Sistema di numerazione delle unità
La necessità di annotare i numeri iniziò a sorgere tra le persone nei tempi antichi dopo aver imparato a contare. Ne sono prova i ritrovamenti archeologici nei luoghi degli accampamenti di popoli primitivi, che appartengono al periodo paleolitico ($10$-$11$ mille anni a.C.). Inizialmente, il numero di oggetti veniva rappresentato utilizzando determinati segni: trattini, tacche, cerchi applicati a pietre, legno o argilla, nonché nodi su corde.
Immagine 1.
Gli scienziati chiamano questo sistema di notazione singolo (unario), poiché il numero in esso contenuto è formato dalla ripetizione di un segno, che simboleggia l'unità.
Svantaggi del sistema:
quando si scrive un numero elevato, è necessario utilizzare un gran numero di bastoncini;
è facile commettere un errore quando si applicano i bastoncini.
Successivamente, per rendere più facile il conteggio, le persone hanno iniziato a combinare questi segni.
Esempio 1
Esempi di utilizzo del sistema di numerazione delle unità possono essere trovati nelle nostre vite. Ad esempio, i bambini piccoli cercano di rappresentare quanti anni hanno sulle dita o usano bastoncini per contare per insegnare a contare in prima elementare.
Sistema unico non molto conveniente, poiché le voci sembrano molto lunghe e la loro applicazione è piuttosto noiosa, quindi nel tempo iniziarono ad apparire sistemi di numerazione più pratici.
Ecco alcuni esempi.
Questo sistema numerico è apparso intorno al 3000 aC. come risultato del fatto che gli abitanti dell'antico Egitto hanno inventato il proprio sistema numerico, in cui, quando si designano i numeri chiave $ 1 $, $ 10 $, $ 100 $, ecc. venivano usati i geroglifici, il che era conveniente quando si scriveva su tavolette di argilla che sostituivano la carta. Altri numeri sono stati formati da loro usando l'addizione. In primo luogo, è stato scritto il numero dell'ordine più alto, quindi il più basso. Gli egiziani si moltiplicarono e si divisero, raddoppiando costantemente i numeri. Ogni cifra può essere ripetuta fino a $9$ volte. Di seguito sono riportati esempi di numeri di questo sistema.
Figura 2.
Questo sistema fondamentalmente non è molto diverso dal precedente ed è sopravvissuto fino ad oggi. Si basa sui segni:
$I$ (un dito) per il numero $1$;
$V$ (palmo aperto) per $5$;
$X$ (due mani a coppa) per $10$;
per indicare i numeri $ 100 $, $ 500 $ e $ 1000 $, sono state utilizzate le prime lettere delle corrispondenti parole latine ( Cento- cento, Demimille- mezzo migliaio Mille- mille).
Durante la compilazione dei numeri, i romani usavano le seguenti regole:
Il numero è uguale alla somma dei valori di più "cifre" identiche disposte in fila, che formano un gruppo del primo tipo.
Il numero è uguale alla differenza tra i valori di due "cifre", se quella più piccola è a sinistra di quella più grande. In questo caso, il valore del valore minore viene sottratto dal valore maggiore. Insieme formano un gruppo del secondo tipo. In questo caso la "cifra" di sinistra può essere minore di quella di destra di un ordine massimo di $1$: $L(50)$ e $C(100$) di quelle "inferiori" possono essere precedute solo da $X( 10$), prima di $D(500$ ) e $M(1000$) - solo $C(100$), prima di $V(5) - I(1)$.
Il numero è uguale alla somma dei valori dei gruppi e dei "numeri" che non sono inclusi nei gruppi $1$ o $2$ del form.
Figura 3
I numeri romani sono stati usati fin dall'antichità: indicano date, numeri di volumi, sezioni, capitoli. Pensavo che i normali numeri arabi potessero essere falsificati facilmente.
Questi sistemi numerici sono più perfetti. Questi includono greco, slavo, fenicio, ebreo e altri. In questi sistemi, i numeri da $ 1 $ a $ 9 $, così come il numero di decine (da $ 10 $ a $ 90 $), centinaia (da $ 100 $ a $ 900 $) erano indicati da lettere dell'alfabeto.
Nell'antico sistema numerico alfabetico greco, i numeri $1, 2, ..., 9$ erano indicati dalle prime nove lettere dell'alfabeto greco, e così via. Le seguenti lettere da $9$ sono state usate per designare i numeri $10, 20, ..., 90$, e le ultime lettere da $9$ sono state usate per designare i numeri $100, 200, ..., 900$.
Tra i popoli slavi, i valori numerici delle lettere venivano stabiliti secondo l'ordine dell'alfabeto slavo, che inizialmente utilizzava l'alfabeto glagolitico, e poi l'alfabeto cirillico.
Figura 4
Osservazione 1
Il sistema alfabetico era utilizzato anche nell'antica Rus'. Fino alla fine del XVII secolo, le lettere cirilliche da $ 27 $ venivano usate come numeri.
I sistemi numerici non posizionali presentano una serie di svantaggi significativi:
C'è una costante necessità di introdurre nuovi caratteri per scrivere grandi numeri.
Non è possibile rappresentare numeri frazionari e negativi.
È difficile eseguire operazioni aritmetiche, poiché non esistono algoritmi per eseguirle.
Il sistema numerico (numerazione) è un modo di rappresentare un numero mediante simboli di un alfabeto, che sono chiamati cifre.
Attraverso un lungo sviluppo, l'umanità è arrivata a due tipi di sistemi numerici: posizionale e non posizionale.
Sistema numerico non posizionale
Nella numerazione più antica veniva utilizzato solo il segno "|". per uno, e ogni numero naturale è stato scritto ripetendo il simbolo dell'unità tante volte quante sono le unità in questo numero. L'aggiunta in tale numerazione è stata ridotta all'assegnazione di unità e la sottrazione alla loro cancellazione. Per la rappresentazione di qualsiasi numero grande, questo metodo di numerazione non è adatto a causa della sua ingombranza.
A istruzione elementare a scuola, quando il punteggio è compreso tra una e due dozzine, questo metodo di numerazione viene utilizzato con successo (contando sui bastoncini).
Nei sistemi numerici non posizionali, il significato di ogni carattere è preservato e non dipende dalla sua posizione nella notazione numerica.
I sistemi non posizionali più moderni includono il sistema di numerazione geroglifico egiziano, in cui c'erano alcuni segni per i numeri: uno - I, dieci - n, cento - c e così via; questi numeri sono chiamati numeri di nodo. Tutti gli altri numeri naturali, chiamati numeri algoritmici, sono scritti allo stesso modo usando un'unica operazione aritmetica: l'addizione. Ad esempio, il numero 243 sarà scritto come ss nnnn III, 301 come ss I.
I sistemi non posizionali includono la numerazione romana. I seguenti numeri sono presi come numeri di nodo in questo sistema: uno - I, cinque - V, dieci - X, cinquanta - L, cento - C, cinquecento - D, mille - M. Tutti i numeri algoritmici sono ottenuti usando due operazioni aritmetiche: addizione e sottrazione. La sottrazione viene eseguita quando il segno corrispondente al numero di nodo più piccolo è davanti al segno del numero di nodo più grande, ad esempio VI - sei (5 + 1 \u003d 6), XC - novanta (100-10 \u003d 90) , 1704 - MOSSIV, 193 - SHSSh , 687 - DCLXXXII.
Nella numerazione romana si notano tracce del sistema numerico quinario, poiché presenta segni speciali per i numeri 5, 50 e 500.
Quando si scrivevano i numeri, veniva utilizzato non solo il principio dell'addizione, ma anche il principio della moltiplicazione.
Ad esempio, nel vecchio sistema numerico cinese, i numeri 20 e 30 venivano mostrati schematicamente come 2.10 e 3.10. i numeri 10, 100, 1000 avevano alcune designazioni speciali. Il numero 528 era scritto così: 5,100,2,10,8. I più convenienti tra i sistemi numerici non posizionali sono i sistemi di numerazione alfabetici. Esempi di tali sistemi sono il sistema ionico (antica Grecia), slavo, ebraico, georgiano e armeno.
In tutti i sistemi alfabetici, è essenziale designare con caratteri speciali - lettere in ordine alfabetico di tutti i numeri da 1 a 9, tutte le decine da 10 a 90 e tutte le centinaia da 100 a 900. Per distinguere i numeri dalle parole sopra le lettere che denotano i numeri, nella numerazione greca e slava c'era una linea.
Nel sistema numerico greco, il numero 543 era scritto: cmg (c - 500, m - 40, g - 3). Nel sistema numerico romano, questo numero è scritto nella forma DXLIII, nel geroglifico egiziano - nella forma di ssss nnn III.
Questo esempio mostra il vantaggio della numerazione alfabetica, che utilizza il principio numerico di designare unità, decine, centinaia. Nello scrivere grandi numeri nel sistema alfabetico, è già visibile una transizione verso una notazione posizionale. Ad esempio, 32543 è stato scritto così:
Riso. 4
Maggior parte sistemi convenienti il calcolo si è rivelato essere sistemi posizionali o locali.
Sistemi numerici posizionali
Il sistema numerico posizionale è un insieme di definizioni e regole che consentono di scrivere qualsiasi numero naturale utilizzando alcune icone o simboli, ognuno dei quali ha un certo significato a seconda della sua posizione nella notazione numerica (dalla sua posizione). Molto spesso viene utilizzato un sistema numerico posizionale con una base fissa. La base del sistema può essere qualsiasi numero naturale c, c>1.
Una registrazione sistematica di un numero naturale N in base c è la rappresentazione di tale numero come somma: N = ancn + ... + a1c, + a0, dove an, ..., a1, a0 sono numeri che assumono i valori 0, 1, ..., c - 1, inoltre, an? 0.
Il sistema numerico posizionale con base c è chiamato c - numerale (binario, ternario e così via). In pratica, viene utilizzato più spesso il decimale c \u003d 10).
Per indicare i numeri 0, 1, ..., s - 1 nel sistema numerico s-ario, vengono utilizzati caratteri speciali, chiamati numeri. Gli antichi matematici indiani scoprirono lo zero, un segno speciale che avrebbe dovuto mostrare l'assenza di unità di una certa categoria.
Per il sistema del numero c, hai bisogno dei numeri. Se con< 10, то применяются те же обозначения цифр, что и в десятичной системе счисления (только берутся цифры, меньше основания системы).
Nei sistemi con base c > 10, per numeri maggiori o uguali a 10, non entrare personaggi speciali, ma usa la notazione decimale di questi numeri, racchiudendo questa notazione tra parentesi. Ad esempio, nel sistema quattordici ci sono quattordici cifre: 0, 1, 2, 3 ... 9, (10), (11), (12), (13).
Nel sistema numerico in base c, così come nel sistema numerico decimale, il posto occupato da una cifra, contando da destra a sinistra, è chiamato cifra.
Numero N= ans n + . . . +a1c +a0 contiene a0 unità della prima cifra, a1 unità della seconda cifra, a2 unità della terza cifra e così via. L'unità della cifra successiva è c volte maggiore dell'unità della cifra precedente.
I sistemi numerici posizionali soddisfano il requisito della possibilità e unicità di scrivere qualsiasi numero naturale.
Teorema. Qualsiasi numero naturale N può essere scritto nel sistema in base ce, inoltre, in modo univoco.
Prova:
1. Dimostriamo l'esistenza di una rappresentazione di qualsiasi numero naturale nella forma:
N \u003d anсn + a n-1 сn-1 + ... + ac + a0. (1)
La dimostrazione sarà effettuata con il metodo dell'induzione matematica completa.
La rappresentazione del numero N nella forma (1) è possibile per i primi ð-1 numeri naturali 1, 2,..., ñ-1, poiché n=1 e il numero coincide con il numero dato. Rappresentazione numerica nella forma (1) per i numeri 1, 2, . . . ,s-1 sono ovviamente solo possibili l'unico modo: 1=1, 2=2,. . . ,s-1=s-1.
Supponiamo che tutti i numeri naturali N?k (k?1) possano essere rappresentati nella forma (1). Dimostriamo che il numero k+1 può essere rappresentato anche nella forma (1). Per fare ciò, dividiamo il numero k + 1 con il resto per c:
K+l=mb+r, 0<г<с-1, (2)
dove s è il quoziente incompleto e r è il resto.
Poiché il numero s?k, allora, per assunzione induttiva, può essere rappresentato nella forma (1):
s = ancn+ . . . + a1c + a0, (3)
dove 1?an?s -1, 0? ai ?с -l, (i=0,1,..,n-1)
Sostituendo le espressioni (2) e (3), otteniamo:
k + l \u003d (anc + ... + aic + a0) c + r \u003d anc + ... + aic + a0c + r (4)
dov'è 1? un ?c -1, 0? aj? con -1, 0 ? G? con -1 0=0.1,. . ,n-1)
Questa espressione (4) dà la rappresentazione del numero k + 1 nella forma (1):
K+1=b n+1c n+1 + bn c n + ... + b1c + b0,
dove b0 =r, bi+1- ai (i=0,l,.. ,n-l)
2. Proviamo l'unicità della rappresentazione di qualsiasi numero naturale nella forma (1).
La dimostrazione sarà effettuata con il metodo dell'induzione matematica.
Per i numeri 1, 2,..., con -1, la rappresentazione nella forma (1) è unica.
Supponiamo che per tutti i numeri naturali N?k (k?1) la rappresentazione nella forma (1) sia unica. Dimostriamo che il numero k+1 può essere rappresentato nella forma (1) in un solo modo. Per fare ciò, dividiamo il numero k + 1 con il resto per c:
K+l=mb+r, 0<г< с -1 (5)
Supponiamo che k+1 abbia due diverse rappresentazioni:
k+1=a nc n + an-1 c n-1 + ....+ a1c + a() (6)
k+1 \u003d b mc m + bm-1 c m-1 + ... + b1c + b0 (7)
Rappresentiamo: le uguaglianze (6) e (7) nella forma:
k+1= (a nc n-1 + an-1 c n-2+ ... + a1)c+a0 (6*)
k+1 = (si mc m-1 + bm-1 c m-2+ ... + b)c+b0 (7*)
Da 0 ? a0 ?c -1 e 0 ? b0 ?ñ -1, quindi da (6*) e (7*) segue che il quoziente incompleto s e il resto r nella formula (5) saranno:
S= anc n-1 + an-1 s n-2 + ... + a1=bmc m-1 + bm-1 s m-2+ ... + b1. r = a0 = b0.
Da s? k, dall'assunzione induttiva segue che il numero s ha un'unica rappresentazione nella forma (1), ovvero:
n-l \u003d m-l, ai \u003d bi, (i \u003d 0.1, . . , n-1).
Dall'ultima uguaglianza abbiamo a0=bo. Quindi, n=m, ai=bi (i=0,l, . . ,n-l), ma questo contraddice l'ipotesi che il numero sia k+1. ha due diverse rappresentazioni (6) e (7). Di conseguenza, il numero k + 1 è rappresentato nella forma (1) in modo univoco. In base al principio dell'induzione matematica, l'affermazione è vera per qualsiasi N . Il teorema è stato dimostrato.
Studiando le codifiche, mi sono reso conto di non capire abbastanza bene i sistemi numerici. Tuttavia, usava spesso sistemi 2, 8, 10, 16, tradotti l'uno nell'altro, ma tutto veniva fatto in "automatico". Dopo aver letto molte pubblicazioni, sono rimasto sorpreso dalla mancanza di un unico articolo, scritto in un linguaggio semplice, su un materiale così elementare. Ecco perché ho deciso di scrivere il mio, in cui ho cercato di presentare le basi dei sistemi numerici in modo accessibile e ordinato.
Cosa si intende con questo? Ad esempio, vedi diversi alberi di fronte a te. Il tuo compito è contarli. Per fare ciò, puoi piegare le dita, fare delle tacche su una pietra (un albero - un dito / tacca) o abbinare 10 alberi con un oggetto, ad esempio una pietra, e una singola copia con una bacchetta e adagiarli sul terra mentre conti. Nel primo caso, il numero è rappresentato come una linea di dita piegate o tacche, nel secondo - una composizione di pietre e bastoncini, dove le pietre sono a sinistra ei bastoncini a destra.
I sistemi numerici sono divisi in posizionali e non posizionali e posizionali, a loro volta, in omogenei e misti.
non posizionale- il più antico, in esso ogni cifra di un numero ha un valore che non dipende dalla sua posizione (cifra). Cioè, se hai 5 trattini, anche il numero è uguale a 5, poiché ogni trattino, indipendentemente dalla sua posizione nella riga, corrisponde solo a 1 elemento.
Sistema posizionale- il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione (cifra) nel numero. Ad esempio, il decimo sistema numerico, che ci è familiare, è posizionale. Considera il numero 453. Il numero 4 indica il numero di centinaia e corrisponde al numero 400, 5 - il numero di decine ed è simile al valore 50, e 3 - unità e il valore 3. Come puoi vedere, maggiore è la cifra, maggiore è il valore. Il numero finale può essere rappresentato come la somma di 400+50+3=453.
sistema omogeneo- per tutte le cifre (posizioni) del numero, l'insieme dei caratteri validi (cifre) è lo stesso. Ad esempio, prendiamo il decimo sistema menzionato in precedenza. Quando si scrive un numero in un decimo sistema omogeneo, è possibile utilizzare solo una cifra da 0 a 9 in ciascuna cifra, quindi il numero 450 è consentito (1a cifra - 0, 2a - 5, 3a - 4), ma 4F5 no, poiché il carattere F non fa parte delle cifre da 0 a 9.
sistema misto- in ogni cifra (posizione) del numero, l'insieme di caratteri validi (numeri) può differire dagli insiemi di altre cifre. Un esempio lampante è il sistema di misurazione del tempo. Nella categoria dei secondi e dei minuti sono possibili 60 caratteri diversi (da "00" a "59"), nella categoria delle ore - 24 caratteri diversi (da "00" a "23"), nella categoria dei giorni - 365, ecc.
Per comodità, le persone hanno iniziato a raggruppare i bastoncini di 3, 5, 10 pezzi. Allo stesso tempo, ogni gruppo corrispondeva a un certo segno o oggetto. Inizialmente si usavano le dita per contare, quindi i primi segni sono apparsi per gruppi di 5 e 10 pezzi (unità). Tutto ciò ha permesso di creare sistemi più convenienti per la registrazione dei numeri.
Perché si chiama decimale? Come è stato scritto sopra, le persone hanno iniziato a raggruppare i simboli. In Egitto, hanno scelto un raggruppamento di 10, lasciando invariato il numero "1". In questo caso, il numero 10 è chiamato la base del sistema numerico decimale e ogni simbolo è una rappresentazione del numero 10 in una certa misura.
I numeri nell'antico sistema numerico egiziano erano scritti come una combinazione di questi
caratteri, ognuno dei quali è stato ripetuto non più di nove volte. Il valore finale era uguale alla somma degli elementi del numero. Vale la pena notare che questo metodo per ottenere un valore è caratteristico di ogni sistema numerico non posizionale. Un esempio è il numero 345:
Il sistema sessagesimale babilonese è il primo sistema numerico basato in parte sul principio posizionale. Questo sistema numerico viene utilizzato oggi, ad esempio, per determinare il tempo: un'ora è composta da 60 minuti e un minuto da 60 secondi.
Metodi per determinare il valore di un numero:
Ad esempio, prendiamo il numero 503. Se questo numero fosse scritto in un sistema non posizionale, il suo valore sarebbe 5 + 0 + 3 = 8. Ma abbiamo un sistema posizionale, il che significa che ogni cifra del numero deve essere moltiplicato per la base del sistema, in questo caso il numero “10”, elevato alla potenza pari al numero della cifra. Risulta che il valore è 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Per evitare confusione quando si lavora con più sistemi di numerazione contemporaneamente, la base è indicata come pedice. Quindi, 503 = 503 10 .
Oltre al sistema decimale, i sistemi 2, 8, 16 meritano un'attenzione speciale.
Il sistema numerico posizionale binario ha una base di 2 e utilizza 2 caratteri (cifre) per scrivere un numero: 0 e 1. In ogni bit è consentita una sola cifra: 0 o 1.
Un esempio è il numero 101. È simile al numero 5 nel sistema numerico decimale. Per convertire da 2 a 10 è necessario moltiplicare ogni cifra del numero binario per la base “2”, elevata a una potenza pari alla cifra. Pertanto, il numero 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10 .
Bene, per le macchine, il secondo sistema numerico è più conveniente, ma spesso vediamo che usiamo numeri nel decimo sistema su un computer. In che modo allora la macchina determina quale numero inserisce l'utente? Come traduce un numero da un sistema all'altro, perché ha a disposizione solo 2 caratteri: 0 e 1?
Affinché un computer possa funzionare con numeri binari (codici), devono essere memorizzati da qualche parte. Per memorizzare ogni singola cifra viene utilizzato un trigger, che è un circuito elettronico. Può trovarsi in 2 stati, uno dei quali corrisponde a zero, l'altro a uno. Per memorizzare un singolo numero, viene utilizzato un registro: un gruppo di trigger, il cui numero corrisponde al numero di cifre in un numero binario. E la totalità dei registri è RAM. Il numero contenuto nel registro è una parola macchina. Le operazioni aritmetiche e logiche con le parole vengono eseguite da un'unità logica aritmetica (ALU). Per facilitare l'accesso ai registri, essi sono numerati. Il numero è chiamato l'indirizzo del registro. Ad esempio, se è necessario aggiungere 2 numeri, è sufficiente indicare i numeri di celle (registri) in cui si trovano e non i numeri stessi. Gli indirizzi sono scritti in sistemi 8 ed esadecimali (saranno discussi di seguito), poiché il passaggio da essi al sistema binario e viceversa è abbastanza semplice. Per trasferire dal 2 all'8 numero, è necessario dividerlo in gruppi di 3 cifre da destra a sinistra e andare al 16 - 4 cifre ciascuno.Se non ci sono abbastanza cifre nel gruppo di cifre più a sinistra, quindi vengono riempiti da sinistra con zeri, che sono chiamati iniziali. Prendiamo come esempio il numero 101100 2. In ottale è 101 100 = 54 8 e in esadecimale è 0010 1100 = 2C 16 . Fantastico, ma perché vediamo numeri e lettere decimali sullo schermo? Quando si preme un tasto, viene trasmessa al computer una certa sequenza di impulsi elettrici e ogni carattere ha la propria sequenza di impulsi elettrici (zero e uno). Il programma del driver della tastiera e dello schermo accede alla tabella dei codici dei caratteri (ad esempio, Unicode, che consente di codificare 65536 caratteri), determina a quale carattere corrisponde il codice ricevuto e lo visualizza sullo schermo. Pertanto, testi e numeri vengono archiviati nella memoria del computer in codice binario e vengono convertiti in modo programmatico in immagini sullo schermo.
Un esempio di un numero ottale: 254. Per convertire nel decimo sistema, ogni cifra del numero originale deve essere moltiplicata per 8 n, dove n è il numero della cifra. Risulta che 254 8 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 172 10 .
Prendiamo come esempio il numero 4F5 16. Per passare al sistema ottale, prima convertiamo il numero esadecimale in binario e poi, suddividendolo in gruppi di 3 cifre, in ottale. Per convertire un numero in 2, ogni cifra deve essere rappresentata come un numero binario a 4 bit. 4F5 16 = (100 1111 101) 2 . Ma nei gruppi 1 e 3 non c'è abbastanza cifra, quindi riempiamo ciascuno con zeri iniziali: 0100 1111 0101. Ora dobbiamo dividere il numero risultante in gruppi di 3 cifre da destra a sinistra: 0100 1111 0101 \u003d 010 011 110 101. Traduciamo ogni gruppo binario nel sistema ottale, moltiplicando ogni cifra per 2n, dove n è il numero della cifra: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0) = 2365 8 .
Oltre ai sistemi numerici posizionali considerati, ce ne sono altri, ad esempio:
1) Ternario
2) Quaternario
3) Duodecimale
I sistemi posizionali sono divisi in omogenei e misti.
Sulla base del teorema, possiamo formulare le regole per il trasferimento dal sistema P-esimo al sistema Q-esimo e viceversa:
I sistemi numerici misti sono anche, ad esempio:
1) Fattoriale
2)Fibonaccio
Esempio: 101 2 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5 10
Dopo aver scritto tutti i resti dal basso verso l'alto, otteniamo il numero finale 17. Pertanto, 15 10 \u003d 17 8.
Prendiamo come esempio il numero 1001 2: 1001 2 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) = ( 0+0+1) (0+0+1) = 118
Per convertire in esadecimale - dividiamo il numero binario in gruppi di 4 cifre da destra a sinistra, quindi - analogamente alla conversione dal 2° all'8°.
Ad esempio, considera il numero 45 8: 45 = (100) (101) = 100101 2
Traduzione dal 16° al 2°: convertiamo ogni cifra del numero esadecimale in un numero binario di 4 cifre dividendo per 2, riempiendo le cifre estreme mancanti con zeri iniziali.
Conversione in decimale della parte frazionaria di qualsiasi sistema numerico
La conversione viene eseguita allo stesso modo delle parti intere, tranne per il fatto che le cifre del numero vengono moltiplicate per la base alla potenza "-n", dove n parte da 1.
Esempio: 101.011 2 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3) = (5), (0 + 0 .25 + 0.125) = 5.375 10
Esempio: 1001.01 2 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0), (0*2 2 + 1 *2 1 + 0*2 0) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2 8
Ad esempio, traduciamo 10.625 10 nel sistema binario:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Annotando tutti i resti dall'alto verso il basso, otteniamo 10.625 10 = (1010), (101) = 1010.101 2
Notazioneè un insieme di regole per scrivere numeri usando un insieme finito di caratteri (numeri).
I sistemi numerici sono:
Esempi: unario, romano, russo antico, ecc.
p io = si io ,
Le cifre del numero sono numerate da destra a sinistra e la cifra meno significativa della parte intera (prima del separatore - virgola o punto) ha il numero zero. Le cifre frazionarie hanno numeri negativi:
Determinando il peso dello scarico
p io = si io ,
dove i è il numero della cifra e s è la base del sistema numerico.
Quindi, denotando le cifre del numero come a i , possiamo rappresentare qualsiasi numero scritto nel sistema numerico posizionale come:
x = a n s n + a n-1 s n-1 + ... + a 2 s 2 + a 1 s 1 + a 0 s 0 + a -1 s -1 + ...
Ad esempio, per un sistema numerico con base 4:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1
Dopo aver completato i calcoli, otterremo il valore del numero originale, scritto nel sistema numerico decimale (più precisamente, in quello in cui eseguiamo i calcoli). In questo caso:
1302.2 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =
= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =
= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5
Pertanto, per convertire un numero da qualsiasi sistema numerico in decimale, dovresti:
Ricordiamo un esempio di conversione da un sistema numerico con base 4 a decimale:
1302 4 = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114
Altrimenti si può scrivere così:
114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302 4
Questo mostra che quando 114 è diviso per 4, il resto dovrebbe essere 2 - questa è la cifra meno significativa se scritta nel sistema quaternario. Il quoziente sarà uguale
(1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0
Dividendolo per 4 otterrai il resto: la cifra successiva (0) e il quoziente 1 ⋅ 4 + 3. Continuando i passaggi, otteniamo le cifre rimanenti allo stesso modo.
Nel caso generale, per convertire la parte intera di un numero dal sistema di numerazione decimale a un sistema con un'altra base, è necessario:
Quando si lavora con i computer, il sistema numerico binario è ampiamente utilizzato (poiché la rappresentazione delle informazioni in un computer si basa su di esso), così come ottale ed esadecimale, la cui notazione è più compatta e conveniente per una persona. D'altra parte, dato che 8 e 16 sono potenze di 2, il passaggio tra la scrittura in binario e uno di questi sistemi avviene senza calcoli.
È sufficiente sostituire ogni bit della notazione esadecimale con quattro (16=24) bit del binario (e viceversa) secondo la tabella.
| esadecimale -> binario | |||
| UN | 3 | 2 | E |
| 1010 | 0011 | 0010 | 1110 |
| binario -> esadecimale | |||
| (00)10 | 1010 | 0111 | 1101 |
| 2 | UN | 7 | D |
Allo stesso modo avviene la traduzione tra sistema binario e ottale, solo la cifra ottale corrisponde a tre cifre binarie (8=2 3)
| ottale -> binario | ||||
| 5 | 3 | 2 | 1 | |
| 101 | 011 | 010 | 001 | |
| binario -> ottale | ||||
| (0)10 | 101 | 001 | 111 | 101 |
| 2 | 5 | 1 | 7 | 5 |
Le operazioni aritmetiche in un sistema posizionale con qualsiasi base vengono eseguite secondo le stesse regole: addizione, sottrazione e moltiplicazione "in una colonna" e divisione - "angolo". Considera un esempio di esecuzione di operazioni di addizione e sottrazione in sistemi numerici binari, ottali ed esadecimali.
Sistema binario:
| (trasferimento) | ||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (numeri di cifre) |
In cifra zero: 1 + 0 = 0
Nella prima cifra: 1 + 1 = 2. 2 viene trasferito alla cifra più significativa (2a), trasformandosi in un'unità di trasferimento. La prima cifra rimane 2 - 2 = 0.
Nella seconda cifra: 0 + 1 + 1 (riporto) = 2; Passa al livello senior
Continuando i calcoli otteniamo:
10011011 2 + 1001110 2 = 11101001 2
Sistema ottale:
| | (trasferimento) | ||||
| 3 | 4 | 2 | 6 | 1 | |
| | 4 | 4 | 3 | 5 | |
| |
|||||
| 4 | 0 | 7 | 1 | 6 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (numeri di cifre) |
Eseguiamo calcoli in modo simile al sistema binario, ma trasferiamo 8 alla cifra più alta.
34261 8 + 4435 8 = 40716 8
Sistema esadecimale:
| | | (trasferimento) | |||
| | UN | 3 | 9 | 1 | |
| | 8 | 5 | 3 | 4 | |
| |
|||||
| 1 | 2 | 8 | C | 5 | |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (numeri di cifre) |
A391 16 + 8534 16 = 128C5 16
Sistema binario:
| | | (trasferimento) | ||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| |
||||||||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | (numeri di cifre) |
Il tema del saggio sul corso "Informatica-1" - "Sistemi numerici".
Lo scopo di scrivere l'abstract: familiarizzare con il concetto di sistema numerico e classificazione; convertire i numeri da un sistema numerico a un altro.
binario algebrico intero
Il sistema numerico è un sistema di tecniche e regole che permettono di stabilire una corrispondenza biunivoca tra un qualsiasi numero e la sua rappresentazione come insieme di un numero finito di caratteri. L'insieme di simboli usati per questa rappresentazione sono chiamati cifre.
Notazione:
fornisce rappresentazioni di un insieme di numeri (interi e/o reali);
assegna a ciascun numero una rappresentazione univoca (o almeno una rappresentazione standard);
riflette la struttura algebrica e aritmetica dei numeri.
I sistemi numerici sono divisi in posizionali e non posizionali. Nei sistemi non posizionali, qualsiasi numero è definito come una funzione dei valori numerici dell'insieme di cifre che rappresentano questo numero. Le cifre nei sistemi numerici non posizionali corrispondono ad alcuni numeri fissi. Un esempio di sistema non posizionale è il sistema numerico romano.
Storicamente, i primi sistemi numerici erano proprio sistemi non posizionali. Uno dei principali svantaggi è la difficoltà di scrivere numeri grandi. La registrazione di grandi numeri in tali sistemi è molto complicata e l'alfabeto del sistema è estremamente lungo.
Nella tecnologia informatica, i sistemi non posizionali non vengono utilizzati. 3
Il sistema numerico si dice posizionale se la stessa cifra può assumere valori numerici diversi a seconda del numero della cifra di tale cifra nell'insieme delle cifre che rappresentano un determinato numero. Un esempio di tale sistema è il sistema numerico decimale arabo.
La base del sistema numerico posizionale ne determina il nome. I computer utilizzano sistemi binari, ottali, decimali ed esadecimali.
Attualmente, i sistemi numerici posizionali sono più diffusi di quelli non posizionali. Questo perché ti permettono di scrivere grandi numeri con un numero relativamente piccolo di caratteri. Un vantaggio ancora più importante dei sistemi posizionali è la semplicità e la facilità di eseguire operazioni aritmetiche sui numeri scritti in questi sistemi.
Ecco alcuni esempi in cui è possibile trovare l'uso di sistemi numerici posizionali:
binario in matematica discreta, informatica, programmazione;
decimale - usato ovunque;
duodecimale: conteggio per dozzine;
esadecimale - utilizzato in programmazione, informatica;
sessagesimale - unità di tempo, misura di angoli e, in particolare, coordinate, longitudine e latitudine.
