Ministero dell'Istruzione e della Scienza della Federazione Russa
Biysk Technological Institute (ramo)
istituto scolastico statale
istruzione professionale superiore
"Università tecnica statale dell'Altai
loro. io. Polzunov"
R.G. Gareva
sintesi di filtri a frequenza lineare
Biysk
Casa editrice dell'Altai State Technical
Università. io. Polzunova
CDU 621.372.54(076.5)
Revisore: Alexandrovich V.M., Ph.D.,
Professore Associato IUS ITV AltSTU
Gareva, R.G.
CON
G 20
sintesi di filtri di frequenza lineare: linee guida per l'attuazione del lavoro di laboratorio sulla disciplina "Trasformazione dei segnali di misura" / R.G. Gareva; Alt. stato tech. un-t, ITV. - Bijsk: Alt. stato tech. un-ta, 2011. - 21 p.
Linee guida contenere riepilogo informazioni teoriche sui filtri elettrici, loro tipologia e caratteristiche principali. Viene considerato in dettaglio il problema della progettazione di filtri continui di tipo Butterworth. basse frequenze, e sulla loro base - filtri passa-banda e filtri passa-alto.
CDU 621.372.54(076.5)
Rivisto e approvato
In una riunione del dipartimento MCIA.
Verbale n. 10 del 30 dicembre 2010
© Gareeva RG, 2011
ITV AltSTU, 2011
| 1 PARTE TEORICA…………………………………….…. | 4 |
| 1.1 Filtri elettrici………….………… | 4 |
| 1.2 Tipi di filtri elettrici………………..………..……. | 4 |
| 1.3 Proprietà dei filtri fisicamente implementati…………..…… | 6 |
| 1.4 Caratteristiche di potenza dei filtri……………………. | 8 |
| 1.5 Fasi di sintesi dei filtri elettrici…………………….. | 9 |
| 1.6 Sintesi di filtri passa-basso continui……..…..…… | 9 |
| 1.7 Sintesi di filtri passa-alto…………………………..… | 16 |
| 1.8 Sintesi di filtri passabanda………………………………..… | 17 |
| 2 PARTE PRATICA…………… …………………………… | 18 |
| 2.1 Opzioni del compito.………………….…………………………. | 18 |
| 2.2 Finalità e obiettivi lavoro di laboratorio.…...…………………… | 18 |
| 2.3 Tutela del lavoro di laboratorio………………………………… | 19 |
| LETTERATURA………………….……………………………….…… | 20 |
La filtrazione o il filtraggio è un processo tecnologico diffuso e applicato.
Filtri elettrici chiamati dispositivi inclusi in un circuito elettrico e progettati per far passare correnti o tensioni di determinate frequenze e attenuare correnti o tensioni di altre frequenze. I filtri elettrici sono costituiti da induttori, condensatori e resistori.
La teoria dei filtri è solitamente divisa in due grandi aree, strettamente correlate tra loro: analisi e sintesi. Il compito dell'analisi è trovare le caratteristiche esterne ed interne del sistema elettrico, la cui struttura è predeterminata, ad esempio, nella forma schema elettrico. Il compito della sintesi è diametralmente opposto: la caratteristica esterna, come il coefficiente di trasferimento della tensione di frequenza, la resistenza di ingresso o di uscita, ecc., È considerata nota. È necessario trovare una struttura circuitale che implementi questa caratteristica.
A differenza dell'analisi, la sintesi della catena è generalmente una procedura ambigua. Pertanto, tra l'insieme delle strutture con le stesse proprietà, è necessario trovare quella che è in un certo senso ottimale. Pertanto, è sempre desiderabile che il circuito sintetizzato contenga il minor numero possibile di elementi. In molti casi è necessario che il circuito sia insensibile alla scelta dei valori degli elementi in esso inclusi.
Considera il problema più semplice di sintetizzare i filtri di frequenza, che sono quadripoli lineari formati da elementi l, CON E R. I dati iniziali per la sintesi in tutti i casi saranno dati dalle caratteristiche ampiezza-frequenza.
1.2 Tipi di filtri elettrici
Esistono i seguenti tipi di filtri:
1) Filtri passa basso (LPF). Lo scopo principale di tali dispositivi è trasmettere segnali all'uscita con un'attenuazione minima, le cui frequenze non superano una determinata frequenza di taglio, chiamata frequenza di taglio del filtro . I segnali a frequenza più alta dovrebbero essere notevolmente attenuati.
Per un filtro passa-basso con una frequenza di taglio, la risposta in frequenza di ampiezza ideale (AFC) è descritta dalla formula
Ed è mostrato in Figura 1.
Figura 1 - Filtro passa basso
2) Filtri passa alto (HPF). Lo scopo principale dell'HPF è la massima attenuazione dei segnali le cui frequenze non superano la frequenza di taglio specificata e l'attenuazione minima dei segnali con frequenze più elevate (Figura 2).
Figura 2 - Filtro passa alto
3) Filtri passa banda
(PF). I filtri passa-banda devono far passare segnali con frequenze che si trovano in una certa banda vicino alla frequenza 
chiamato frequenza centrale della banda passante
, o più frequenze 
... (in questo caso il filtro si chiama multibanda
) (figura 3).
Figura 3 - Filtro passa-banda
4)Filtri notch (trappola).
(RF). Lo scopo principale di tali filtri è sopprimere i segnali le cui frequenze sono importanti 
o situato in una banda stretta rispetto alla frequenza (Figura 4).
Figura 4 - Filtro notch
Consideriamo una caratteristica del sistema più generale della frequenza: la funzione di trasferimento 
. Nella maggior parte dei casi pratici, si ottiene sostituendo la variabile 
nella risposta in frequenza 
ad una variabile 
, dove è l'ascissa di convergenza.
La funzione di trasferimento è introdotta per analogia con la risposta in frequenza 
secondo il rapporto:
,
Dove 
– Immagini di funzioni di Laplace 
:
, 
.
Per sistemi lineari con parametri costanti Funzione di trasmissione sembra:
, (1)
Dove 
è un valore costante;
sono le radici del polinomio numeratore (zero della funzione di trasferimento);
sono le radici del polinomio denominatore (poli della funzione di trasferimento).
Per la stabilità di un filtro elettrico è necessario che i poli della sua funzione di trasferimento abbiano parte reale negativa, cioè che siano situati nel semipiano sinistro del piano complesso, formando coppie coniugate complesse (Figura 5) .
Figura 5 - Localizzazione dei poli di un sistema stabile
Di solito aggiungono condizione aggiuntivaè il numero di zeri della funzione di trasferimento G(P) non deve superare il numero di poli (il grado del polinomio del numeratore della funzione deve essere minore del grado del polinomio del denominatore M N).
In contrasto con i poli, gli zeri della funzione G(P) di un sistema lineare stabile può essere posizionato sia nel semipiano sinistro che nel semipiano destro della variabile P. Vengono chiamati i sistemi che non hanno zeri della funzione di trasferimento nel semipiano destro fase minima .
Posizione degli zeri di funzione G(P) è legato alla struttura topologica della catena. Nella teoria dei circuiti, è dimostrato che qualsiasi rete a quattro terminali per la quale la trasmissione del segnale dall'ingresso all'uscita può essere completamente interrotta interrompendo un singolo ramo sarà la fase minima. Per i filtri elettrici è necessario che il sistema sia a minima fase.
Per la fattibilità fisica di un filtro elettrico deve essere soddisfatto il criterio di Paley-Wiener: la risposta in frequenza deve essere tale che esista l'integrale
(2)
Le caratteristiche di frequenza precedentemente considerate dei filtri ideali (Figure 1-4) sono ovviamente irrealizzabili, poiché l'annullamento della funzione H() rende impossibile l'esistenza dell'integrale (2).
Le caratteristiche ideali devono essere approssimate da tali dipendenze analitiche H(), che tenderebbe a zero, ma non lo raggiunge.
Quando si calcola il grado di trasmissione o non trasmissione da parte di un filtro di un segnale di una certa frequenza, è conveniente utilizzare le caratteristiche di potenza o energia.
Rapporto di trasferimento di potenza È consuetudine chiamare il quadrato del modulo della risposta in frequenza:
In contrasto con la complessa risposta in frequenza, la funzione 
è reale, il che è molto più comodo per impostare i dati iniziali durante la sintesi del filtro. Secondo la formula (3), il coefficiente di trasferimento di potenza è una funzione uniforme della frequenza.
Se nella funzione invece della variabile sostituiamo la variabile P, quindi ottieni funzione di trasferimento di potenza :
. (4)
La formula (4) stabilisce il seguente fatto: se il punto 
è un punto singolare (zero o polo) della funzione G(P), quindi la funzione K P (P) avrà lo stesso punto singolare di 
così con 
In altre parole, i punti singolari della funzione di trasferimento di potenza hanno simmetria del quadrante , cioè si trovano sul piano complesso, avendo un centro di simmetria nell'origine (figura 6). Questa proprietà consente di ripristinare la funzione di trasferimento G(P) dalla funzione nota K P (P).
Figura 6 - Poli in simmetria quadrante
La sintesi dei filtri di frequenza di solito inizia con la scelta di una funzione idealizzata che descrive la dipendenza dalla frequenza del coefficiente di trasferimento di potenza K P ().
Poiché la risposta in frequenza idealizzata, di regola, non è fisicamente realizzabile, il secondo stadio della sintesi consiste nella sua approssimazione con una tale funzione che può appartenere a un sistema fisicamente realizzabile.
A seconda del tipo di funzione di trasferimento, implementazione circuiti, cioè ricevono uno schema elettrico del filtro, compresi i valori nominali degli elementi in ingresso.
Storicamente, l'implementazione dei filtri è iniziata con filtri continui, per i quali sono già stati creati dispositivi standard, sono stati compilati libri di riferimento, ecc. I filtri continui fungono da prototipi per i filtri discreti.
Cominciamo con una considerazione sulle caratteristiche fisicamente realizzabili dei filtri passa-basso, poiché utilizzando un filtro passa-basso si possono ottenere filtri di altro tipo.
Per un filtro passa-basso con una frequenza di taglio, la dipendenza dalla frequenza ideale del coefficiente di trasferimento di potenza è descritta dalla formula
(ovvero le frequenze fisiche >0) ed è mostrato in Figura 7.
Figura 7 - Coefficiente di trasferimento di potenza per LPF
Questa funzione non è disponibile per sistemi fisici, poiché contraddice il criterio di Paley-Wiener (2).
Il problema della selezione di una funzione di approssimazione ammissibile è ambiguo. Un taglio ripido può essere approssimato da numerose funzioni, ma ogni volta dovrai affrontare contraddizioni: o attenuare il segnale nella banda passante 
, o sopprimerlo debolmente al di fuori della banda passante 
, o entrambi insieme.
1.6.1 Filtri Butterworth
Un modo per approssimare la risposta passa-basso ideale è utilizzare un fattore di trasferimento di potenza della seguente forma:
, (5)
Dove 
- senza dimensione frequenza normalizzata
;
Nè un numero intero chiamato ordine di filtraggio .
Nel caso generale, il coefficiente di trasferimento di potenza (5) può contenere un fattore di scala arbitrario.
Viene chiamato un filtro passa-basso con tali proprietà di frequenza filtro con la massima risposta piatta O Filtro Butterworth (dal nome dello scienziato che ha proposto la funzione di approssimazione (5)). Per ogni N questo tipo di filtro è implementato.
Nella banda passante del filtro Butterworth, cioè a , il coefficiente di trasferimento di potenza diminuisce dolcemente con l'aumentare della frequenza. Di particolare rilievo è la scorrevolezza (assenza di pulsazioni) della funzione considerata.
Alla frequenza di taglio, indipendentemente dall'ordine del sistema, 
. Più alto è l'ordine N, più accuratamente viene descritta la risposta ideale a bassa frequenza (Figura 8).
L'ordine del filtro viene solitamente selezionato in base ai requisiti per l'attenuazione dei segnali con le frequenze 
. Per valutare il grado di attenuazione del segnale, viene utilizzato il valore
Espresso in decibel.
Figura 8 - Coefficiente di trasferimento di potenza dei filtri Butterworth a N= 1 e N= 5
A 
, cioè. alla frequenza del segnale di ingresso, l'attenuazione introdotta dal filtro è 
.
Se la frequenza del segnale è molto più alta della frequenza di taglio del filtro ( 
), quindi dalla formula (5) ne consegue 
, e l'attenuazione è 
1.6.2 Funzione di trasferimento del filtro Butterworth
Per sintetizzare ulteriormente la struttura del circuito, è necessario passare dal coefficiente di trasferimento di potenza selezionato nella forma (5) alla funzione di trasferimento G(P). Per fare ciò, introduciamo la frequenza complessa normalizzata 
e scrivi la funzione di trasferimento di potenza come:
, (7)
Com'è chiaro che sull'aereo 
funzione 
non ha zeri e ha 2 N
poli, che sono le radici dell'equazione
, (8)
Usando la notazione polare, scriviamo la radice nella forma:
Tutte le radici dell'equazione (8) giacciono su un cerchio di raggio unitario centrato nell'origine, quindi 
. Quindi,
Finalmente otteniamo 
Considera separatamente gli ordini di filtri pari e dispari.
1) N - numero pari.
In questo caso
Dove 
.
Ad esempio, per 
otteniamo quattro radici corrispondenti agli angoli:
.
Per 
otteniamo otto radici corrispondenti agli angoli:
La posizione delle radici sul piano complesso per gli esempi forniti è mostrata nella Figura 9.
Figura 9 - Poli del rapporto di trasferimento di potenza
Filtro Butterworth a N= 2 e N= 4
2) N - numero dispari.
In questo caso
Dove 
.
Ad esempio, per 
otteniamo due radici corrispondenti agli angoli: 
Per 
otteniamo sei radici corrispondenti agli angoli:
La posizione delle radici per gli esempi forniti è mostrata nella Figura 10.
Figura 10 - Poli del rapporto di trasferimento di potenza
Filtro Butterworth a N= 1 e N= 3
La regola generale per qualsiasi Nè il seguente: tutti i poli si trovano alla stessa distanza l'uno dall'altro, uguale a 
. Per i filtri dispari, ci sono due radici situate sull'asse reale; non ci sono radici reali per i filtri con numeri pari.
Per passare alla funzione di trasferimento del filtro Butterworth, espandiamo il denominatore della funzione 
per fattori:
Ora useremo il fatto che i poli della funzione di trasferimento di potenza hanno una simmetria di quadrante, cioè la loro configurazione di numero e posizione in entrambi i semipiani è la stessa. Questo ci permette di considerare che solo i poli posti nel semipiano sinistro corrispondono al filtro sintetizzato. Le loro "copie speculari" nel semipiano destro si riferiscono alla funzione 
e non vengono presi in considerazione. Pertanto, la funzione di trasferimento del filtro Butterworth assumerà la forma (la numerazione delle radici nel semipiano sinistro va da 1 a N):
Filtro Butterworth del 1° ordine.
Abbiamo: 
; 
Scegli una radice stabile: .
La funzione di trasferimento sarà scritta come:
.
Dato che 
, alla fine otteniamo:
. (11)
Pertanto, nel processo di approssimazione della caratteristica ideale di un filtro passa-basso con una data frequenza di taglio utilizzando l'approssimazione di Butterworth del 1° ordine, il polo 
.
Filtro Butterworth del 2° ordine.
Abbiamo: 
.
Secondo (9) 
Scegliamo radici stabili e le numeriamo:
Per i collegamenti del 2° ordine, le radici saranno sempre complesse coniugate.
La funzione di trasferimento del collegamento assumerà la forma:
.
Facciamo il passaggio 
(12)
L'espressione generale per la funzione di trasferimento dei collegamenti di 2° ordine è:
, (13)
Dove 
è la frequenza di oscillazione naturale del sistema;
z.zè il coefficiente di attenuazione del sistema (at 
collegamento è chiamato oscillatorio
, A 
– aperiodico
).
Da un confronto delle funzioni (12) e (13) risulta che il filtro Butterworth del 2° ordine è un collegamento oscillatorio con un coefficiente di smorzamento 
e una frequenza di oscillazione naturale pari alla frequenza di taglio del filtro 
. 
Filtro Butterworth del 3° ordine.
Abbiamo: 
E
Scegliamo radici stabili e le numeriamo.
La prima radice corrisponde al collegamento di primo ordine con la funzione di trasferimento 
.
.
Pertanto, i filtri Butterworth di ordine dispari sono una connessione in serie di un collegamento di primo ordine e diversi collegamenti di secondo ordine con diversi coefficienti di attenuazione. I filtri di ordine pari vengono costruiti collegando collegamenti di secondo ordine in serie con diversi coefficienti di attenuazione.
1.7 Sintetizzazione del filtro passa-alto
Il filtro passa-alto è progettato per far passare, con bassa attenuazione, oscillazioni le cui frequenze superano la frequenza di taglio. 
. Se l'implementazione del filtro passa-basso è nota, è possibile ottenere in modo abbastanza semplice un circuito di filtro passa-alto con la stessa frequenza di taglio. Questo viene fatto usando una tecnica nota nella teoria dei circuiti come conversione di frequenza
.
Passiamo dalla variabile R, utilizzato per descrivere l'LPF, a una nuova variabile di frequenza 
, tale che Hz, ad una frequenza pari a 
Hz, fornirebbe un'attenuazione del segnale non peggiore di 
db.
2. In base al passaggio 1, sintetizzare un filtro passa-banda Butterworth, la cui frequenza centrale della banda passante è 2 volte superiore alla frequenza di taglio del filtro passa-basso.
Opzione 2.
1. Effettuare la sintesi di un filtro Butterworth passa-basso, che sarebbe ad una frequenza di taglio pari a 
Hz, a una frequenza pari a Hz, fornirebbe un'attenuazione del segnale non peggiore di dB.
2. Sulla base del passaggio 1, sintetizzare un filtro Butterworth passa-alto, la cui frequenza di taglio è uguale alla frequenza di taglio del filtro passa-basso.
2.2 Scopo e obiettivi del lavoro di laboratorio
scopo il lavoro di laboratorio è la sintesi dei filtri Butterworth vari tipi(LPF, HPF, PF), fornendo una data attenuazione del segnale.
Per raggiungere questo obiettivo, è necessario risolvere quanto segue compiti :
2.3 Protezione del lavoro di laboratorio
La difesa del lavoro di laboratorio viene svolta durante il semestre secondo l'orario delle lezioni. Si svolge sotto forma di colloquio individuale se lo studente ha una parte di programma contenente la soluzione del compito e una relazione che dovrebbe includere l'argomento e lo scopo del lavoro di laboratorio, parti teoriche e pratiche, nonché una conclusione o conclusioni.
LETTERATURA
Gareva Renata Gegelevna
sintesi di filtri a frequenza lineare
disciplina "Conversione dei segnali di misura"
Redattore Solovieva S.V.
Firmato per la pubblicazione il 15 febbraio 2011. Formato 6084 1/16
Conv. p.l. - 1.2. Uch.-ed. l. - 1.3
Stampa - risografia, copiatura
apparecchio "RISO EZ300"
Tiratura 65 copie. Ordine 2011-43
Casa editrice dello Stato di Altai
Università Tecnica
656038, Barnaul, Viale Lenin, 46
Il layout originale è stato preparato da IIO BTI AltSTU
Stampato in IIO BTI AltSTU
59305, Biysk, st. Trofimova, 27 anni
Teoria generale della sintesi del lineare circuiti elettrici non rientra nell'obiettivo del corso "Circuiti e segnali radio".
Questo capitolo discute solo alcune questioni particolari e specifiche per la sintesi dei circuiti radio:
sintesi di quadripoli attivi sotto forma di connessione a cascata di collegamenti elementari non interagenti (disaccoppiati) del primo o del secondo ordine;
realizzazione di circuiti selettivi che non contengono induttori (circuiti integrati);
elementi di sintesi di circuiti discreti (digitali) e relazione tra risposta in frequenza e risposta in fase di filtri digitali.
La sintesi dei circuiti analogici in questo capitolo viene effettuata solo nel dominio della frequenza, cioè secondo una data funzione di trasferimento; per i circuiti digitali, la sintesi è considerata anche per una data risposta all'impulso (brevemente).
È noto che la funzione di trasferimento di un quadripolo lineare è determinata univocamente dai suoi zeri e poli sul piano - (circuiti analogici) o sul piano z (circuiti digitali). Pertanto, l'espressione "sintesi per una data funzione di trasferimento" equivale all'espressione "sintesi per dati zeri e poli della funzione di trasferimento". La teoria esistente della sintesi quadripolare considera circuiti la cui funzione di trasferimento ha un numero finito di zeri e poli, in altre parole, circuiti costituiti da un numero finito di collegamenti con parametri concentrati. Il materiale presentato di seguito è incentrato sui quadripoli con n un largo numero collegamenti tipici per filtri passa-basso, filtri passa-alto, filtri barriera, ecc., ampiamente utilizzati nei dispositivi elettronici.
Lezione numero 15.
Progettazione (sintesi) di filtri digitali lineari.
In fase di progettazione (sintesi) filtro digitale comprendere la scelta di tali coefficienti della funzione di sistema (trasferimento), in cui le caratteristiche del filtro risultante soddisfano i requisiti specificati. A rigor di termini, il compito di progettazione include anche la scelta di un'appropriata struttura di filtro (vedi Lezione 14), tenendo conto dell'accuratezza finita dei calcoli. Ciò è particolarmente vero quando si implementano filtri in forma hardware (sotto forma di LSI specializzati o processori di segnali digitali). Pertanto, in generale, la progettazione di un filtro digitale consiste nei seguenti passaggi:
I metodi per sintetizzare i filtri digitali possono essere classificati secondo vari criteri:
In pratica, i filtri FIR sono spesso preferiti per i seguenti motivi. In primo luogo, i filtri FIR offrono la possibilità di calcolare con precisione il segnale di uscita con un input limitato sulla convoluzione che non richiede il troncamento della risposta all'impulso. In secondo luogo, i filtri con una risposta all'impulso finita possono avere una risposta di fase strettamente lineare nella banda passante, che consente di progettare filtri con una risposta in ampiezza che non distorce segnali di ingresso. In terzo luogo, i filtri FIR sono sempre stabili e, con l'introduzione di un opportuno ritardo finito, sono fisicamente realizzabili. Inoltre, i filtri FIR possono essere implementati non solo in schemi non ricorsivi, ma anche utilizzando forme ricorsive.
Nota gli svantaggi dei filtri FIR:
Una delle opzioni per la progettazione di filtri digitali è associata a una determinata sequenza di campioni della risposta all'impulso, che vengono utilizzati per ottenere e analizzare la sua risposta in frequenza (guadagno in frequenza).
Otteniamo la condizione in cui il filtro non ricorsivo ha una risposta di fase strettamente lineare. La funzione di sistema di un tale filtro ha la forma:
, (15.1)
dove i coefficienti del filtro sono campioni di risposta all'impulso. La trasformata di Fourier di è la risposta in frequenza del filtro, periodica in frequenza con un periodo. Lo rappresentiamo per una sequenza reale nella forma: Otteniamo le condizioni in cui la risposta all'impulso del filtro assicurerà la rigorosa linearità della sua risposta di fase. Quest'ultimo significa che la caratteristica di fase dovrebbe essere simile a:
(15.2)
dove è il ritardo di fase costante espresso in termini di numero di intervalli di campionamento. Scriviamo la risposta in frequenza nella forma:
(15.3)
Uguagliando la parte reale e quella immaginaria, otteniamo:
, (15.4)
. (15.5)
Dove:
. (15.6)
Ci sono due possibili soluzioni equazioni (15.6). Uno (quando) non interessa, l'altro corrisponde al caso. Moltiplicando incrociatamente i termini dell'equazione (15.6), otteniamo:
(15.7)
Poiché l'equazione (15.7) ha la forma di una serie di Fourier, la soluzione dell'equazione deve soddisfare le seguenti condizioni:
, (15.8)
e (15.9)
Dalla condizione (15.8) segue che per ciascuno esiste un solo ritardo di fase, al di sotto del quale è possibile ottenere una rigorosa linearità della caratteristica di fase del filtro. Dalla (15.9) segue che per una data che soddisfi la condizione (15.8), la risposta all'impulso deve avere una simmetria ben definita.
È opportuno considerare l'uso delle condizioni (15.8) e (15.9) separatamente per i casi pari e dispari. Se è un numero dispari, allora un numero intero, ovvero il ritardo nel filtro è uguale a un numero intero di intervalli di campionamento. In questo caso il centro di simmetria ricade sul riferimento. Se è un numero pari, allora è un numero frazionario e il ritardo nel filtro è uguale a un numero non intero di intervalli di campionamento. Ad esempio, per noi otteniamo, e il centro di simmetria della risposta all'impulso si trova nel mezzo tra due letture.
I valori dei coefficienti di risposta all'impulso vengono utilizzati per calcolare la risposta in frequenza dei filtri FIR. Si può dimostrare che per una risposta all'impulso simmetrica con un numero dispari di campioni, l'espressione per una funzione reale che assume valori positivi e negativi è:
, (15.10)
Dove
Molto spesso, quando si progetta un filtro FIR, si parte dalla risposta in frequenza richiesta (o desiderata) e quindi si calcolano i coefficienti del filtro. Esistono diversi metodi per calcolare tali filtri:metodo di progettazione a finestre, metodo di campionamento della frequenza, metodo per il calcolo del filtro ottimale (secondo Chebyshev).Considera l'idea del design a finestra usando il filtro passa-basso FIR come esempio.
Prima di tutto, viene impostata la risposta in frequenza desiderata del filtro progettato. Ad esempio, prendiamo una risposta in frequenza continua ideale di un filtro passa-basso con un guadagno uguale all'unità alle basse frequenze e uguale a zero alle frequenze superiori a qualche frequenza di taglio . Una rappresentazione discreta di un filtro passa-basso ideale è una caratteristica periodica, che può essere impostata dai campioni su un intervallo di periodicità pari alla frequenza di campionamento. La determinazione dei coefficienti del filtro passa-basso utilizzando metodi DFT inversi (analiticamente o utilizzando un programma DFT inverso) produce una sequenza di campioni di risposta all'impulso che è infinita in entrambe le direzioni, che ha la forma di una funzione classica.
Per ottenere un filtro non ricorsivo implementabile di un dato ordine, questa sequenza viene troncata e da essa viene selezionato un frammento centrale della lunghezza richiesta. Il semplice troncamento dei campioni di risposta all'impulso è coerente con l'utilizzofinestra rettangolare, dato funzione speciale A causa del troncamento del campione, la risposta in frequenza originariamente data è distorta, poiché è una convoluzione nel dominio della frequenza della risposta in frequenza discreta e la DFT della funzione finestra:
, (15.11)
dove DFT Di conseguenza, si verifica un'ondulazione nella banda passante della risposta in frequenza dovuta ai lobi laterali.
Per mitigare gli effetti di cui sopra e, soprattutto, per ridurre il livello dei lobi nella stopband, la risposta all'impulso troncata viene moltiplicata per una funzione peso (finestra) che diminuisce gradualmente verso i bordi. Pertanto, il metodo di progettazione di filtri FIR con finestre è un metodo per ridurre gli spazi vuoti delle finestre utilizzando finestre non rettangolari. In questo caso, la funzione peso (finestra) deve avere le seguenti proprietà:
Le finestre di Hamming, Kaiser, Blackman, Chebyshev, ecc. sono utilizzate come funzioni di peso.
La scienza affina la mente;
L'apprendimento affina la memoria.
Kozma Prutkov
capitolo 15
ELEMENTI DI SINTESI DI CIRCUITI LINEARI STAZIONARI
15.1. Problemi in fase di studio
CON sintesi di reti bipolari analogiche. Sintesi di quadripoli stazionari secondo una data risposta in frequenza. Filtri Butterworth e Chebyshev.
Indicazioni. Quando si studiano i problemi, è necessario comprendere chiaramente l'ambiguità di risolvere il problema della sintesi di reti a due terminali e modi specifici per risolvere il problema secondo Foster e Cauer, nonché acquisire la capacità di determinare la possibilità di implementarne uno o un'altra funzione dell'impedenza di ingresso di una rete a due terminali. Quando si sintetizzano filtri elettrici basati su filtri prototipo, è importante comprendere i vantaggi e gli svantaggi dell'approssimazione delle caratteristiche di attenuazione di Chebyshev e Butterworth. È necessario essere in grado di calcolare rapidamente i parametri degli elementi di qualsiasi tipo di filtro (LPF, HPF, BPF) utilizzando formule di conversione di frequenza.
15.2. Brevi informazioni teoriche
Nella teoria dei circuiti si è soliti parlare di sintesi strutturale e parametrica. Il compito principale della sintesi strutturale è la scelta della struttura (topologia) del circuito che soddisfi proprietà predeterminate. Nella sintesi parametrica vengono determinati solo i parametri e il tipo di elementi del circuito, la cui struttura è nota. In quanto segue, verrà discussa solo la sintesi parametrica.
Come punto di partenza nella sintesi di reti a due terminali, viene solitamente utilizzata la resistenza di ingresso
Se una funzione è data, allora può essere implementata da un circuito passivo nelle seguenti condizioni: 1) tutti i coefficienti dei polinomi del numeratore e del denominatore sono reali e positivi; 2) tutti gli zeri e i poli sono nel semipiano sinistro o sull'asse immaginario, e i poli e gli zeri sull'asse immaginario sono semplici; questi punti sono sempre o reali o formano coppie coniugate complesse; 3) i gradi superiore e inferiore dei polinomi del numeratore e del denominatore differiscono di non più di uno. Va anche notato che la procedura di sintesi non è univoca, cioè la stessa funzione di input può essere implementata in diversi modi.
Come strutture iniziali delle reti a due terminali sintetizzate, vengono solitamente utilizzati i circuiti Foster, che sono una connessione in serie o in parallelo relativa ai terminali di ingresso, rispettivamente, di diverse resistenze e conduttanze complesse, nonché i circuiti ladder di Cauer.
Il metodo di sintesi delle reti a due terminali si basa sul fatto che un dato input funziona o subisce una serie di successive semplificazioni. Allo stesso tempo, in ogni fase, viene assegnata un'espressione, che è associata a un elemento fisico del circuito sintetizzato. Se tutti i componenti della struttura selezionata sono identificati con elementi fisici, allora il problema di sintesi è risolto.
La sintesi dei quadripoli si basa sulla teoria dei filtri prototipo passa-basso. Opzioni possibili prototipo LPF sono mostrati in fig. 15.1.
Nel calcolo è possibile utilizzare qualsiasi schema, poiché le loro caratteristiche sono identiche. Designazioni in fig. 15.1 hanno il seguente significato: - l'induttanza di una bobina in serie o la capacità di un condensatore in parallelo; – resistenza del generatore se , o conducibilità del generatore se ; – resistenza di carico , se o conducibilità di carico, se .
I valori degli elementi dei prototipi sono normalizzati in modo che la frequenza di taglio . Il passaggio dai filtri prototipo normalizzati a un altro livello di resistenze e frequenze viene effettuato utilizzando le seguenti trasformazioni degli elementi del circuito:
;
.
I valori con tratti si riferiscono al prototipo normalizzato, e senza tratti, alla catena trasformata. Il valore iniziale per la sintesi è l'attenuazione della potenza di lavoro, espressa in decibel:
, decibel,
è la potenza massima del generatore con resistenza interna e fem , è la potenza di uscita nel carico.
Di solito, la dipendenza dalla frequenza è approssimata dalla caratteristica più piatta (Butterworth) (Fig. 15.2, UN)
Dove 
.
Il valore dell'attenuazione operativa corrispondente alla frequenza di taglio viene solitamente scelto pari a 3 dB. In cui . Parametro Nè uguale al numero di elementi del circuito attivo e determina l'ordine del filtro.
La teoria dei circuiti è solitamente divisa in due grandi aree, strettamente correlate tra loro: analisi e sintesi. Il compito dell'analisi è trovare le caratteristiche esterne e interne di un circuito elettrico, la cui struttura è predeterminata, ad esempio, sotto forma di uno schema elettrico. Il compito della sintesi del circuito è diametralmente opposto: la caratteristica esterna, come il coefficiente di trasferimento della tensione di frequenza, la resistenza di ingresso o di uscita, ecc., È considerata nota. È necessario trovare una struttura circuitale che implementi questa caratteristica.
A differenza dell'analisi, la sintesi della catena è generalmente una procedura ambigua. Pertanto, tra l'insieme delle strutture con le stesse proprietà, è necessario trovare quella che è in un certo senso ottimale. Pertanto, è sempre desiderabile che il circuito sintetizzato contenga il minor numero possibile di elementi. In molti casi è necessario che il circuito sia insensibile alla scelta dei valori degli elementi in esso inclusi.
La sintesi dei circuiti è un'area sviluppata della moderna ingegneria radiofonica teorica. Sono stati sviluppati numerosi metodi di sintesi, a volte molto complessi, che il lettore può conoscere da solo. I metodi di sintesi dei circuiti hanno acquisito un'importanza eccezionalmente grande in relazione all'introduzione di sistemi di progettazione assistita da computer per dispositivi di ingegneria radio.
In questo capitolo studieremo il problema più semplice di sintetizzare filtri di frequenza, che sono quadripoli stazionari lineari formati dagli elementi L, C e R. I dati iniziali per la sintesi in tutti i casi saranno dati dalle caratteristiche ampiezza-frequenza.
I quadripoli sono chiamati circuiti elettrici che sembrano una "scatola nera" con due paia di morsetti disponibili. Una coppia è l'ingresso, l'altra è l'uscita del segnale. In modalità operativa, una sorgente di segnale è collegata all'ingresso e i terminali di uscita sono caricati con resistenze di carico
Si presume che il lettore abbia familiarità con i metodi di analisi dei quadripoli, presentati nel corso di teoria dei circuiti. Il materiale di questa sezione mette in luce alcuni aspetti essenziali per la sintesi dei quadripoli.
La proprietà più importante di un quadripolo stazionario lineare è che quattro ampiezze complesse a qualsiasi frequenza di azione esterna sono correlate da due equazioni algebriche lineari. Due ampiezze complesse scelte arbitrariamente possono essere prese come quantità indipendenti, mentre le altre due devono essere determinate in funzione di esse. Questo serve come base per la descrizione della matrice dei quadripoli lineari. Pertanto, viene spesso utilizzata una matrice di trasferimento (-matrice), assumendo che la tensione e la corrente in uscita siano variabili indipendenti. In cui
I coefficienti A, B, C e D hanno dimensioni fisiche diverse e possono essere determinati da esperimenti al minimo e corto circuito. Le matrici di trasferimento sono particolarmente utili per descrivere la connessione in cascata dei quadripoli, poiché la matrice risultante è il prodotto delle matrici dei singoli collegamenti.
Se vengono fornite la matrice a quattro porte e la resistenza di carico, è possibile calcolare le cosiddette funzioni del circuito, che includono, ad esempio:
a) impedenza di ingresso
b) resistenza al trasferimento
c) coefficiente di trasferimento della tensione di frequenza
Le funzioni del circuito dipendono nel caso generale dalla frequenza. Qualsiasi funzione del circuito è espressa attraverso gli elementi della matrice quadripolare e attraverso la resistenza di carico. Quindi, dividendo i lati sinistro e destro dell'equazione (13.1) l'uno nell'altro, troviamo che l'impedenza di ingresso
Allo stesso modo, il coefficiente di trasferimento della tensione di frequenza
Prestiamo attenzione al fatto che la funzione dipende dalla direzione del trasferimento di energia nel sistema. Se la sorgente e il carico sono invertiti, il guadagno di frequenza viene introdotto nella direzione inversa (carico a sinistra):
In futuro, non solo la variabile ma anche la frequenza complessa sarà usata come argomento del coefficiente di trasferimento di frequenza, cioè, insieme alla funzione, più caratteristiche generali- Funzione di trasmissione. La funzione di trasferimento di un quadripolo ha tutte le proprietà delle funzioni di trasferimento dei sistemi stazionari lineari considerate nel cap. 8.
Pertanto, alla funzione corrisponde un quadripolo lineare con parametri costanti
dove è un valore costante. Se il circuito è stabile, i poli dovrebbero trovarsi nel semipiano sinistro, formando complesse coppie coniugate.
Di solito viene introdotta una condizione aggiuntiva: il numero di poli della funzione deve superare il numero di zeri, ovvero, in un punto infinitamente distante, non deve esserci un polo, ma uno zero della funzione di trasferimento. Quindi la risposta all'impulso del circuito
risulta essere limitato, perché con un raggio infinitamente grande del contorno di integrazione C, il fattore esponenziale dell'integrando può "spegnere" l'integrale lungo l'arco.
Contrariamente ai poli, gli zeri della funzione di un quadripolo lineare stabile possono essere posizionati sia nel semipiano sinistro che nel semipiano destro della variabile . Infatti, se poi questo significa solo che ad un certo punto l'immagine della tensione di uscita svanisce. Ciò non contraddice le proprietà dei sistemi stabili.
I quadripoli che non hanno zeri della funzione di trasferimento nel semipiano destro sono chiamati circuiti a fase minima. Se ci sono zeri nel semipiano destro, tali quadripoli sono chiamati circuiti a fase non minima.
Questa terminologia è associata alle seguenti circostanze. Si consideri il piano della frequenza complessa, sul quale sono indicati alcuni punti nei semipiani sinistro e destro. Siano questi punti gli zeri della funzione di trasferimento della rete a quattro terminali. Se il circuito è sotto azione esterna armonica, allora questi punti corrispondono a due vettori sul piano complesso: che corrispondono ai corrispondenti fattori al numeratore della formula (13.5). Entrambi i vettori ruotano e cambiano la loro lunghezza al variare della frequenza.La differenza tra loro è che il vettore con variazione di frequenza da a aumenta l'angolo di fase del guadagno di frequenza di radianti, mentre il vettore nelle stesse condizioni diminuisce la fase della stessa quantità . Il coefficiente di trasferimento del quadripolo è una funzione razionale frazionaria, il cui cambiamento nell'argomento
Pertanto, a parità di numero di zeri e di poli, il circuito a fase non minima fornisce un valore assoluto maggiore della variazione di fase del coefficiente di trasmissione rispetto al circuito a fase minima.
La posizione degli zeri della funzione è correlata alla struttura topologica del circuito. Nella teoria dei circuiti, è dimostrato che qualsiasi rete a quattro terminali con la seguente proprietà sarà a fase minima: la trasmissione del segnale dall'ingresso all'uscita può essere completamente interrotta interrompendo un singolo ramo. In particolare, i circuiti a minima fase saranno eventuali quadripoli della struttura a scala.
I quadripoli a fase non minima hanno, di regola, la struttura dei circuiti a ponte (incrociati), in cui il segnale di uscita passa attraverso due o più canali. Il circuito a fase non minima più semplice è un quadripolo a ponte simmetrico formato da elementi. Qui, come è facile vedere, la funzione di trasferimento della tensione
Questa funzione ha un solo zero che si trova nel semipiano destro.
Tuttavia, la struttura a ponte non garantisce automaticamente che il circuito appartenga alla classe a fase non minima. In ogni caso separatoè necessario verificare la presenza o l'assenza di zeri della funzione di trasferimento nel semipiano destro.
La funzione di trasferimento di qualsiasi quadrupolo stabile nel semipiano destro della variabile è una funzione analitica. Se, inoltre, questa rete a quattro terminali appartiene al numero di circuiti del tipo a fase minima, anche la sua funzione di trasferimento nel semipiano destro non ha zeri. Ciò significa che la funzione è analitica
In accordo con il materiale di Ch. 5 i valori al contorno delle parti reale e immaginaria della funzione sull'asse immaginario, cioè a sono interconnessi da una coppia di trasformazioni di Hilbert:
Pertanto, realizzando l'AFC dato di una rete a quattro terminali del tipo a fase minima, è impossibile ottenere qualsiasi PFC in questo caso.
Sulla base delle proprietà delle trasformate di Hilbert, si può sostenere, ad esempio, che se la risposta in frequenza di una rete a due terminali con fase minima raggiunge un massimo a una certa frequenza, allora il PFC in prossimità di questa frequenza passa per zero .
Se il quadripolo appartiene alla classe dei circuiti di fase non minimi, la risposta in frequenza e la risposta in fase sono indipendenti l'una dall'altra. Tra i circuiti a fase non minima, un ruolo particolarmente importante è svolto dai cosiddetti quadripoli tutti trasmittenti, in cui il modulo del coefficiente di trasmissione è costante e non dipende dalla frequenza. Un esempio è una rete simmetrica bridge-four-terminal, per la quale, in accordo con l'uguaglianza (13.6)
Quadripoli simili vengono utilizzati per la correzione di fase dei segnali. Consentono di compensare parzialmente le distorsioni sotto forma di segnali che sono passati attraverso dispositivi di ingegneria radio.
