Интеграл Дюамеля.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

.

(1)

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Последовательность расчета с использованием
интеграла Дюамеля

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Исходные данные для расчета: , , .

1. Переходная проводимость

.

18. Передаточная функция .

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением или уравнениями в символической или операторной форме записи можно охарактеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией по входной величине u; и передаточной функцией по входной величине f.

и

Используя передаточные функции, уравнение записывают в виде . Это уравнение представляет собой условную более компактную запись форму записи исходного уравнения.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточные функции в форме изображений Лапласа и операторной форме с точностью до обозначений совпадают. Передаточную функцию в форме, изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку p=s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала - символическому умножению оригинала на p - при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем), т.е. только при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим простую RLC (последовательно) цепь, её передаточная функция W(p)=U ВЫХ /U ВХ

Интеграл Фурье.

Функция f (x ), определенная на всей числовой оси называется периодической , если существует такое число, что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т .

2) Если функция f (x ) период Т , то функция f (ax )имеет период .

3) Если f (x )- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f (x ) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:(1)

То это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

где n =1,2, . . .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье .

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x ), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n =1,2, . . .)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где .

Частотные функции.

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом .

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Учтем, что

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

W(j ), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией . Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на j в выражении W(p).

W(j ) есть комплексная функция, поэтому:

где P() - вещественная ЧХ (ВЧХ) ; Q() - мнимая ЧХ (МЧХ) ; А() - амплитудная ЧХ (АЧХ) : () - фазовая ЧХ (ФЧХ) . АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

;

Если W(j ) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j ), или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48).

Ветвь АФЧХ при изменении от - до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L() и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ().

Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L() = 20lgA(). Величина L() откладывается по оси ординат в децибелах .

Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

lg(P 2 /P 1) = lg(A 2 2 /A 1 2) = 20lg(A 2 /A 1).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой . Так как lg(0) = - , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина () откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: - + .

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

Обратные связи.

Принято считать, что звено охвачено обратной связью, если его выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на вход. При этом, если сигнал обратной связи вычитается из входного воздействия (), то обратную связь называют отрицательной. Если сигнал обратной связи складывается с входным воздействием (), то обратную связь называют положительной.

Передаточная функция замкнутой цепи с отрицательной обратной связью - звена, охваченного отрицательной обратной связью,- равна передаточной функции прямой цепи , деленной на единицу плюс передаточная функция разомкнутой цепи

Передаточная функция замкнутой цепи с положительной обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу минус передаточная функция разомкнутой цепи

22. 23. Четырёхполюсники .

При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников.

Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными.

Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов.

В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии.

Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением (см. рис. 1,а).

В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать

Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями и и двумя токами и . Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.

Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника

Форма	Уравнения	Связь с коэффициентами основных уравнений
А-форма	; ;
Y-форма	; ;	; ; ; ;
Z-форма	; ;	; ; ; ;
Н-форма	; ;	; ; ; ;
G-форма	; ;	; ; ; ;
B-форма	; .	; ; ; .

Характеристическое сопротивление и коэффициент
распространения симметричного четырехполюсника

В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е.

.

Это сопротивление обозначают как и называют характеристическим сопротивлением симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо

,

Министерство образования и науки Украины

Донецкий Национальный Университет

Доклад

на тему: Радиотехнические цепи и сигналы

Студента 3 курса дневного отделения НФ-3

Разработал студент:

Александрович С. В.

Проверил преподаватель:

Долбещенков В. В.

ВВЕДЕНИЕ

"Радиотехнические цепи и сигналы" (РТЦ и С) – курс, являющийся продолжением курса "Основы теории цепей". Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Излагаемые в курсе "РТЦ и С" методы анализа сигналов и радиотехнических цепей используют математические и физические сведения, в основном известные студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса "РТЦ и С" – научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный встретившейся проблеме, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической стороной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов.

Основные разделы, изучаемые в курсе "Радиотехнические цепи и сигналы":

1. Временной анализ цепей на основе свертки;

2. Спектральный анализ сигналов;

3. Радиосигналы с амплитудной, угловой модуляцией;

4. Корреляционный анализ сигналов;

5. Активные линейные цепи;

6. Анализ прохождения сигналов через узкополосные цепи;

7. Отрицательная обратная связь в линейных цепях;

8. Синтез фильтров;

9. Нелинейные цепи и методы их анализа;

10. Цепи с переменными параметрами;

11. Принципы генерирования гармонических колебаний;

12. Принципы обработки сигналов дискретного времени;

13. Случайные сигналы;

14. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи;

15. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи;

16. Оптимальная фильтрация детерминированных сигналов в шумах;

17. Оптимальная фильтрация случайных сигналов;

18. Численные методы расчета линейных цепей.

ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СВЕРТКИ

Переходная и импульсная характеристика

В основе временного метода лежит понятие переходной и им­пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз­действие единичной импульсной функции (d-функции). Обо­значается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t )определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зави­симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер­ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери­стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе­риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульс­ной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).

Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели­чины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t:

т. е. единичная импульсная функция рав­на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраня­ется и для импульсных и переходных реак­ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход­ной характеристики цепи.

Уравнение справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нуле­вые начальные условия для цепи). Если же g (0) ¹ 0, то предста­вив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им­пуль­сных характеристик цепи можно использо­вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос­то­ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функ­ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи или операторным мето­дом.

Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изо­бражение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для RС -цепи имеем:

Применив к Y (p ) теорему разложения, получим:

В табл. 1.1 сведены значения переходной и импульсных харак­теристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

Импульс является функцией без какой-либо поддержки времени. С дифференциальными уравнениями используется для получения естественного отклика системы. Естественным ее ответом является реакция на начальное состояние. Форсированный отклик системы - это ответ на вход, пренебрегая ее первичным формированием.

Поскольку импульсная функция не имеет какой-либо поддержки времени, можно описать любое начальное состояние, возникающее из соответствующей взвешенной величины, которая равна массе тела, произведенной на скорость. Любая произвольная входная переменная может быть описана как сумма взвешенных импульсов. В результате, для линейной системы описывается как сумма «естественных» ответов на состояния, представленные рассматриваемыми величинами. Это то, что объясняет интеграл.

Когда вычисляется импульсная характеристика системы, по существу, производится естественный отклик. Если исследуется сумма или интеграл свертки, в основном решается этот вход в ряд состояний, а затем изначально сформированный ответ на эти состояния. Практически для импульсной функции можно привести пример удара в боксе, который длится очень мало, и после этого не будет следующего. Математически он присутствует только в начальной точке реалистической системы, имеющей высокую (бесконечную) амплитуду в этом пункте, а затем постоянно гаснет.

Импульсная функция определяется следующим образом: F(X)=∞∞ x=0=00, где ответ представляет собой характеристику системы. Рассматриваемая функция на самом деле является областью прямоугольного импульса при x=0, ширина которого считается равной нулю. При x=0 высоты h и его ширины 1/h это фактическое начало. Теперь, если ширина становится незначительной, то есть почти стремится к нулю, это делает соответствующую высоту h величины, стремящейся к бесконечности. Это определяет функцию как бесконечно высокую.

Ответ конструкции

Импульсная характеристика следующая: всякий раз, когда системе (блоку) или процессору присваивается входной сигнал, он изменяет или обрабатывает его, чтобы дать желаемое выходное предупреждение в зависимости от функции передачи. Отклик системы помогает определить основные положения, конструкцию и реакцию для любого звука. Дельта-функция является обобщенной, которая может быть определена как предел класса указанных последовательностей. Если принимать импульсного сигнала, то разумеется, что оно является спектром постоянного тока в частотной области. Это означает, что все гармоники (в диапазоне от частоты до +бесконечности) способствуют рассматриваемому сигналу. Спектр частотной характеристики указывает, что эта система обеспечивает такой порядок усиления или ослабления этой частоты или подавляет эти колеблющиеся составляющие. Фазовый говорит о сдвиге, предоставляемом для разных гармоник частоты.

Таким образом, импульсные характеристики сигнала указывают на то, что он содержит в себе весь диапазон частот, поэтому используется для тестирования системы. Потому что, если применять какой-либо другой метод оповещения, то у него не будет всех необходимых сконструированных деталей, следовательно, реакция останется неизвестной.

Реакция устройств на внешние факторы

При обработке оповещения импульсная характеристика представляет собой ее выход, когда он представлен кратким входным сигналом, называемым импульсом. В более общем плане является реакцией любой динамической системы в ответ на некоторые внешние изменения. В обоих случаях импульсная характеристика описывает функцию времени (или, возможно, как некоторой другой независимой переменной, которая параметризирует динамическое поведение). Она имеет бесконечную амплитуду только при t=0 и нулевую всюду, и, как следует из названия, ее импульс i, e действует в течение короткого промежутка.

При применении любая система имеет функцию передачи от входа к выходу, которая описывает ее как фильтр, влияющий на фазу и указанную выше величину в частотном диапазоне. Эта частотная характеристика с использованием импульсных методов, измеренная или рассчитанная в цифровом виде. Во всех случаях динамическая система и ее характеристика могут быть реальными физическими объектами или математическими уравнениями, описывающими такие элементы.

Математическое описание импульсов

Поскольку рассматриваемая функция содержит все частоты, критерии и описание определяют отклик линейной временной инвариантной конструкции для всех величин. Математически как описывается импульс, зависит от того, смоделирована ли система дискретным или непрерывным временем. Его можно моделировать как дельта-функцию Дирака для систем непрерывного времени или как величину Кронекера для конструкции с прерывным действием. Первая представляет собой предельный случай импульса, который был очень коротким по времени, сохраняя свою площадь или интеграл (тем самым давая бесконечно высокий пик). Хотя это невозможно в любой реальной системе, это полезная идеализация. В теории анализа Фурье такой импульс содержит равные части всех возможных частот возбуждения, что делает его удобным тестовым зондом.

Любая система в большом классе, известная как линейная, инвариантная по времени (LTI), полностью описывается импульсной характеристикой. То есть для любого входа выход можно рассчитать в терминах ввода и непосредственной концепции рассматриваемой величины. Импульсное описание линейного преобразования представляет собой образ дельта-функции Дирака при преобразовании, аналогичный фундаментальному решению дифференциального оператора с частными производными.

Особенности импульсных конструкций

Обычно проще анализировать системы, используя передаточные импульсные характеристики, а не ответы. Рассматриваемая величина представляет собой преобразование Лапласа. Усовершенствование ученым выходного сигнала системы может быть определено умножением передаточной функции на это действие ввода в комплексной плоскости, также известной как частотная область. Обратное преобразование Лапласа этого результата даст выход во временной области.

Для определения выхода непосредственно во временной области требуется свертка входа с импульсной характеристикой. Когда передаточная функция и преобразование Лапласа ввода известны. Математическая операция, применяющаяся на двух элементах и реализующая третий, может быть более сложной. Некоторые предпочитают альтернативу - умножение двух функций в частотной области.

Реальное применение импульсной характеристики

В практических системах невозможно создать идеальный импульс для ввода данных для тестирования. Поэтому короткий сигнал иногда используется в качестве приближения величины. При условии, что импульс достаточно короткий, по сравнению с откликом, результат будет близок к истинному, теоретическому. Однако во многих системах вхождение с очень коротким сильным импульсом может привести конструкцию в нелинейный режим. Поэтому вместо этого она управляется псевдослучайной последовательностью. Таким образом, импульсная переходная характеристика рассчитывается из входных и выходных сигналов. Отклик, рассматриваемый как функция Грина, можно рассматривать как «влияние» - как точка входа влияет на выход.

Характеристики импульсных устройств

Колонки являются приложением, которое демонстрирует саму идею (была разработка тестирования импульсного отклика в 1970-х годах). Громкоговорители страдают от неточности фазы, дефекта, в отличие от других измеренных свойств, таких как частотная характеристика. Этот недоработанный критерий вызван (слегка) задержанными колебаниями/октавами, которые в основном являются результатом пассивных кросс-передач (особенно фильтров более высокого порядка). Но также вызваны резонансом, внутренним объемом или вибрированием панелей корпуса. Отклик - конечная импульсная характеристика. Его измерение обеспечило инструмент для использования в уменьшении резонансов за счет применения улучшенных материалов для конусов и корпусов, а также изменения кроссовера динамиков. Необходимость ограничить амплитуду для поддержания линейности системы привела к использованию входов, таких как псевдослучайные последовательности максимальной длины, и к помощи компьютерной обработки для получения остальных сведений и данных.

Электронное изменение

Анализ импульсного отклика является основным аспектом радиолокации, ультразвуковой визуализации и многих областей цифровой обработки сигналов. Интересным примером могут быть широкополосные интернет-соединения. DSL-услуги используют методы адаптивного выравнивания, чтобы помочь компенсировать искажения и помехи сигнала, введенные медными телефонными линиями, используемыми для доставки услуги. В их основе лежат устаревшие цепи, импульсная характеристика которых оставляет желать лучшего. На смену пришли модернизированные покрытия для использования Интернета, телевидения и других устройств. Эти усовершенствованные конструкции способны улучшать качество, особенно с учетом того, что современный мир - это сплошное интернет-соединение.

Системы контроля

В теории управления импульсная характеристика представляет собой отклик системы на вход дельта Дирака. Это полезно при анализе динамических конструкций. Преобразование Лапласа дельта-функции равно единице. Поэтому импульсная характеристика эквивалентна обратному преобразованию Лапласа передаточной функции системы и фильтру.

Акустические и звуковые приложения

Здесь импульсные ответы позволяют записывать звуковые характеристики местоположения, например, концертного зала. Доступны различные пакеты, содержащие оповещения от конкретных мест, от небольших комнат до крупных концертных залов. Эти импульсные отклики могут затем использоваться в приложениях реверберации свертки, чтобы позволить акустическим характеристикам конкретного местоположения применяться к целевому звуку. То есть по факту происходит анализ, разделение различных оповещений и акустики через фильтр. Импульсная характеристика в данном случае способна дать возможность выбора пользователю.

Финансовая составляющая

В современном макроэкономическом моделировании функции импульсного ответа используются для описания того, как она реагирует со временем на экзогенные величины, которые научные исследователи обычно называют потрясениями. И часто имитируются в контексте векторной авторегрессии. Импульсы, которые часто считаются экзогенными, с макроэкономической точки зрения включают изменения в государственных расходах, ставках налогов и других параметрах финансовой политики, изменения денежной базы или других параметров капитала и кредитной политики, перемены производительности или других технологических параметров; преобразование в предпочтениях, такие как степень нетерпения. Функции импульсного отклика описывают реакцию эндогенных макроэкономических переменных, таких как выход, потребление, инвестиции и занятость во время шока и в последующие моменты времени.

Конкретнее об импульсе

По существу дела, ток и импульсная характеристика взаимосвязаны. Потому что каждый сигнал может быть смоделирован как серия. Это происходит ввиду наличия определенных переменных и электричества или генератора. Если система является как линейной, так и временной, реакция прибора на каждый из откликов может быть вычислена с использованием рефлексов рассматриваемой величины.

Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых ис точников тока и напряжения. Пусть внешнее воздействие на цепь представляет со

Переходной характеристикой g (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей незави симых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздейст вие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых начальных условиях:

реходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единич­ ного скачка тока или напряжения. Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимо сти или быть безразмерной величиной.

Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму бесконечно короткого им пульса бесконечно большой высоты и конечной площади А И :

и .

Реакцию цепи на это воздействие при нулевых начальных условиях обозначим

Импульсной характеристикой h (t -t 0 ) линейной цепи, не содержащей неза висимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздей ствие бесконечно короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной площади к площади этого импульса при нулевых начальных условиях:

⁄ и .

Как следует из выражения (6.109), импульсная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса (А И = 1). Размерность им пульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произве дению размерности внешнего воздействия на время.

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, пере ходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздей ствием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от комплексной частотной и опера торной характеристик аргументом переходной и импульсной характеристик явля ется время t , а не угловая ω или комплексная р частота. Так как характеристики це пи, аргументом которых является время, называются временны́ми, а аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными характери

стиками (см. модуль 1.5), то переходная и импульсная характеристики относятся к временны́м характеристикам цепи.

Каждой паре « внешнее воздействие на цепь - реакция цепи » можно поставить в соответствие определенную комплексную частотную

Для установления связи между этими характеристиками найдем операторные изображения переходной и импульсной характеристик. Используя выражения

(6.108), (6.109), запишем

		Операторные изображения реакции цепи на внеш
ние воздействия. Выражая			через операторные изображения внешних
воздействий				Аи		; получаем
	0 операторные изображения переходной и импульсной характери
стик имеют особенно простой вид:
Таким образом, импульсная характеристика цепи							Это функция, изо

бражение которой по Лапласу, представляет собой операторную характеристику це

между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, им пульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапла са найти соответствующую операторную характеристику цепи

Используя выражения (6.110) и теорему дифференцирования (6.51), нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками:

Следовательно, импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени. В связи с тем, что переходная характери стика цепи g (t-t 0 ) численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка напряжения или тока, приложенного к цепи с нулевыми начальными условиями, значения функции g (t-t 0 ) при t < t 0 равны нулю. Поэтому, строго говоря, переход ную характеристику цепи следует записывать как g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ), а не g (t-t 0 ). За меняя в выражении (6.112) g (t-t 0 ) на g (t-t 0 ) ∙ 1(t-t 0 ) и используя соотношение (6.104), получаем

Выражение (6.113) известно под названием формулы обобщенной производ­ ной . Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную пере ходной характеристики при t > t 0 , а второе слагаемое содержит произведение δ функции на значение переходной характеристики в точке t = t 0 . Если при t = t 0 функ ция g (t-t 0 ) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи содер жит δ функцию, умноженную на высоту скачка переходной характеристики в точке t = t 0 . Если функция g (t-t 0 ) не претерпевает разрыва при t = t 0 , т. е. значение переход ной характеристики в точке t = t 0 равно нулю, то выражение для обобщенной произ водной совпадает с выражением для обычной производной.

Методы определения временных характеристик

Для определения временны́х характеристик линейной цепи в общем случае не обходимо рассмотреть переходные процессы, имеющие место в данной цепи при воздействии на нее единичного скачка (единичного импульса) тока или напряже ния. Это может быть выполнено с помощью классического или операторного метода анализа переходных процессов. На практике для нахождения временных характери стик линейных цепей удобно использовать другой путь, основанный на применении соотношений, устанавливающих связь между частотными и временными характери стиками. Определение временных характеристик в этом случае начинается с состав

операторную характеристику цепи и применяя соотношения (6.110) или (6.111), оп ределяют искомые временные характеристики.

щающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емко стей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии. На втором этапе (при) действие приложенного к цепи внешне го воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии вы ключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных эле ментах на первой стадии переходного процесса. Таким образом, импульсная харак теристика цепи, численно равная реакции на воздействие единичного импульса то ка или напряжения, характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.

Пример6.7.Для цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2―2". Внешнее воздейст

вие на цепь ― напряжение на зажимах 1―1"		Реакция цепи ― напряжение на зажи

Операторная характеристика данной цепи, соответствующая заданной паре «внеш нее воздействие на цепь ― реакция цепи», была получена в примере 6.5:

х ⁄ .

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характери стик цепи имеют вид

⁄ ;

1 ⁄ 1 ⁄ .

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа см. приложение 1 , пере ходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам рис. 6.20, а, б:

Отметим, что выражение для импульсной характеристики цепи может быть полу чено и с помощью формулы 6.113 , примененной к выражению для переходной характери стики цепи g t .

Для качественного объяснения вида переходной и импульсной характеристик цепи в данном включении рис. 6.20, а, б подсоединим к зажимам 1-1" независимый источник напряжения рис. 6.20, в. Переходная характеристика данной цепи численно рав на напряжению на зажимах 2-2" при воздействии на цепь единичного скачка напряжения

1 В и нулевых начальных условиях. В начальный момент времени после коммута

ции сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому при t
на выходе цепи равно напряжению на зажимах 1-1": u 2 |t 0	u 1| t 0	1 В. С течением вре
мени напряжение на индуктивности уменьшается, стремясь к нулю при t			∞ . В соответст
вии с этим переходная характеристика начинается от значения g 0		1 и стремится к нулю
Импульсная характеристика цепи численно равна напряжению на зажимах 2 - 2"
при приложении к входу цепи единичного импульса напряжения e t		Академия России Кафедра Физики Лекция Переходные и импульсные характеристики электрических цепей Орел 2009 Учебные и воспитательные цели: Разъяснить слушателям сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей, показать связь между характеристиками, обратить внимание на применение рассматриваемых характеристик для анализа и синтеза ЭЦ, нацелить на качественную подготовку к практическому занятию. Распределение времени лекции Вступительная часть……………………………………………………5 мин. Учебные вопросы: 1. Переходные характеристики электрических цепей………………15 мин. 2. Интегралы Дюамеля………………………………………………...25 мин. 3. Импульсные характеристики электрических цепей. Связь между характеристиками………………………………………….………...25 мин. 4. Интегралы свертки………………………………………………….15 мин. Заключение……………………………………………………………5 мин. 1. Переходные характеристики электрических цепей Переходная характеристика цепи (как и импульсная) относится к временным характеристикам цепи, т. е. выражает некоторый переходный процесс при заранее установленных воздействиях и начальных условиях. Для сравнения электрических цепей по их реакции к этим воздействиям, необходимо цепи поставить в одинаковые условия. Наиболее простыми и удобными являются нулевые начальные условия. Переходной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях. По определению , – реакция цепи на ступенчатое воздействие; – величина ступенчатого воздействия [В] или [А]. и делится на величину воздействия (это вещественное число), то фактически – реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие. Если переходная характеристика цепи известна (или может быть вычислена), то из формулы можно найти реакцию этой цепи на ступенчатое воздействие при нулевых НУ Установим связь между операторной передаточной функцией цепи, которая часто известна (или может быть найдена), и переходной характеристикой этой цепи. Для этого используем введенное понятие операторной передаточной функции: Отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине воздействия представляет собой операторную переходную характеристику цепи: Следовательно . Отсюда находится операторная переходная характеристика цепи по операторной передаточной функции. Для определения переходной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа: , воспользовавшись таблицей соответствий или (предварительно) теоремой разложения. Пример: определить переходную характеристику для реакции напряжение на емкости в последовательной -цепи (рис. 1): Здесь реакция на ступенчатое воздействие величиной : откуда переходная характеристика: Переходные характеристики наиболее часто встречающихся цепей найдены и даны в справочной литературе. 2. Интегралы Дюамеля Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие. Установим эти соотношения. Условимся, что воздействие является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени , а начальные условия – нулевые. Заданное воздействие можно представить как сумму ступенчатого воздействия приложенного к цепи в момент и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения показано на рисунке 2. Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени . Ступенчатое воздействие с перепадом к моменту времени обуславливает реакцию, равную произведению перепада на значение переходной характеристики цепи при , т. е. равную: Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом , обуславливает бесконечно малую реакцию , где есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения. Так как по условию функция непрерывна, то: В соответствии с принципом наложения реакции будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения , т. е. Обычно в последней формуле заменяют просто на , поскольку найденная формула верна при любых значениях времени : Тематические материалы: Практика PHP: сравнение строк Функционал PHP: сравнение строк Как пользоваться расширением wordstat assistant от Яндекса Вордстат хелпер для яндекса Советы по поиску удаленной работы для новичков Купон на получение подарка sunlight Как конвертировать программой snagit v 7 Как удалить удаленные файлы с жесткого диска Отличный проект для заработка! Плейлист радио для aimp Как добавить радиостанцию в aimp 3 Обновлено: 28.11.2021 103583 Если заметили ошибку, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter ПОДЕЛИТЬСЯ: Рубрики сайта Ремонт Интернет Программы Windows Восстановление Устройства Ноутбуки Вирусы Главная О журнале Контакты Реклама Copyright © 2024 sukachoff.ru - Windows. Вирусы. Ноутбуки. Интернет. Office. Утилиты. Драйверы