedere le conseguenze dirette e indirette dell'implementazione dei metodi e delle forme di impatto specificati sull'oggetto (previsione).
Spieghiamo con esempi. Sia oggetto di studio l'interazione di un flusso liquido o gassoso con un corpo che è un ostacolo a questo flusso. L'esperienza mostra che la forza di resistenza al flusso dal lato del corpo aumenta con l'aumentare della velocità del flusso, ma a una velocità sufficientemente elevata, questa forza diminuisce bruscamente per aumentare di nuovo con un ulteriore aumento della velocità. Cosa ha causato la diminuzione della forza di resistenza? La modellazione matematica ci consente di ottenere una risposta chiara: al momento di una brusca diminuzione della resistenza, i vortici formatisi nel flusso di liquido o gas dietro il corpo aerodinamico iniziano a staccarsi da esso e vengono portati via dal flusso.
Un esempio da un'area completamente diversa: coesistendo pacificamente con un numero stabile di popolazioni di due specie di individui con una base alimentare comune, "improvvisamente" iniziano a cambiare drasticamente il loro numero. E qui la modellazione matematica permette (con un certo grado di certezza) di stabilire la causa (o almeno di confutare una certa ipotesi).
Lo sviluppo del concetto di gestione degli oggetti è un altro possibile obiettivo della modellazione. Quale modalità di volo dell'aeromobile dovrebbe essere scelta affinché il volo sia sicuro ed economicamente più vantaggioso? Come programmare centinaia di tipi di lavoro per la costruzione di una grande struttura in modo che finisca il prima possibile? Molti di questi problemi sorgono sistematicamente davanti a economisti, progettisti e scienziati.
Infine, prevedere le conseguenze di determinati impatti su un oggetto può essere sia una questione relativamente semplice in sistemi fisici semplici, sia estremamente complessa - al limite della fattibilità - in sistemi biologici, economici, sociali. Se è relativamente facile rispondere alla domanda sul cambiamento della modalità di propagazione del calore in un'asta sottile con cambiamenti nella sua lega costitutiva, allora è incomparabilmente più difficile tracciare (prevedere) le conseguenze ambientali e climatiche della costruzione di un grande centrale idroelettrica o le conseguenze sociali dei cambiamenti nella legislazione fiscale. Forse, anche in questo caso, i metodi di modellazione matematica forniranno un aiuto più significativo in futuro.
La seconda fase: determinazione dei parametri di input e output del modello; suddivisione dei parametri di input in base al grado di importanza dell'impatto delle loro modifiche sull'output. Questo processo è chiamato classifica o divisione per rango (cfr . “Formalizzazione e modellazione”).
La terza fase: costruzione di un modello matematico. In questa fase si passa dalla formulazione astratta del modello a una formulazione che ha una specifica rappresentazione matematica. Un modello matematico è costituito da equazioni, sistemi di equazioni, sistemi di disuguaglianze, equazioni differenziali o sistemi di tali equazioni, ecc.
La quarta fase: la scelta di un metodo per lo studio del modello matematico. Molto spesso qui vengono utilizzati metodi numerici, che si prestano bene alla programmazione. Di norma, diversi metodi sono adatti per risolvere lo stesso problema, differendo per precisione, stabilità, ecc. Il successo dell'intero processo di modellazione dipende spesso dalla corretta scelta del metodo.
La quinta fase: lo sviluppo di un algoritmo, la compilazione e il debug di un programma per computer è un processo difficile da formalizzare. Dei linguaggi di programmazione, molti professionisti per la modellazione matematica preferiscono FORTRAN: sia per tradizione, sia per l'insuperabile efficienza dei compilatori (per il lavoro computazionale) e la presenza di enormi librerie, accuratamente debuggate e ottimizzate di programmi standard di metodi matematici scritti in Esso. Sono in uso anche linguaggi come PASCAL, BASIC, C, a seconda della natura del compito e delle inclinazioni del programmatore.
Sesta fase: testare il programma. Il funzionamento del programma viene testato su un problema di test con una risposta nota. Questo è solo l'inizio di una procedura di sperimentazione difficile da descrivere in modo formalmente esaustivo. Solitamente il collaudo termina quando l'utente, in base alle sue caratteristiche professionali, ritiene corretto il programma.
La settima fase: l'esperimento computazionale vero e proprio, durante il quale si scopre se il modello corrisponde a un oggetto (processo) reale. Il modello è sufficientemente adeguato al processo reale se alcune caratteristiche del processo ottenute al computer coincidono con le caratteristiche ottenute sperimentalmente con un dato grado di accuratezza. Se il modello non corrisponde al processo reale, si ritorna a una delle fasi precedenti.
La classificazione dei modelli matematici può basarsi su vari principi. È possibile classificare i modelli per branche della scienza (modelli matematici in fisica, biologia, sociologia, ecc.). Può essere classificato in base all'apparato matematico applicato (modelli basati sull'uso di equazioni differenziali ordinarie, equazioni alle derivate parziali, metodi stocastici, trasformazioni algebriche discrete, ecc.). Infine, se procediamo dai compiti generali di modellazione in diverse scienze, indipendentemente dall'apparato matematico, la seguente classificazione è molto naturale:
modelli descrittivi (descrittivi);
· modelli di ottimizzazione;
· modelli multicriterio;
modelli di gioco.
Spieghiamo questo con degli esempi.
Modelli descrittivi (descrittivi). Ad esempio, vengono effettuate simulazioni del moto di una cometa che invade il sistema solare per prevedere la sua traiettoria di volo, la distanza che percorrerà dalla Terra e così via. In questo caso, gli obiettivi della modellazione sono descrittivi, poiché non c'è modo di influenzare il moto della cometa, di cambiare qualcosa in essa.
I modelli di ottimizzazione vengono utilizzati per descrivere i processi che possono essere influenzati nel tentativo di raggiungere un determinato obiettivo. In questo caso, il modello include uno o più parametri che possono essere influenzati. Ad esempio, modificando il regime termico in un granaio, si può fissare l'obiettivo di scegliere tale regime al fine di ottenere la massima conservazione del grano, ad es. ottimizzare il processo di archiviazione.
modelli multicriterio. Spesso è necessario ottimizzare il processo in più parametri contemporaneamente e gli obiettivi possono essere molto contraddittori. Ad esempio, conoscendo i prezzi del cibo e il fabbisogno di cibo di una persona, è necessario organizzare pasti per grandi gruppi di persone (nell'esercito, campo estivo per bambini, ecc.) in modo fisiologicamente corretto e, allo stesso tempo, il più economico possibile. È chiaro che questi obiettivi non coincidono affatto; durante la modellazione, verranno utilizzati diversi criteri, tra i quali è necessario cercare un equilibrio.
I modelli di gioco possono essere correlati non solo ai giochi per computer, ma anche a cose molto serie. Ad esempio, prima di una battaglia, se ci sono informazioni incomplete sull'esercito avversario, il comandante deve sviluppare un piano: in quale ordine portare in battaglia determinate unità, ecc., Tenendo conto della possibile reazione del nemico. Esiste una sezione speciale della matematica moderna - la teoria dei giochi - che studia i metodi del processo decisionale in condizioni di informazioni incomplete.
Nel corso scolastico di informatica, gli studenti ricevono un'idea iniziale di modellazione matematica al computer come parte del corso base. Al liceo, la modellazione matematica può essere approfondita in un corso di istruzione generale per classi di fisica e matematica, nonché all'interno di un corso facoltativo specializzato.
Le principali forme di insegnamento della modellazione matematica al computer nelle scuole superiori sono lezioni frontali, laboratori e corsi di credito. Di solito, il lavoro di creazione e preparazione per lo studio di ogni nuovo modello richiede 3-4 lezioni. Nel corso della presentazione del materiale vengono fissati i compiti, che in futuro dovrebbero essere risolti dagli studenti da soli, in termini generali, vengono delineati i modi per risolverli. Vengono formulate domande, le cui risposte dovrebbero essere ottenute durante l'esecuzione di compiti. Viene indicata letteratura aggiuntiva, che consente di ottenere informazioni ausiliarie per completare con successo i compiti.
La forma di organizzazione delle lezioni nello studio di nuovo materiale è solitamente una lezione. Dopo aver completato la discussione del modello successivo, gli studenti hanno a disposizione le informazioni teoriche necessarie e una serie di compiti per ulteriori lavori. In preparazione per il compito, gli studenti scelgono il metodo di soluzione appropriato, utilizzando una soluzione privata nota, testano il programma sviluppato. In caso di difficoltà del tutto possibili nell'esecuzione dei compiti, viene data consultazione, viene proposta una proposta per elaborare queste sezioni in modo più dettagliato nella letteratura.
Il più rilevante per la parte pratica dell'insegnamento della modellazione al computer è il metodo dei progetti. Il compito è formulato per lo studente sotto forma di progetto educativo e si svolge in più lezioni, e la principale forma organizzativa in questo caso è il lavoro di laboratorio informatico. Imparare a modellare utilizzando il metodo del progetto di apprendimento può essere implementato a diversi livelli. Il primo è una dichiarazione del problema del processo di implementazione del progetto, che è guidato dall'insegnante. Il secondo è l'attuazione del progetto da parte degli studenti sotto la guida di un insegnante. Il terzo è l'implementazione indipendente da parte degli studenti di un progetto di ricerca educativa.
I risultati del lavoro dovrebbero essere presentati in forma numerica, sotto forma di grafici, diagrammi. Se possibile, il processo viene presentato sullo schermo del computer in modo dinamico. Al completamento dei calcoli e alla ricezione dei risultati, questi vengono analizzati, confrontati con fatti noti della teoria, l'affidabilità viene confermata e viene eseguita un'interpretazione significativa, che si riflette successivamente in una relazione scritta.
Se i risultati soddisfano lo studente e l'insegnante, il lavoro è considerato completato e la sua fase finale è la preparazione di una relazione. La relazione include brevi informazioni teoriche sull'argomento in studio, la formulazione matematica del problema, l'algoritmo di soluzione e la sua giustificazione, un programma per computer, i risultati del programma, l'analisi dei risultati e delle conclusioni, un elenco di riferimenti.
Quando tutte le relazioni sono state redatte, durante la sessione di test, gli studenti fanno brevi relazioni sul lavoro svolto, difendono il loro progetto. Questa è una forma efficace di relazione del team di progetto alla classe, che include l'impostazione del problema, la costruzione di un modello formale, la scelta dei metodi per lavorare con il modello, l'implementazione del modello su un computer, il lavoro con il modello finito, l'interpretazione dei risultati, previsione. Di conseguenza, gli studenti possono ricevere due voti: il primo - per l'elaborazione del progetto e il successo della sua difesa, il secondo - per il programma, l'ottimalità del suo algoritmo, interfaccia, ecc. Gli studenti ricevono anche voti nel corso dei sondaggi sulla teoria.
Una domanda essenziale è che tipo di strumenti utilizzare nel corso di informatica scolastica per la modellazione matematica? L'implementazione al computer dei modelli può essere eseguita:
utilizzando un foglio di calcolo (solitamente MS Excel);
· realizzando programmi nei linguaggi di programmazione tradizionali (Pascal, BASIC, ecc.), nonché nelle loro versioni moderne (Delphi, Visual Basic for Application, ecc.);
· con l'ausilio di speciali pacchetti software per la risoluzione di problemi matematici (MathCAD, ecc.).
A livello di scuola elementare, il primo rimedio sembra essere quello preferito. Tuttavia, al liceo, quando la programmazione è, insieme alla modellazione, un argomento chiave dell'informatica, è auspicabile coinvolgerla come strumento di modellazione. Nel processo di programmazione, i dettagli delle procedure matematiche diventano disponibili agli studenti; inoltre, sono semplicemente costretti a padroneggiarli, e questo contribuisce anche all'educazione matematica. Per quanto riguarda l'uso di pacchetti software speciali, questo è appropriato in un corso di informatica di profilo come supplemento ad altri strumenti.
4. Modellazione dei processi globaliI modelli utilizzati in varie scienze (fisica, biologia, economia, ecc.) sono immagini matematiche di processi e fenomeni relativamente isolati. Ognuno di essi ti consente di risolvere problemi importanti per una particolare scienza o tipo di attività. Ma tutto questo, nella sua importanza umana universale, è inferiore alla domanda più significativa per le persone: qual è il prossimo futuro dell'umanità come specie nel suo insieme? Come si svilupperà il mondo nel prossimo futuro? Sottolineiamo che non stiamo parlando di previsioni politiche o economiche per un particolare paese o società, ma dell'umanità nel suo insieme: qual è il suo futuro (viviamo tutti sulla Terra)?
Le persone nella vita attuale hanno molti problemi specifici e sono poco inclini a tali riflessioni generali. La vita di un individuo è troppo breve, e anche un secolo o due fa, i cambiamenti globali nel mondo durante la vita di una persona erano appena percettibili, anche se viveva in un'epoca piuttosto turbolenta. Ma nel XX secolo, il ritmo degli eventi è accelerato come mai prima nella storia dell'umanità. Le previsioni di future catastrofi globali iniziarono a suonare sempre più spesso: la morte della natura a causa dell'inquinamento industriale, la comparsa di "buchi di ozono" nella stratosfera che ci protegge dalle radiazioni cosmiche, l'esaurimento delle strutture di riproduzione dell'ossigeno a causa della massiccia deforestazione, eccetera. Anche un evento meno catastrofico - per esempio, l'esaurimento delle risorse naturali - può portare a cambiamenti radicali nel modo di vivere dell'umanità, e specialmente nei paesi che oggi sono i più industrializzati.
Il futuro dell'umanità è determinato da un numero enorme di processi, in parte controllati da esso, in parte no, e questi processi sono così interconnessi e hanno conseguenze così contraddittorie che solo la loro modellazione matematica nel loro intero insieme ragionevole, implementata sui computer moderni, può fornire una previsione qualitativamente corretta. Non importa quanto sia grande l'inevitabile ingrossamento della realtà in una tale simulazione, ci sono così tanti fattori di fondamentale importanza che anche la mente più potente non può tracciare la loro interazione.
I modelli corrispondenti, denominati globale(completo), apparso per la prima volta negli anni '70 del secolo scorso. I modelli più famosi sono WORLD-1 (MIR-1), WORLD-2, WORLD-3, formulati e studiati da un gruppo di dipendenti del Massachusetts Institute of Technology (USA) sotto la guida di D.Kh. Meadows e D. Forrester. I risultati del loro lavoro un tempo hanno fatto scalpore nel mondo, perché la maggior parte degli scenari per il possibile sviluppo degli eventi ha portato alla finale, che può essere definita la fine del mondo (ovviamente, dal punto di vista di umanità). Allo stesso tempo, gli autori hanno ripetutamente sottolineato che non si tratta di un futuro prestabilito, ma della scelta delle vie per lo sviluppo dell'umanità, tra le quali ci sono quelle che portano alla stabilità, all'esistenza prospera dell'umanità.
Quale può essere la causa di una possibile instabilità? Una caratteristica della vita umana nell'era successiva all'inizio della rivoluzione industriale è stata la crescita rapida, spesso esponenziale, di molti indicatori. Il periodo di raddoppio della popolazione della Terra è di circa 40 anni (la presenza di un periodo così costante è una caratteristica della crescita esponenziale). I biologi e gli ecologi sanno bene che la crescita esponenziale della popolazione spesso finisce in un disastro: le fonti che ne supportano l'esistenza sono esaurite. Dal punto di vista dell'esistenza di una specie, questa non è una tragedia (tranne casi unici in cui una data specie è ridotta a una popolazione). Tuttavia, nel nostro tempo, l'umanità ha esaurito quasi tutte le risorse per un'ampia crescita ed espansione "in ampiezza". Anche il volume della produzione industriale nel XX secolo è aumentato in modo quasi esponenziale con un tasso di crescita annuo medio del 3,3%. Ciò porta all'esaurimento delle risorse naturali: minerali, acqua pulita, aria pulita. Il contenuto di uno dei composti stabili del carbonio (anidride carbonica) nell'atmosfera a seguito della combustione di combustibili fossili e dell'esaurimento delle foreste è aumentato di un terzo dall'inizio del secolo; potenzialmente questo porta al riscaldamento globale sulla Terra con le conseguenze più catastrofiche. Più persone, più cibo è necessario e l'applicazione mondiale di fertilizzanti minerali sta crescendo in modo esponenziale, raddoppiando in circa 15 anni. È chiaro e senza alcun modello che una vita del genere con la crescita sfrenata di tutto e di tutto non può durare a lungo - e ora "lunga" è paragonabile alla durata della vita di due o tre generazioni.
La difficoltà di tracciare le conseguenze di un tale corso di eventi sta anche nel fatto che ogni singolo processo globale non può essere definito inequivocabilmente "buono" o "cattivo" in termini di influenza sul destino dell'umanità. Ad esempio, un aumento della produzione di fertilizzanti porta ad un aumento della produzione alimentare - questo è "buono". Ma è "cattivo" che lo stesso processo porti a una diminuzione della fornitura di acqua dolce pulita, che viene rovinata dai fertilizzanti che penetrano attraverso il suolo con la pioggia nei fiumi e nelle fonti sotterranee. Inoltre, un aumento della produzione di fertilizzanti comporta la necessità di aumentare la produzione di energia e il conseguente inquinamento chimico e termico del suolo, dell'atmosfera, ecc. È possibile valutare l'impatto di tali situazioni sullo sviluppo dell'umanità solo tenendo conto simultaneamente di tutti i fattori.
Ci sono opportunità per evitare conseguenze catastrofiche per lo sviluppo umano? A seguito della modellazione sono state formulate le seguenti tre regole, il cui rispetto, secondo gli autori dei modelli, è necessario per la sostenibilità globale:
1. Per le risorse rinnovabili (foreste, acqua, pesci, ecc.), il tasso di consumo non dovrebbe superare il tasso di recupero naturale.
2. Per le risorse non rinnovabili (carbone, petrolio, minerali, ecc.), il tasso di consumo non dovrebbe superare il tasso di sostituzione con risorse rinnovabili (sviluppo dell'energia solare ed eolica, piantagione di foreste, ecc.) e il tasso di sviluppo delle nuove tecnologie per garantire un cambiamento delle risorse; in modo che dopo la scomparsa, ad esempio, del petrolio, sia assicurato un afflusso di energia da una nuova risorsa.
3. Per gli inquinanti, il tasso massimo di emissione non dovrebbe superare il tasso al quale tali sostanze vengono lavorate o perdono le loro proprietà dannose per l'ambiente.
Attualmente, l'umanità, purtroppo, non è guidata da queste regole. Se nei secoli passati questo non rappresentava un pericolo per la specie nel suo insieme, oggi la situazione è cambiata.
Descriviamo brevemente uno dei modelli globali: WORLD-3 (MIR-3). Il modello si compone di cinque settori:
inquinamento persistente;
risorse non rinnovabili;
· popolazione;
agricoltura (produzione alimentare, fertilità del suolo, sviluppo del territorio);
Economia (produzione industriale, produzione di servizi, lavoro).
Le relazioni primarie sono iniziali, come:
popolazione e stock di capitale industriale;
popolazione e superficie dei terreni coltivati;
· l'area dei terreni coltivati e il volume del capitale industriale;
· il numero di abitanti e il capitale del settore dei servizi;
· capitale del settore dei servizi e capitale industriale, ecc.
In ogni settore, tutte le relazioni primarie sono tracciate ed espresse da relazioni matematiche. Se necessario, vengono presi in considerazione i processi di ritardo materiale e informativo, poiché la reazione, ad esempio, della popolazione a una migliore alimentazione non è istantanea, ma ritardata. Questo è tipico per la maggior parte dei processi in esame.
Il modello WORLD-3 ha caratteristiche descrittive e di ottimizzazione. Il suo scopo principale è quello di presentare possibili modi per l'economia (nel senso ampio del termine) per raggiungere una tale popolazione del pianeta che può essere sostenuta dall'ambiente indefinitamente. Non prevede lo sviluppo di un determinato paese, non risolve problemi locali. Il modello presuppone che esista una comunità globale sulla Terra.
La dinamica della popolazione è una caratteristica integrale che incorpora tutti i fattori. A livello puramente speculativo, sono possibili due tipi di dinamiche stabili (crescita continua o un graduale avvicinamento all'equilibrio) e tre tipi di dinamiche instabili associate al superamento dei limiti consentiti (oscillazioni con successivo raggiungimento di uno stato stazionario, oscillazioni caotiche e collasso, ovvero la scomparsa della specie). La crescita continua sembra del tutto irrealistica, l'ultima delle dinamiche instabili è una tragedia per l'umanità e dietro le forti fluttuazioni, come puoi immaginare, ci sono guerre, epidemie, carestie - ciò che spesso accade nella realtà.
Nella figura sono mostrate le relazioni tipiche del modello WORLD, che trovano espressione con mezzi matematici (equazioni differenziali ed “ordinarie”). Mostra i legami tra popolazione, capitale industriale, superficie coltivata e inquinamento ambientale. Ogni freccia nella figura indica la presenza di una relazione causale, che può essere immediata o ritardata, positiva o negativa.
Cicli di feedback su dimensione della popolazione, capitale, produzione agricola e inquinamento ambientale
I concetti di feedback positivo e negativo sono tratti dalla teoria del controllo automatico (sezione di cibernetica). Viene chiamata una relazione causale tra due elementi negativo, se il cambiamento in un elemento viene trasferito al secondo, ritorna da esso al primo e lo cambia nella direzione opposta all'originale (sopprime), e positivo se questo cambiamento, tornando al primo, lo rafforza. Se non ci sono due elementi, ma di più, allora dicono ciclo di feedback, attraverso il quale il segnale passa in circolo, ritornando alla sorgente e influenzandola.
Alcune serie di tali disegni esauriscono graficamente il modello WORLD. Tuttavia, dietro ogni freccia ci sono relazioni primarie e dietro ognuna di esse ci sono equazioni che includono un numero di parametri. In effetti, sono i valori di questi parametri che determinano i risultati, quindi la loro analisi coinvolge sia numerosi specialisti ristretti sia molti dati empirici (statistici) raccolti in dozzine di libri di riferimento, rapporti delle Nazioni Unite e singoli stati. Il numero di variabili correlate nel modello WORLD-3 è 225 e ci sono ancora più parametri.
Gli "scenari" pubblicati dello sviluppo umano, seguendo i modelli WORLD, coprono il periodo dal 1900 al 2100. I primi 100 anni, già trascorsi, consentono di “mettere a punto” il modello, per determinarne il grado di affidabilità.
Il primo degli scenari si basa sull'ipotesi che tutto si svilupperà senza grandi cambiamenti, cataclismi politici globali, senza troppi sforzi per conservare le risorse e ridurre l'inquinamento ambientale. Il modello prevede i risultati catastrofici di un tale sviluppo.
Allo stesso tempo, il modello WORLD consente di trovare modalità di sviluppo regolato, che portano a un comportamento regolare ("sigmoideo") delle principali variabili. Questo percorso è associato all'autocontrollo e al passaggio a tecnologie industriali e agricole migliorate.
La pianificazione è la fase più importante dell'attività economica e gestionale. L'oggetto della pianificazione può essere l'attività di una suddivisione o l'intera impresa, industria o agricoltura, una regione e, infine, uno stato.
La formulazione del problema di pianificazione nel caso generale è la seguente:
Sono previsti alcuni indicatori: X, Y, …;
Sono disponibili alcune risorse: R 1, R 2, ..., grazie al quale è possibile raggiungere questi indicatori pianificati;
· esiste un determinato obiettivo strategico, dipendente dai valori degli indicatori pianificati, su cui orientare la pianificazione.
Problema di pianificazione ottimale è determinare i valori degli indicatori pianificati, tenendo conto delle risorse limitate, subordinatamente al raggiungimento dell'obiettivo strategico.
Facciamo degli esempi. Lascia che l'oggetto della pianificazione sia un asilo. Ci limitiamo a due soli indicatori previsti: il numero di bambini e il numero di educatori. Le risorse principali per le attività dell'asilo sono l'ammontare del finanziamento e la dimensione dei locali. Quali sono gli obiettivi strategici? Naturalmente, uno di questi è la conservazione e il rafforzamento della salute dei bambini. La misura quantitativa di questo obiettivo è minimizzare l'incidenza degli alunni della scuola dell'infanzia.
Un altro esempio è la pianificazione dell'attività economica dello Stato. Naturalmente, questo è un compito troppo complesso per un'analisi dettagliata. Sono previsti molti indicatori: la produzione di vari tipi di prodotti industriali e agricoli, la formazione di specialisti, la generazione di elettricità, i salari dei lavoratori del settore pubblico e molto altro. Le risorse includono: il numero della popolazione abile, il bilancio statale, le risorse naturali, l'energia, le possibilità dei sistemi di trasporto, ecc. Naturalmente, ciascuno di questi tipi di risorse è limitato. Inoltre, la risorsa più importante è il tempo assegnato per l'attuazione del piano.
La questione degli obiettivi strategici in questo caso è molto complicata. Lo stato ne ha molti, ma in diversi periodi storici le priorità possono cambiare. Ad esempio, in tempo di guerra, l'obiettivo principale è la massima capacità di difesa, la potenza militare del paese. In tempo di pace, in un moderno stato civile, l'obiettivo prioritario dovrebbe essere quello di raggiungere il massimo tenore di vita per la popolazione.
La soluzione dei problemi di pianificazione ottimale è molto spesso complessa e inaccessibile utilizzando solo l'esperienza umana (metodi empirici). Per risolvere tali problemi, a modello matematico A che stabilisce una relazione tra i parametri dell'attività. Quindi, la pianificazione ottimale viene effettuata applicando modelli matematici. Di norma, tali modelli per situazioni reali non sono suscettibili di soluzione analitica, pertanto vengono utilizzati metodi di soluzione numerica implementati su un computer.
Un esempio di un modello matematico di pianificazione ottimale
Consideriamo un semplice esempio con l'aiuto del quale è possibile farsi un'idea di una delle classi di problemi di pianificazione ottimale.
La pasticceria della scuola prepara torte e dolci. A causa della limitata capacità del magazzino, non è possibile preparare più di 700 prodotti al giorno. La giornata lavorativa in pasticceria dura 8 ore. Poiché la produzione di torte è più laboriosa, se solo vengono prodotte, non se ne possono produrre più di 250 al giorno, mentre si possono produrre 1000 torte (se non si producono torte contemporaneamente). Il costo di una torta è il doppio di quello di una torta. È necessario elaborare un piano di produzione giornaliero che fornisca al negozio di dolciumi le maggiori entrate.
Formuliamo questo problema matematicamente. Gli indicatori pianificati sono:
x - piano giornaliero per il rilascio di torte;
y - piano giornaliero per la produzione di torte.
Le risorse di produzione sono:
Orario di lavoro - 8 ore;
· Capacità di stoccaggio - 700 posti.
Otterremo i rapporti che seguono dalle condizioni per il tempo limitato dell'officina e la capacità del magazzino, cioè il numero totale di prodotti. Dall'enunciazione del problema ne consegue che la produzione di una torta richiede 4 volte più tempo di 1 torta. Se indichi l'ora di fare la torta T min., quindi il tempo di preparazione della torta è 4 T min. Pertanto, il tempo totale di produzione X torte e si torte tx+ 4ty=(X+ 4si)T. Ma questa volta non può essere superiore alla durata della giornata lavorativa. Ciò implica la disuguaglianza ( X + 4si)T 8 ? 60, o ( X + 4si)T 480.
Poiché in una giornata lavorativa si possono fare 1000 torte, per una si impiegano 480/1000 = 0,48 minuti. Sostituendo questo valore nella disuguaglianza, otteniamo: ( X + 4si) ? 0,48 480. Da qui X + 4si 1000. Il limite sul numero totale di prodotti dà un'evidente disuguaglianza X+ si 700.
Alle due disuguaglianze ottenute vanno aggiunte le condizioni per la positività dei valori delle grandezze X E si(non può esserci un numero negativo di torte e dolci). Di conseguenza, abbiamo un sistema di disuguaglianze:
X + 4si 1000,X + si 700, X 0, si 0 ()
Formalizziamo l'obiettivo strategico: ottenere il massimo ricavo. I ricavi sono il valore di tutti i prodotti venduti. Facciamo il prezzo di una torta R rubli. A seconda delle condizioni del problema, il prezzo di una torta è il doppio, ad es. 2 R rubli. Quindi, il costo di tutta la produzione giornaliera è pari a rx + 2ry = R(X + 2si). Lo scopo della produzione è massimizzare le entrate. Considereremo l'espressione scritta in funzione di X,si:F(x, y)= R(X + 2si). Perché il Rè una costante, quindi il valore massimo F(x, y) verrà raggiunto al valore massimo dell'espressione X + 2si. Pertanto, come funzione, il cui massimo corrisponde all'obiettivo strategico, possiamo prendere
F(X, si) = X + 2si ()
Pertanto, l'ottenimento del piano ottimale è stato ridotto al seguente problema matematico: trovare i valori degli indicatori pianificati x e y che soddisfano il sistema di disuguaglianze()e dando il valore massimo della funzione obiettivo().
L'esempio precedente appartiene alla classe dei compiti programmazione lineare. Esistono diverse classi di problemi nella teoria della pianificazione ottimale, di cui la programmazione lineare è la più semplice. Lo studio dei metodi matematici per risolvere tali problemi va oltre gli obiettivi dell'istruzione scolastica.
Allo stesso tempo, sarebbe illogico limitarsi alla formulazione teorica di problemi di pianificazione ottima. Le moderne tecnologie dell'informazione consentono di risolvere alcuni problemi di pianificazione ottimale (e, in particolare, di programmazione lineare) senza penetrare nell'essenza dei metodi matematici applicati. In particolare, tali strumenti sono disponibili nel foglio di calcolo Excel e, sulla base di essi, è possibile mostrare agli studenti come risolvere problemi specifici. Lo strumento in questione si chiama Trova soluzione, il comando corrispondente si trova nel menu Strumenti. Descriviamo brevemente come utilizzare lo strumento indicato per risolvere il problema di cui sopra.
Per prima cosa, prepariamo una tabella per risolvere il problema di pianificazione ottimale.
Le celle B5 e C5 sono riservate, rispettivamente, ai valori X(piano per fare torte) e si(piano per fare torte). Le parti di sinistra delle disuguaglianze sono nella colonna B, le parti di destra sono nella colonna D; segni "<=” и т.д. в столбце С программой реально не используются. Целевая функция занесена в ячейку В15.
Chiamiamo il programma di ottimizzazione e diciamogli dove si trovano i dati. Per fare ciò, esegui il comando Yu Service Yu Cerca una soluzione. Sullo schermo si aprirà l'apposito form. Agiremo secondo il seguente algoritmo:
1. Immettere la coordinata della cella con la funzione obiettivo. Nel nostro caso, questo è B15. (Si noti che se si posiziona prima il cursore sulla cella B15, l'immissione avverrà automaticamente.)
2. Seleziona la casella "Uguale al valore massimo", ad es. Diciamo al programma che ci interessa trovare il massimo della funzione obiettivo.
3. Nel campo "Cambiamento celle", inserisci B5:C5, ad es. ti diremo quale posto è riservato ai valori delle variabili - indicatori pianificati.
4. Nel campo "Restrizioni", inserire le informazioni sulle disuguaglianze dei vincoli, che assomigliano a: B10<=D10; B11<=D11; B12>=D12; B13>=D13. Le restrizioni sono inserite come segue:
Fare clic sul pulsante "Aggiungi";
Nella finestra di dialogo "Aggiunta di un vincolo" che appare, inserisci un riferimento alla cella B10, seleziona il segno di disuguaglianza "<=” и вводим ссылку на ячейку D10; снова щелкаем по кнопке “Добавить”, аналогично вводим второе ограничение B11<=D11 и т.д.
5. Chiudere la finestra di dialogo Aggiungi vincolo. Davanti a noi c'è il modulo preparato "Cerca una soluzione".
6. Fare clic sul pulsante "Esegui": la soluzione ottimale appare nelle celle B5 e C5 (numeri 600 e 100), nonché il numero 800 nella cella B15 - il valore massimo della funzione obiettivo.
La scienza fisica è stata indissolubilmente legata alla modellazione matematica sin dai tempi di Isaac Newton (XVII-XVIII secolo). I. Newton ha scoperto le leggi fondamentali della meccanica, la legge della gravitazione universale, descrivendole nel linguaggio della matematica. I. Newton (insieme a G. Leibniz) sviluppò il calcolo differenziale e integrale, che divenne la base dell'apparato matematico della fisica. Tutte le successive scoperte fisiche (in termodinamica, elettrodinamica, fisica atomica, ecc.) furono presentate sotto forma di leggi e principi descritti in linguaggio matematico, ad es. sotto forma di modelli matematici.
Possiamo dire che la soluzione di qualsiasi problema fisico è teoricamente modellazione matematica. Tuttavia, la possibilità di una soluzione teorica del problema è limitata dal grado di complessità del suo modello matematico. Il modello matematico è tanto più complesso, tanto più complesso è il processo fisico descritto con il suo aiuto e più problematico diventa utilizzare un tale modello per i calcoli.
Nella situazione più semplice, la soluzione del problema può essere ottenuta “manualmente” analiticamente. Nelle situazioni più importanti dal punto di vista pratico, non è possibile trovare una soluzione analitica a causa della complessità matematica del modello. In questo caso, usa metodi numerici risoluzione dei problemi, la cui effettiva implementazione è possibile solo su un computer. In altre parole, la ricerca fisica basata su complessi modelli matematici è svolta da modellazione matematica al computer. A questo proposito, nel XX secolo, insieme alla tradizionale divisione della fisica in teorica e sperimentale, è emersa una nuova direzione: la "fisica computazionale".
Lo studio dei processi fisici su un computer è chiamato esperimento computazionale. La fisica computazionale costruisce così un ponte tra la fisica teorica, da cui trae modelli matematici, e la fisica sperimentale, realizzando un esperimento fisico virtuale su un computer. L'utilizzo della computer grafica nell'elaborazione dei risultati dei calcoli garantisce la visibilità di questi risultati, che è la condizione più importante per la loro percezione e interpretazione da parte del ricercatore.
Un esempio di modellazione matematica di un processo fisicoLa legge fondamentale della meccanica è la seconda legge di Newton, che mette in relazione la forza che agisce su un corpo, la sua massa e l'accelerazione risultante dall'azione della forza. Nella fisica scolastica, questa legge è presentata nella seguente forma:
Ciò implica che forza e massa sono costanti. In questo caso, anche l'accelerazione sarà un valore costante. Pertanto, l'equazione (1) modella il moto uniformemente accelerato di un corpo con una massa costante sotto l'azione di una forza costante.
L'applicabilità di questo modello è limitata. Non può essere utilizzato per calcolare il moto di corpi con massa variabile e forza variabile. Ad esempio, durante il volo di un razzo, la sua massa diminuisce a causa del consumo di carburante, ad es. la massa è una funzione del tempo: M(T). Di conseguenza anche l'accelerazione diventa una variabile e il modello matematico cambierà:
Prendiamo in considerazione che l'accelerazione è una derivata della velocità ( v) nel tempo e descrivi la funzione del cambiamento di massa nel tempo (lascia che sia lineare); otteniamo il seguente modello matematico di moto:
(2)
Qui M 0 - la massa iniziale del razzo, Q(kg / s) - un parametro che determina la velocità di combustione del carburante. L'equazione (2) è un'equazione differenziale, al contrario di un'equazione algebrica lineare (1). Il modello matematico è diventato più complicato! Risolvere l'equazione (2) è molto più difficile di (1). Se teniamo conto anche della possibilità di un cambiamento della forza nel tempo F(T) (la spinta del motore a razzo durante il lancio è una variabile), allora il modello diventerà ancora più complicato:
(3)
Quando i corpi si muovono nell'atmosfera (o in un mezzo liquido), è necessario tener conto della resistenza del mezzo - la forza di attrito. La forza di attrito ha due componenti: proporzionale alla prima potenza della velocità del corpo e proporzionale al suo quadrato. Ora l'equazione del moto assumerà la forma:
,
(4), (5)
Qui K 1 E K 2 - coefficienti empirici. L'equazione (5) mette in relazione la velocità con lo spostamento. Il modello (4)–(5) è diventato più vicino a una situazione fisicamente reale, ma più complicato dal punto di vista matematico. Usandolo, puoi ottenere risposte a domande praticamente importanti. Ad esempio: dato F(T) per determinare per quanto tempo ea quale altitudine il razzo raggiungerà la prima velocità cosmica. Oppure risolvi il problema inverso: quale dovrebbe essere la forza di spinta del motore affinché il razzo raggiunga la prima velocità spaziale a una data quota? Considerando anche il fatto che i coefficienti K 1 E K 2 - variabili, poiché dipendono dalla densità dell'aria atmosferica, che diminuisce con l'altezza, il modello matematico (4)–(5) diventa piuttosto complesso. La soluzione basata su un tale modello dei problemi sopra formulati richiede l'uso di metodi numerici e di un computer.
I metodi numerici sono metodi che riducono la soluzione di qualsiasi problema matematico a calcoli aritmetici. Mostriamo l'applicazione del metodo numerico di soluzione sull'esempio di un problema di meccanica più semplice del problema del volo del razzo. Consideriamo il problema della caduta libera di un corpo di massa costante M sotto l'influenza della gravità costante. Le equazioni del moto che tengono conto della resistenza dell'aria (questo è stato discusso sopra) hanno la forma:
,
(6)
Qui v- componente verticale del vettore velocità. Sia l'altezza iniziale del corpo dal suolo S 0 , e la velocità iniziale - v 0 .
Mostreremo l'applicazione del metodo, detto metodo di Eulero, al calcolo del moto di un corpo in caduta. Il calcolo viene effettuato dal momento iniziale del tempo T= 0 con un piccolo passo temporale finito
(N = 0, 1, 2, …). (8)
Applicando un approccio simile all'equazione (7), otteniamo la formula del metodo di Eulero per calcolare lo spostamento di un corpo in caduta nel tempo:
Avendo i valori iniziali di velocità e spostamento e utilizzando le formule (8), (9), è possibile passo passo calcolare i valori v E S in tempi successivi. Questo processo è facile da programmare ei risultati ottenuti vengono visualizzati sotto forma di tabella numerica e presentati graficamente.
Analisi e interpretazione dei risultatiLa figura mostra il risultato dell'elaborazione grafica della dipendenza numericamente ottenuta della velocità di caduta del corpo nel tempo per un certo insieme di parametri M, K 1 e K 2 .
La dipendenza del tasso di caduta nel tempo, tenendo conto della resistenza dell'aria
La dipendenza non ha nulla a che fare con la variazione lineare di velocità, che si ottiene senza tener conto della resistenza dell'aria. La velocità raggiunge un valore costante nel processo di avvicinamento della forza di resistenza dell'aria alla forza di gravità. Quando sono uguali, il movimento diventa uniforme.
Si noti che il limite di velocità in regime stazionario può essere calcolato analiticamente senza ricorrere a metodi numerici. Uguagliando nella formula (6) dv/dt(accelerazione) a zero, otteniamo che la velocità costante sarà uguale a
Sulla base di questo modello è possibile, ad esempio, risolvere un problema di ottimizzazione formulando la condizione come segue: un paracadutista salta da una certa altezza e vola senza aprire un paracadute; a quale quota (o dopo quanto tempo) deve aprire il paracadute per avere una velocità sicura al momento dell'atterraggio? Un altro problema: in che modo l'altezza del salto è correlata all'area della sezione trasversale del paracadute (inclusa in K 2) in modo che la velocità di atterraggio sia sicura?
Un problema significativo quando si utilizza il metodo numerico descritto è la scelta del passo temporale T. L'accuratezza dei risultati ottenuti e la stabilità della procedura computazionale dipendono da questo valore. Tutti questi problemi sono studiati nella disciplina matematica chiamata "Metodi numerici", o "Matematica computazionale".
La conoscenza degli studenti con modelli informatici di processi fisici nel corso di informatica di base può avvenire a livello di esempi dimostrativi. La figura mostra un esempio di demo di addestramento che simula il volo di un proiettile sparato da un cannone. Il compito assegnato agli studenti è selezionare i parametri (velocità iniziale e angolo di tiro) che assicurano che il proiettile colpisca il bersaglio (questo programma è incluso nella raccolta federale di risorse educative digitali). Sviluppi simili sono disponibili in altre fonti educative.
Il volo di un proiettile sparato da un cannone
Nelle classi senior del profilo fisico e matematico, le questioni relative alla modellazione dei processi fisici dovrebbero essere incluse nel programma di formazione del profilo. Possiamo offrire il seguente elenco di oggetti di modellazione relativi al movimento dei corpi:
Il movimento dei corpi, tenendo conto della resistenza dell'ambiente (caduta libera, movimento di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzonte, decollo di un razzo, ecc.);
· movimento oscillatorio del pendolo, tenendo conto della resistenza del mezzo, oscillazioni forzate, risonanza, ecc.;
· moto dei corpi celesti (problema dei due corpi);
· movimento di particelle cariche in campi elettrici.
Altri tipi di problemi, sulla base dei quali è possibile implementare la modellizzazione dei processi fisici, sono associati alla descrizione dei processi fisici nell'approssimazione di un mezzo continuo e nei campi elettromagnetici:
· modellazione del processo di conduzione del calore, ecc.;
· modellazione di distribuzioni di campi statici - elettrici e magnetici.
Sopra, è stato analizzato in dettaglio un esempio di modellazione della caduta libera di un corpo nell'atmosfera, in cui vengono utilizzate equazioni differenziali e metodi numerici per risolverle. Se la formazione matematica degli studenti non è sufficiente per comprendere questo approccio, allora è possibile costruire immediatamente un modello matematico in forma alle differenze finite, senza utilizzare equazioni differenziali. Dimostriamo come applicare questo approccio.
Ricordiamo agli studenti che l'accelerazione è un incremento della velocità per unità di tempo e la velocità è un incremento dello spostamento per unità di tempo: 
.
I segni di uguaglianza approssimativa indicano che questi rapporti sono tanto più accurati quanto minore è l'intervallo T; entro il limite T 0 diventano accurati.
Se ad un certo punto nel tempo T valore 0 S ha il significato s(t 0) e il valore v- Senso v(t 0), quindi la volta successiva T 1 = T 0 + T avrà:
Si presume che l'accelerazione durante questo periodo di tempo non sia cambiata e sia rimasta uguale a UN(T 0). Qui usiamo anche la notazione F 0 = F(t0), m = m(t0), cioè. il che significa che la forza e la massa possono generalmente essere variabili.
Quando si calcolano i valori v E S in momenti successivi, puoi fare lo stesso. Se i valori sono noti vi E si io nel momento io, Quello
Si ottengono così le stesse formule del metodo di Eulero, ma metodicamente in modo diverso. In questo caso, le equazioni differenziali non sono affatto menzionate.
Quando costruiscono questo e modelli simili, gli studenti dovrebbero prestare attenzione al fatto che nella divisione del tempo continuo in segmenti di lunghezza T si manifesta una delle idee fondamentali dell'informatica sull'universalità di una forma discreta di rappresentazione dell'informazione, riflessa sia nella progettazione di un computer che in molte applicazioni dell'informatica.
Si noti che esistono molti programmi per computer che simulano semplici processi fisici. Implementano un'interfaccia di dialogo che consente di inserire parametri, ottenere tabelle, grafici, immagini in movimento sullo schermo. Tuttavia, quando li si utilizza, le leggi fisiche che determinano il processo, i limiti del modello e le possibilità del suo miglioramento rimangono nascoste. Tali programmi sono utili piuttosto come illustrativi, esplorativi. Gli studenti che studiano informatica a livello di profilo dovrebbero essere orientati verso un'analisi dettagliata dei modelli matematici e lo sviluppo indipendente di programmi.
