Определение 1
Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.
Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.
Определение 2
Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.
Определение 3
Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.
При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:
Рисунок 1.
Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.
Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка) , $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.
Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.
Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.
Рисунок 2.
Пример 1
Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$.
Решение:
Определим количество строк:
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Количество переменных – $3$.
дизъюнкция ($\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$) – искомое логическое выражение.
Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.
Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.
Рисунок 3.
Пример 2
По данному логическому выражению построить таблицу истинности:
Решение:
Определим количество строк:
Количество простых выражений – $n=3$, значит
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Определим количество столбцов:
Количество переменных – $3$.
Количество логических операций и их последовательность:
дизъюнкция – искомая логическая функция ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$).
Информатика: аппаратные средства персонального компьютера Яшин Владимир Николаевич
4.3. Логические функции и таблицы истинности
Соотношения между логическими переменными и логическими функциями в алгебре логики можно отобразить также с помощью соответствующих таблиц, которые носят название таблиц истинности. Таблицы истинности находят широкое применение, поскольку наглядно показывают, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее логических переменных. Таблица истинности состоит из двух частей. Первая (левая) часть относится к логическим переменным и содержит полный перечень возможных комбинаций логических переменных А, В, С… и т. д. Вторая (правая) часть этой таблицы определяет выходные состояния как логическую функцию от комбинаций входных величин.
Например, для логической функции F = A v B v C (дизъюнкции) трех логических переменных А, В, и С таблица истинности будет иметь вид, показанный на рис. 4.1. Для записи значений логических переменных и логической функции данная таблица истинности содержит 8 строк и 4 столбца, т. е. число строк для записи значений аргументов и функции любой таблицы истинности будет равно 2 n , где п – число аргументов логической функции, а число столбцов равно п + 1.
Рис. 4.1. Таблица истинности для логической функции F = A v В v С
Таблицу истинности можно составить для любой логической функции, например, на рис. 4.2 приведена таблица истинности логической функции F = A ? B ? C (эквиваленции).
Логические функции имеют соответствующие названия. Для двух двоичных переменных существует шестнадцать логических функций, названия которых приведены ниже. На рис. 4.3 представлена таблица, в которой приведены логические функции F 1 , F 2 , F 3 , … , F 16 двух логических переменных A и В.
Функция F 1 = 0 и называется функцией константы нуля, или генератора нуля.
Рис. 4.2. Таблица истинности для логической функции F = A ? B ? C
Рис. 4.3. Логические функции F 1 , F 2 , F 3 ,… F 16 двух аргументов А и В
Функция F 2 = A & B называется функцией конъюнкции.
А.
Функция F 4 = А А.
называется функцией запрета по логической переменной В.
Функция F 6 = В называется функцией повторения по логической переменной В.
называется функцией исключающее «ИЛИ».
Функция F 8 = A v В называется функцией дизъюнкции.
называется функцией Пирса.
называется функцией эквиваленции.
В.
Функция F 12 = B ? A B ? A.
называется функцией отрицания (инверсии) по логической переменной А.
Функция F 14 = A ? B называется функцией импликации A ? B .
называется функцией Шеффера.
Функция F 16 = 1 называется функцией генератора 1.
Среди перечисленных выше логических функций переменных можно выделить несколько логических функций, с помощью которых можно выразить другие логические функции. Операцию замены одной логической функции другой в алгебре логики называют операцией суперпозиции или методом суперпозиции. Например, функцию Шеффера можно выразить при помощи логических функций дизъюнкции и отрицания, используя закон де Моргана:
Логические функции, с помощью которых можно выразить другие логические функции методом суперпозиции, называются базовыми логическими функциями. Такой набор базовых логических функций называется функционально полным набором логических функций. На практике наиболее широко в качестве такого набора используют три логических функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Если логическая функция представлена с помощью базовых функций, то такая форма представления называется нормальной. В предыдущем примере логическая функция Шеффера, выраженная через базовые функции, представлена в нормальной форме.
При помощи набора базовых функций и соответствующих им технических устройств, реализующих эти логические функции, можно разработать и создать любое логическое устройство или систему.
Рис. 4.4. Диалоговое окно «Мастер функций – шаг 1 из 2»
Как видно из рис. 4.4, в состав логических функций программы MS Excel входит функционально полный набор логических функций, состоящий из следующих логических функций: И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция), НЕ (отрицание). Таким образом, с помощью функционально полного набора логических функций программы MS Excel можно реализовать другие функции. Логическая функция ЕСЛИ (импликация), также входящая в логические функции MS Excel, выполняет логическую проверку и в зависимости от результата проверки выполняет одно из двух возможных действий. В данной программе она имеет следующий формат: = ЕСЛИ (арг1;арг2;арг3), где арг1 – логическое условие; арг2 – возвращаемое значение при условии, что значение аргумента арг1 выполняется (ИСТИНА); арг3 – возвращаемое значение при условии, что значение аргумента арг1 не выполняется (ЛОЖЬ). Например, если в произвольную ячейку листа программы MS Excel ввести выражение « = ЕСЛИ (А1 = 5; „пять“; „не пять“)», то при вводе числа 5 в ячейку А1 и нажатии клавиши «Enter» в ячейке А1 автоматически будет записано слово «пять», при вводе любого другого числа в ячейку А1 в ней запишется слово «не пять». Как уже отмечалось, с помощью логических функций программы MS Excel можно представить другие логические функции и соответствующие им таблицы истинности.
Реализуем с помощью логических функций ЕСЛИ и И модифицированную таблицу истинности логической функции F = А & В (конъюнкции), состоящую из двух строк и трех столбцов, которая позволяет при изменении значений (0 или 1) логических переменных А и В автоматически устанавливать, например, в ячейке Е6 значение функции F = А & В, соответствующее значениям этих логических переменных. Для этого в ячейку Е6 введем следующее выражение: «=ЕСЛИ(И(С6;D6);1;0)», тогда при вводе в ячейки С6 и D6 значений 0 или 1 в ячейке Е6 будет выполняться логическая функция F = А & В. Результат этих действий представлен на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Реализация модифицированной таблицы истинности логической функции F = A & В
Данный текст является ознакомительным фрагментом. Из книги автораЛогические функции XPath XPath также поддерживает следующий набор логических функций: boolean(). Приводит аргумент к логическому значению; false(). Возвращает false (ложь); lang(). Проверяет, совпадает ли язык, установленный в атрибуте xml:lang, с языком, переданным в функцию; not().
Из книги автораЛогические операторы Логические операторы выполняют действия над логическими значениями. Все они приведены в табл. 14.5. А в табл. 14.6 и 14.7 показаны результаты выполнения этих операторов.Основная область применения логических операторов - выражения сравнения (о них см.
Из книги автораЛогические функции определения типа переменной is_scalarПроверяет, является ли переменная простой.Синтаксис:bool is_scalar(mixed var)Возвращает true, если var имеет скалярный тип (чила, строки, логические значения), но не комплексный (массивы или объекты).is_nullПроверяет, является ли
Из книги автора1. Логические команды Наряду со средствами арифметических вычислений, система команд микропроцессора имеет также средства логического преобразования данных. Под логическими понимаются такие преобразования данных, в основе которых лежат правила формальной
Из книги автораЛогические И и ИЛИ Вы уже видели, что такое управляющие структуры и как их использовать. Для решения тех же задач есть еще два способа. Это логическое И - "&&" и логическое "ИЛИ" - « || ». Логическое И используется следующим образом:выражение_1&&выражение_2Сначала
Из книги автораЛогические функции Логические функции могут найти применение при математических, инженерных вычислениях или при сравнительном анализе данных. Мы рассмотрим одну логическую функцию на примере функции ЕСЛИ.С помощью функции ЕСЛИ вы можете создать логическое выражение и
Из книги автораIV. Логические операции Обычно логические операции "считают" условные выражения операндами. Операция! имеет один операнд, расположенный справа. Остальные операции имеют два операнда: один слева и один справа. && Логическое И: результат операции имеет значение "истина",
Из книги автораЛогические операции Логические операции выполняют над своими операндами логические функции И (&&) и ИЛИ (||). Операнды логических операций могут иметь целый, плавающий тип, либо быть указателями. Типы первого и второго операндов могут различаться. Сначала всегда
Из книги автора12.3.4. Логические объекты-функции Логические объекты-функции поддерживают операции "логическое И" (возвращает true, если оба операнда равны true, – применяет оператор &&, аcсоциированный с типом Type), "логическое ИЛИ" (возвращает true, если хотя бы один из операндов равен true, –
Из книги автораЛогические операторы Firebird предоставляет три логических оператора, которые могут работать с другими предикатами разными способами.* NOT задает отрицание условия поиска, к которому он применяется. Он имеет наивысший приоритет.* AND создает сложный предикат, объединяет два
Из книги автораПонимание истинности и ложности Семантически, если предикат возвращает "неопределенность", это не является ни истиной, ни ложью. В SQL при этом утверждения разрешаются только в виде "истина" или "ложь" - утверждение, которое не вычисляется как "истина", рассматривается как
Из книги автораЛогические операции В XSLT имеются две логические операции - or и and. Эти операции бинарны, то есть каждая из них определена для двух операндов. Если операнды не являются булевыми значениями, они неявным образом приводятся к булевому типу.Семантика or и and очевидна - они
Из книги автораЛогические операции К логическим относятся бинарные операции and, or и xor, а также унарная операция not, имеющие операнды типа boolean и возвращающие значение типа boolean. Эти операции подчиняются стандартным правилам логики: a and b истинно только тогда, когда истинны a и b, a or b истинно
Из книги автора4.1. Логические переменные и логические операции Информация (данные, машинные команды и т. д.) в компьютере представлена в двоичной системе счисления, в которой используется две цифры – 0 и 1. Электрический сигнал, проходящий по электронным схемам и соединительным
Из книги автораЛогические нарушения Если накопитель исправен физически, но представляется как пустой или неформатированный, а находящиеся на нем данные не видны операционной системе, то в данном случае повреждены служебные таблицы файловой системы.Данные почти всегда остаются на
Из книги автораЛогические функции в Excel При расчетах часто приходится выбирать формулу в зависимости от конкретных условий. Например, при расчете заработной платы могут применяться разные надбавки в зависимости от стажа, квалификации или конкретных условий труда, которые вычисляются
Продолжительность урока: 45 мин
Тип урока: комбинированный:
Цели урока:
План урока:
Оборудование и программный материал:
Ход урока
I. Организационный момент
Мы продолжаем изучение темы “Основы логики”. На предыдущих уроках мы увидели, что логика достаточно крепко связана с нашей повседневной жизнью, а также увидели, что почти любое высказывание можно записать в виде формулы.
II. Повторение материала предыдущего урока
Давайте вспомним основные определения и понятия:
| Вопрос | Ответ |
| 1. Какое предложение является высказыванием? | Повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается |
| 2. На какие виды делятся высказывания по своей структуре? | Простые и сложные |
| 3. Истинность каких высказываний является договорной? | Простых |
| 4. Истинность каких высказываний вычисляется? | Сложных |
| 5. Как обозначаются простые высказывания в алгебре высказываний? | Логическими переменными |
| 6. Как обозначается истинность таких высказываний? | 1 и 0 |
| 7. Что связывает переменные в формулах алгебры высказываний? | Логические операции |
| 8. Перечислите их. | Инверсия (отрицание) Конъюнкция (умножение) Дизъюнкция (сложение) Импликация (следование) Эквиваленция (равносильность) |
| 9. Определите, соответствует ли формула сложному высказыванию. Назовите простые высказывания. Определите причину несоответствия. (Задание на экране) | Нет, неправильно поставлен знак |
| 10. Определите, соответствует ли формула сложному высказыванию. Назовите простые высказывания. Определите причину несоответствия. (Задание на экране) | Да |
III. Объяснение нового материала
Последние два примера относятся к сложным высказываниям. Как же определить истинность сложных высказываний?
Мы говорили, что она вычисляется. Для этого в логике существуют таблицы для вычисления истинности составных (сложных) высказываний. Они называются таблицами истинности.
Итак, тема урока ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ.
3.1) Определение. Таблица истинности – это таблица, показывающая истинность сложного высказывания при всех возможных значениях входящих переменных (Рисунок 1).
3.2) Разберем подробнее каждую логическую операцию в соответствии с ее определением:
1. Инверсия (отрицание) – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
Эта операция относится только к одной переменной, поэтому для нее отведено только две строки, т.к. одна переменная может иметь одно из двух значений: 0 или 1.
2. Конъюнкция (умножение)– это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Легко увидеть, что данная таблица действительно похожа на таблицу умножения.
3. Дизъюнкция (сложение) – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
Можно убедиться, что таблица похожа на таблицу сложения кроме последнего действия. В двоичной системе счисления 1 + 1 = 10, в десятичной – 1 + 1 = 2. В логике значения переменной 2 невозможно, рассмотрим 10 с точки зрения логики: 1 – истинно, 0 – ложно, т.о. 10 – истинно и ложно одновременно, чего быть не может, поэтому последнее действие строго опирается на определение.
4. Импликация (следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие истинное, а следствие ложно.
5. Эквиваленция (равносильность) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны.
Последние две операции были разобраны нами на предыдущем уроке.
3.3) Разберем алгоритм составления таблицы истинности для сложного высказывания:
3.4) Рассмотрим пример составления таблицы истинности для сложного высказывания:
Пример. Построить таблицу истинности для формулы: А U В -> ¬А U С.
Решение (Рисунок 2)
Из примера видно, что таблицей истинности является не все решение, а только последнее действие (столбец, выделенный красным цветом).
IV. Закрепление.
Для закрепления материала вам предлагается решить самостоятельно примеры под буквами а, б, в, дополнительно г–ж (Рисунок 3).
V. Домашнее задание, обобщение материала.
Домашнее задание дано вам также на экране монитора (Рисунок 4)
Обобщение материала: сегодня на уроке мы научились определять истинность составных высказываний, но больше с математической точки зрения, так как вам были даны не сами высказывания, а формулы, отображающие их. На следующих уроках мы закрепим эти умения и постараемся их применить к решению логических задач.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. – задание № 2
Миша заполнял таблицу истинности функции (¬x /\ ¬y) \/ (y≡z) \/ ¬w, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x,
y, z.
Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z.
В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы
в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x \/ y, зависящим от двух переменных, а фрагмент таблицы имел бы вид
то первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму столбцу – переменная x. В ответе следовало бы написать yx.
(¬x ¬y)+(y≡z)+¬w=0
w=1 w должно быть истинным; w — последний
y и z должны быть разными, поэтому перед последним, это x. первые два y и z или z и y.
y и x не могут быть ложными одновременно.первый — z.
Ответ: zyxw
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2018 г. – задание № 2
Логическая функция F задаётся выражением ¬x \/ y \/ (¬z /\ w). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w, x, y, z
В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно. Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x\/y, зависящим от двух переменных: x и y, и был приведён фрагмент её таблицы истинности, содержащий все наборы аргументов, при которых функция истинна.
Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму столбцу – переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.
Ответ: xzwy
Логическая функция F задаётся выражением x /\ ¬y /\ (¬z \/ w ).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F , содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.
Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных w , x , y , z .
В ответе напишите буквы w , x , y , z в том порядке, в котором идут
соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому
столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы
в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить
не нужно.
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017 г. – задание№2
Решение:
Конъюнкция (логическое умножение) истинна тогда и только тогда, когда истинны все высказывания. Следовательно переменной х 1 .
Переменной ¬y должен соответствовать тот столбец, в котором все значения равны 0 .
Дизъюнкция (логическое сложение) двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание.
Дизъюнкция ¬z \/ y
z=0
, w=1
.
Таким образом, переменной ¬z w соответствует столбец с переменной 4 (4 столбец).
Ответ: zyxw
Демонстрационный вариант ЕГЭ 2016 г. – задание№2
Логическая функция F задаётся выражением (¬z)/\x \/ x/\y. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z .
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая 1-му столбцу; затем – буква, соответствующая 2-му столбцу; затем – буква, соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример . Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и таблица истинности:
Тогда 1-му столбцу соответствует переменная y, а 2-му столбцу
соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.
Решение:
1. Запишем заданное выражение в более простых обозначениях:
¬z*x + x*y = x*(¬z + y)
2. Конъюнкция (логическое умножение) истинна тогда и только тогда, когда истинны все высказывания. Следовательно, чтобы функция (F ) была равна единице (1 ), нужно, чтобы каждый множитель был равен единице (1 ). Таким образом, при F = 1 , переменной х должен соответствовать тот столбец, в котором все значения равны 1 .
3. Рассмотрим (¬z + y) , при F = 1 данное выражение также равно 1(см. пункт 2).
4. Дизъюнкция (логическое сложение) двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание.
Дизъюнкция ¬z \/ y
в данной строке будет истинна только если
5. Таким образом, переменной ¬z соответствует столбец с переменной 1 (1 столбец), переменной y
Ответ: zyx
КИМ ЕГЭ 2016 (досрочный период) – задание№2
Логическая функция F задаётся выражением
(x /\ y /\¬z) \/ (x /\ y /\ z) \/ (x /\¬y /\¬z).
На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.
В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Решение:
Запишем заданное выражение в более простых обозначениях:
(x*y*¬z) + (x*y*z) + (x*¬y*¬z)=1
Это выражение истинно тогда, когда хотя бы один из (x*y*¬z) , (x*y*z) , (x*¬y*¬z) равняется 1. Конъюнкция (логическое умножение) истинна тогда и только тогда, когда истинны все высказывания.
Хотя бы одна из этих дизъюнкции x*y*¬z; x*y*z; x*¬y*¬z будет истинна только если х=1 .
Таким образом, переменной х соответствует столбец с переменной 2 (2 столбец).
Пусть y- перем.1, z- прем.3. Тогда, в первом случае x*¬y*¬z будет истинна, во втором случае x*y*¬z , а в третьем x*y*z.
Ответ: yxz
Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?
| X | Y | Z | F |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
1) X ∧ Y ∧ Z 2) ¬X ∨ Y ∨¬Z 3) X ∧ Y ∨ Z 4) X ∨ Y ∧ ¬Z
Решение:
1) X ∧ Y ∧ Z = 1.0.1 = 0 (не соответствует на 2-й строке)
2) ¬X ∨ Y ∨¬Z = ¬0 ∨ 0 ∨ ¬0 = 1+0+1 = 1 (не соответствует на 1-й строке)
3) X ∧ Y ∨ Z = 0.1+0 = 0 (не соответствует на 3-й строке)
4) X ∨ Y ∧ ¬Z (соответствует F)
X ∨ Y ∧ ¬Z = 0 ∨ 0 ∧ ¬0 = 0+0.1 = 0
X ∨ Y ∧ ¬Z = 1 ∨ 0 ∧ ¬1 = 1+0.0 = 1
X ∨ Y ∧ ¬Z = 0 ∨ 1 ∧ ¬0 = 0+1.1 = 1
Ответ: 4
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?
| A | B | C | F |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
1) (A → ¬B) ∨ C 2) (¬A ∨ B) ∧ C 3) (A ∧ B) → C 4) (A ∨ B) → C
Решение:
1) (A → ¬B) ∨ C = (1 → ¬0) ∨ 0 = (1 → 1) + 0 = 1 + 0 = 1 (не соответствует на 2-й строке)
2) (¬A ∨ B) ∧ C = (¬1 ∨ 0) ∧ 1 = (0+0).1 = 0 (не соответствует на 3-й строке)
3) (A ∧ B) → C = (1 ∧ 0) → 0 = 0 → 0 = 1 (не соответствует на 2-й строке)
4) (A ∨ B) → C (соответствует F )
(A ∨ B) → C = (0 ∨ 1) → 1 = 1
(A ∨ B) → C = (1 ∨ 0) → 0 = 0
(A ∨ B) → C = (1 ∨ 0) → 1 = 1
Ответ: 4
Дано логическое выражение, зависящее от 6 логических переменных:
X1 ∨ ¬X2 ∨ X3 ∨ ¬X4 ∨ X5 ∨ X6
Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?
1) 1 2) 2 3) 63 4) 64
Решение:
Ложное выражение только в 1 случае: X1=0, X2=1, X3=0, X4=1, X5=0, X6=0
X1 ∨ ¬X2 ∨ X3 ∨ ¬X4 ∨ X5 ∨ X6 = 0 ∨ ¬1 ∨ 0 ∨ ¬1 ∨ 0 ∨ 0 = 0
Всего вариантов 2 6 =64, значит истинных
Ответ: 63
Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Какое выражение соответствует F?
1) x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ x7
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7
4) x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7
Решение:
1) x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 = 0 + 1 + … = 1 (не соответствует на 1-й строке)
2) x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ x7 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 = 1 (не соответствует на 1-й строке)
3) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7 = 1.0. …= 0 (не соответствует на 2-й строке)
4) x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 (соответствует F)
x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 = 1.1.1.1.1.1.1 = 1
x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 = 0. … = 0
Ответ: 4
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | F |
| 0 | 1 | 1 | ||||||
| 1 | 0 | 1 | 0 | |||||
| 1 | 0 | 1 |
Каким выражением может быть F?
1) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8
2) ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ x8
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8
4) ¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ ¬x8
Решение:
1) x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8 = x1 . ¬x2 . 0 . … = 0 (не соответствует на 1-й строке)
2) ¬x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ x8 (соответствует F)
3) ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7 ∧ ¬x8 = … ¬x7 ∧ ¬x8 = … ¬1 ∧ ¬x8 = … 0 ∧ ¬x8 = 0 (не соответствует на 1-й строке)
4) ¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ ¬x7 ∨ ¬x8 = ¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 … = ¬1 ∨ ¬x2 ∨ ¬0 .. = 1 (не соответствует на 2-й строке)
Ответ: 2
Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Укажите минимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x5 совпадает с F.
Решение:
Минимально возможное число различных строк, в которых значение x5 совпадает с F = 4
Ответ: 4
Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение x6 не совпадает с F.
Решение:
Максимально возможное число = 2 8 = 256
Максимально возможное число различных строк, в которых значение x6 не совпадает с F = 256 — 5 = 251
Ответ: 251
Дан фрагмент таблицы истинности для выражения F:
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | F |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Укажите максимально возможное число различных строк полной таблицы истинности этого выражения, в которых значение ¬x5 ∨ x1 совпадает с F.
Решение:
1+0=1 — не совпадает с F
0+0=0 — не совпадает с F
0+0=0 — не совпадает с F
0+1=1 — совпадает с F
1+0=1 — совпадает с F
2 7 = 128 — 3 = 125
Ответ: 125
Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 6 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы. Каково минимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A ∨ B?
Решение:
Ответ: 4
Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 7 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 4 единицы. Каково максимально возможное число единиц в столбце значений таблицы истинности выражения A ∨ B?
Решение:
Ответ: 8
Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 8 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 5 единиц. Каково минимально возможное число нулей в столбце значений таблицы истинности выражения A ∧ B?
Решение:
2 8 = 256 — 5 = 251
Ответ: 251
Каждое логическое выражение A и B зависит от одного и того же набора из 8 переменных. В таблицах истинности каждого из этих выражений в столбце значений стоит ровно по 6 единиц. Каково максимально возможное число нулей в столбце значений таблицы истинности выражения A ∧ B?
Решение:
Ответ: 256
Каждое из логических выражений A и B зависит от одного и того же набора из 5 переменных. В таблицах истинности обоих выражений нет ни одной совпадающей строки. Сколько единиц будет содержаться в столбце значений таблицы истинности выражения A ∧ B?
Решение:
В таблицах истинности обоих выражений нет ни одной совпадающей строки.
Ответ: 0
Каждое из логических выражений A и B зависит от одного и того же набора из 6 переменных. В таблицах истинности обоих выражений нет ни одной совпадающей строки. Сколько единиц будет содержаться в столбце значений таблицы истинности выражения A ∨ B?
Решение:
(a . ¬c) + (¬b . ¬c)
Когда с равно 1, F равна нулю так что последний столбец c.
Xтобы определить первый и второй столбцы, мы можем использовать значения из 3-го ряда.
(a . 1) + (¬b . 1) = 0
Ответ: abc
Логическая функция F задаётся выражением (a ∧ c)∨ (¬a ∧ (b ∨ ¬c)). Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных a, b, c.
| ? | ? | ? | F | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | ¬a. b0 |
| 1 | 1 | 1 |
Исходя из того, что при a=0 и c=0, то F=0, и данных из второй строки, мы можем сделать вывод, что в третьем стоблце располагается b .
Ответ: cab
Логическая функция F задаётся выражением x ∧ (¬y ∧ z ∧ ¬w ∨ y ∧ ¬z). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
| ? | ? | ? | ? | F |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.
Решение:
x ∧ (¬y ∧ z ∧ ¬w ∨ y ∧ ¬z)
x . (¬y . z . ¬w . y . ¬z)
Исходя из того, что при x=0, то F=0, мы можем сделать вывод, что во втором столбце располагается x .
Ответ: wxzy
Определение 1
Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.
Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.
Определение 2
Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.
Определение 3
Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.
При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:
Рисунок 1.
Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.
Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка) , $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.
Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.
Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.
Рисунок 2.
Пример 1
Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$.
Решение:
Определим количество строк:
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Количество переменных – $3$.
дизъюнкция ($\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$) – искомое логическое выражение.
Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.
Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.
Рисунок 3.
Пример 2
По данному логическому выражению построить таблицу истинности:
Решение:
Определим количество строк:
Количество простых выражений – $n=3$, значит
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Определим количество столбцов:
Количество переменных – $3$.
Количество логических операций и их последовательность:
дизъюнкция – искомая логическая функция ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$).
