Ministeriet för utbildning och vetenskap i Ryska federationen
Biysk Technological Institute (filial)
statlig läroanstalt
högre yrkesutbildning
"Altais statliga tekniska universitet
dem. I.I. Polzunov"
R.G. Gareeva
syntes av linjära frekvensfilter
Biysk
Altai State Technicals förlag
Universitet. I.I. Polzunova
UDC 621.372.54(076.5)
Recensent: Alexandrovich V.M., Ph.D.,
Docent IUS BTI AltSTU
Gareeva, R.G.
MED
G 20
syntes av linjära frekvensfilter: riktlinjer för genomförande av laboratoriearbete inom disciplinen "Transformation av mätsignaler" / R.G. Gareeva; Alt. stat tech. un-t, BTI. - Biysk: Alt. stat tech. un-ta, 2011. - 21 sid.
Riktlinjer innehålla sammanfattning teoretisk information om elektriska filter, deras typer och huvudsakliga egenskaper. Problemet med att designa kontinuerliga filter av Butterworth-typ behandlas i detalj. låga frekvenser, och på deras basis - bandpassfilter och högpassfilter.
UDC 621.372.54(076.5)
Granskad och godkänd
Vid ett möte med MCIA-avdelningen.
Protokoll nr 10 av den 30 december 2010
© Gareeva R.G., 2011
BTI AltSTU, 2011
| 1 TEORETISK DEL……………………………………………….…. | 4 |
| 1.1 Elektriska filter………………………………….………… | 4 |
| 1.2 Typer av elektriska filter………………..………..……. | 4 |
| 1.3 Egenskaper för fysiskt implementerade filter…………..…… | 6 |
| 1.4 Effektegenskaper hos filter…………………………. | 8 |
| 1.5 Steg av syntes av elektriska filter………………………….. | 9 |
| 1.6 Syntes av kontinuerliga lågpassfilter……..…..…… | 9 |
| 1.7 Syntes av högpassfilter…………………………..… | 16 |
| 1.8 Syntes av bandpassfilter………………………………..… | 17 |
| 2 PRAKTISK DEL……………… …………………………… | 18 |
| 2.1 Uppgiftsalternativ.……………………….………………………………. | 18 |
| 2.2 Syfte och mål laboratoriearbete.…...…………………… | 18 |
| 2.3 Skydd av laboratoriearbete……………………………………… | 19 |
| LITTERATUR………………….……………………………….…… | 20 |
Filtrering eller filtrering är en utbredd och tillämpad teknisk process.
Elektriska filter så kallade anordningar som ingår i en elektrisk krets och utformade för att passera strömmar eller spänningar av vissa frekvenser och dämpa strömmar eller spänningar av andra frekvenser. Elektriska filter är gjorda av induktorer, kondensatorer och motstånd.
Teorin om filter brukar delas in i två breda områden, nära besläktade med varandra - analys och syntes. Analysens uppgift är att hitta de yttre och interna egenskaperna hos det elektriska systemet, vars struktur är förutbestämd, till exempel i formen kretsschema. Syntesuppgiften är diametralt motsatt - den yttre karakteristiken, såsom frekvensspänningsöverföringskoefficienten, ingångs- eller utgångsresistans, etc., anses vara känd. Det krävs att hitta en kretsstruktur som implementerar denna egenskap.
Till skillnad från analys är kedjesyntes i allmänhet en tvetydig procedur. Därför, bland uppsättningen av strukturer med samma egenskaper, är det nödvändigt att hitta den som är optimal i en viss mening. Så det är alltid önskvärt att den syntetiserade kretsen innehåller minsta möjliga antal element. I många fall är det nödvändigt att kretsen är okänslig för valet av värdena för de element som ingår i den.
Tänk på det enklaste problemet med att syntetisera frekvensfilter, som är linjära fyrpoler som bildas av element L, MED Och R. De initiala data för syntes i alla fall kommer att ges av amplitud-frekvenskarakteristika.
1.2 Typer av elektriska filter
Det finns följande typer av filter:
1) Lågpassfilter (LPF). Huvudsyftet med sådana enheter är att överföra signaler till utgången med minimal dämpning, vars frekvenser inte överstiger en given gränsfrekvens, kallad filtrets gränsfrekvens . Högre frekvenssignaler bör dämpas avsevärt.
För ett lågpassfilter med en gränsfrekvens beskrivs den ideala amplitudfrekvensresponsen (AFC) med formeln
Och det visas i figur 1.
Figur 1 - Lågpassfilter
2) Högpassfilter (HPF). Huvudsyftet med HPF är den maximala dämpningen av signaler vars frekvenser inte överstiger den specificerade gränsfrekvensen, och den lägsta dämpningen av signaler med högre frekvenser (Figur 2).
Figur 2 - Högpassfilter
3) Bandpassfilter
(PF). Bandpassfilter måste passera signaler med frekvenser som ligger i ett visst band nära frekvensen 
kallad passbands mittfrekvens
, eller flera frekvenser 
... (i detta fall kallas filtret multiband
) (Figur 3).
Figur 3 - Bandpassfilter
4)Notch (fälla) filter
(RF). Huvudsyftet med sådana filter är att undertrycka signaler vars frekvenser är viktiga 
eller ligger i ett smalt band i förhållande till frekvensen (Figur 4).
Figur 4 - Spårfilter
Låt oss överväga en mer allmän, än frekvens, egenskap hos systemet - överföringsfunktionen 
. I de flesta praktiska fall erhålls den genom att ersätta variabeln 
i frekvenssvar 
till en variabel 
, där är konvergensens abskiss.
Överföringsfunktionen introduceras i analogi med frekvensgången 
enligt förhållandet:
,
Var 
– Laplace-bilder av funktioner 
:
, 
.
För linjära system med konstanta parametrar Transmissionsfunktion ser ut som:
, (1)
Var 
är ett konstant värde;
är rötterna till täljarpolynomet (nollor i överföringsfunktionen);
är rötterna till nämnarpolynomet (överföringsfunktionens poler).
För stabiliteten hos ett elektriskt filter är det nödvändigt att polerna för dess överföringsfunktion har en negativ reell del, det vill säga att de är placerade i det vänstra halvplanet av det komplexa planet och bildar komplexa konjugerade par (Figur 5) .
Figur 5 - Placering av stolparna i ett stabilt system
Vanligtvis lägger de till ytterligare villkorär antalet nollor för överföringsfunktionen G(sid) får inte överstiga antalet poler (graden för polynomet för funktionens täljare måste vara mindre än graden av nämnarens polynom m n).
I motsats till polerna, funktionens nollor G(sid) av ett stabilt linjärt system kan placeras både i variabelns vänstra och högra halvplan sid. System som inte har nollor av överföringsfunktionen i det högra halvplanet kallas minsta fas .
Placering av funktionsnollor G(sid) är relaterad till kedjans topologiska struktur. I teorin om kretsar är det bevisat att varje fyrterminalsnätverk för vilket signalöverföringen från ingång till utgång kan stoppas helt genom att bryta en enda gren kommer att vara minimifasen. För elektriska filter är det nödvändigt att systemet är minsta fas.
För den fysiska genomförbarheten av ett elektriskt filter måste Paley-Wiener-kriteriet vara uppfyllt: frekvenssvaret måste vara sådant att integralen existerar
(2)
De tidigare övervägda frekvensegenskaperna för idealfilter (figur 1–4) är uppenbarligen orealiserbara, eftersom funktionen försvinner H() omöjliggör existensen av integralen (2).
Idealiska egenskaper måste approximeras av sådana analytiska beroenden H(), som skulle tendera till noll, men inte nådde det.
När man beräknar graden av sändning eller icke-överföring av ett filter av en signal med en viss frekvens, är det bekvämt att använda kraft- eller energiegenskaper.
Kraftöverföringsförhållande Det är vanligt att kalla kvadraten på modulen för frekvenssvaret:
I motsats till det komplexa frekvenssvaret, funktionen 
är verklig, vilket är mycket bekvämare för att ställa in initialdata när filtret syntetiseras. Enligt formel (3) är effektöverföringskoefficienten en jämn funktion av frekvensen.
Om vi i funktionen istället för variabeln ersätter variabeln sid, skaffa sedan kraftöverföringsfunktion :
. (4)
Formel (4) fastställer följande faktum: om punkten 
är en singular punkt (noll eller pol) för funktionen G(sid), sedan funktionen K sid (sid) kommer att ha samma singularpunkt som för 
så med 
Med andra ord har kraftöverföringsfunktionens singulära punkter kvadrantsymmetri , det vill säga de är belägna på det komplexa planet, med ett symmetricentrum vid ursprunget (Figur 6). Denna egenskap gör det möjligt att återställa överföringsfunktionen G(sid) av den kända funktionen K sid (sid).
Figur 6 - Poler i kvadrantsymmetri
Syntesen av frekvensfilter börjar vanligtvis med valet av någon idealiserad funktion som beskriver effektöverföringskoefficientens frekvensberoende K sid ().
Eftersom det idealiserade frekvenssvaret som regel inte är fysiskt realiserbart, består det andra steget av syntesen i dess approximation av en sådan funktion som kan tillhöra ett fysiskt realiserbart system.
Beroende på typen av överföringsfunktion, genomförande kretsar, det vill säga de får ett kretsschema för filtret, inklusive klassificeringen av de inkommande elementen.
Historiskt sett började implementeringen av filter med kontinuerliga filter, för vilka standardenheter redan har skapats, referensböcker har sammanställts etc. Kontinuerliga filter fungerar som prototyper för diskreta filter.
Låt oss börja med en övervägande av de fysiskt realiserbara egenskaperna hos lågpassfilter, eftersom med ett lågpassfilter kan du få filter av andra typer.
För ett lågpassfilter med en gränsfrekvens beskrivs det ideala frekvensberoendet för effektöverföringskoefficienten med formeln
(vilket betyder de fysiska frekvenserna >0) och visas i figur 7.
Figur 7 - Effektöverföringskoefficient för LPF
Den här funktionen är inte tillgänglig för fysiska system, eftersom det strider mot Paley-Wiener-kriteriet (2).
Problemet med att välja en tillåten approximationsfunktion är tvetydig. En brant cutoff kan uppskattas av många funktioner, men varje gång måste du möta motsägelser: antingen dämpa signalen i passbandet 
, eller svagt undertrycka det utanför passbandet 
, eller båda tillsammans.
1.6.1 Butterworth-filter
Ett sätt att approximera det ideala lågpasssvaret är att använda en effektöverföringsfaktor av följande form:
, (5)
Var 
– dimensionslös normaliserad frekvens
;
n kallas ett heltal filterordning .
I det allmänna fallet kan effektöverföringskoefficienten (5) innehålla en godtycklig skalningsfaktor.
Ett lågpassfilter med sådana frekvensegenskaper kallas filter med maximal platt respons eller Butterworth filter (uppkallad efter vetenskapsmannen som föreslog den approximerande funktionen (5)). För alla n denna typ av filter implementeras.
I passbandet för Butterworth-filtret, det vill säga vid , minskar effektöverföringskoefficienten mjukt med ökande frekvens. Särskilt anmärkningsvärt är jämnheten (frånvaro av pulseringar) hos den betraktade funktionen.
Vid gränsfrekvensen, oavsett systemets ordning, 
. Ju högre ordning n desto mer exakt beskrivs det ideala lågfrekvenssvaret (Figur 8).
Filtrets ordning väljs vanligtvis utifrån kraven för att dämpa signaler med frekvenser 
. För att bedöma graden av signaldämpning används värdet
Uttryckt i decibel.
Figur 8 - Effektöverföringskoefficient för Butterworth-filter vid n= 1 och n= 5
På 
, dvs. vid insignalens frekvens är dämpningen som introduceras av filtret 
.
Om signalfrekvensen är mycket högre än filtrets gränsfrekvens ( 
), sedan följer det av formel (5). 
, och dämpningen är 
1.6.2 Butterworth filteröverföringsfunktion
För att ytterligare syntetisera kretsstrukturen är det nödvändigt att gå från den effektöverföringskoefficient som valts i formen (5) till överföringsfunktionen G(sid). För att göra detta introducerar vi den normaliserade komplexa frekvensen 
och skriv kraftöverföringsfunktionen som:
, (7)
Hur är det tydligt att på planet 
fungera 
har inga nollor och har 2 n
poler, som är rötterna till ekvationen
, (8)
Med den polära notationen skriver vi roten i formen:
Alla rötter till ekvation (8) ligger på en cirkel med enhetsradie centrerad vid origo, så 
. Därav,
Äntligen får vi 
Överväg separata jämna och udda ordningsföljder av filter.
1) n - jämnt nummer.
I detta fall
Var 
.
Till exempel för 
vi får fyra rötter som motsvarar vinklarna:
.
För 
vi får åtta rötter som motsvarar vinklarna:
Placeringen av rötterna på det komplexa planet för de givna exemplen visas i figur 9.
Figur 9 - Kraftöverföringsförhållande poler
Butterworth filter kl n= 2 och n= 4
2) n - udda nummer.
I detta fall
Var 
.
Till exempel för 
vi får två rötter som motsvarar vinklarna: 
För 
vi får sex rötter som motsvarar vinklarna:
Placeringen av rötterna för de givna exemplen visas i figur 10.
Figur 10 - Kraftöverföringsförhållande poler
Butterworth filter kl n= 1 och n= 3
Den allmänna regeln för ev när som följer: alla poler är placerade på samma avstånd från varandra, lika med 
. För udda filter finns det två rötter placerade på den verkliga axeln; det finns inga riktiga rötter för filter med jämna tal.
För att övergå till överföringsfunktionen för Butterworth-filtret utökar vi nämnaren för funktionen 
för faktorer:
Nu kommer vi att använda det faktum att polerna för kraftöverföringsfunktionen har kvadrantsymmetri, det vill säga deras antal och platskonfiguration i båda halvplanen är desamma. Detta gör att vi kan överväga att endast polerna i det vänstra halvplanet motsvarar det syntetiserade filtret. Deras "spegelkopior" i det högra halvplanet hänvisar till funktionen 
och tas inte med i beräkningen. Sålunda kommer överföringsfunktionen för Butterworth-filtret att ta formen (numreringen av rötterna i det vänstra halvplanet är från 1 till n):
1:a ordningens Butterworth-filter.
Vi har: 
; 
Välj en stabil rot: .
Överföringsfunktionen kommer att skrivas som:
.
Givet att 
, vi får äntligen:
. (11)
Sålunda, i processen att approximera den ideala karakteristiken för ett lågpassfilter med en given gränsfrekvens med hjälp av 1:a ordningens Butterworth approximation, polen 
.
2nd order Butterworth filter.
Vi har: 
.
Enligt (9) 
Vi väljer stabila rötter och numrerar dem:
För länkar av 2:a ordningen kommer rötterna alltid att vara komplexa konjugerade.
Överföringsfunktionen för länken kommer att ha formen:
.
Låt oss göra övergången 
(12)
Det allmänna uttrycket för överföringsfunktionen för andra ordningens länkar är:
, (13)
Var 
är systemets naturliga oscillationsfrekvens;
zär dämpningskoefficienten för systemet (vid 
länken kallas oscillerande
, kl 
– aperiodisk
).
Det följer av en jämförelse av funktionerna (12) och (13) att 2nd order Butterworth-filtret är en oscillerande länk med en dämpningskoefficient 
och en naturlig oscillationsfrekvens lika med filtrets gränsfrekvens 
. 
3:e ordningens Butterworth-filter.
Vi har: 
Och
Vi väljer stabila rötter och numrerar dem.
Den första roten motsvarar 1:a ordningens länk med överföringsfunktionen 
.
.
Således är udda ordningens Butterworth-filter en seriekoppling av en 1:a ordningens länk och flera 2:a ordningens länkar med olika dämpningskoefficienter. Jämn ordningsfilter byggs genom att koppla 2:a ordningens länkar i serie med olika dämpningskoefficienter.
1.7 Syntetisering av högpassfiltret
Högpassfiltret är utformat för att med låg dämpning passera svängningar vars frekvenser överstiger gränsfrekvensen. 
. Om implementeringen av lågpassfiltret är känd kan en högpassfilterkrets med samma gränsfrekvens erhållas helt enkelt. Detta görs med en teknik som är känd inom kretsteorin som frekvensomvandling
.
Låt oss gå vidare från variabeln R, som används för att beskriva LPF, till en ny frekvensvariabel 
, så att Hz, vid en frekvens lika med 
Hz, skulle ge signaldämpning inte sämre än 
db.
2. Baserat på steg 1, syntetisera ett Butterworth-bandpassfilter, vars centralfrekvens för passbandet är 2 gånger högre än gränsfrekvensen för lågpassfiltret.
Alternativ 2.
1. Att utföra syntesen av ett lågpass Butterworth-filter, som skulle ha en gränsfrekvens lika med 
Hz, vid en frekvens lika med Hz, skulle ge signaldämpning inte sämre än dB.
2. På basis av steg 1, syntetisera ett högpass Butterworth-filter, vars gränsfrekvens är lika med gränsfrekvensen för lågpassfiltret.
2.2 Syfte och mål med laborationsarbetet
syfte laboratoriearbete är syntesen av Butterworth-filter olika typer(LPF, HPF, PF), vilket ger en given signaldämpning.
För att uppnå detta mål är det nödvändigt att lösa följande uppgifter :
2.3 Skydd av laboratoriearbete
Försvaret av laborationer genomförs under terminen enligt klassschema. Den genomförs i form av en individuell intervju om studenten har en programdel innehållande uppgiftens lösning, och en rapport som ska innehålla ämnet och syftet med laborationen, teoretiska och praktiska delar samt en avslutning resp. Slutsatser.
LITTERATUR
Gareeva Renata Gegelevna
syntes av linjära frekvensfilter
disciplin "Konvertering av mätsignaler"
Redaktör Solovieva S.V.
Undertecknad för publicering den 15 februari 2011. Format 6084 1/16
Konv. p.l. - 1.2. Uch.-ed. l. - 1.3
Tryckning - risografi, kopiering
apparat "RISO EZ300"
Upplaga 65 ex. Beställning 2011-43
Altai-statens förlag
Tekniskt universitet
656038, Barnaul, Lenin Ave., 46
Den ursprungliga layouten utarbetades av IIO BTI AltSTU
Tryckt i IIO BTI AltSTU
59305, Biysk, st. Trofimova, 27
Allmän teori för syntes av linjär elektriska kretsar ingår inte i målet för kursen "Radiokretsar och signaler".
Detta kapitel diskuterar endast några specifika, specifika frågor för syntes av radiokretsar:
syntes av aktiva kvadripoler i form av en kaskadkoppling av elementära icke-samverkande (avkopplade) länkar av första eller andra ordningen;
konstruktion av selektiva kretsar som inte innehåller induktorer (integrerade kretsar);
element för syntes av diskreta (digitala) kretsar och förhållandet mellan frekvenssvar och fassvar för digitala filter.
Syntesen av analoga kretsar i detta kapitel utförs endast i frekvensdomänen, d.v.s. enligt en given överföringsfunktion; för digitala kretsar övervägs syntes också för ett givet impulssvar (kortfattat).
Det är känt att överföringsfunktionen för en linjär fyrpol är unikt bestämd av dess nollor och poler på -planet (analoga kretsar) eller på z-planet (digitala kretsar). Därför är uttrycket "syntes genom en given överföringsfunktion" ekvivalent med uttrycket "syntes genom givna nollor och poler för överföringsfunktionen". Den befintliga teorin om kvadripolsyntes tar hänsyn till kretsar vars överföringsfunktion har ett ändligt antal nollor och poler, med andra ord, kretsar som består av ett ändligt antal länkar med klumpade parametrar. Materialet som presenteras nedan är fokuserat på fyrpoler med nr ett stort antal länkar som är typiska för lågpassfilter, högpassfilter, barriärfilter etc., som ofta används i elektroniska enheter.
Föreläsning nummer 15.
Design (syntes) av linjära digitala filter.
Under design (syntes) digitalt filter förstå valet av sådana koefficienter för system(överförings)funktionen, där egenskaperna hos det resulterande filtret uppfyller de specificerade kraven. Strängt taget innefattar designuppgiften även valet av en lämplig filterstruktur (se Föreläsning 14), med hänsyn till beräkningarnas ändliga noggrannhet. Detta gäller särskilt när man implementerar filter i hårdvaruform (i form av specialiserade LSI- eller digitala signalprocessorer). Därför består designen av ett digitalt filter i allmänhet av följande steg:
Metoder för att syntetisera digitala filter kan klassificeras enligt olika kriterier:
I praktiken föredras ofta FIR-filter av följande skäl. För det första ger FIR-filter möjligheten att exakt beräkna utsignalen med begränsad ingång över faltning som inte kräver trunkering av impulssvar. För det andra kan filter med ändligt impulssvar ha ett strikt linjärt fassvar i passbandet, vilket gör att du kan designa filter med ett amplitudsvar som inte förvränger ingångssignaler. För det tredje är FIR-filter alltid stabila och, med införandet av en lämplig ändlig fördröjning, är de fysiskt realiserbara. Dessutom kan FIR-filter implementeras inte bara i icke-rekursiva scheman, utan också med hjälp av rekursiva former.
Observera nackdelarna med FIR-filter:
Ett av alternativen för att designa digitala filter är associerat med en given sekvens av sampel av impulssvaret, som används för att erhålla och analysera dess frekvenssvar (frekvensförstärkning).
Vi får det villkor under vilket det icke-rekursiva filtret har ett strikt linjärt fassvar. Systemfunktionen för ett sådant filter har formen:
, (15.1)
där filterkoefficienterna är impulssvarssampel. Fouriertransformen av är filtrets frekvenssvar, periodisk i frekvens med en period. Vi representerar det för en verklig sekvens i formen: Vi får de förhållanden under vilka filtrets impulssvar kommer att säkerställa den strikta linjäriteten hos dess fassvar. Det senare betyder att faskarakteristiken ska se ut så här:
(15.2)
där är den konstanta fasfördröjningen uttryckt i antal samplingsintervall. Vi skriver frekvenssvaret i formuläret:
(15.3)
Genom att likställa de verkliga och imaginära delarna får vi:
, (15.4)
. (15.5)
Var:
. (15.6)
Det finns två möjliga lösningar ekvationer (15.6). Den ena (när) inte är av intresse, den andra motsvarar fallet. Genom att korsmultiplicera termerna i ekvationen (15.6) får vi:
(15.7)
Eftersom ekvation (15.7) har formen av en Fourier-serie måste lösningen av ekvationen uppfylla följande villkor:
, (15.8)
och (15,9)
Det följer av villkor (15.8) att för varje det finns endast en fasfördröjning, under vilken strikt linjäritet hos filterfaskarakteristiken kan uppnås. Av (15.9) följer att för en given som uppfyller villkor (15.8) måste impulssvaret ha en väldefinierad symmetri.
Det är lämpligt att överväga användningen av villkoren (15.8) och (15.9) separat för fallet med jämna och udda. Om ett udda tal, då ett heltal, det vill säga fördröjningen i filtret är lika med ett heltal av samplingsintervall. I detta fall faller symmetricentrum på referensen. Om det är ett jämnt tal är det ett bråktal och fördröjningen i filtret är lika med ett icke-heltals antal samplingsintervall. Till exempel, för vi får, och centrum för symmetri av impulssvaret ligger i mitten mellan två avläsningar.
Värdena på impulssvarskoefficienterna används för att beräkna frekvenssvaret för FIR-filtren. Det kan visas att för ett symmetriskt impulssvar med ett udda antal prover är uttrycket för en verklig funktion som tar positiva och negativa värden:
, (15.10)
Var
Oftast, när man designar ett FIR-filter, utgår man från det erforderliga (eller önskade) frekvenssvaret och beräknar sedan filterkoefficienterna. Det finns flera metoder för att beräkna sådana filter:fönsterbaserad designmetod, frekvenssamplingsmetod, metod för att beräkna det optimala (enligt Chebyshev) filtret.Tänk på idén med fönsterdesign med FIR-lågpassfiltret som ett exempel.
Först och främst ställs det önskade frekvenssvaret för det designade filtret in. Låt oss till exempel ta ett idealiskt kontinuerligt frekvenssvar för ett lågpassfilter med en förstärkning lika med enhet vid låga frekvenser och lika med noll vid frekvenser som överstiger några gränsfrekvens . En diskret representation av ett idealiskt lågpassfilter är en periodisk karakteristik, som kan ställas in av samplingar på ett periodicitetsintervall lika med samplingsfrekvensen. Att bestämma lågpassfilterkoefficienterna med inversa DFT-metoder (antingen analytiskt eller med ett inverst DFT-program) ger en sekvens av impulssvarsprover som är oändliga i båda riktningarna, som har formen av en klassisk funktion.
För att erhålla ett implementerbart icke-rekursivt filter av en given ordning, trunkeras denna sekvens, ett centralt fragment av den erforderliga längden väljs från den. Enkel trunkering av impulssvarsprover överensstämmer med användningrektangulärt fönster, givet speciell funktion På grund av provtrunkering är det ursprungligen givna frekvenssvaret förvrängt, eftersom det är en faltning i frekvensdomänen för det diskreta frekvenssvaret och DFT för fönsterfunktionen:
, (15.11)
där DFT Som ett resultat uppstår rippel i passbandet för frekvenssvaret på grund av sidoloberna.
För att mildra ovanstående effekter och framför allt för att minska nivån av lober i stoppbandet multipliceras det trunkerade impulssvaret med en viktfunktion (fönster) som gradvis minskar mot kanterna. Metoden att designa FIR-filter med fönster är således en metod för att minska fönstergap genom att använda icke-rektangulära fönster. I det här fallet måste viktfunktionen (fönstret) ha följande egenskaper:
Hamming, Kaiser, Blackman, Chebyshev, etc. fönster används som viktfunktioner.
Vetenskapen förfinar sinnet;
Inlärning skärper minnet.
Kozma Prutkov
kapitel 15
ELEMENT AV SYNTES AV LINJÄRA STATIONÄRA KRETS
15.1. Frågor som studeras
MED syntes av analoga bipolära nätverk. Syntes av stationära fyrpoler enligt ett givet frekvenssvar. Butterworth och Chebyshev filter.
Vägbeskrivning. När man studerar frågorna är det nödvändigt att tydligt förstå tvetydigheten i att lösa problemet med att syntetisera tvåterminalsnät och specifika sätt att lösa problemet enligt Foster och Cauer, samt att förvärva förmågan att bestämma möjligheten att implementera en eller en annan funktion av ingångsimpedansen hos ett tvåterminalsnätverk. När man syntetiserar elektriska filter baserade på prototypfilter är det viktigt att förstå fördelarna och nackdelarna med Chebyshev och Butterworth approximation av dämpningsegenskaper. Det är nödvändigt att snabbt kunna beräkna parametrarna för element i alla typer av filter (LPF, HPF, BPF) med hjälp av frekvensomvandlingsformler.
15.2. Kort teoretisk information
Inom kretsteorin är det vanligt att tala om strukturell och parametrisk syntes. Huvuduppgiften för struktursyntes är valet av strukturen (topologin) för kretsen som uppfyller förutbestämda egenskaper. I parametrisk syntes bestäms endast parametrarna och typen av element i kretsen, vars struktur är känd. I det följande kommer endast parametrisk syntes att diskuteras.
Som utgångspunkt i syntesen av tvåterminala nätverk används vanligtvis ingångsresistansen
Om en funktion ges kan den implementeras av en passiv krets under följande villkor: 1) alla koefficienter för polynomen i täljaren och nämnaren är reella och positiva; 2) alla nollor och poler är antingen i det vänstra halvplanet eller på den imaginära axeln, och polerna och nollorna på den imaginära axeln är enkla; dessa punkter är alltid antingen reella eller bildar komplexa konjugerade par; 3) de högre och lägre graderna av polynomen i täljaren och nämnaren skiljer sig inte med mer än en. Det bör också noteras att syntesproceduren inte är unik, dvs samma inmatningsfunktion kan implementeras på flera sätt.
Som de initiala strukturerna för de syntetiserade tvåterminala nätverken används vanligtvis Foster-kretsar, som är en serie- eller parallellkoppling i förhållande till respektive ingångsterminaler av flera komplexa resistanser och konduktanser, såväl som Cauer-stegkretsar.
Metoden för att syntetisera tvåterminalsnät är baserad på det faktum att en given ingång fungerar eller utsätts för en serie successiva förenklingar. Samtidigt tilldelas i varje steg ett uttryck, som är associerat med ett fysiskt element i den syntetiserade kretsen. Om alla komponenter i den valda strukturen identifieras med fysiska element, är syntesproblemet löst.
Syntesen av kvadripoler är baserad på teorin om lågpassprototypfilter. Möjliga alternativ prototyp LPF visas i fig. 15.1.
I beräkningen kan vilket som helst av scheman användas, eftersom deras egenskaper är identiska. Beteckningar i fig. 15.1 har följande betydelse: - induktansen för en seriespole eller kapacitansen för en parallell kondensator; – generatorresistans om , eller generatorkonduktivitet om ; – belastningsmotstånd , om eller belastningskonduktivitet, om .
Värdena för elementen i prototyperna är normaliserade så att gränsfrekvensen . Övergången från normaliserade prototypfilter till en annan nivå av motstånd och frekvenser utförs med hjälp av följande transformationer av kretselementen:
;
.
Värden med slag hänvisar till den normaliserade prototypen, och utan slag, till den transformerade kedjan. Det initiala värdet för syntes är arbetseffektdämpningen, uttryckt i decibel:
, dB,
är generatorns maximala effekt med internt motstånd och emf , är uteffekten i lasten.
Vanligtvis approximeras frekvensberoendet av den mest platta (Butterworth) karakteristiken (Fig. 15.2, A)
Var 
.
Värdet på driftdämpningen som motsvarar gränsfrekvensen väljs vanligtvis lika med 3 dB. Vart i . Parameter när lika med antalet aktiva kretselement och bestämmer ordningen på filtret.
Kretslära brukar delas in i två breda områden, nära besläktade med varandra - analys och syntes. Analysens uppgift är att hitta de yttre och interna egenskaperna hos en elektrisk krets, vars struktur är förutbestämd, till exempel i form av ett kretsschema. Uppgiften med kretssyntes är diametralt motsatt - den yttre karaktäristiken, såsom frekvensspänningsöverföringskoefficienten, ingångs- eller utgångsresistans, etc., anses vara känd. Det krävs att hitta en kretsstruktur som implementerar denna egenskap.
Till skillnad från analys är kedjesyntes i allmänhet en tvetydig procedur. Därför, bland uppsättningen av strukturer med samma egenskaper, är det nödvändigt att hitta den som är optimal i en viss mening. Så det är alltid önskvärt att den syntetiserade kretsen innehåller minsta möjliga antal element. I många fall är det nödvändigt att kretsen är okänslig för valet av värdena för de element som ingår i den.
Kretssyntes är ett utvecklat område inom modern teoretisk radioteknik. Ett antal syntesmetoder, ibland mycket komplexa, har utvecklats, som läsaren kan bekanta sig med på egen hand. Kretssyntesmetoder har fått exceptionellt stor betydelse i samband med införandet av datorstödda designsystem för radiotekniska anordningar.
I detta kapitel kommer vi att studera det enklaste problemet med att syntetisera frekvensfilter, som är linjära stationära kvadripoler som bildas av elementen L, C och R. De initiala data för syntes i alla fall kommer att ges av amplitud-frekvenskarakteristika.
Fyrpoler kallas elektriska kretsar som ser ut som en "svart låda" med två par tillgängliga klämmor. Ett par är ingången, det andra är utsignalen. I driftläge är en signalkälla ansluten till ingången och utgångsterminalerna belastas med belastningsmotstånd
Det förutsätts att läsaren är bekant med de metoder för analys av kvadripoler som presenteras i kretsteorikursen. Materialet i detta avsnitt belyser vissa aspekter som är väsentliga för syntesen av fyrpoler.
Den viktigaste egenskapen hos en linjär stationär kvadripol är att fyra komplexa amplituder vid valfri frekvens av yttre påverkan är relaterade till två linjära algebraiska ekvationer. Två godtyckligt valda komplexa amplituder kan tas som oberoende storheter, medan de andra två måste bestämmas utifrån dem. Detta fungerar som grund för matrisbeskrivningen av linjära fyrpoler. Så, en överföringsmatris (-matris) används ofta, förutsatt att spänningen och strömmen vid utgången är oberoende variabler. Vart i
Koefficienterna A, B, C och D har olika fysiska dimensioner och kan bestämmas från tomgångsexperiment och kortslutning. Överföringsmatriser är särskilt bekväma för att beskriva kaskadanslutningen av fyrpoler, eftersom den resulterande matrisen är produkten av matriser för individuella länkar.
Om matrisen för nätverket med fyra terminaler och belastningsmotståndet anges, kan de så kallade kretsfunktionerna beräknas, som till exempel inkluderar:
a) ingångsimpedans
b) överföringsmotstånd
c) frekvensspänningsöverföringskoefficient
Kretsens funktioner beror i det allmänna fallet på frekvensen. Varje funktion hos kretsen uttrycks genom elementen i den fyrpoliga matrisen och genom belastningsmotståndet. Så om vi delar vänster och höger sida av ekvation (13.1) i varandra finner vi att ingångsimpedansen
Likaså frekvensspänningsöverföringskoefficienten
Låt oss uppmärksamma det faktum att funktionen beror på riktningen för energiöverföringen i systemet. Om källan och belastningen är omvända, introduceras frekvensförstärkningen i motsatt riktning (belastning till vänster):
I framtiden kommer inte bara variabeln utan även den komplexa frekvensen att användas som argument för frekvensöverföringskoefficienten, dvs tillsammans med funktionen, mer generella egenskaper- Transmissionsfunktion. En kvadripols överföringsfunktion har alla egenskaperna hos överföringsfunktionerna för linjära stationära system som betraktas i kap. 8.
Således motsvarar en linjär kvadripol med konstanta parametrar funktionen
där är ett konstant värde. Om kretsen är stabil bör polerna placeras i det vänstra halvplanet och bilda komplexa konjugatpar.
Vanligtvis införs ett ytterligare villkor - antalet poler för funktionen måste överstiga antalet nollor, det vill säga vid en oändligt avlägsen punkt måste det inte finnas en pol, utan en nolla för överföringsfunktionen. Sedan kretsens impulssvar
visar sig vara begränsad, för med en oändligt stor radie av integrationskonturen C kan integrandens exponentialfaktor "släcka" integralen längs bågen.
I motsats till polerna kan nollorna för funktionen för en stabil linjär fyrpol placeras både i det vänstra och det högra halvplanet av variabeln. Ja, om då detta bara betyder att bilden av utgångsspänningen försvinner i vissa fall. Detta motsäger inte egenskaperna hos stabila system.
Fyrpoler som inte har nollor av överföringsfunktionen i det högra halvplanet kallas minimifaskretsar. Om det finns nollor i det högra halvplanet, kallas sådana kvadripoler icke-minimumfaskretsar.
Denna terminologi är förknippad med följande omständigheter. Betrakta planet för den komplexa frekvensen, på vilket vissa punkter är indikerade i vänster och höger halvplan. Låt dessa punkter vara nollorna för överföringsfunktionen för nätverket med fyra terminaler. Om kretsen är under harmonisk yttre verkan, så att dessa punkter motsvarar två vektorer på det komplexa planet: som motsvarar motsvarande faktorer i täljaren i formeln (13.5). Båda vektorerna roterar och ändrar sin längd när frekvensen ändras. Skillnaden mellan dem är att vektorn med frekvensändring från till ökar fasvinkeln för frekvensförstärkningen med radianer, medan vektorn under samma förhållanden minskar fasen lika mycket . Överföringskoefficienten för fyrpolen är en bråkdel rationell funktion, vars ändring i argumentet
Därför, med samma antal nollor och poler, ger icke-minimumfaskretsen ett större absolutvärde av förändringen i överföringskoefficientens fas jämfört med minimifaskretsen.
Placeringen av funktionens nollställen är relaterad till kedjans topologiska struktur. I kretsteorin är det visat att vilket fyrterminalsnät som helst med följande egenskap kommer att vara minimumfas: signalöverföring från ingång till utgång kan stoppas helt genom att bryta en enda gren. I synnerhet kommer minimifaskretsarna att vara alla kvadripoler av stegstrukturen.
Icke-minimumfas-kvadripoler har som regel strukturen av bro (korsade) kretsar, i vilka utsignalen passerar genom två eller flera kanaler. Den enklaste icke-minimumfaskretsen är en symmetrisk bryggkvadripol bildad av element. Här, som är lätt att se, spänningsöverföringsfunktionen
Denna funktion har en enda nolla som är i det högra halvplanet.
Brostrukturen garanterar dock inte automatiskt att kretsen tillhör den icke-minsta fasklassen. I varje separat fall det är nödvändigt att kontrollera närvaron eller frånvaron av nollor i överföringsfunktionen i det högra halvplanet.
Överföringsfunktionen för varje stabil kvadrupol i variabelns högra halvplan är en analytisk funktion. Om dessutom detta fyrterminalsnät tillhör antalet kretsar av minimifastyp, så har dess överföringsfunktion i det högra halvplanet inte heller nollor. Det betyder att funktionen är analytisk
I enlighet med materialet i kap. 5 gränsvärdena för de reella och imaginära delarna av funktionen på den imaginära axeln, det vill säga vid är sammankopplade av ett par Hilbert-transformationer:
Genom att realisera den givna AFC för ett fyrterminalsnät av minsta fastyp är det omöjligt att erhålla någon PFC i detta fall.
Baserat på egenskaperna hos Hilbert-transformerna kan det till exempel hävdas att om frekvenssvaret för ett minsta-fas tvåterminalsnät når ett maximum vid någon frekvens, så passerar PFC i närheten av denna frekvens genom noll .
Om kvadripolen tillhör klassen av icke-minimala faskretsar, är frekvenssvaret och fassvaret oberoende av varandra. Bland icke-minimumfaskretsar spelas en särskilt viktig roll av de så kallade allsändande kvadripolerna, där sändningskoefficientens modul är konstant och inte beror på frekvensen. Ett exempel är ett symmetriskt bro-fyraterminalnät, för vilket, i enlighet med jämlikhet (13.6)
Liknande fyrpoler används för faskorrigering av signaler. De gör det möjligt att delvis kompensera för distorsion i form av signaler som har passerat genom radiotekniska enheter.
